Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm jarak antara bidang BDE dan bidang CHF adalah
BANGUN RUANG DIMENSI 3 Show
KEDUDUKAN TITIK, GARIS, dan BIDANG PADA BANGUN RUANGDalam suatu bangun ruang terdapat tiga unsur yang dapat membentuk suatu bangun ruang yaitu, titik, garis dan bidang. Berikut adalah penjelasan mengenai tiga unsur tersebut .
AKSIOMA GARIS dan BIDANGAksioma 1 : Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus. Aksioma 2 : Aksioma 3 : Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang. Kedudukan Titik Terhadap Garisa. Titik terletak pada garis Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis m, jika titik A dapat dilalui oleh garis m b. Titik di Luar Garis Kedudukan Titik Terhadap Bidang b. Sebuah titik A dikatakan berada di luar bidang α, jika titik A tidak dapat dilalui oleh bidang α Untuk Lebih Jelasnya Perhatikan Contoh Berikut : CONTOH 1:
JAWAB : Titik sudut kubus yang terletak pada garis EG adalah titik E dan G Titik sudut kubus yang berada di luar garis EG adalah titik A, B, C, D, F, H
JAWAB :Titik sudut kubus terletak pada bidang ABCD adalah titik A, B, C dan D Titik sudut yang berada diluar bidang AFH adalah titik B, C, D, E, G LIHAT PENJELASAN VIDEO BERIKUT INI Kedudukan Titik, garis dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 Contoh 1 Kedudukan Garis Terhadap Garis Laina. Dua garis Berpotongan b. Dua Garis Sejajar tidak memiliki titik persekutuan. garis m dan m berhimpit Garis m dan n sejajarc. Dua Garis Bersilangan Aksioma Dua Garis SejajarAksioma 1 : Titik A berada di luar garis n, sehingga melalui titik A dan garis m dapat dibuat bidang α dan melalui titik A dapat dibuat sebuah garis m yang sejajar garis n. CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan EGb. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan CD c. Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan EG JAWAB :a. FG, HG, EH, EF, AE, CG, HFb. AB, HG, EF c. CD, AB, BC, AD, BD Lihat Penjelasan Contoh 2 divideo berikut : Kedusukan Titik, Garis, dan Bidang Pada Bangun Ruang dimensi 3 Contoh 2CONTOH 3: Perhatikan kubus ABCD.EFGH dibawah ini. Tentukan : a. Garis-garis yang berpotongan dengan AC.b. Garis-garis yang sejajar dengan MN.c. Garis-garis yang menyilang BC dengan tegak lurus d. Garis yang sejajar dengan MG JAWAB : a. AB, BC, CD, AD, CG, AE, BD, GM, AN, NM b. AE, BF, CG, dan DH c. AE, DH, MN d. AN Perhatikan Penjelasan Video untuk Contoh 3 Kedudukan tiik, garis, dan bidang pada bangun dimensi tiga contoh 3Kedudukan Garis Terhadap Bidang
Sebuah garis m dikatakan terletak pada bidang α, jika garis m dan bidang α itu sekurang-kurangnya memiliki dua titik persekutuan. garis m terletak pada bidang alfab. Garis Sejajar Bidang c. Garis Memotong atau Menembus Bidang Kedudukan Bidang Terhadap Bidang
b. Dua Bidang Sejajar c. Dua Bidang Berpotongan d. Tiga Bidang Berpotongan CONTOH 4: a. Bidang-bidang yang sejajar dengan garis BFb. garis yang terletak pada bidang ABCD c. garis-garis yang memotong bidang BCGF JAWAB :a. CDGH, ADEHb. AB, BC, CD, AD, BD c. AB, BD, DC, EF, HF, HG Lihat Video untuk Contoh 4 Kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 contoh 4CONTOH 5: Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukanlah:
JAWAB : a. EF, EG, GH, EH, EG, FH b. AB, BC, CD, AD, BD, AC c. AE, BF, CG, DH Lihat Video Untuk Contoh 5 Kedudukan titik,garis, dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 Contoh 5CONTOH 6 :
