Diketahui fungsi kuadrat f(x)=x2-2px+3p jika f(2)=1 maka nilai p adalah
|
Show
Belajar matematika dasar SMA dari Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Kuadrat. Catatan fungsi kuadrat untuk SMA kelas X
Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada fungsi kuadrat sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal fungsi kuadrat dan menemukan solusinya.
Bentuk umum Fungsi Kuadrat adalah $y= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$ atau $f(x)= a{\color{Red} x}^{2}+b{\color{Red} x}+c$
dengan $a$, $b$ dan $c$ bilangan real serta $a \neq 0$. Contoh:
GRAFIK FUNGSI KUADRATGrafik Fungsi Kuadrat berbentuk parabola, dan posisi parabola berada pada dua kemungkinan yaitu terbuka kebawah (*bayangkan payung yang dipakai normal) atau terbuka keatas (*bayangkan payung yang dipakai terbalik). Grafik Fungsi Kuadrat bisa kita gambar salah satu caranya dengan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut;
Jika ditinjau berdasarkan nilai $a$, $b$, $c$ dan $D=b^{2}-4ac$ terhadap grafik Fungsi Kuadrat, ada beberapa hubungan yang bisa kita ambil;
DEFINIT POSITIF dan DEFINIT NEGATIFSebuah Fungsi Kuadrat dikatakan Definit Negatif jika nilai Fungsi Kuadrat selalu negatif untuk sembarang nilai variabel. Grafik Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif selalu berada dibawah sumbu $x$. Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$. Sedangkan untuk sebuah Fungsi Kuadrat dikatakan Definit Positif jika nilai Fungsi Kuadrat selalu positif untuk sembarang nilai variabel. Grafik Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Positif selalu berada diatas sumbu $x$. Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Positif adalah $a \gt 0$ dan $D \lt 0$. MENYUSUN atau MEMBENTUK FUNGSI KUADRATDalam Menyusun atau Membentuk Fungsi Kuadrat dapat dilakukan dari beberapa situasi yang berbeda, antara lain;
HUBUNGAN GARIS DAN PARABOLAHubungan garis $y=mx+n$ dengan parabola $y=ax^{2}+bx+c$. Jika disubstitusi $y=mx+n$ ke $y=ax^{2}+bx+c$ maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat persekutuan kedua grafik.
Beberapa aturan atau sifat dari fungsi kuadrat diatas kita coba gunakan dalam menyelesaikan soal (masalah) yang pernah diujikan dalam ujian atau seleksi masuk Peguruan Tinggi Negeri. Mari kita simak beberapa contoh untuk kita diskusikan 😉😏 1. Soal UM UGM 2017 Kode 723 |*Soal LengkapBerdasarkan perkiraan kebutuhan ketela kota $P$ pada $x$ tahun setelah 2017 sebesar: $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ kwintal. Produk ketela kota tersebut pada tahun yang sama sebesar $f(x)=720x+20880$ kwintal. Untuk mencukupi kebutuhannya, kota tersebut harus mendatangkan ketela dari luar kota mulai pada tahun...Alternatif Pembahasan: Dengan menyimak apa yang disampaikan pada soal bahwa kebutuhan ketela mengikuti fungsi $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ dimana fungsi itu adalah fungsi kuadrat. Sedangkan produksi ketela mengikuti fungsi $f(x)=720x+20880$ adalah fungsi linear. Pada masa awal (*anggap $x=0$) produksi ketela masih mampu mencukupi kebutuhan ketela kota $P$, tetapi kebutuhan mengikuti konsep fungsi kuadrat $h(x)=180x^{2}+540x+1080$ berkembang lebih cepat dari produksi yang mengikuti konsep fungsi linear $f(x)=720x+20880$. Untuk mengetahui kapan kota $P$ akan mendatangkan ketela, kita coba dengan mencari kapan banyak produksi sama dengan banyak kebutuhan. Ketika kebutuhan sama dengan produksi maka berlakau; $\begin{align} h(x)&=f(x)\\ 180x^{2}+540x+1080&=720x+20880\\ 180x^{2}+540x+1080-720x-20880&=0\\ 180x^{2}-180x-19800&=0\\ x^{2}-x-110&=0\\ (x-11)(x+10)&=0\\ x=11\ atau\ x=-10\\ \end{align}$ Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh nilai $x=11$ atau $x=-10$ (*$x=-10$ Tidak memenuhi karena $x$ dalam tahun). Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah produksi dan kebutuhan ketela sama, terjadi $11$ tahun dari tahun $2017$ yaitu $2028$. Sehingga kota $P$ akan mendatangkan ketela mulai tahun $2029$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2029$ 2. Soal USM STIS 2017 |*Soal LengkapAlternatif Pembahasan: Dari gambar kita ketahui titik puncak parabola yaitu $(1,1)$ dan melalui titik $(0,2)$. Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan "Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$" Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$. Pertama substitusi titik puncak $(1,1)$: $y=a\left (x -1\right)^{2}+1$ Kedua substitusi titik sembarang $(0,2)$: Setelah diperoleh nilai $a=1$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama; $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ y=x^{2}-2x+2$ 3. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 |*Soal LengkapJika suatu garis lurus yang melalui $(0,-14)$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y=2x^{2}+5x-12$, maka gradien garis tersebut, $m$, memenuhi...Alternatif Pembahasan: Persamaan garis lurus tidak diketahui, kita anggap $y=mx+n$ dan melalui $(0,-14)$ sehingga berlaku $y=mx-14$.
Persamaan Kuadrat persekutuan adalah: Karena garis tidak memotong maupun menyinggung parabola, Diskriminan harus memenuhi $D \lt 0$. $\begin{align} D & \lt 0\\ b^{2}-4ac & \lt 0\\ (5-m)^{2}-4(2)(2) & \lt 0\\ m^{2}-10m+25-16 & \lt 0\\ m^{2}-10m+9 & \lt 0\\ (m-1)(m-9) & \lt 0\\ \end{align}$ Dari pertidaksamaan kuadrat diatas kita peroleh nilai $m$ yang memenuhi adalah $1 \lt m \lt 9$ Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt m \lt 9$ 4. Soal SIMAK UI 2009 Kode 924 |*Soal LengkapDiketahui fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah...Alternatif Pembahasan: Disampaikan pada soal bahwa fungsi $mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$ senantiasa berada di bawah sumbu $x$, artinya nilai fungsi selalu bernilai negatif, fungsi adalah definit positif. Syarat Fungsi Kuadrat yang dikatakan Definit Negatif adalah $a \lt 0$ dan $D \lt 0$ $y=mx^{2}-2x^{2}+2mx+m-3$ $y=(m-2)x^{2}+2mx+m-3$ #Syarat Pertama $a \lt 0$ #Syarat Kedua $D \lt 0$ $\begin{align} D & \lt 0\\ b^{2}-4ac & \lt 0\\ (2m)^{2}-4(m-2)(m-3) & \lt 0\\ 4m^{2}-4m^2+20m-24 & \lt 0\\ 20m-24 & \lt 0\\ 5m-6 & \lt 0\\ m & \lt \dfrac{6}{5} \end{align}$ Dengan mengambil irisan dari syarat pertama $m \lt 2$ dan syarat kedua $m \lt \dfrac{6}{5}$, nilai $m$ yang mungkin adalah $m \lt \dfrac{6}{5}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ m \lt \dfrac{6}{5}$ 5. Soal SIMAK UI 2010 Kode 204 |*Soal LengkapGaris $y=mx+5$ memotong parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah...Alternatif Pembahasan: Karena kurva berpotongan di titik $(1,6)$ maka garis $y=mx+5$ melalui $(1,6)$; Karena berpotongan di titik $(1,6)$ maka parabola $y=x^{2}-4mx+4n$ melalui $(1,6)$; Pada soal juga disampaikan fungsi $y=mx+5$ dan $y=x^{2}-4mx+4n$ berpotongan di dua titik, sehingga pernah terjadi; $\begin{align} y &= y \\ x^{2}-4mx+4n &= mx+5 \\ x^{2}-4mx-mx+4n-5 &= 0 \\ x^{2}-5mx+4n-5 &= 0 \\ x^{2}-5(1)x+4\dfrac{9}{4}-5 &= 0 \\ x^{2}-5x+4 &= 0 \\ (x-1)(x-4)&= 0 \end{align}$ Dari persamaan kuadrat diatas, diperoleh nilai $x_{1}=1$ dan $x_{2}=4$. Karena $P=(1,6)$, maka koordinat $Q$ adalah saat $x=4$ dan $y=9$ Materi ini dapat juga dijumpai pada sistem persamaan linear kuadrat, jika mau coba diskusi tentang sistem persamaan silahkan dicoba pada Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan) $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (4,9)$ 6. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal LengkapSebuah garis $h$ yang melalui titik asal memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik di mana jumlah nilai $x$-nya adalah $10$ maka gradien dari garis $h$ adalah...Alternatif Pembahasan: Garis $h$ yang melalui titik asal kita misalkan adalah garis $y=mx$ Karena garis memotong kurva $2y=3x^{2}-2x+1$ di dua titik maka berlaku; Pada soal disampaikan bahwa jumlah nilai $x$-nya adalah $10$, maka; Materi ini dapat juga dijumpai pada sistem persamaan linear kuadrat, jika mau coba diskusi tentang sistem persamaan silahkan dicoba pada Matematika Dasar Sistem Persamaan (*Soal dan Pembahasan) $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ m=14$ 7. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 |*Soal LengkapJika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ adalah $y=mx+n$ Kita cari nilai gradien $m$ dengan menggunakan turunan pertama dari $y=4x-x^{2}$ yaitu $y'=m=4-2x$. Nilai gradien $m$ di titik $(1,3)$ adalah $m=4-2(1)=2$. Untuk nilai gradien $m=2$ dan melalui titik $(1,3)$ persamaan garis singgung adalah $y=2x+1$. Garis $y=2x+1$ juga menyinggung kurva $y=x^{2}-6x+k$, sehingga antara garis $y=2x+1$ dan kurva $y=x^{2}-6x+k$ berlaku: Karena garis dan kurva bersingungan maka: $\begin{align} D &= 0 b^{2}-4ac &= 0 \\ (-8)^{2}-4(1)(k-1) &= 0 \\ 64-4k+4&=0 \\ 68&=4k \\ 17 &= k \end{align}$ Maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$ 8. Soal UM UGM 2015 Kode 622 |*Soal LengkapParabola $y=ax^{2}+bx+c$, $a \gt 0$ memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$, $p \neq 0$. Nilai $c-b \gt 0$ terpenuhi apabila...Alternatif Pembahasan: Karena parabola memotong sumbu $x$ pada $x=p$ dan $x=2p$ maka berlaku: Nilai $c-b \gt 0$ $\begin{align} 2p^{2} & \gt -3p \\ 2p^{2} +3p & \gt 0 \\ p(2p +3) & \gt 0 \end{align}$ Nilai $p$ yang memenuhi adalah $-\dfrac{3}{2} \lt p \lt 0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -\dfrac{3}{2} \lt p \lt 0$ Jika kurang paham dalam pertidaksamaan kuadrat, bisa coba disimak kembali pada Cara Kreatif Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat. 9. Soal UM UGM 2016 Kode 571 |*Soal LengkapDiketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $2$. Jika $f(2)=f(4)=0$, maka $a+b+c=\cdots$Alternatif Pembahasan: Pada soal disampaikan $f(2)=f(4)=0$ untuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$, artinya kurva akan memotong sumbu $x$ di titik $(2,0)$ dan $(4,0)$. Dengan melihat titik potong kurva terhadap sumbu $x$ bisa kita simpulkan bahwa sumbu simetri berada pada $x=3$. Kesimpulan lain yang bisa kita ambil adalah titik $x_{p}=3$. Titik puncaknya sudah lengkap yaitu $(3,2)$ Dari data-data yang sudah kita ketahui yaitu kurva melalui titik $(2,0)$, $(4,0)$ dan titik puncak $(3,2)$ maka kita bisa menyusun Fungsi Kuadrat dengan $y=a \left(x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$. Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$. Pertama substitusi titik puncak $(3,2)$: $y=a\left (x -3\right)^{2}+2$ Kedua substitusi titik sembarang $(2,0)$: Setelah diperoleh nilai $a=-2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama; $\begin{align} y &= a\left (x -3\right)^{2}+2 \\ y &= -2 \left (x -3\right)^{2}+2 \\ y &= -2 (x^{2}-6x+9)+2 \\ y &= -2x^{2}+12x-18+2 \\ y &= -2x^{2}+12x-16 \\ \end{align}$ $a=-2$, $b=12$ dan $c=-16$ Nilai: $a+b+c=-2+12-16=-6$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -6$ 10. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 |*Soal LengkapJika $f$ adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4),$ maka nilai $f(7)$ adalah...Alternatif Pembahasan: Pada soal disampaikan bahwa grafik Fungsi Kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ melalui tiga titik $(1,0),\ (4,0),$ dan $(0,-4)$ sehingga berlaku:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18$ 11. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 |*Soal LengkapJika grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$x$ negatif, maka...Alternatif Pembahasan: Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$, karena jika terbuka keatas maka kurva tidak akan pernah memotong sumbu $x$. Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva terbuka kebawah $(a \lt 0)$ maka nilai $b$ bisa kita tafsir dari titik $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ $\Rightarrow$ $8=-\dfrac{b}{2a}$. Karena nilai $-\dfrac{b}{2a}=8$ dan $a \lt 0$ maka $b \gt 0$. Dengan memperhatikan titik puncak $(8,4)$ berada pada kwadran I dan kurva memotong sumbu $x$ negatif berarti kurva memotong sumbu $y$ positif $(c \gt 0)$. Karena tidak mungkin kurva dari titik $(8,4)$ dan terbuka kebawah melalui sumbu $y$ negatif. Kesimpulan akhir adalah $a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ a \lt 0$, $b \gt 0$ dan $c \gt 0$ 12. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 |*Soal LengkapTitik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$. Jika $a-b=7$, maka nilai $ab$ adalah...Alternatif Pembahasan: Karena titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y=bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56$ sehinggga berlaku: $\begin{align} y & =bx^{2}+\left( 1-b^{2} \right)x-56 \\ b & =b(a)^{2}+\left( 1-b^{2} \right)(a)-56 \\ b & =ba^{2}+a-ab^{2} -56 \\ 56 & =ba^{2}+a-ab^{2}-b \\ 56 & =ba^{2}-ab^{2}+a-b \\ 56 & =ab \left( a-b \right)+a-b \\ 56 & =ab (7)+7 \\ 49 & =ab (7) \\ \dfrac{49}{7} & =ab \\ 7 & =ab \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$ 13. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 |*Soal LengkapJika puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$, maka nilai $p+q$ adalah...Alternatif Pembahasan: Titik puncak adalah $\left ( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right )$, dan puncak grafik fungsi $y=px^{2}-qx-1$ sama dengan puncak grafik $y=x^{2}-2x+4$ sehingga untuk titik $x_{p}$ berlaku: Untuk titik $y_{p}$ berlaku: $\begin{align} -\dfrac{D}{4a} & = -\dfrac{D}{4a} \\ -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} & = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(4)}{4(1)} & = -\dfrac{(-q)^{2}-4(p)(-1)}{4(p)} \\ -\dfrac{4-16}{4} & = -\dfrac{q^{2}+4p}{4p} \\ 3 & = -\dfrac{q^{2}+4p}{4p} \\ -12p & = q^{2}+4p \\ -12p & = (2p)^{2}+4p \\ 4p^{2}+16p & = 0 \\ 4p(p+4) & = 0 \\ p=0\ (TM)\ \vee \ p=-4 &\\ q = 2p=-8 & \end{align}$ Nilai $p+q=-4-8=-12$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -12$ 14. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 |*Soal LengkapJika suatu fungsi kuadrat mencapai minimum di titik $(3,-2)$ dan grafiknya melalui titik $(1,6)$ maka parabola memotong sumbu-$Y$ di titik...Alternatif Pembahasan: Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$. Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$. #Pertama substitusi titik puncak $(3,-2)$: $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$ $y=a\left (x -3\right)^{2}-2$ #Kedua substitusi titik sembarang $(1,6)$: #Setelah diperoleh nilai $a=2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama; $\begin{align} y &= a\left (x -3\right)^{2}-2 \\ &= 2\left (x -3 \right)^{2}-2 \\ &= 2\left (x^{2} -6x+9 \right)^{2}-2 \\ &= 2x^{2} -12x+18 -2 \\ &= 2x^{2} -12x+16 \end{align}$ Memotong sumbu-$Y$ saat $(0,16)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (0,16)$ 15. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 |*Soal LengkapDiketahui garis $x=ky$ ($k$ konstanta bilangan bulat) dan parabola $x^{2}+3y+1=0$. Himpunan semua $k$ dimana garis memotong parabola adalah...Alternatif Pembahasan: Pada soal disampaikan bahwa garis $x=ky$ ($k$ konstanta bilangan bulat) dan parabola $x^{2}+3y+1=0$, sehingga pernah terjadi; Karena garis dan parabola berpotongan maka $D \gt 0$ pada $k^{2}y^{2}+3y+1 = 0$: $\begin{align} D & \gt 0 \\ b^{2}-4ac & \gt 0 \\ 3^{2}-4\left( k^{2} \right)(1) & \gt 0 \\ 9-4 k^{2} & \gt 0 \\ 4 k^{2}-9 & \lt 0 \\ (2k-3)(2k+3) & \lt 0 \end{align}$ Himpunan penyelesaian yang memenuhi $(2k-3)(2k+3) \lt 0$ adalah $-\dfrac{3}{2} \lt k \lt \dfrac{3}{2}$ Jika masih kesulitan mendapatkan himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan kuadrat dengan cepat, coba Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat. Untuk $k$ bilangan bulat yang memenuhi $-\dfrac{3}{2} \lt k \lt \dfrac{3}{2}$ adalah $\left \{ -1,0,1 \right \}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left \{ -1,0,1 \right \}$ 16. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal LengkapDiberikan dua parabola dengan persamaan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dan $g(x)=px^{2}+qx+r$ tidak berpotongan dan $\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{p}$, maka jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari...Alternatif Pembahasan: Dari kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ titik puncaknya adalah Dari kurva $g(x)=px^{2}+qx+r$ titik puncaknya adalah Dari kesamaan $\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{p}$ kita peroleh $b=\dfrac{aq}{p}$ atau $p=\dfrac{aq}{b}$ Dari kesamaan di atas dapat kita simpulkan bahwa $x_{p}$ kedua kurva adalah sama, sehingga salah satu kemungkinan posisi kedua kurva adalah sebagai berikut; 
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ f\left(-\dfrac{b}{2a} \right) \text{dan}\ g\left(-\dfrac{q}{2p} \right)$ 17. Soal UM UGM 2014 Kode 521 |*Soal LengkapSuatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di $A(1,0)$ dan $B(2,0)$. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0,4)$ dan puncaknya di titik $(p,q)$, maka $p+q=...