Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm jarak antara bidang BDE dan bidang CHF adalah

BANGUN RUANG DIMENSI 3

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, dan BIDANG PADA BANGUN RUANG

Dalam suatu bangun ruang terdapat tiga unsur yang dapat membentuk suatu bangun ruang yaitu, titik, garis dan bidang. Berikut adalah penjelasan mengenai tiga unsur tersebut .

1. Titik
   Suatu titik tidak mempunyai ukuran [besaran], sehingga bisa dikatakan titik tidak berdimensi. Dalam matematika titik dipresentasikan dengan sebuah noktah “ . “ dan diberi nama menggunakan huruf kapital seperti dibawah ini.

1. Garis
   Garis merupakan himpunan titik-titik yang anggotanya lebih dari satu titik. Tidak seperti titik sebuah garis mempunyai ukuran panjang bahkan garis bisa menentukan arah sehingga garis berdimensi satu. Untuk penamaan sebuah garis biasa menggunakan huruf kecil seperti garis g, h, k, l dan sebagainya, lihat contoh dibawah ini :

1. Bidang
   Bidang merupakan himpunan dari garis-garis yang anggotanya lebih dari satu garis, sehingga bisa memiliki ukuran panjang dan luas.

AKSIOMA GARIS dan BIDANG

Aksioma 1 :

Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Aksioma 2 :
Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutian, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang

Aksioma 3 :

Melalui tiga buah titik sembarang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang.

Kedudukan Titik Terhadap Garisa. Titik terletak pada garis

Sebuah titik A dikatakan terletak pada garis m, jika titik A dapat dilalui oleh garis m

b. Titik di Luar Garis
Sebuah titik A dikatakan berada di luar garis m, jika titik A tidak dapat dilalui oleh garis m

Kedudukan Titik Terhadap Bidang
a. Sebuah titik A dikatakan pada bidang α, jika titik A dapat dilalui oleh bidang α

b. Sebuah titik A dikatakan berada di luar bidang α, jika titik A tidak dapat dilalui oleh bidang α

Untuk Lebih Jelasnya Perhatikan Contoh Berikut :

CONTOH 1:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik sudut kubus yang terletak pada garis EG dan berada di luar garis EG

JAWAB :

Titik sudut kubus yang terletak pada garis EG adalah titik E dan G

Titik sudut kubus yang berada di luar garis EG adalah titik A, B, C, D, F, H

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan titik sudut kubus yang terletak pada bidang ABCD dan berada diluar AFH

JAWAB :Titik sudut kubus terletak pada bidang ABCD adalah titik A, B, C dan D

Titik sudut yang berada diluar bidang AFH adalah titik B, C, D, E, G

LIHAT PENJELASAN VIDEO BERIKUT INI

Kedudukan Titik, garis dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 Contoh 1

Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain

a. Dua garis Berpotongan
Dua buah garis m dan n dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong.

dua garis m dan m berpotongan dititik A

b. Dua Garis Sejajar
Dua buah garis m dan n dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan

tidak memiliki titik persekutuan.

garis m dan m berhimpit

Garis m dan n sejajar

c. Dua Garis Bersilangan
Dua buah garis m dan n dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang

Garis m dan n bersilangan

Aksioma Dua Garis Sejajar

Aksioma 1 :
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu itu.

Titik A berada di luar garis n, sehingga melalui titik A dan garis m dapat dibuat bidang α dan melalui titik A dapat dibuat sebuah garis m yang sejajar garis n.

CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan EGb. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan CD

c. Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan EG

JAWAB :a. FG, HG, EH, EF, AE, CG, HFb. AB, HG, EF

c. CD, AB, BC, AD, BD

Lihat Penjelasan Contoh 2 divideo berikut :

Kedusukan Titik, Garis, dan Bidang Pada Bangun Ruang dimensi 3 Contoh 2

CONTOH 3:

Perhatikan kubus ABCD.EFGH dibawah ini. Tentukan :

a. Garis-garis yang berpotongan dengan AC.b. Garis-garis yang sejajar dengan MN.c. Garis-garis yang menyilang BC dengan tegak lurus

d. Garis yang sejajar dengan MG

JAWAB :

a. AB, BC, CD, AD, CG, AE, BD, GM, AN, NM

b. AE, BF, CG, dan DH

c. AE, DH, MN

d. AN

Perhatikan Penjelasan Video untuk Contoh 3

Kedudukan tiik, garis, dan bidang pada bangun dimensi tiga contoh 3

Kedudukan Garis Terhadap Bidang

1. Garis Terletak Pada Bidang

Sebuah garis m dikatakan terletak pada bidang α, jika garis m dan bidang α itu sekurang-kurangnya memiliki dua titik persekutuan.