Bagaimana kedudukan AC terhadap bidang :a. ABCDb. EFGHc. BCFGd. ABEFe. CDHG JAWAB : a. Karena titik A dan C terletak pada garis AC dan bidang ABCD, maka garis AC terletak pada bidang ABCD. b. Bisa dilihat pada gambar bahwa garis AC tidak memiliki titik Persekutuan terhadap bidang EFGH , tetapi karena garis AC sejajar dengan garis EG pada bidang EFGH maka garis AC sejajar dengan bidang EFGH c. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang BCFG di titik C d. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang ABEF di titik A e. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang CDHG di titik C
Bagaimana kedudukan AH terhadap bidang BDG ? MELUKIS IRISAN BANGUN RUANGCONTOH 1: a. Gambarkan titik tembus garis AG dengan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH JAWAB :
b. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Lukislah titik-titik potong antara diagonal ruang AG dengan bidang BDE dan bidang CFH JAWAB :
Kemudain hubungkan titik A ke G sehingga memotong bidang BDE dan CFH di titik M dan M. Maka titik tembusnya adalah M dan N Lihat Video untu Contoh 1 Melukis Titik tembus pada Kubus contoh 1CONTOH 2:Diberikan limas dengan titik-titik P, Q, dan Rberturut-turut terletak pada TA, CD, dan BC. Lukislah irisan limas dengan bidang PQR. JAWAB : Langkah-langkah :
Agar Lebih Jelas Lihat Video Contoh 2 Melukis Irisan pada limas T ABCD contoh 2CONTOH 3:Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik Pdi tengah AE dan titik R di tengah CG, Lukislah irisan bidang yang melalui titik P, H, dan R dengan kubus tersebut dan hitunglah luas irisan tersebut. JAWAB : Langkah-langkahnya :
Jadi luas belah ketupat PBRH adalah 18√6 cm2 Lihat Video Contoh 3 agar lebih mengerti Luas irisan kubus contoh 3JARAK TITIK KE TITIK, TITIK KE GARIS, TITIK KE BIDANG, GARIS KE GARIS, GARIS KE BIDANG, BIDANG KE BIDANGJarak Titik ke TitikJarak antara titik dengan titik, misalnya jarak titik A dengan titik B adalah panjang ruas garis AB. jarak titik ke titikDi bawah ini adalah contoh mencari jarak pada beberapa bangun ruang yang sudah disederhanakan. Rumus Cepat jarak titik ke titik pada kubus : Dengan : a = rusuk kubus b. Balok jarak titik ke titik pada balokrumus jarak titik ke titik pada balokDengan :p = panjang balokl = lebar balok t = tinggi balok c. Limas (Piramida) limasDengan :TP = aponema t = tinggi limas d. Prisma Tegak prisma segitigaDengan :t = tinggi limas a, b, dan c = rusuk alas prisma Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini CONTOH 1:
JAWAB : Lihat video untuk contoh 1 no.1 Rumus Cepat Jarak Titik ke Titik contoh 1
a. Jarak A ke C adalah garis AG, maka : b. Jarak A ke G adalah garis AC, maka : c. Jarak A ke H adalah garis AH, maka : e. Jarak B ke H adalah garis BH. Karena BH adalah diagonal ruang maka BH = AG = 17 cm CONTOH 2:
JAWAB : Cara 1: AtauCara 2 : Keluarkan untuk menghitung PC menggunakan phytagoras. Lihat video contoh 2 no.1 Jarak Titik ke titik contoh 22.Diketahui limas segitiga T.ABC dengan alas siku-siku di A, TA dan AB saling tegak lurus, AB = AC, jika BC =8√2 dan TA = 6. Jarak titik B ke T adalah …. JAWAB : Segitiga ABC merupakan segitika siku-siku sama kaki sehingga kita bisa cari nilai AB Jadi panjang AB = 8 cm Dari gambar bisa dilihat, untuk mencari jarak B ke T bisa menggunakan phytagoras : Jadi jarak B ke T adalah 10 cm CONTOH 3:
Keluarkan segitiga TPC untuk mencari jarak T ke P dengan Phytagoras Jadi jarak titik P ke T adalah PT = 12 cm Lihat video untuk contoh 3 no.1 Jarak titik T ke P pada limas contoh 3 no.12. Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, alas AB = AC dengan siku-siku di A, jika BC =12√2 dan TA = 9. Jarak titik T ke pertengahan garis BC adalah …. JAWAB : limas T.ABCTinjau segitiga ABC untuk mencari panjang AB dan AC Jadi AB = AC = 12 cm. Tinjau segitiga TBC untuk mencari jarak C ke pertengahan BT Pertengahan BC adalah M. Jarak T ke pertengahan BC adalah TM. BM = 1/2BC = 1/2 . 12√2 =6√2 cm Sehingga TM bisa dicari menggunakan segitiga TMB dengan phytagoras : Jadi jarak T ke pertengahan CB adalah TM = √153 CONTOH 4:Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 4 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal EG dengan FH, Q adalah perpotongan diagonal ED dengan AH. Tentukan jarak titik P ke Q. JAWAB : Lukislah gambar berdasarkan keterangan diatas kubus ABCD.EFGH, jarak P ke Q Buatlah titik tengah EH di M kubus ABCD.EFGH, jarak P ke QKeluarkan segitiga siku-siku PMQ, segitiga MPQPM = MQ, dan PM = QM = ½ AB = ½ x 4 = 2 cm Jadi jarak titik P ke Q adalah 2√2 Lihat video untuk contoh 4 Dimensi 3 Jarak P ke Q pada kubus contoh 4CONTOH 5 :
Cari diagonal AC dengan Phytagoras : Keluarkan bangun AEKG sehingga menjadi : Cari nilai EK menggunakan phytagoras : Gunakan sifat kesebangunan segitiga AEP dengan segitiga KGP. EA : KG = 6√2:4√2=3:2, maka sama juga untuk EP : PK = 3 : 2 Jarak Titik ke Garis
Jika garis g terletak pada bidang α dan titik A berada diluar bidang α, maka untuk menentukan jarak antara titik A ke garis g dengan menarik lurus titik A sehingga tegak lurus di titik B, kemudian tarik titik B ke garis g sehingga memotong di titik C pada garis g. Dibawah ini adalah contoh beberapa rumus cepat jarak yang sering digunakan pada kubus dengan tujuan untuk mempermudah perhitungan. jarak garis HF ke titik AJarak garis HF ke titik P adalah AP= a/2√6 jarak garis AG ke titik CJarak garis AG ke titik C adalah PC= a/3√6 CONTOH 1:
Cara 1 : Cara 2 : keluarkan segitiga BPE Jadi jarak garis EG ke titik B adalah BP = 3√6 Lihat video contoh 1 no.1 Jarak titik B ke EG pada Kubus contoh 1
Tinjau segitiga TAM AM = ½ AC , dengan AC bisa didapat menggunakan phitagoras dari segitiga ABC: AM = ½ x 12 = 6 cm Tinjau lagi segitiga TAM, tarik titik M ke garis At sehingga siku-siku di N Jarak antara M ke garis AT adalah MN. Dapat dicarimenggunakan perbandingan kesebangunansegitiga TMN dengan segitiga TAM, Jadi n jarak M ke garis AT adalah NM = 4,8 cm CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. jarak garis AG dengan titik C JAWAB : Cara 1 : Cara 2 : Jarak AG ke C adalah PC, maka bisa menggunakan kesamaan luas segitiga AGC Lihat Video untuk contoh 2 Jarak titik C ke garis AG contoh 2CONTOH 3:Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC =6√2 cm dan TA = 10 cm. Cari jarak A ke TC. JAWAB : a = 6√2 Tarik titik A ke garis TC sehingga menjadi siku-siku di M, maka jarak A ke TC adalah AM limas T.ABCDKeluarkan segitiga TAC agar mudah menghitung AC dan AM, maka ATC merupakan segitiga sama kaki. segitiga ACTTarik titik T ke AC sehingga tegak lurus di N. Atau pakai phytagoras Cari panjang AM dengan kesamaan luas segitiga Jadi jarak A ke TC adalah AM = 9,8 Lihat Video untuk contoh 3 Jarak titik A ke TC pada Limas T ABCD contoh 3Jarak Titik ke BidangJarak antara titik A dan bidang α adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ adalah proyeksi titik A pada bidang α. jarak titik ke bidang
