Suatu fungsi sasaran dalam program linier dengan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : f[x, y] = ax + by dimana a dan b anggota bilangan real. Fungsi objektif ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal cerita. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum [misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain] dan nilai minimum [misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain].
Nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam daerah penyelesaian.
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai maksimum dari f[x,y] = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y 6
2x + 3y 15
x 0
y 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam daerah penyelesaian.
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah nilai maksimum dari f[x,y] = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y 6
2x + 3y 15
x 0
y 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran, dan titik-titik ujinya adalah A, B dan C
Titik A koordinatnya adalah A[0, 5]
Titik C koordinatnya adalah C[6, 0]
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
karena x + y = 6 maka x + 3 = 6, sehingga x = 3
Jadi koordinat titik B adalah B[3, 3]
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f[x,y] = 5x + 3y, sehingga diperoleh :
A[0, 5] f[A] = 5[0] + 3[5] = 15
B[3, 3] f[B] = 5[3] + 3[3] = 24
C[6, 0] f[C] = 5[6] + 3[0] = 30
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 30
02. Tentukanlah nilai minimum dari f[x,y] = 4x + 3y pada daerah yang diarsir berikut ini
Garis g melalui dua titik yakni [0, 6] dan [1, 0] sehingga persamaannya
6x + y = 6 . [1]
Garis h melalui dua titik yakni [0, 4] dan [2, 0] sehingga persamaannya
4x + 2y = 8
2x + y = 4 . [2]
Titik-titik uji yaitu A, B, dan C. Sehingga
Titik A koordinatnya adalah A[0, 6]
Titik C koordinatnya adalah C[2, 0]
Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :
karena 2x + y = 4 maka 2[1/2] + y = 4, sehingga 1 + y = 4 , y = 3
Jadi koordinat titik B adalah B[1/2, 3]
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f[x, y] = 4x + 3y
A[0, 6] f[A] = 4[0] + 3[6] = 18
B[1/2, 3] f[B] = 4[1/2] + 3[3] = 11
C[2, 0] f[C] = 4[2] + 3[0] = 8
Jadi nilai minimum untuk fungsi ini, yaitu 8
03. Nilai maksimum dari daerah yang diarsir pada gambar di samping untuk fungsi sasaran f[x,y] = 4x + 10y adalah .Garis g melalui dua titik [0, 4] dan [2, 0] , yakni
4x + [2]y = 8
2x y = 4 ................................................. [1]
Garis h melalui dua titik [0, 2] dan [2, 0], yakni
[2]x + 2y = 4
x y = 2 ..................................................... [2]
Garis j melalui dua titik [0, 6] dan [6, 0], yakni
6x + 6y = 36
x + y = 6 ..................................................... [3]
Titik-titik uji yaitu A, B, C dan D. Sehingga
Titik A koordinatnya adalah A[0, 4]
Titik D koordinatnya adalah D[2, 0]
Titik B merupakan perpotongan garis g dan j, diperoleh :
karena x + y = 6 maka 3/2 + y = 6, sehingga y = 9/2
Jadi koordinat titik B adalah B[3/2, 9/2]
Titik C merupakan perpotongan garis h dan j, diperoleh :
karena x + y = 6 maka 4 + y = 6, sehingga y = 2
Jadi koordinat titik C adalah C[4, 2]
Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f[x,y] = 4x + 10y,
A[0, 4] f[A] = 4[0] + 10[4] = 40
B[3/2, 9/2] f[B] = 4[3/2] + 10[9/2] = 51
C[4, 2] f[C] = 4[4] + 10[2] = 36
D[2, 0] f[D] = 4[2] + 10[0] = 8
Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 51