Beberapa transformasi berikut yang termasuk isometri atau bentuk dan ukuran tetap adalah

Jakarta -

Transformasi gemoetri adalah suatu proses perubahan bentuk dan letak suatu bangun gemotri dari posisi awal ke posisi lainya. Hal tersebut dinotasikan dengan posisi awal [x , y] menuju ke posisi lain [x' , y'].

Dalam matematika, geometri merupakan ilmu yang menerangkan mengenai sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang. Sedangkan, transformasi dapat diartikan sebagai perubahan rupa.

Transformasi majemuk yang memuat lebih dari satu transformasi yang dilakukan secara berurutan disebut dengan komposisi transformasi.

Dalam kehidupan sehari-hari, prinsip transformasi geometri sering digunakan dalam pembuatan bidang seni dan arsitektur. Misalnya pola batik, anyaman bambu, mosaik [hiasan dinding].

Transformasi geometri terbagi menjadi empat jenis, diantaranya adalah translisi, rotasi, refleksi, dan dilatasi.

Untuk lebih jelasnya, mari kita ketahui penjelasan menganai jenis-jenis transformasi geometri di bawah ini, yang telah dirangkum dari modul Matematika Kemdikbud karyaIstiqomah, S.Pd, dan modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Matematika oleh Al Krismanto, dkk.

Translasi [Pergeseran]

Translasi dalam geometri terjadi jika setiap titik pada bidang datar, berpindah melalui jarak dan arah tertentu. Sehingga, menyebabkan setiap bangun yang terletak pada bidang tersebut, juga akan digeser dengan jarak dan arah tertentu.

Jadi, translasi itu yang berubah hanya posisi saja, bentuk dan ukuran bidangnya masih tetap sama.

Titik 𝐴 [x, y] ditranslasikan oleh 𝑇 [ a b ], menghasilkan bayangan 𝐴′ [x ′ , y ′ ] yang ditulis dengan [ x′ y′ ] = [ x y ] + [ a b ].

Rumus translasi: [x′ y′ ] = [ x y ] + [ a b].

Ketarangan:[x, y] = titik asal[x′ y′ ] = titik bayangan

[a b] = vektor translasi

Rotasi [Perputaran]

Rotasi atau perputaran adalah sebuah perputaran pada bidang datar yang ditentukan oleh sebuah titik pusat rotasi, arah rotasi, dan besar sudut rotasi.

Detikers, apakah kalian pernah bermain gangsing yang berbentuk lingkaran? gangsi yang dimainkan tentu akan dapat diputar serah jarum jam, ataupun berlawanan arah jarum jam dengan pusat tertentu. Dalam matematika, proses memutar gangsing itu termasuk ke dalam peistiwa rotasi.

Rotasi dinotasikan dengan R [P,a] dimana P = pusat rotasi, dan a = besar sudut rotasi. Sudut rotasi berada di antara garis yang menghubungkan titik asal, dengan pusat rotasi sehingga menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.

Arah putaran searah dengan putar jarum jam, disepakati sebagai arah negatif [-a], sedangkan arah putar jarum jam yang berlawanan adalah arah putar positif [a].

Rumus rotasi:Sudut putar 90°, maka x′ = - y dan y′ = x , maka [-y, x]Sudut putar - 90° atau 270°, jika pusat putar [0, 0], x′ = y dan y′ = - x, maka [y, -x]Sudut putar 180° dengan pusat putar [0, 0], x′ = - x dan y′ = - , maka[-x, -y]Sudut putar 90° dengan pusat putar [a, b]: [x, y], maka [-y + a + b, x- a + b].Sudut putar 180° dengan pusat putar [a, b]: [x, y], maka [-x +2a, -y +2b].

Sudut putar - 90° dengan pusat putar [a, b]: [x, y], maka [y - b +a, -x +a + b].

Refleksi [Pencerminan]

Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang memindahkan titik bidang lewat sifat bayangan suatu cermin. Perubahanya akan ditentukan dengan jarak dari titik, asal ke cermin yang sama dengan jarak cermin ke titik bayangan.

Pencerminan bersifat isometris artinya berukuran tetap atau sama. Bangun hasil [bayangan] kongruen dengan bangun asalnya.

Garisnya akan menghubungkan titik asal dengan titik bayangan yang tegak lurus terhadap cermin. Sehingga, garis-garis yang terbentuk akan saling sejajar.

Rumus refleksi:Refleksi sumbu - x: [x, y], maka [x, -y]Refleksi sumbu - y: [x, y], maka [-x, y]Refleksi garis y = x: [x, y], maka [y, x]Refleksi garis y = x: [x, y], maka [-y, -x]Refleksi garis x = h: [x, y], maka [2h -x, y]

Refleksi garis y = k: [x, y], maka [x, 2k - y]

Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi similaritas [kesebangunan], yang mengubah jarak titik-titik, dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu yang tidak mengubah arahnya, melaikan mengubah ukuranya [diperbesar atau diperkecil].