$Alternatif Pembahasan: Dari unsur-unsur yang diketahui kita gunakan Jika diketahui Titik Potong dengan sumbu $x$ yaitu $(x_{1},0)$ dan $(x_{2},0)$ serta sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka Fungsi Kuadrat adalah $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$ Untuk membentuk Fungsi Kuadrat terlebih dahulu kita cari nilai $a$. #Pertama substitusi titik potong $A(1,0)$ dan $B(2,0)$: $y=a\left (x -x_{1}\right)\left (x -x_{2}\right)$ $y=a\left (x -1 \right)\left (x -2\right)$ #Kedua substitusi titik sembarang $(0,4)$: #Setelah diperoleh nilai $a=2$, fungsi kita kembalikan pada langkah pertama; $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$ 18. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 |*Soal LengkapJika $a \gt 2$, maka grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+2$ $(A)\ $ Berada di atas sumbu-$X$ $(B)\ $ Berada di bawah sumbu-$X$ $(C)\ $ Menyinggung sumbu-$X$ $(D)\ $ Memotong sumbu-$X$ di dua titik berbedaAlternatif Pembahasan: Dari grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+2$ kita coba hitung diskriminan; $\begin{align} D & = b^{2}-4ac \\ & = (2a)^{2}-4(a)(2) \\ & = 4a^{2}-8a \\ & = 4a(a-2) \end{align}$ Karena $a \gt 2$ dan $D= 4a(a-2)$ akan selalu lebih dari nol atau bisa kita tuliskan $D \gt 0$. Berdasarkan batasan nilai $a \gt 2$ dan $D \gt 0$ maka fungsi akan selalu memotong sumbu-$X$ di dua titik yang berbeda. Jika dianalisa lebih rinci lagi untuk $a \gt 2$ kita peroleh koefisien $f(x)=ax^{2}+2ax+2$ adalah bilangan positif sehingga saat memotong sumbu-$X$ titik potong yang mungkin adalah $\left(x_{1}+m \right)$ dan $\left(x_{1}+n \right)$ sehingga $x_{1} \lt 0$ dan $x_{2} \lt 0$. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ $ Memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 |*Soal LengkapJika $0 \lt a \lt 10$, fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ memenuhi sifat... $(A)\ $ Selalu negatif $(B)\ $ Selalu positif $(C)\ $ Hanya positif di setiap $x$, dengan $0 \lt a \lt 10$ $(D)\ $ Hanya negatif di setiap $x$, dengan $0 \lt a \lt 10$Alternatif Pembahasan: Dari grafik fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ kita coba hitung diskriminan; $\begin{align} D & = b^{2}-4ac \\ & = (2a)^{2}-4(a)(10) \\ & = 4a^{2}-40a \\ & = 4a(a-10) \end{align}$ Karena $0 \lt a \lt 10$ dan $D= 4a(a-10)$ akan selalu bernilai negatif atau bisa kita tuliskan $D \lt 0$. Berdasarkan batasan nilai $0 \lt a \lt 10$ dan $D \lt 0$ maka fungsi $f(x)=ax^{2}+2ax+10$ akan selalu bernilai positif yang disebut dengan istilah definit positif. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ $ Selalu positif 20. Soal SBMPTN 2014 Kode 644 |*Soal LengkapFungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+2px+p$ memenuhi nilai minimum $-p$ dengan $p\neq 0$. Jika sumbu simetri kurfa $f$ adalah $x=a$, maka nilai $a+f(a)=\cdots$Alternatif Pembahasan: Dari grafik fungsi $f(x)=x^{2}+2px+p$ kita peroleh; $\begin{align} y_{p} & = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -p & = -\dfrac{(2p)^{2}-4(1)(p)}{4(1)} \\ -p & = -\dfrac{4p^{2}-4p}{4} \\ 4p & = 4p^{2}-4p \\ 1 & = p -1 \\ p & = 2 \end{align}$ $\begin{align} a+f(x) & = -2+ x^{2}+2px+p \\ a+f(a) & = -2+ (-2)^{2}+2(2)(-2)+2 \\ & = -2+ 4-8+2 = -4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -4$ 21. Soal SBMPTN 2014 Kode 613 |*Soal LengkapJika fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ di $x=\dfrac{2}{3}$, maka $a^{2}-c^{2}=\cdots$Alternatif Pembahasan: Grafik fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ maka $D=0$ Grafik fungsi $f(x)=a^{2}x^{2}-12x+c^{2}$ menyinggung sumbu-$X$ di $x=\dfrac{2}{3}$ maka $\left( \dfrac{2}{3},0 \right)$ berlaku untuk $f(x)$: $\begin{align} a^{2}-c^{2} & = (-3)^{2}-(-2)^{2} \\ & = 9-4=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$ 22. Soal SBMPTN 2013 Kode 128 |*Soal LengkapParabola $y=x^{2}-2x+m+2$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $3p$ dan $q$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $9$, maka nilai $m$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$. Dari parabola $y=x^{2}-2x+m+2$ dapat kita tentukan: Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$ 23. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 |*Soal LengkapParabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik puncak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\dfrac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini kita setidaknya memahami titik puncak fungsi kuadrat yaitu $\left( -\dfrac{b}{2a},-\dfrac{D}{4a} \right)$ dan jumlah deret geometri tak hingga yaitu $S_{\infty } =\dfrac{a }{1-r }$. Dari parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ dapat kita tentukan: $\begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2 \end{align}$ Berdasarkan keterangan di atas kita peroleh deret geometri tak hingga yaitu: $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$ 24. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapDari fungsi kuadrat $y=f(x)$ diketahui bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$. Dapat ditarik kesimpulan bahwa fungsi $y=f(x-a)$ mencapai maksimum untuk...Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang fungsi kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
Pada soal disampaikan bahwa fungsi $y=f(x+a)$ mencapai nilai maksimum untuk $x=p$ maka nilai maksimumnya adalah $y=f(p+a)$. Karena nilai maksimum $f(x+a)$ sama dengan nilai maksimum $f(x-a)$ maka nilai maksimum fungsi $y=f(x-a)$ adalah $y=f(p+a)$ $\begin{align} y &= f(x-a) \\ f(p+a) &= -(x-a)^{2} \\ -(p+a)^{2} &= -(x-a)^{2} \\ p+a &= x-a \\ p+a+a &= x \\ p+2a &= x \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x=p+2a$ 25. Soal UM STIS 2011 |*Soal LengkapTitik potong parabola $y=mx^{2}+x+m$, $m \neq 0$ dengan garis $y=(m+1)x+1$ adalah $\left( x_{1},y_{1} \right)$ dan $\left( x_{2},y_{2} \right)$. Jika $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$, nilai $m$ adalah...Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang persamaan kuadrat dan sistem persamaan linear kuadrat yang mungkin membantu yaitu;
$\begin{align} y &= y \\ mx^{2}+x+m &= (m+1)x+1 \\ mx^{2}+x+m &= mx+x+1 \\ mx^{2}+x+m-mx-x-1 &= 0 \\ mx^{2} -mx +m -1 &= 0 \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= 1 \\ \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= 1 \\ \left ( -\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{c}{a} &= 1 \\ \left ( -\dfrac{-m}{m} \right )^{2}-2 \cdot \dfrac{m-1}{m} &= 1 \\ \left ( 1 \right )^{2}- \dfrac{2m-2}{m} &= 1 \\ 1- 1 &= \dfrac{2m-2}{m} \\ 0 &= \dfrac{2m-2}{m} \\ 0 &= 2m-2 \\ 2 &= 2m \\ 1 &= m \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$ 26. Soal UNBK Matematika IPA 2019 |*Soal LengkapPerhatikan gambar grafik berikut.Alternatif Pembahasan: Untuk menentukan keadaan nilai $a,b$, dan $c$ pada grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dapat kita ketahui dengan melihat keadaan parabola dari gambar tanpa harus menentukan nilai $a,b$, dan $c$.
27. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 |*Soal LengkapPersamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah...Alternatif Pembahasan: Pada gambar diberitahu tiga titik yang dilalui oleh grafik fungsi, dimana salah satu titik merupakan titik puncak, sehingga untuk menentukan fungsi grafik dapat dicari dengan memakai aturan "Jika diketahui titik puncak dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik" atau dengan aturan "Jika grafik melalui tiga titik sembarang". Disini kita coba dengan menggunakan "Jika diketahui titik puncak $(1,-7)$ dan sebuah titik sembarang $(0,-6)$ yang dilalui grafik" $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ y=x^{2}-x-6$ 28. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539 |*Soal LengkapDiketahui kurva $f(x)=px^{2}+(p+2)x+(p+q-1)$ memotong sumbu-$y$ di titik $P(0,-1)$ dan memotong sumbu-$x$ di titik $Q$ dan $R$. Jika absis titik tengah $QR$ adalah $\dfrac{3}{2}$, titik puncak kurva tersebut adalah...Alternatif Pembahasan: Pada soal disampaikan bahwa kurva $f(x)=px^{2}+(p+2)x+(p+q-1)$ memotong sumbu-$y$ di titik $P(0,-1)$, sehingga berlaku: Kurva $f(x)$ memotong sumbu-$x$ di $Q$ dan $R$ dan absis titik tengah $QR$ adalah $\dfrac{3}{2}$ sehingga $x=\dfrac{3}{2}$ adalah sumbu simetri sehingga berlaku: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ \left( \dfrac{3}{2},\dfrac{1}{8} \right)$ 29. Soal UM UGM 2019 Kode 634 |*Soal LengkapDiberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $ a\neq b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dari fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ melalui $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ sehingga kita peroleh:
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{9}$ 30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui grafik fungsi kuadrat $f$ memotong garis $y=4$ dititik $(1,4)$ dan $(5,4)$. Jika grafik fungsi $f$ menyinggung sumbu-$x$, maka grafik fungsi $f$ memotong garis $x=2$ di...Alternatif Pembahasan: Dari apa yang disampaikan pada soal bahwa grafik fungsi kuadrat $f$ memotong garis $y=4$ dititik $(1,4)$ dan $(5,4)$ sehingga sumbu simetrinya adalah $x=\dfrac{1}{2} \left(5+1 \right)=3$. Lalu grafik fungsi kuadrat $f$ menyinggung sumbu-$x$ sehingga puncak grafik berada pada saat $y=0$, sehingga karena sumbu simetri $x=3$ dan puncak berada pada sumbu-$x$ maka titik puncak grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(3,0)$. Membentuk Fungsi kuadrat jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$. Dengan titik puncak $(3,0)$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(1,4)$ maka kita peroleh: Grafik fungsi $f$ memotong garis $x=2$, sehingga saat $x=2$ berlaku: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ (2,1)$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui grafik fungsi kuadrat $f$ mempunyai sumbu simteri $x=4$. Jika grafik fungsi $f$ melalui titik $(2,0)$ dan $(0,3)$, maka ordinat titik puncak grafik fungsi $f$ adalah...Alternatif Pembahasan: Membentuk Fungsi kuadrat jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ adalah $y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$. Dengan titik puncak $(4,y_{p})$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(2,0)$ maka kita peroleh: Dengan titik puncak $(4,y_{p})$ dan sebuah titik sembarang yang dilalui grafik fungsi kuadrat $f$ adalah $(0,3)$ maka kita peroleh: Dari kedua nilai $y_{p}$ di atas kita peroleh persamaan: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -1$ 32. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal LengkapDiberikan fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+ax+b$, dengan $a$ dan $b$ konstanta real. Jika $f(-1)=2$ dan $f(2)=-1$, maka nilai minimum untuk fungsi $f$ adalah...Alternatif Pembahasan: Diketahui $f(-1)=2$ dan $f(2)=-1$ sehingga dapat kita tuliskan: Untuk $a=-2$ dan $b=3$ sehingga $f(x)=x^{2}-2x+3$ dan nilai minimumnya adalah: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -2$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait 30+ Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Fungsi Kuadrat silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 |
