Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática.
Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”.
\[\sqrt[2]{n}=a\] , com “n” e “a” \[\geq n=a^{2}\]
Na raiz acima, temos o radical \[\sqrt{ }\], o índice do radical [que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2] e o radicando [número “n”].
Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2.
Vamos ver alguns exemplos:
- \[\sqrt{4}=2\]
- \[\sqrt{9}=3\]
- \[\sqrt{16}=4\]
- \[\sqrt{25}=5\]
- \[\sqrt{36}=6\]
- \[\sqrt{49}=7\]
- \[\sqrt{64}=8\]
- \[\sqrt{81}=9\]
- \[\sqrt{100}=10\]
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \[[-2]^{2}=4\] e \[[-3]^{2}=9\], eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada.
Neste sentido, a expressão \[\sqrt{25}=\pm 5\], por exemplo, está errada! O correto seria \[\sqrt{25}=5\]. Note que esta situação é diferente de \[x^{2}=25\], pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.
A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona!
Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação!
A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação:
\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\]
Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes:
\[\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\]
Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.
Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz:
\[\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\]
Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo [não se preocupe, é bem fácil!].
\[\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\]
Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência [neste caso, o 2] e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência [neste caso, o “p”].
Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil [como é o caso das raízes \[\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\] por exemplo]. Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios.
Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é:
1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \[\sqrt{400}\].
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:
Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \[\sqrt{10}\].
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento.
As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau [com Bhaskara] até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes.
Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Exercício de fixação
UEMA
O valor da raiz quadrada \[\sqrt[2]{0,444...}\] é:
A raiz quadrada de um número é uma expressão algébrica positiva representada pelo símbolo ' √ ' e é escrita como √x ou x ½ . A raiz quadrada de 2 é um número irracional representado como √2 ou 2 ½ . É quando multiplicado por si mesmo, resultará no número 2. O valor desta expressão, ou seja, √2 é 1,414 ... Seu valor não pode ser determinado exatamente porque não pode ser representado como uma fração, ou seja, na forma de a / b onde aeb são números inteiros e tem um número infinito de decimais.
O valor da raiz quadrada de 2 é amplamente usado em matemática como 1,414 porque contém um número infinito de decimais. Portanto, para facilitar os cálculos matemáticos, usamos apenas 3 dígitos após as casas decimais. Às vezes, 99/70 também é usado como um valor para Raiz quadrada de 2.
Computing Square Roots
A raiz quadrada de um número é o valor que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no número tomado como entrada. Para calcular a raiz quadrada, primeiro precisamos verificar se o número é um quadrado perfeito . Os quadrados perfeitos são os números, cujas raízes são números inteiros. Por exemplo, 4, 9, 25, 36, 49, etc. É mais fácil calcular a raiz quadrada de um número quadrado perfeito em comparação com um número quadrado não perfeito. Para calcular a raiz de um número não perfeito, precisamos aplicar a fórmula do método de divisão longa.
Como realizar o Método de Divisão Longa?
Para calcular a raiz quadrada de um número usando o método de divisão longa, siga as etapas abaixo:
Etapa 1: primeiro, precisamos dividir o número em grupos de dois, começando da direita para a esquerda.
Por exemplo: para calcular o valor de √132496, dividimos os dígitos em grupos como 13, 24 e 96.
Passo 2: Agora precisamos encontrar o número mais alto que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em um número menor ou igual ao primeiro par de dígitos.
Aqui, precisamos de um número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no produto ≤ 13. Portanto, o maior número que pode ser selecionado é 3.
Etapa 3: agora calcule o restante e escreva o próximo par de dígitos próximo ao restante. Isso se tornará nosso dividendo para a próxima etapa.
Passo 4: Para criar o divisor, primeiro multiplicaremos o quociente por 2 e escreveremos o produto como o dígito da casa das dezenas do divisor. Para o local da unidade, realizaremos novamente a Etapa 2.
Etapa 5: Agora execute a Etapa 3 e a Etapa 4 novamente e, em seguida, repita a Etapa 2 para criar o divisor. Continue o mesmo até que o restante se torne zero.
O quociente formado será a raiz quadrada do número.
Como encontrar a raiz quadrada de 2?
É sempre mais fácil calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos, mas para calcular a raiz quadrada de um quadrado não perfeito, precisamos executar o método de divisão longa. Para calcular a raiz quadrada de 2, precisamos seguir as etapas abaixo:
Etapa 1: escreva 2 como 2.000000 para facilitar a divisão
Passo 2: Agora procure o quadrado perfeito menor que 2, ou seja, 1 e divida o número com ele.
Passo 3: Agora, o quociente e o resto são 1. Colocaremos um decimal no quociente e baixaremos o par de zeros para posterior divisão.
Passo 4: Agora some o quociente com o divisor existente, ele se tornará o dígito na casa das dezenas para o próximo divisor.
Etapa 5: para a casa das unidades, precisamos encontrar um valor que pode ser colocado na casa da unidade do quociente e do divisor de forma que o novo divisor, quando multiplicado pelo dígito da unidade do quociente, resulte no maior número menor que o restante.
Agora. abaixe o próximo par de zeros e repita os passos 4 e 5. Isso pode ser feito para infinitos passos, pois o valor exato da raiz quadrada de 2 sobe para infinitas casas decimais. Podemos calcular o resultado com até 4 casas decimais, pois isso pode ser usado para aprox. valor da raiz quadrada.