Apa yang dimaksud dengan nilai optimum

Suatu fungsi sasaran dalam program linier dengan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : f(x, y) = ax + by dimana a dan b anggota bilangan real. Fungsi objektif ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal cerita. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).

Nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam daerah penyelesaian.

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y 6
2x + 3y 15
x 0
y 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran, dan titik-titik ujinya adalah A, B dan C
Titik A koordinatnya adalah A(0, 5)
Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
karena x + y = 6 maka x + 3 = 6, sehingga x = 3
Jadi koordinat titik B adalah B(3, 3)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 5x + 3y, sehingga diperoleh :
A(0, 5) f(A) = 5(0) + 3(5) = 15
B(3, 3) f(B) = 5(3) + 3(3) = 24
C(6, 0) f(C) = 5(6) + 3(0) = 30
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 30

02. Tentukanlah nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 3y pada daerah yang diarsir berikut ini
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
Garis g melalui dua titik yakni (0, 6) dan (1, 0) sehingga persamaannya
6x + y = 6 . (1)
Garis h melalui dua titik yakni (0, 4) dan (2, 0) sehingga persamaannya
4x + 2y = 8
2x + y = 4 . (2)
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum

Titik-titik uji yaitu A, B, dan C. Sehingga
Titik A koordinatnya adalah A(0, 6)
Titik C koordinatnya adalah C(2, 0)
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
karena 2x + y = 4 maka 2(1/2) + y = 4, sehingga 1 + y = 4 , y = 3
Jadi koordinat titik B adalah B(1/2, 3)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x, y) = 4x + 3y
A(0, 6) f(A) = 4(0) + 3(6) = 18
B(1/2, 3) f(B) = 4(1/2) + 3(3) = 11
C(2, 0) f(C) = 4(2) + 3(0) = 8
Jadi nilai minimum untuk fungsi ini, yaitu 8
03. Nilai maksimum dari daerah yang diarsir pada gambar di samping untuk fungsi sasaran f(x,y) = 4x + 10y adalah .
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
Garis g melalui dua titik (0, 4) dan (2, 0) , yakni
4x + (2)y = 8
2x y = 4 ................................................. (1)
Garis h melalui dua titik (0, 2) dan (2, 0), yakni
(2)x + 2y = 4
x y = 2 ..................................................... (2)
Garis j melalui dua titik (0, 6) dan (6, 0), yakni
6x + 6y = 36
x + y = 6 ..................................................... (3)
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
Titik-titik uji yaitu A, B, C dan D. Sehingga
Titik A koordinatnya adalah A(0, 4)
Titik D koordinatnya adalah D(2, 0)
Titik B merupakan perpotongan garis g dan j, diperoleh :
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
karena x + y = 6 maka 3/2 + y = 6, sehingga y = 9/2
Jadi koordinat titik B adalah B(3/2, 9/2)
Titik C merupakan perpotongan garis h dan j, diperoleh :
Apa yang dimaksud dengan nilai optimum
karena x + y = 6 maka 4 + y = 6, sehingga y = 2
Jadi koordinat titik C adalah C(4, 2)
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x,y) = 4x + 10y,
A(0, 4) f(A) = 4(0) + 10(4) = 40
B(3/2, 9/2) f(B) = 4(3/2) + 10(9/2) = 51
C(4, 2) f(C) = 4(4) + 10(2) = 36
D(2, 0) f(D) = 4(2) + 10(0) = 8
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 51