Apa itu turunan? Apa hubungannya dengan ilustrasi menampi padi di atas? Turunan dapat diilustrasikan dengan biji padi yang digiling menjadi beras, sehingga beras merupakan turunan dari padi.
Sebelum mempelajari mengenai turunan, Sobat Pintar sudah pernah mempelajari tentang limit, bukan? Nah, materi turunan merupakan materi lanjutan dari limit dan berhubungan dengan kemiringan [gradien] garis lurus.
Turunan merupakan cabang dari ilmu kalkulus. Turunan didefinisikan sebagai suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan pada variabelnya. Turunan disebut juga dengan diferensial. Proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.
Menarik, bukan? Yuk, kita bahas konsep dan cara penyelesaian dari turunan suatu fungsi.
Konsep Turunan
Turunan dari suatu fungsi dapat didefinisikan:
Dengan syarat, f[x] memiliki nilai limit.
Turunan dapat dinotasikan dengan :
Penyelesaian turunan yang menggunakan definisi limit kurang efektif dalam menyelesaikan suatu fungsi berpangkat. Oleh karenanya, fungsi berpangkat dapat diselesaikan dengan turunan fungsi aljabar.
Turunan Fungsi Aljabar
Turunan fungsi aljabar diperoleh dengan menggunakan rumus-rumus berikut ini.
1. Turunan Konstanta
Bilangan konstanta jika diturunkan, maka hasilnya adalah nol. Secara matematis dapat dituliskan:
2. Turunan Fungsi Eksponen [Bilangan Berpangkat]
Turunan dari fungsi eksponen terbagi menjadi beberapa bagian, diantaranya:
3. Penjumlahan dan Pengurangan Turunan Fungsi
Turunan dari dua fungsi yang saling dijumlahkan dan dikurangi dapat dirumuskan sebagai berikut:
4. Perkalian Turunan Fungsi
Perkalian turunan fungsi terbagi menjadi dua macam, yaitu perkalian fungsi dengan bilangan skalar dan perkalian dua fungsi.
Turunan dari perkalian fungsi dengan bilangan skalar dapat dirumuskan:
Berbeda dengan turunan penjumlahan dan pengurangan dua fungsi, turunan dari perkalian dua fungsi harus mencari turunan dari masing-masing fungsi yang kemudian disubstitusikan pada rumus:
5. Pembagian Turunan Fungsi
Hampir sama dengan perkalian, turunan dari pembagian dua fungsi harus menurunkan masing-masing fungsi. Kemudian, substitusikan pada rumus turunan pembagian sebagai berikut:
6. Turunan Fungsi Aturan Rantai
Aturan rantai pada turunan suatu fungsi merupakan turunan yang dilakukan berturut-turut pada suatu fungsi. Aturan rantai secara matematis dituliskan sebagai berikut:
Misalkan u adalah fungsi dalam x dan y, dimana u terdiferensialkan, sehingga:
Aplikasi Turunan
Setelah mempelajari tentang rumus-rumus turunan, Sobat Pintar juga perlu mempelajari mengenai penerapan turunan. Ternyata turunan juga bisa diterapkan dalam materi yang lain. Beberapa penerapan turunan fungsi, yaitu :
1. Gradien Persamaan Garis Singgung
Salah satu cara untuk membuat sebuah persamaan garis singgung adalah dengan menggunakan gradien atau kemiringan dari garis tersebut. Gradien suatu fungsi f[x] yang melalui titik A [a,f[a]] dapat ditentukan dengan menggunakan turunan dengan rumus: m = f’[a].
2. Kemonotonan Fungsi
Aplikasi turunan yang lainnya adalah menentukan kemonotonan suatu fungsi. Maksudnya, Sobat pintar dapat mengetahui suatu fungsi naik atau turun pada interval tertentu.
3. Titik Stasioner
Titik stasioner disebut juga titik kritis, titik ekstrim, atau titik balik. Titik stasioner merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva bernilai 0 [nol].
Jika fungsi f[x] kontinu dan terdiferensial, maka f[a] dikatakan NILAI STASIONER dari f[x] jika dan hanya jika f’[a]=0.
4. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Sebelum menentukan nilai maksimum dan minimum, Sobat Pintar harus tahu cara menentukan titik maksimum dan minimum terlebih dahulu.
Titik maksimum atau minimum suatu fungsi f[x] pada interval [a,b] dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
1]. Penuhi syarat nilai stasioner, yaitu f’[a] = 0 dan f’[b] = 0
2]. Tentukan jenis stasionernya [titik maksimum, titik belok, atau titik minimum] dengan menggunakan turunan kedua fungsi tersebut, yaitu:
- Jika f’’[a] < 0 maka f[a] adalah nilai balik maksimum fungsi f
- Jika f’’[a] > 0 maka f[a] adalah nilai balik minimum fungsi f
- Jika f’’[a] = 0 maka f[a] bukan nilai ekstrim fungsi f
3]. Substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal, sehingga diperoleh nilai maksimum atau minimumnya.
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada setiap titik di interval [a,b] dapat terjadi pada:
- Titik stasioner yang berada pada interval [a,b]
- Titik ujung interval
Dalam menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut:
1]. Menentukan titik stasioner pada fungsi f[x] yang berada pada interval [a,b]
2]. Menentukan nilai fungsi pada ujung interval, yaitu f[a] dan f[b]
3]. Membandingkan nilai fungsi pada langkah 1 dan 2. Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil adalah nilai minimum
5. Kecepatan dan Percepatan Benda
Wah, nggak nyangka ya, ternyata turunan juga digunakan dalam rumus Fisika yang sering kita jumpai, yaitu kecepatan dan percepatan.
