A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \[\sqrt[n]{a}\ =\ b\]. Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\[\sqrt[n]{a}\ =\ b\]
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
-
√: radical.
-
n: índice.
-
a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\[\sqrt[2]{a}=\sqrt a\]
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\[\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\]
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\[\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\]
Exemplo 2:
\[\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\]
Exemplo 3:
\[\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\]
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\[\sqrt[n]{a^n}=a\]
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\[\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\]
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\[\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\]
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\[\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\]
\[\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\]
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\]
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\[\left[\sqrt[n]{a}\right]^b=\sqrt[n]{a^b}\]
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\[\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\]
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \[\sqrt{392}\]:
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \[2^2\cdot2\cdot7^2\]
Assim, temos que:
\[\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\]
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\[\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\]
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\[\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\]
Então, temos que:
\[\sqrt{392}=14\sqrt2\]
Logo, \[14\sqrt2\] é a forma simplificada da \[\sqrt{392}\].
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\[4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\]
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\[5\sqrt3-2\sqrt2\]
\[5\cdot1,7-2\cdot1,4\]
\[8,5-2,8\]
\[5,7\]
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\[\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\]
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\[\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\]
Para igualar os índices, temos que:
\[\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\]
\[\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\]
\[\sqrt[6]{256∶8}\]
\[\sqrt[6]{32}\]
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
[Fauel] O número \[\sqrt[3]{2160}\] pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A] 50
B] \[ 6\sqrt[3]{10}\]
C] \[ 10\sqrt[3]{6}\]
D] 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \[2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\]
Logo:
\[\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\]
\[\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\]
\[\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\]
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A] 26
B] 24
C] 16
D] 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \[2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\].
Portanto:
\[\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\]
\[\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\]
\[\sqrt[3]{4096}=16\]
A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?
Radiciação
Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.
A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.
Elementos da radiciação
A operação é representada por:
n→ índice
a→ radicando
b→ raiz
Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.
Calculando a raiz quadrada
O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.
Tipos de raiz quadrada
Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.
Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.
Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.
Calcule a raiz quadrada de 3600.
Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.
Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.
Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.
Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.
Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.
Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.
6,1² = 37,21
6,2²= 38,44
6,3²=39,69
6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.
Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.
Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².
Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.
O lado do quadrado é de 13 metros.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?
A] 8,1
B] 8,2
C] 8,3
D] 8,4
E] 8,5
Resolução
Alternativa D.
Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:
8,1²= 65,61
8,2²= 67,24
8,3²= 68,89
8,4²= 70,56
8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.
Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?
Resolução
Alternativa C.
a] Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.
b] Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.
c] Não possui raiz exata
d] Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.
e] Possui raiz exata igual a 1.