Agar lebih memahami perhatikan contoh dibawah ini. CONTOH 1:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang AHF JAWAB : a = 8 Cara 1 : Cara 2 : Diagonal sisi AC = a√2=8√2 AM=MC=a/2 √6=8/2 √6=4√6 Cari panjang PC menggunakan kesamaan segitiga Jadi jarak titik C ke AHF adalah PC =16/3 √3 Lihat video untuk contoh 1 Cara Cepat Jarak titik C ke bidang AHF contoh 1CONTOH 2:Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 13 cm. Cari jarak titik T ke bidang ABCD JAWAB : Tarik titik C ke garis AC sehingga siku-siku di P, keluarkan segitiga TPC. Diagonal sisi AC=a √2=5 √2 x √2 =10 cm PC=1/2 AC =1/2 x 10 =5 cm Maka : Jadi jarak T ke bidang ABC adalah TP=12 cm Lihat video untuk contoh 2 Jarak titik T ke bidang ABCD contoh 2CONTOH 3Diketatahui limas beraturan T.ABC dengan AB = AC = 8 cm, TA =10 cm. Jika TA tegak lurus dengan alas, dan siku siku di A Tentukan jarak titik A ke bidang TBC JAWAB : Tarik T ke pertengahan BC di titik P agar titik A searah dengan garis TP, kemudian tarik titik A ke titik Q sehingga siku-siku dengan garis TP, maka jarak A ke TBC adalah garis AQ Keluarkan segitiga TAP siku siku di A agar mudah untuk dianalisa. Gunakan kesamaan luas segitiga untuk mencari AQ Jadi jarak A ke bidang TBCadalah 20/33√66 Lihat video unuk contoh 3 Jarak Garis ke Garis
Pada gambar diatas garis g dan h sejajar, untuk mencari jarak antara garis g dan h ditarik garis dari ruas garis g ke ruas garis h dititik A dan B (garis yang ditarik harus siku-siku agar mendapatkan jarak terdekat). Berikut adalah contoh cara cepat jarak garis ke garis yang sering digunakan pada kubus : Jarak diagonal sisi AC dengan diagonal ruang DF adalah : Jarak sisi AD dengan diagonal ruang BH adalah : mari kita lihat contoh dibawah ini agar lebh mengerti CONTOH 1 :
JAWAB : 1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis EH ke garis BC Jelas terlihat digambar jarak garis EH dengan BC adalah EB, dimana EB adalah diagonal sisi yaitu : 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis AD ke garis BC Jelas terlihat digambar jarak garis AD dengan BC adalah AB, dimana AB adalah panjang sisi kubus sepanjang 6 cm 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak garis CH ke garis AF Titik tengah AF dan CH adalah P dan Q, sehingga jarak antara AF dan CH adalah PQ. Jika dilihat dari gambar PQ sejajar dengan BC sehingga PQ = BC = 12 cm. Lihat video untuk contoh 1 Jarak Garis ke garis contoh1 CONTOH 2 :
Cara Konsep : Tinjau gambar segitiga BDF, jarak antara garis AC dengan DF adalah MN. BD adalah diagonal sisi sehingga BD =8√2 , dan DF adalah diagonal ruang sehingga DF = 8√3Bisa dilihat pada gambar diatas M merupakan titik tengah BD sehingga DM =4√2 . Jika kita tinjau lagi segitiga DMN dan DBF adalah sebangun, sehingga kita bisa mencari MN dengan menggunakan perbandingan : Cara Cepat : dimana a adalah rusuk kubus Agar lebih mengerti lagi lihat video untuk contoh 2 Jarak garis DF ke Ac contoh 2CONTOH 3: Jarak antara garis BD dan TC adalah MN, M adalah pertengahan dari M dan jarak M ke N harus siku-siku karena merupakan jarak terdekat. Cari jarak MN dengan kesamaan luas segitiga TMC Jadi jarak BD ke TC adalah MN = 9,6 lihat video untuk contoh 3 Jarak garis BD ke TC contoh 3JARAK GARIS KE BIDANGJarak antara garis g dan bidang α yang sejajar adalah jarak sembarang titik A pada garis g dan bidang α. Supaya lebih memahami konsep jarak garis ke bidang lihat contoh-contoh dibawah ini CONTOH 1: CONTOH 1:
Tentukan jarak :a. Garis AD ke bidang BCFGb. Garis AH ke bidang BCGFc. Garis DH ke bidang ABEFd. Garis EF ke bidang DCGHe. Garis CG ke bidang DBHF JAWAB : a. Jarak garis AD ke bidang BCFG adalah AB karena AB garis yang tegak lurus dengan garis AD dan bidang BCGFG, dimana panjang AB = 4 cm Jadi jarak garis AD dengan bidang BCFG adalah 4 cm Jadi jarak garis AH dengan bidang BCFG adalah BC = 4 cm Jadi jarak garis DH ke bidang ABEF adalah AD = 4 cm d. Jarak garis EF ke bidang DCGH adalah FG karena FG tegak lurus garis EF dan bidang DCGH Jadi jarak EF ke bidang DCGH adalah FG = 4 cm e. Jarak garis CG ke bidang DBHF adalah garis CM karena CM tegak lurus dengan garis CG dan DBHF. CM = ½ AC Jarak Bidang ke Bidang
Di bawah ini adalah salah satu cara cepat mencari bidang ke bidang pada kubus : Rumus Cepat Jarak Bidang AHF dengan BDG adalah Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini : CONTOH 1 :
JAWAB : Jika dilihat pada gambar, jarak bidang EFGH dengan bidang ABCD adalah AE
Bidang BDHF dengan PQRS sejajar, sehingga garis HF dengan PQ juga sejajar. Maka dapat kita tinjau bidang EFGH sebagai perwakilan dari bidang BDHF dan PQRS jika dilihat tampak atas. Tarik garis dari titik E ke G sehingga memotong FH di M dan memotong PQ di N. Bisa dilihat jarak antara bidang BDHF dan PQRS adalah MN, EG adalah diagonal kubus, maka : Lihat video unruk contoh 1 no. 1 dan 2 Jarak Bidang Ke Bidang Contoh 1CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Tentukan jarak bidang HFC dengan bidang BDE. JAWAB : Jarak HFC dengan bidang BDE adalah Cara 2 : Jarak antara bidang HFC dengan bidang BDE adalah MP. Cari panjang MC dengan kesamaan luas jajargenjang EMCN. Jadi jarak bidang BDE dengan HFC adalah Lihat video untuk contoh 2 agar lebih mengerti Jarak bidang HFC ke bidang BDE contoh 2CONTOH 3 :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonalruangnya cm. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BF,titik Q terletak pada pertengahan rusuk DH, dan titik R terletakpada pertengahan rusuk AE.a. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q. b. Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH JAWAB : a. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q. Langkah – langkah melukis irisan bidangi. Cari titik-titik yang sebidang dengan A, p, dan Qii. Tarik perpanjangan A P karena titik A dan P sebidangiii. (karena EF sebidang dengan AP). Tarik perpanjangan EF sehingga berpotongan dengan perpanjangan AP di Miv. Karena EF sebidang dengan titik G. Tarik perpanjangan GMv. Tarik perpanjangan QG karena titik Q dan G sbidangvi. Karena G dan P sebidang tarik perpanjangan GP vii. Tarik garis AQ sehingga membentuk irisan APGQ melukis irisan kubusb. Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH Jadi garis RS dan AN adalah perwakilan bidang RFH dan bidang APGQ. Dimana, Sehingga jarak garis RN dengan AN adalah RM Gunakan luas bangun jajar genjang untuk mencari RM Jadi jarak bidang APGQ ke bidang RGH adalah RM = 5/2 √2 Jika kurang mengerti lihat video untuk contoh 3 Jarak bidang APGQ ke bidang RFH contoh 3CONTOH 4 :Suatu balok ABCD.EFGH mempunyai panjang, lebar dan tinggi 12 cm, 8 cm dan 6 cm. Jika titik P, Q R, S, T, U, V, W adalah pertengahan garis HG, FG, DC, BC, EH, EF. AD, dan AB, tentukan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW JAWAB : Perwakilan garis dari bidang TUVW adalah TU dan perwakilan garis dari bidang PQRS adalah PQ, dan jika bidang EFGH dikeluarkan dan tarik garis TP dan UQ sehingga menjadi belah ketupat TPUQ , lihat gambar di bawah ini. Kemudian tarik titik P ke garis TU sehingga siku-siku di Q. Garis PX merupakan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW. Gunakan kesamaan luas untuk mencari jarak PX. Luas Jajar Genjang PQTU = Luas Belah ketupat Jadi jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW adalah PX = 24/13 √13 Lihat Video untuk contoh 4 Dimensi 3 Jarak bidang PQRS dengan TUVW pada balok contoh 4PANJANG PROYEKSI GARIS KE BIDANGCONTOH 1 :
Proyeksi adalah bayangan garis AH yang jatuh pada bidang BDHF (bayangkan BDHF adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AH sebagai proyektornya). sehingga hasil proyeksi garis AH dengan bidang DBFH adalah HM DM = ½ BD =1/2.4√2=2√2 cm, maka HM dapat dicari dengan phytagoras. Jadi panjang proyeksi garis AH ke bidangBDHF adalah HM = 2√6 cm c. Lihat gambar dibawah Proyeksi adalah bayangan garis AM yang jatuh pada bidang BDG (bayangkan BDG adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AC sebagai proyektornya). sehingga hasil proyeksi garis AM dengan bidang BDG adalah MG. SUDUT ANTARA GARIS DENGAN GARIS, GARIS DENGAN BIDANG, BIDANG DENGAN BIDANGSudut Antara Garis dan Garis
N adalah titik potong garis g dengan garis h dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dengan garis h. Agar lebih paham simak contoh dibawah ini. CONTOH 1:Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk :a. Garis AB dengan BCb. Garis AC dengan ABc. Nilai cosinus yang dibentuk antara Garis AC dengan AGd. Garis AC dengan CG JAWAB : a. AB dengan BC siku-siku maka sudut yang dibentuk adalah 90ob. Sudut antara AC dengan AB adalah 45o karena setengah sudut dari siku-siku garis AD dengan AB c. Nilai cosinus antara garis AC dengan AG adalah : d. Besar sudut antara AC dengan CG adalah 90o Lihat video untuk contoh 1 Sudut antara garis dengan garis pada kubus contoh 1 besar cosinus antara garis CE dengan garis AG contoh 2CONTOH 2 :Diketahui kubus ABCD.EFGH , jika α adalah sudut terkecil yang dibentuk dibentuk garis CE dengan AG. Tentukan besar cos α JAWAB : Sudut terkecil yang dibentuk garis CE dengan AG adalah sudut EPA, AG dan CE adalah diagonal ruang dengan AG=CE=a√3, sehungga EP = AP = 1/2 AG =1/2 a√3 Untuk mencari kita mengunakan aturan cosinus sebagai berikut : Lihat video untuk contoh 2 besar cosinus antara garis CE dengan garis AG contoh 2CONTOH 3 :
α adalah sudut yang dibentuk antara garis AP dan CP, untuk mempermudah keluarkan segitiga APC. AP adalah jarak titik tengah P ke titik sudut A b. cosα=1/3 maka kita bisa cari sinα dan tanα, menggunakan perbandingan segitiga siku-siku . c. dan tanα=2√2/1 = 2√2 berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga diatas Lihat video untuk contoh 3 no.1 Sudut antara garis AP dan CP contoh 3 no.1
Simak gambar limas T.ABCD diatas kemudain keluarkan segitiga TBD untuk mempermudah visualisasinya. DB adalah diagonal alas persegi yang dapat dicari menggunakan rumus : DB=AD×√2=5√2×√2=10cm Kemudian gunakan rumus aturan cosinus untuk mencari besar cos α. Jadi cosα=119/169 CONTOH 4 :Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sinus antara garis EC dengan AD. JAWAB : sudut antara garis EG dengan ADKarena AD dan BC sejajar sehingga AD di proyeksikan lurus ke BC, maka sudut antara EC dengan AD bisa diwakili oleh BC. BE adalah diagonal sisi maka BE=AB√2=4√2 CE=AB√3=4√3 Sehingga besar sinus antara garis BC dengan CE adalah Lihat video untuk contoh 4 Dimensi 3besar sinus EC dengan AD pada kubus ABCD.EFGH- contoh 4Sudut Antara Garis dan Bidang
Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dan bidang α. Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini. CONTOH 1 :
Perhatikan kubus diatas. HM adalah garis hasil proyeksi AH ke bidang BDH, sehingga sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang DBHM adalah sudut AHM (α). Simak segitiga AHM berikut : Sudah diketahui bahwa pada kubus ABCD.EFGH Jika AB = 6 cm, maka : Jadi, besar sudut α : CONTOH 2 :Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = cm, dan TA = 15 cm. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TA dengan bidang TBD. Tentukan nilai sin α.cos α. JAWAB : Perhatikan limas T.ABCD.Garis TM adalah proyeksi garis TA ke bidang TBD, sehingga sudut antara garis TA dengan TBD adalah susut ATM (α). Untuk mempermudah visualisasi, keluarkan segitiga ATM. Dimana : Jadi dari segitiga ATM kita bisa menentukan sin α.cos α, Sudut Antara Bidang dan Bidang
Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara bidang α dengan bidang β. Garis MN adalah perwakilan dari bidang β agar proyeksi M yaitu M’ (ditarik ke titik N) berpotongan di titik N . Agar lebih memahami konsepnya perhatikan contoh dibawah ini : CONTOH 1 :Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara bidang AHF dan HCF,maka tan α = JAWAB : bidang AHF dengan CHFPerhatikan gambar kubus diatas. M adalah titik potong garis EG dengan HF sehingga perwakilan sudut antara bidang AHF dengan HCF adalah garis AM dengan garis MC. AM adalah jarak titik tengah M ke titik sudut A Dan AC adalah diagonal sisi kubus, sehingga AC =a √2 cos α =1/3, maka dapat dicari menggunakan perbandingan segitiga jadi tan α = 2√2 Lihat video untuk contoh 1 Sudut antara bidang ACF dengan ACH Contoh 1CONTOH 2Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut terkecil yang dibentuk antara bidang BDG dan ABCD, maka cos α = JAWAB : perhatikan kubus ABCD.EFGH diatas. MG adalah pertengahan bidang BDG dan AC adalah diagonal ABCD sehingga MG berpotongan dengan AC di M. Jadi sudut antara bidang BDG dengan ABCD adalah sudut GMC. Lihat video untuk contoh 2 Sudut antara bidang BDG ke ABCD contoh 2CONTOH 3 :Diketahui bidang empat T.ABC. Bidang-bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 6 cm, AB=AC=√6 , dan α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka tentukan besar sin α JAWAB : Perhatikan gambar limas diatas. TM adalah pertengahan bidang TBC dan AM adalah pertengahan bidang ABC, sehingga α adalah sudut antara garis TM dengan AM yang merupakan perwakilan dari kedua bidang ABC dan TBC. Kemudian keluarkan segitiga TAM untuk mempermudah perhitungan dan visualisasinya. Berdasarkan segitiga TAM kita sudah mengetahui letak α, sehingga : Lihat video untuk contoh 3 besar sinus antara bidang ABC dan bidang TBC contoh 3CONTOH 4 :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tentukan besar tangen sudut antara bidang AHF dengan alas ABCD. JAWAB : Tarik garis AP pada pertengahan bidang AHF dan tarik juga garis AC pada pertengahan bidang ABCD, sehingga sudut yang dibentuk antara bidang AHF dengan ABCD adalah sudut PAQ . Keluarkan segitiga PAQ Maka besar tangen PAQ adalah : Lihat video untuk contoh 4 |