Dalam kehidupan sehari-hari, dilatasi bisa kita temukan pada saat ingin mencetak pas foto, yang bisa diperbesar atau diperkecil dengan berbagai ukuran seperti 2 × 3, 3 × 4 ataupun 4 × 6.

Pusat dilatasi adalah faktor skala atau titik tertentu dilatasi. Dilatasi dinotasikan dengan D [P, k] dimana P= pusat dilatasi, dan k = faktor skala.

Semua garis melalui pusat dilatasi invarian terhadap sebarang dilatasi adalah [k≠0]. Jika, |k | > 1, bangun hasil diperbesar dari ukuran semula, dan jika | k | < 1 bangun hasilnya akan diperkecil.

Berdasarkan koordinat titik asal A [x, y], akan didilatasikan dengan faktor skala k terhadap pusat [0, 0], dan pusat [a, b].

Rumus dilatasi:Dilatasi titik pusat [0,0], dan faktor skala k: [x, y], maka [kx, ky].

Dilatasi titik pusat [0,0] dan faktor skala k: [x, y], maka kx = k [x - a] + a, k [y - b] + b.

Nah, itu tadi penjelasan mengenai transformasi geometris, lengkap dengan jenis-jenis dan rumusnya. Detikers, sekarang udah lebih paham kan? Selamat belajar!

Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"

[lus/lus]

Transformasi Geometri : Pengertian, Jenis, Rumus dan Contoh Soal – Apakah itu yang di maksud dengan Transformasi Geometri ?Pada kesempatan kali ini Seputarpengetahuan.co.id akan membahas tentang Transformasi Geometri dan hal-hal yang melingkupinya. Mari kita simak pembahasannya pada artikel di bawah ini untuk lebih dapat memahaminya.

Transformasi geometri adalah perubahan posisi dari posisi awal ke posisi yang lainnya.Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri.

Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.Macam-macam transformasi geometri  yaitu translasi [pergeseran], refleksi [pencerminan], rotasi [perputaran], dan dilatasi [perkalian].

Contoh penerapan transformasi geometri dapat kita lihat saat melakukan aktivitas yang melibatkan perubahan posisi seperti berjalan, berlari, melompat, dan pergerakan lainnya yang melibatkan perubahan posisi.

Dalam transformasi geometri juga dikenal dengan pencerminan. Contoh penerapan pencerminan misalnya pada saat kita bercermin, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak cermin dengan bayangan.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri dan Rumusnya

Beberapa konsep dan rumus yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini antara llain mengenai translasi [pergeseran], refleksi [pencerminan], rotasi [perputaran], dan dilatasi [perkalian].

Translasi merupakan perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Jadi yang berpindah hanya posisi awalnya saja, sedangkan ukuran dan bentuknya tetap.

Misalkan terdapat suatu objek dengan posisi awal [x, y] dan dilakukan translasi [a, b].

Dari gambar diketahui bahwa translasi hanya dapat berubah posisinya saja. Ukuran akan tetap sama.

Adapun rumus dari translasi, yaitu:

[x’ , y’] = [a , b] + [x , y]

Keterangan:

• [x’ , y’] = titik bayangan
• [a , b] = vektor translasi
• [x , y] = titik asal

Maka posisi akhir objek setelah translasi yaitu

Konsep pencerminan ini sama dengan ketika kita bercermin. Jaran antara benda dengan cermin akan sama dengan jarak bayangan dengan cermin. Dalam koordinat kartesius terdapat beberapa jenijs pencerminan yaitu sebagai berikut.

• • Pencerminan terhadap titik O[0,0]

Pencerminan suatu titik yang dicermikan terhadap titik O[0, 0] memiliki matriks transformasi

. Sehingga rumus bayangan hasil refleksi suatu titik [x, y] terhadap titik O[0, 0] yaitu

• • Pencerminan terhadap sumbu-x

Pencerminan suatu titik yang dicerminakn terhadap sumbu-x memiliki matriks transformasi

. Sehingga bayangan terhadap suatu titik [x, y] dengan pencerminan terhadap sumbu-x yaitu

• • Pencerminan terhadap sumbu-y

Pencerminan terhadap sumbu-y memiliki matriks transformasi

. Sehingga hasil refleksi [pencerminan] suatu titik [x, y] dengan sumbu refleksi adalah sumbu-y adalah

• • Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks transformasi untuk refleksi suatu titik terhadap garis y =  x yaitu

. Sehingga bayangan hasil refleksi [pencerminan] dari titik [x, y] terhadap garis y = x adalah

• • Pencerminan terhadap garis y = -x

Adapun matriks transformasi dari refleksi terhadap garis y = -x adalah

. Sehingga untuk menentukan bayangan [hasil refleksi] terhadap garis y = -x dapat diperoleh dengan

Jadi Rumus Umum Refleksi adalah :

• • Pencerminan terhadap sumbu -x : [x,y] → [x, -y]
  • Pencerminan terhadap sumbu -y : [x,y] → [-x, y]
  • Pencerminan terhadap garis y = x : [x,y] → [y,x]
  • Pencerminan terhadap garis y = x : [x,y] → [-y, -x]
  • Pencerminan terhadap garis x = h : [x,y] → [2h -x,y]
  • Pencerminan terhadap garis y = k : [x,y] → [x, 2k – y]

Pada transformasi geometri berupa perputaran, unsur yang harus ada dalam rotasi adalah pusat rotasi dan besar sudut rotasi.

