Como saber o grau de um polinômio?

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

a0 xn  +  a1 xn – 1 +  a2 xn -2  + ... +  an – 1 x + an

A função polinomial será definida por:

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an

Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n 

N.

• Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.

Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando x = 2 será P(2) = 60.

• Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando

x = b. Exemplo:

P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x2 - 1 = 0

x2 = 1 x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.

• Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x3 - x2 + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

Os polinômios são expressões matemáticas que formam as funções polinomiais. Eles são formados a partir da seguinte característica:

Observe que os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2, ... , a2, a1, a0) pertencentes ao conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau, observe:

p(x) = 2x + 7 → grau 1

p(x) = 3x2 + 4x + 12 → grau 2

p(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 81 → grau 3

p(x) = 10x4 – 3x³ + 2x² + x – 10 → grau 4

p(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 1 → grau 5

As expressões polinomiais possuem valores numéricos. Para esse modelo de cálculo, basta substituir a incógnita x por um número real. Observe: Vamos calcular o valor numérico do polinômio p(x) = 2x³ + 5x² – 6x – 10, para x = 3 ou p(3):

p(3) = 2 * (3)³ + 5 * (3)² – 6 * 3 – 10 p(3) = 2 * 27 + 5 * 9 – 18 + 11 p(3) = 54 + 45 – 18 + 11

p(3) = 92

Temos que p(3) = 92 Veja outro exemplo envolvendo o polinômio p(x) = 2x² – 15x + 3, para x = 9 ou p(9):

p(9) = 2 * 9² – 15 * 9 + 3 p(9) = 2 * 81 – 135 + 3 p(9) = 162 – 135 + 3

p(9) = 30

Portanto p(9) = 30 Ao calcularmos o valor numérico de um polinômio e encontrarmos como resultado zero, dizemos que o número trocado por x na expressão é a raiz do polinômio. Por exemplo, na expressão p(x) = x² – 6x + 8, temos que o número real 2 é considerado raiz do polinômio, pois:

p(x) = x² – 6x + 8 p(2) = 2² – 6 * 2 + 8 p(2) = 4 – 12 + 8

p(2) = 0

Na expressão p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, verifique se o número real 2 é raiz do polinômio.

p(2) = –(2)² + 5 * 2 – 6 p(2) = –4 + 10 – 6 p(2) = –4 + 10 – 6 p(2) = – 10 + 10

p(2) = 0

Ao verificar p(2) = 0 no polinômio p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, concluímos que o número 2 é considerado sua raiz. Observando mais um exemplo, vamos verificar se no polinômio p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3) a condição p(3) = 0.

p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3) p(x) = 4 – (x² – 10x + 25) – 2 * (x² + 3x – 3x – 9) p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2 * (x² – 9) p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2x² + 18 p(x) = –3x² + 10x – 3 p(3) = –3 * 3² + 10 * 3 – 3 p(3) = –3 * 9 + 30 – 3 p(3) = –27 + 30 – 3 p(3) = – 30 + 30

p(3) = 0

A condição de p(3) = 0 é verificada corretamente para o polinômio p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3). Dessa forma, temos que o número 3 é raiz do polinômio especificado.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Termos semelhantes Para que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.

Veja o exemplo de polinômios com termos semelhantes:

2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.

2x2 e – 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.

– 5x e 7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.

+3 e – 3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais. Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro.

2x2 – 3x2 – 5x + 7x + 3 – 3

       ↓                  ↓             ↓

      - x2     +        2x +        0

- x2 + 2x

O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.

Grau de um polinômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau. Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior.

5x4 + 3x2 – 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x4, então o polinômio será do 4º grau.

x2 + 4x – x2 + 10, possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará

4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau.

Publicado por Danielle de Miranda

Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio. O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3.

Como reduzir o grau de uma equação?

Se a > 0, a concavidade da parábola será para cima; se a < 0, a concavidade da parábola será para baixo, sendo o delta (Δ) > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas. Com Δ = 0 a equação tem apenas uma raiz e Δ < 0 a função não tem raiz real.

Como resolver o dispositivo de Briot-Ruffini?

Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a raiz de Q(x) à esquerda e os coeficientes de P(x) à direita, além de reescrever o primeiro coeficiente na linha de baixo. Esse número será multiplicado por u e somado com o segundo coeficiente.

Como reduzir um polinômio de grau 3?

Encontre um fator que iguale o polinômio com zero.

1. Vamos começar usando nosso primeiro fator, 1. Vamos substituir o "1" por cada "x" na equação: (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
2. Isso nos dá: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
3. Já que 0 = 0 é verdadeiro, sabemos que x = 1 é uma solução.

Como reduzir um Polinomio de grau 3?

Encontre um fator que iguale o polinômio com zero.

1. Vamos começar usando nosso primeiro fator, 1. Vamos substituir o "1" por cada "x" na equação: (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
2. Isso nos dá: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
3. Já que 0 = 0 é verdadeiro, sabemos que x = 1 é uma solução.

Qual a função de um polinômio?

• Fatoração de Polinômios 1 Fator Comum em Evidência. 2 Agrupamento. 3 Trinômio Quadrado Perfeito (Adição). 4 Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença). 5 Diferença de Dois Quadrados. 6 Cubo Perfeito (Adição). 7 Cubo Perfeito (Diferença). O perímetro da figura é encontrado somando-se todos os lados. A área do retângulo é... More ...

Qual é o polinômio encontrado?

• O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante. 9x 5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau. 8x 2 y 4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

Como fazer a fatoração de polinômios?

• Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes. Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y) x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = x 3 + 3 . x 2 . 2 + 3 .

Quais são os termos semelhantes no polinômio?

• Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro. O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.