Jika diketahui sebuah benda bergerak menempuh jarak s = f[t], maka kecepatan dan percepatan benda tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
- Kecepatan benda saat t detik [turunan pertama]. Rumus turunan pertama yaitu:
- Percepatan benda saat t detik [turunan kedua]. Rumusnya ialah:
Nah, setelah mengikuti pembahasan mengenai turunan, Sobat Pintar dapat mengerjakan latihan soal-soal turunan pada aplikasi Aku Pintar. Jadi, jangan lupa download aplikasi Aku Pintar di Play Store atau App Store untuk mempelajari materi lengkap mengenai turunan, ya!
Writer: Sophia Maulidatul Adha
Editor: Deni Purbowati
Liputan6.com, Jakarta Turunan fungsi aljabar sering kita temui pada pembelajaran Sekolah Menengah Atas atau SMA muapun SMK. Turunan sebenarnya adalah bentuk sebuah fungsi ngalamin perubahan akibat perubahan nilai masukan. Kalo kamu bingung, sederhananya turunan memiliki sub fungsi lainnya, jika sub fungsi ini berubah, maka fungsinya juga bakalan berubah.
Sedangkan, definisi turunan fungsi [ diferensial ] adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan. Sementara, pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi.
Secara umum, turunan fungsi memiliki definisi yaitu pengukuruan di mana hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang kita masukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi.
Berikut ini penjelasan mengenai definisi turunan fungsi aljabar, rumus, dan pengaplikasiannya yang telah dirangkum oleh Liputan6.com dari berbagai sumber, Selasa [2/11/2021].
Scroll down untuk melanjutkan membaca
Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
Turunan fungsi aljabar merupakan fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, sebagai contoh fungsi f menjadi f' yang memiliki nilai tidak beraturan. Fungsi dari turunan sendiri yang sering kita ketahui merupakan menghitung garis singgung pada suatu kurva atau fungsi dan kecepatan.
Scroll down untuk melanjutkan membaca
Berikut ini rumus turunan fungsi aljabar yang dapat Anda ketahui, di antaranya:
Perbesar
Rumus turunan fungsi aljabar
Scroll down untuk melanjutkan membaca
Perbesar
Ilustrasi pelajaran Matematika [Dok.Unsplash/ Antoine Dautry]
Berikut ini pengaplikasian turunan fungsi aljabar, yaitu:
1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva
Gradien garis singgung [m] pada suatu kurva y = f[x] dirumuskan sebagai: M = y’ = f’[x]
2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun
a. Syarat interval fungsi naik : f'[x] > 0
b. Syarat interval fungsi turun : f'[x] < 0
3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya
Jika fungsi y = f[x] kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'[x] = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f[x] dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.
a. Nilai maksimum : f'[x] = 0 dan f"[x] < 0
Jika f'[x1] = 0 dan f'[x1] < 0, maka f'[x1] adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f[x] dan titik [x1f[x]] adalah titik balik maksimum dari kurva y = f[x].
b. Nilai minimum : f'[x] = 0 dan f"[x] > 0
Jika f'[x1] = 0 dan f'[x1] > 0 , maka f[x1] adalah nilai balik minimum dari fungsi y = f[x] dan titik [x1f[x]] adalah titik balik minimum dari kurva y = f[x].
c. Nilai belok : f'[x] = 0 dan f"[x] = 0
Jika f'[x1] = 0 dan f''[x1 = 0], maka f[x1] adalah nilai belok dari fungsi y = f[x] dan titik [x1f[x]] adalah titik belok dari kurva y = f[x].
4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu
Jika limit merupakan limit berbentuk tak tentu 0/0, maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f[x] dan g[x] pada masing-masing turunan. Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f[x] dan g[x] diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu.
Scroll down untuk melanjutkan membaca
Tentukan turunan pertama fungsi berikut ini:
1. f[x] = 2
2. f[x] = 3x
Pembahasannya:
1. Fungsi f[x] = 2 merupakan fungsi konstan. Oleh karena itu, grafiknya berupa garis yang sejajar dengan sumbu x di titik x = 2. Jadi, garisnya berbentuk datar. Nah, karena grafik fungsinya datar, otomatis garis singgung fungsi tersebut juga ikut datar. Alhasil, garis singgung fungsi f[x] = 2 tidak punya kemiringan [nilai gradiennya = 0]. Berarti, turunan pertama fungsi f[x] = 2 adalah nol. Coba kita buktikan menggunakan rumus turunan di atas. Karena dia fungsi konstan, maka f[x + h] = f[x], yaitu 2. Sehingga,
Perbesar
Soal pembahasan dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar
Jawabannya sama dengan analisis sebelumnya. Dengan begitu, bisa dipastikan, jika f[x] = C [fungsi konstan], maka f’[x] = 0.
2. f[x] = 3x merupakan fungsi linear, maka grafiknya berupa garis lurus, tapi tidak sejajar dengan sumbu x maupun y. Sama seperti poin pertama, garis singgung fungsi tersebut akan mengikuti bentuk grafik fungsinya. Oleh karena itu, gradien garis singgung fungsi tersebut juga akan sama dengan gradien grafik fungsinya. Anda masih ingat dengan bentuk persamaan y = mx + c?
Artinya, gradien suatu persamaan linear adalah koefisien dari variabel x itu sendiri, yaitu m. Nah, f[x] = 3x ini kan merupakan persamaan linear. Berarti, gradien garisnya adalah koefisien x, yaitu 3. Berarti, gradien garis singgungnya juga 3. Jadi, turunan pertama fungsi f[x] = 3x adalah 3. Coba ya kita buktikan lagi menggunakan rumus turunannya. f[x] = 3x, maka f[x + h] = 3[x + h]. Sehingga,
Perbesar
Soal pembahasan dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar
Lanjutkan Membaca ↓