Secara umum, untuk suatu titik [x, y] jika dirotasi dengan pusat rotasi [p, q] dan sudut rotasi α, maka hasil rotasi [bayangan] dapat ditentukan dengan rumus berikut

Prinsip yang digunakan sama dengan rotasi dalam transformasi geometri, dimana memutar pada sudut serta titik pusat tertentu yang mempunyai jarak sama dengan setiap titik yang diputar.

Adapun rumus yang digunakan dalam rotasi transformasi geometri, antara lain:

• • Rotasi sebesar 90° dengan pusat [a,b] : [x,y] → [-y + a+b, x -a + b]
  • Rotasi sebesar 180° dengan pusat [a,b] : [x,y] → [-x + 2a+b, -y + 2b]
  • Rotasi sebesar -90° dengan pusat [a,b] : [x,y] → [y – b + a, -x + a + b]
  • Rotasi sebesar 90° dengan pusat [0,0] : [x,y] → [-y, x]
  • Rotasi sebesar 180° dengan pusat [0,0] : [x,y] → [-x, -y]
  • Rotasi sebesar -90° dengan pusat [0,0] : [x,y] → [y, -x]

Memperoleh hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dulu akan sangat tidak efektif.

Maka dari itu kita harus menggunakan metode lain yang bisa digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi. Solusinya adalah dengan cara memakai rumus transformasi geometri untuk rotasi.

Dilatasi bisa dipahami sebagai bentuk pembesaran atau pengecilan dari titik-titik yang membentuk sebuah bangun.Pada dilatasi, objek mengalami perpindahan dan perubahan ukuran. Perubahan ukuran didasarkan pada nilai faktor dilatasi. Misalkan faktor dilatasi disimbolkan dengan k, maka

• • Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
  • Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkeci dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika -1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = -1 maka benda tidak berubah ukuran tetapi arah benda berlawanan dengan arah semual.
  • Sedangkan jika k < -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan dengan arah bangun semula.

Secara umum, suatu objek yang terletak pada [x, y] yang didilatasi dengan faktor dilatasi k dan pusat dilatasi [p, q] adalah

Bayangan dari titik B[9, -2] jika ditranslasikan oleh T[a, b] adalah B'[-4, 3]. Nilai dari 2a + b adalah ….

Jawab

B'[9 + a, -2 + b] = B'[-4, 3]

9 + a = -4 ⇒ a = -4 – 9 = -13
-2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5

Jadi nilai 2a + b adalah

= 2[-13] + 5

= -26 + 5

= -21

Bayangan dari titik C oleh translasi T[-1, -4] adalah C'[4, -1]. Koordinat dari titik C adalah …

Jawab

C'[x – 1, y – 4] = C'[4, -1]

x – 1 = 4 ⇒ x = 4 + 1 = 5
y – 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3

Jadi koordinat titik C adalah C[5, 3]

Bayangan dari y = x² + 2x – 1 jika ditranslasi [2, -1] adalah …

Jawab

[x + 2, y – 1] = [x’, y’]

x + 2 = x’ ⇒ x = x’ – 2
y – 1 = y’ ⇒ y = y’ + 1

Substitusikan ke

y = x² + 2x – 1

[y’ + 1] = [x’ – 2]² + 2[x’ – 2] – 1

y’ + 1 = x’² – 4x’ + 4 + 2x’ – 4 – 1

y’ = x’² – 2x’ – 2

Jadi bayangan dari y = x² + 2x – 1 adalah y = x² – 2x – 2

Bayangan dari titik E[-6, 7] jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah …

Jawab

E'[-x, y]

= E'[-[-6], 7]

= E'[6, 7]

Bayangan dari titik F[3, 8] jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah …

Jawab

F'[x, 2b – y]

= F'[3, 2[3] – 8]

= F'[3, 6 – 8]

= F'[3, -2]

Bayangan dari kurva y = x² – 5 jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah …

Jawab

[x, -y] = [x’, y’]

x = x’
-y = y’ ⇒ y = -y’

Substitusikan ke

y = x² – 5

-y’ = x’² – 5

y’ = 5 – x’²

Jadi bayangan dari y = x² – 5 adalah y = 5 – x²

Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah …

Jawab

[2a – x, y] = [x’, y’]

[2[4] – x, y] = [x’, y’]

[8 – x, y] = [x’, y’]

8 – x = x’ ⇒ x = 8 – x’
y = y’

Substitusikan ke

y = 3x + 7

y’ = 3[8 – x’] + 7

y’ = 24 – 3x’ + 7

y’ = 31 – 3x’

Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 – 3x

Demikianlah ulasan dari Seputarpengetahuan.co.id tentang Transformasi Geometri , semoga dapat menambah wawasan dan pengetahuan kalian. Terimakasih telah berkunjung dan jangan lupa untuk membaca artikel lainnya