garis m terletak pada bidang alfa

b. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis m dikatakan sejajar bidang α, jika garis m dan bidang α itu tidak memiliki titik persekutuan.

garis m sejajar bidang α

c. Garis Memotong atau Menembus Bidang
Sebuah garis m dikatakan memotong atau menembus bidang α, jika garis m dan bidang α hanya memiliki satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus.

garis m menembus bidang α di titik A

Kedudukan Bidang Terhadap Bidang

a. Dua Bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatkan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga terletak pada bidang β atau setiap titik yang terletak pada bidang β juga terletak pada bidang α.

bidang α berhimpit dengan bidang β

b. Dua Bidang Sejajar
Bidang α dan β dikatkan sejajar, jika kedua bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.

Bidang α sejajar bidang β

c. Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatkan berpotongan, jika kedua bidang itu memiliki tepat sebuah garis persekutuan. Garis persekutuan sering dinamakan garis potong yang merupakan tempat kedudukan dari titik-titik persekutuan.

Bidang α dan bidang β berpotongan dengan garis potongannya

d. Tiga Bidang Berpotongan
Jika tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik.

CONTOH 4:
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tulislah :

a. Bidang-bidang yang sejajar dengan garis BFb. garis yang terletak pada bidang ABCD

c. garis-garis yang memotong bidang BCGF

JAWAB :a. CDGH, ADEHb. AB, BC, CD, AD, BD

c. AB, BD, DC, EF, HF, HG

Lihat Video untuk Contoh 4

Kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 contoh 4

CONTOH 5:

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukanlah:

1. Rusuk-rusuk kubus dan diagonal sisi yang terletak pada bidang EFGH.
2. Rusuk-rusuk kubus dan diagonal sisi yang sejajar dengan bidang EFGH.
3. Rusuk-rusuk kubus yang menembus bidang EFGH.

JAWAB :

a. EF, EG, GH, EH, EG, FH

b. AB, BC, CD, AD, BD, AC

c. AE, BF, CG, DH

Lihat Video Untuk Contoh 5

Kedudukan titik,garis, dan bidang pada bangun ruang dimensi 3 Contoh 5

CONTOH 6 :

1. Perhatikan kubus ABCD.EFGH

kubus ABCD.EFGH

Bagaimana kedudukan AC terhadap bidang :a. ABCDb. EFGHc. BCFGd. ABEFe. CDHG

JAWAB :

a. Karena titik A dan C terletak pada garis AC dan bidang ABCD, maka garis AC terletak pada bidang ABCD.

b. Bisa dilihat pada gambar bahwa garis AC tidak memiliki titik Persekutuan terhadap bidang EFGH , tetapi karena garis AC sejajar dengan garis EG pada bidang EFGH maka garis AC sejajar dengan bidang EFGH

c. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang BCFG di titik C

d. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang ABEF di titik A

e. Jika dilihat pada gambar, titik AC menembus bidang CDHG di titik C

1. Perhatikan kubus ABCD.EFGH

Bagaimana kedudukan AH terhadap bidang BDG ?
JAWAB :
Pada gambar diatas jelas bahwa garis AH sejajar garis BD yang terletak pada bidang BDG, sehingga garis AH juga sejajar dengan bidang BDG

MELUKIS IRISAN BANGUN RUANG

CONTOH 1:

a. Gambarkan titik tembus garis AG dengan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH

 JAWAB :

• Tarik garis diagonal BH dan DF pada bidang BDFH sehingga memotong di titik M
• Hubungkan titik A ke G sehingga garis AG menembus  bidang BDHF di titik M, maka titik tembus  garis AG dengan bidang BDHF adalah titik M.

b. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Lukislah titik-titik potong antara diagonal ruang AG dengan bidang BDE dan bidang CFH

JAWAB :

• Tariklah garis-garis yang membentuk bidang BDE dan CFH
• Hubungkan titik A ke C sehingga memotong garis BD di P
• Hubungkan titik E ke G sehingga memotong garis FG di Q
• Hubungkan titik Q ke C dan titik P ke Esehingga membagi dua  bidang BDE dan CFH

Kemudain hubungkan titik A ke G sehingga memotong bidang BDE dan CFH di titik M dan M. Maka titik tembusnya adalah M dan N

Lihat Video untu Contoh 1

Melukis Titik tembus pada Kubus contoh 1

CONTOH 2:Diberikan limas dengan titik-titik P, Q, dan Rberturut-turut terletak pada TA, CD, dan BC.

