DETERMINAN Pengertian Determinan Perhitungan Determinan Matriks Bujur Sangkar Sifat-sifat Determinan Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-Sifat Determinan Aplikasi Determinan pada Geometri Latihan Soal
1. Pengertian Determinan Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu. simbol det[A] atau |A|. Jika nilai det[A]=0, maka matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers, Jika nilai det[A] 0, maka berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut punya invers.
2. PERHITUNGAN DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR A. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2 det[A] =
metode Sarrus B. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 Salin kembali kolom ke 1 dan ke 2 kemudian ditempatkan disebelah kanan tanda determinan.
Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali dengan [+]. 5/1/2018
Hitunglah jumlah hasil kali jumlah elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan A[-]. 5/1/2018
5/1/2018
C. Minor dan Kofaktor D. Determinan Matriks Ordo n x n Jika Aij : matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang. maka : minor Aij = det [Aij] dan kofaktor Aij = det [Aij]. D. Determinan Matriks Ordo n x n Determinan matriks Ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace. 5/1/2018
Contoh Minor dan Kofaktor Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi [n-1] disebut minor. 5/1/2018 Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s. a11 a12 a13 a11 a13 = a11a23 a13a21 Andaikan A = M32 = a21 a22 a23 a21 a23 a31 a32 a33 M11 = a22 a23 Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ? = a22 a33 a23 a32 a32 a33 Matriks tersebut mempunyai 9 minor
Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah Crs = [-1]r+s Mrs. 5/1/2018 A = C23 = - M23 = 0 C11 = [-1]1+1 M11 = [-1]2 = 1 [7] = 7 C31 = M31 = 7 C12 = [-1]1+2 M12 = [-1]3 = [-1] [9] = -9 C13 = [-1]4 M13 = M13 = = 5 C32 = - M32 = - 9 C21 = [-1]3 M21 = - M21 = - = 0 C33 = M33 = 5 C22 = M22 = 0
,dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. Teorema Laplace: det [A] = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-faktornya. , dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke j ,dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. dan Kof[Aij] adalah kofaktor dari Aij 5/1/2018
Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi kolom ke 1 5/1/2018
Contoh menghitung determinan dengan teorema laplace dengan ekspansi baris ke 1 5/1/2018
3. Sifat-sifat Determinan 5/1/2018
4. Menghitung Determinan menggunakan Sifat-Sifat Determinan 1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A| 5/1/2018 |A| = = 26 |AT| = = 26 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. 2. Matriks persegi yang mempunyai baris [kolom] nol, determinannya nol [0]. det[B] = = 0 det[C] = = 0
dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris [kolom] dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A Jika baris kedua dikalikan dengan 7 |A| = = 35 = 7 |A| 5/1/2018 |A| = 5 = 7 [5] = 35 Akibat sifat ini : = 7 Suatu determinan jika salah satu baris [kolom] mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. = 4 = 3
menjadi negatif determinan semula. 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris [kolom] nya ditukar dengan baris [kolom] yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatif determinan semula. 5/1/2018 = 31 Baris pertama ditukar baris kedua = 31 5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris [kolom] yang sama adalah sama dengan 0 [nol]. = 0 = 0
Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya [kolomnya] merupakan kelipatan dari baris [kolom] yang lain adalah sama dengan 0 [nol]. |B| = 5/1/2018 Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 7. Determinan dari matriks persegi A = [aij] berdimensi n yang baris ke -i [kolom ke-j] terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i [kolom ke-j] diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i [kolom ke-j] diganti dengan suku yang kedua. = + = +
[kolom] ditambah dengan kelipatan baris [kolom] yang lain. 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris [kolom] ditambah dengan kelipatan baris [kolom] yang lain. = 11 Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris [kolom], sebelum menghitung nilai determinan 5/1/2018 Jika k2 + 3k1 = 11 = 11 Jika b1 b2 9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk [hasil kali] elemen-elemen diagonalnya. = [3][-1][5] = - 15 = [-3][-2][4][1] = 24
Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b3 2 b1 b2 + 3b1 b3 + 3 b2 5/1/2018 = [1][-1][3] = - 3 Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9
Submatriks / matriks bagian : Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks 5/1/2018 A = Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks : Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks : dan sebagainya.
5. APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI Persamaan Garis Lurus yang Melewati Dua Titik
Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik