Bagi Grameds yang memasuki masa SMA pasti belajar materi persamaan kuadrat dong? Apa sih itu persamaan kuadrat? Apa ciri khas yang membedakannya dengan persamaan lain? Di pembahasan materi persamaan kuadrat kali ini juga terdapat rumus persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat, serta contoh soal persamaan kuadrat terbaru yang diambil dari buku soal matematika SMA Gramedia terbaru.
✔ Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial [suku banyak] yang pangkat tertingginya 2 atau berorde 2. Salah satu contoh persamaan kuadrat seperti ini:
✔ Penerapan Persamaan Kuadrat Pada Kehidupan
Lantas, bagaimana penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari?
Penerapan persamaan kuadrat bisa kita lihat salah satunya dalam olahraga. Seperti memanah, bermain basket, maerican football, sepakbola dan lain sebagainya. Saat pemain melepaskan tembakan, lintasan yang ditembakkan tidaklah membentuk garis lurus melainkan garis melengkung atau kurva. Gerakan yang dihasilkan itu disebut parabola yang merupakan salah satu bentuk grafik dari persamaan kuadrat. Berikut adalah ilustrasi dari parabola yang dimaksud :
Kira-kira apa lagi ya Grameds penerapan persamaan kuadrat? Simak beberapa contoh berikut ya
1. Bentuk Pelangi
Berbagai ciptaan Tuhan yang indah bisa kita lihat di dunia ini salah satunya adalah pelangi. Pelangi yang memiliki banyak warna merupakan suatu keindahan yang tercipta dengan sendirinya setelah hujan datang. Ibarat sebuah pepatah “Pelangi datang setelah ada hujan badai begitu juga dengan kebahagiaan yang datang setelah mengalami penderitaan”. Bentuk pelangi menyerupai sebuah parabola atau kurva. Hal ini menunjukkan bahwa salah satu ciptaan Tuhan dapat diterapkan dalam persamaan kuadrat.
2. Arah Tendangan Bola
Jika kita gemar menonton pertandingan atau bermain sepakbola, pasti tidak luput dari gerakan menendang bola jauh yang arahnya membentuk kurva atau parabola. Gerakan ini juga merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dengan besarnya gaya tendangan bola sebagai variable yang mempengaruhi.
3. Gerakan Busur Panas
Salah satu hobi yang cukup menantang dan butuh konsentrasi yang tinggi adalah Memanah. Pemanah harus fokus dalam membidik target dan memperhatikan besarnya tarikan yang dilakukan agar tepat sasaran. Saat anak panah dilepaskan, panah membentuk kurva sampai berhenti pada target. Sehingga, arah busur panah yang dilepaskan merupakan salah satu penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.
4. Melempar dan Memukul Bola Baseball
Dalam permainan Baseball, tanda pertandingan dimulai adalah saat pitcher melempar bola ke arah batter dan catcher. Gerakan melempar bola tersebut jika diperhatikan dengan seksama membentuk parabola atau kurva, begitupun dengan gerakan bola jika berhasil dipukul oleh batter yang melambung sejauh mungkin. Arah bola dalam keseluruhan permainan baseball merupakan penerapan dari persamaan kuadrat.
Menarik, kan Grameds? Untuk mengetahui lebih lanjut apa itu persamaan kuadrat yuk simak penjelasan artikel ini selanjutnya!
✔ Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum dari Persamaan Kuadrat adalah sebagai berikut
- a,b, dan c bilangan real. a≠0
- x adalah variable atau nilai yang belum diketahui dan memenuhi persamaan kuadrat tersebut
Berikut adalah beberapa contoh persamaan:
[Jika menggunakan HP, Silahkan Rotate Layar Handphone Menjadi Landscape]
Berlangganan Gramedia Digital
Baca SEMUA koleksi buku, novel terbaru, majalah dan koran yang ada di Gramedia Digital SEPUASNYA. Konten dapat diakses melalui 2 perangkat yang berbeda.
Rp. 89.000 / Bulan
| |||
Memiliki pangkat tertinggi 2 dengan variabel x | |||
Pangkat tertinggi pada persamaan bukan 2 sehingga tidak ada nilai a | |||
Grameds, sampai sini sudah paham kan bentuk-bentuk persamaan kuadrat?
✔ Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Semua soal dan penjelasan didapatkan dari koleksi buku modul Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII milik Edutore.
Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 [nol] dan biasa disebut akar-akar persamaan kuadrat. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan kuadrat yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
1. Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat
ax^{2}+bx+c=0 menjadi [rx-p] [sx+q]=0
Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat
1. Akar-akar persamaan kuadrat 6x^{2}+13x-5=0 adalah …
a. -\frac{5}{2} atau \frac{1}{2}
b. -\frac{5}{2} atau \frac{1}{3}
c. \frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
d.\frac{5}{2} atau -\frac{1}{3}
e. -\frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
Pembahasan:
Persamaan kuadrat
6x^{2} + 13x-5 = 0
[3x-1] [2x+5] = 0
3x = 1 atau 2x = -5
x_{1} = \frac{1}{3} atau x_{2} = -\frac{5}{2}
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}
2. Kuadrat Sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti
[x+1]^{2} atau [2x-3]^{2}.
Metode ini mengubah bentuk ax^{2}+bx+c=0 menjadi bentuk:
x^{2}+bx+[\frac{b}{2}]^{2} = [\frac{b}{2}]^{2} - c
[x + \frac{b}{2}]^{2} = [\frac{b}{2}]^{2} - c
Contoh Soal Kuadrat Sempurna
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x^{2}-2x+1=7 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!
Pembahasan:
x^{2}-2x+1=7
[x-1]^{2}=7
[x-1]^{2}=\sqrt{7}
x = \pm \sqrt{7} + 1
x_{1} = \sqrt{7}+1 atau x_{2} = -\sqrt{7}+1
Sehingga HP = \begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}
3. Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Metode ini memanfaatkan nilai [ {a, b,} ] dan [ c ] dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar [ ax^{2}+bx+c=0 ]. Nilai x_{1} dan x_{2} dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}Contoh Soal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari [ x^{2}-4x+2=0 ] dengan rumus ABC!
Pembahasan:
Dari [ x^{2}-4x+2=0] diperoleh [ a=1;b=-4;c=2]
[ x_{1,2}] = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{- \left[ -4 \right] \pm \sqrt{ \left[ -4 \right] ^{2}-4 \left[ 1 \right] \left[ 2 \right] }}{2 \left[ 1 \right] } ]
[ \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2}]
Jadi, [ x_{1}=2+\sqrt{2} ] atau [ x_{2}=2-\sqrt{2} ]
Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.
✔ Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Persamaan kuadrat berbentuk [ ax^{2}+bx+c=0 ] dan memiliki akar-akar [ x_{1} ] dan [ x_{2} ] bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:
- x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
- x_{1.}x_{2}=\frac{c}{a}
- x_{1}-x_{2}= \pm \frac{\sqrt{D}}{a} ]
- x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left[ x_{1}+x_{2} \right] ^{2}-2x_{1}x_{2}
- x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= \left[ x_{1}+x_{2} \right] \left[ x_{1}-x_{2} \right]
- x_{1}^{3}+x_{2}^{3}= \left[ x_{1}+x_{2} \right] ^{3}-3x_{1}x_{2} \left[ x_{1}+x_{2} \right]
- x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= \left[ x_{1}-x_{2} \right] ^{3}-3x_{1}x_{2} \left[ x_{1}-x_{2} \right]
- \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}
- \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}
- \frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}
- \left[ x_{1}-x_{2} \right] ^{2}= \left[ x_{1}+x_{2} \right] ^{2}-4x_{1}x_{2}
Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .
1. Persamaan kuadrat [ 2x^{2}-x-4=0 ] memiliki akar-akar [ x_{1} ] dan [ x_{2} ]. Nilai dari [ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} ] adalah …
a. - \frac{17}{8}
b. \frac{17}{8} ]
c. -\frac{1}{4}
d. [4
e. \frac{15}{8}
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat [ 2x^{2}-x-4=0 ] pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari
x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2 dan x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
2. Persamaan kuadrat [x^{2}- \left[ a+1 \right] x-a-6=0 memiliki akar-akar x_{1} dan x_{2} . Jika x_{1}+x_{2}=4 , maka nilai dari x_{1}.x_{2} adalah . . .
a. -9 b. -3 c. 0 d. 3
e. 9
Pembahasan
Untuk mencari nilai a menggunakan rumus:
✔ Macam-Macam Akar Persamaan Kuadrat
1. Akar Real
Akar real adalah akar persamaan kuadrat yang memiliki nilai D>0 dari suatu persamaan kuadrat. Sepertinya akan sulit memahaminya, jika tanpa contoh. Nah, di bawah ini akan diberikan salah satu contoh dari akar real.
Soal:
Tentukanlah akar persamaan dari pesamaan berikut, x2 + 9x + 3 = 0
Pembahasan:
a = 1, b = 9, c = 3
D = b2 – 9ac
D = 92 – 9 [1][2]
D = 81 – 18
D = 63
Jadi, D = 63 yang berarti D>0, sehingga termasuk ke dalam jenis akar real.
2. Akar Real Sama
Akar real sama adalah salah satu macam akar persamaan kuadrat yang memiliki nilai yang sama, seperti x1 = x2 atau bisa juga D = 0. Contoh akar real sama, yaitu:
Soal:
Coba kamu tentukan nilai dari aka persamaan kuadrat berikut ini 3x2 + 9x + 3 = 0
Pembahasan:
a = 2, b = 9. c = 2 = 0
D= b2 – 9ac
D = 92 – 9[3][3]
D = 81 – 81
D = 0
Jadi, dari soal tersebut ditemukan bahwa nilai D = 0, sehingga termasuk ke dalam akar real sama
3. Akar Imajiner / Tidak Real
Akar imajiner atau akar tidak real adalah akar persamaan kuadrat yang bentuknya berupa angka yang bersifat imajiner atau tidak real. Akar persamaan kuadrat yang satu ini dapat terjadi, apabila D0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau imajiner
Contoh Soal Diskriminan dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
1. Persamaan kuadrat x^{2}+ \left[ \text{m – 2} \right] x+2m-4=0 tidak mempunyai akar-akar real. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah… a. m ≤ 2 atau m ≥ 10 B. m ≤ -10 atau m ≥- 2 C. m < 2 atau m > 10 D. 2 < m < 10
E. -10 < m< -2
Pembahasan
2. Persamaan \left[ 3m-7 \right] x^{2}-5x-1=0 mempunyai akar-akar riil berkebalikan, maka nilai m adalah ….
a. -2
b. -\frac{1}{2}
c. \frac{1}{2}
d. 2
e. 3
Pembahasan
✔ Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Akar-akar persamaan kuadrat baru yang mempunyai hubungan yang beraturan dengan x_{1} dan x_{2} yang merupakan akar-akar persamaan ax^{2}+bx+c=0 adalah invers dari akar-akar tersebut. Sehingga dapat disusun Persamaan kuadrat baru sebagai berikut:
Contoh Soal Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
1. Persamaan kuadrat 3x^{2}+6x-1=0 mempunyai akar-akar \alpha dan \beta . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1-2 \alpha dan 1-2 \beta adalah ….
a. 3x^{2}-18x-37=0
b. 3x^{2}-18x+13=0
c. 3x^{2}-18x+11=0
d. 3x^{2}-6x-37=0
e. 3x^{2}-6x+11=0
Pembahasan
Sehingga persamaan kuadrat yang baru menjadi:
a. x^{2}-6x+3=0
b. x^{2}-6x+7=0
c. x^{2}+6x-5=0
d. x^{2}+6x+5=0
e. x^{2}-4x+3=0
Pembahasan: Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah a + 1 dan b + 1
Sehingga, bentuk persamaan kuadrat barunya menjadi:
✔ Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasan [UN SMA Matematika]
Pada kesempatan kali ini, selain sedikit penjelasan di atas Eduteam juga menyediakan berbagai soal UN dan SBMPTN yang berhubungan dengan Persamaan Kuadrat. Sudah siap, Grameds? Yuk kita kerjakan bersama!
1. Persamaan Kuadrat x^{2}-5x+6=0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2} dengan x_{1} \leq x_{2} . Nilai dari 3x_{1}+x_{2} adalah …. a. 7 b. 8 c. 9 d. 10
e. 11
Pembahasan:
Persamaan kuadrat x^{2}-5x+6=0 dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
2. Misalkan \alpha dan \beta adalah akar-akar persamaan x^{2}-12x+7=0 , maka nilai dari \alpha \beta ^{2}+ \alpha ^{2} \beta adalah …
a. 42 b. 49 c. 56 d. 64
e. 84
PEMBAHASAN
3. Misalkan x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan 4x^{2}-2x-1=0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1}+x_{2} dan x_{1} \times x_{2} adalah ….
a. 8x^{2}+4x-1=0
b. 8x^{2}-4x+1=0
c. 8x^{2}-2x-1=0
d. 8x^{2}+2x-1=0
e. 8x^{2}-2x+1=0
PEMBAHASAN
Persamaan kuadrat baru akar-akarnya dimisalkan \alpha dan \beta dengan \alpha = x_{1}+x_{2} ; \beta = x_{1}x_{2}
Persamaan kuadrat baru:
4. Persamaan kuadrat x2+m-2x+2m-4=0 tidak mempunyai akar-akar real. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah… a. m≤2 atau m≥10 b. m≤-10 atau m≥-2 c. m10 d. 2 < m < 10
e. -10