Lukislah irisan limas dengan bidang PQR.

JAWAB :

Langkah-langkah :

1. Hubungkan titik R dan Q [karena satu bidang dengan bidang ABCD] agar menjadi garis perpanjangan RQ2.Tarik garis perpanjangan AB sehingga memotong garis RQ di K

   3.Tarik garis perpanjangan AD sehingga memotong garis RQ di L dan memotong garis BT di S [karena RQ dan AD satu bidang]

2. Hubungkan titik S dan R agar menjadi satu bidang dan tarik titik N dan Q agar menjadi satu bidang
3. Dengan menghubungkan titik P, S, R, Q, N maka terbentuk segi lima PSRQN

Agar Lebih Jelas Lihat Video Contoh 2

Melukis Irisan pada limas T ABCD contoh 2

CONTOH 3:Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik Pdi tengah AE dan titik R di tengah CG, Lukislah irisan bidang yang melalui

titik P, H, dan R dengan kubus tersebut dan hitunglah luas irisan tersebut.

JAWAB :

Langkah-langkahnya :

1. Tarik titik H ke P agar menjadi garis perpanjangan HP
2. Tarik titik H ke R agar menjadi garis perpanjangan HR
3. Tarik garis perpanjangan DA sehingga memotong garis perpanjangan HP di titik K
4. Tarik garis perpanjangan DC sehingga memotong garis perpanjangan HR di titik L
5. Hubungkan tiutik K ke L sehingga memotong di titik B
6. Tarik titik P ke B sehingga jika kita hubungkan titik P, B, R, H menjadi irisan segi empat PBRH atau belahketupat PBRH.

Jadi luas belah ketupat PBRH adalah 18√6 cm2

Lihat Video Contoh 3 agar lebih mengerti

Luas irisan kubus contoh 3

JARAK TITIK KE TITIK, TITIK KE GARIS, TITIK KE BIDANG, GARIS  KE GARIS, GARIS KE BIDANG, BIDANG KE BIDANG

Jarak Titik ke Titik

Jarak antara titik dengan titik, misalnya jarak titik A dengan titik B adalah panjang ruas garis AB.

jarak titik ke titik

Di bawah ini adalah contoh mencari jarak pada beberapa bangun ruang yang sudah disederhanakan.
a. Kubus

jarak titik ketitik pada kubus

Rumus Cepat jarak titik ke titik pada kubus :

Dengan :

a = rusuk kubus

b. Balok

jarak titik ke titik pada balokrumus jarak titik ke titik pada balok

Dengan :p = panjang balokl = lebar balok

t = tinggi balok

c. Limas [Piramida]

limas

Dengan :TP = aponema

t = tinggi limas

d. Prisma Tegak

prisma segitiga

Dengan :t = tinggi limas

a, b, dan c = rusuk alas prisma

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini

CONTOH 1:

1. Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik :a. A ke Db. B ke D

   c. A ke G

JAWAB :

Lihat video untuk contoh 1 no.1

Rumus Cepat Jarak Titik ke Titik contoh 1

1. Diketahui Balok ABCD.EFGH dengan panjang, lebar dan tinggi berturut turut 12 cm, 9 cm dan 8 cm. Tentukan jarak titik :a. A ke Cb. A ke Gc. A ke Hd. B ke H

   JAWAB :

a. Jarak A ke C adalah garis AG, maka :

b. Jarak A ke G adalah garis AC, maka :

c. Jarak A ke H adalah garis AH, maka :

e. Jarak B ke H adalah garis BH. Karena BH adalah diagonal ruang maka BH = AG = 17 cm

CONTOH 2:

1. Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P merupakan perpotongan diagonal EG dan FH. Tentukan jarak titik P ke titik C

JAWAB :

Cara 1:
Menghitung panjang PC bisa langsung menggunakan rumus,

AtauCara 2 :

Keluarkan untuk menghitung PC menggunakan phytagoras.

Lihat video contoh 2 no.1

Jarak Titik ke titik contoh 2

2.Diketahui limas segitiga T.ABC dengan alas siku-siku di A, TA dan AB saling tegak lurus, AB = AC, jika BC =8√2 dan TA = 6. Jarak titik B ke T adalah ….

JAWAB :

Segitiga ABC merupakan segitika siku-siku sama kaki sehingga kita bisa cari nilai AB

Jadi panjang AB = 8 cm
Tinjau segitiga TAB,

Dari gambar bisa dilihat, untuk mencari jarak B ke T bisa menggunakan phytagoras :

Jadi jarak B ke T adalah 10 cm

CONTOH 3:

1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC =10√2cm dan TA = 26 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal BD dan AC, tentukan jarak titik P ke titik T
   JAWAB :

Keluarkan segitiga TPC untuk mencari jarak T ke P dengan Phytagoras

Jadi jarak titik P ke T adalah PT = 12 cm

Lihat video untuk contoh 3 no.1

Jarak titik T ke P pada limas contoh 3 no.1

2. Diketahui limas segitiga T.ABC, TA dan AB saling tegak lurus, alas AB = AC dengan siku-siku di A, jika BC =12√2 dan TA = 9. Jarak titik T ke pertengahan garis BC adalah ….

JAWAB :

limas T.ABC

Tinjau segitiga ABC untuk mencari panjang AB dan AC

Jadi AB = AC = 12 cm.
Tinjau segitiga TAB untuk mencari TB

Tinjau segitiga TBC untuk mencari jarak C ke pertengahan BT

Pertengahan BC adalah M. Jarak T ke pertengahan BC adalah TM.

BM = 1/2BC = 1/2 . 12√2 =6√2 cm

Sehingga TM bisa dicari menggunakan segitiga TMB dengan phytagoras :

Jadi jarak T ke pertengahan CB adalah TM = √153

CONTOH 4:Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 4 cm. Jika P adalah perpotongan diagonal EG dengan FH, Q adalah perpotongan diagonal ED dengan AH. Tentukan jarak titik P ke Q.

JAWAB :

Lukislah gambar berdasarkan keterangan diatas

kubus ABCD.EFGH, jarak P ke Q

Buatlah titik tengah EH di M

kubus ABCD.EFGH, jarak P ke Q

Keluarkan segitiga siku-siku PMQ,

segitiga MPQ

PM = MQ, dan PM = QM = ½ AB = ½ x 4 = 2 cm
Sehingga :

Jadi jarak titik P ke Q adalah 2√2

Lihat video untuk contoh 4

Dimensi 3 Jarak P ke Q pada kubus contoh 4

CONTOH 5 :

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6√2cm. Titik K terletak pada CG sehingga CK : KG = 1 : 2 , titik P terletak pada perpotongan garis AG dan EK. Hitunglah jarak KP.
   JAWAB :
   Karena CK : KG = 1 : 2, maka :

Cari diagonal AC dengan Phytagoras :

Keluarkan bangun AEKG sehingga menjadi :

Cari nilai EK menggunakan phytagoras :

Gunakan sifat kesebangunan segitiga AEP dengan segitiga KGP.

EA : KG = 6√2:4√2=3:2, maka sama juga untuk EP : PK = 3 : 2

Jarak Titik ke Garis

Jarak antara titik A dan garis g [dimana titik A berada di luar garis g] adalah panjang ruas garis AA’, dengan A’ adalah hasil proyeksi titik A pada garis g. Dengan kata lain untuk mencari jarak titik A ke garis g adalah dengan menarik garis tegak lurus ke garis g sehingga memotong di titik A’.

jarak titik ke garis

Jika garis g terletak pada bidang α dan titik A berada diluar bidang α, maka untuk menentukan jarak antara titik A ke garis g dengan menarik lurus titik A sehingga tegak lurus di titik B, kemudian tarik titik B ke garis g sehingga memotong di titik C pada garis g.

Dibawah ini adalah contoh beberapa rumus cepat jarak yang sering digunakan pada kubus dengan tujuan untuk mempermudah perhitungan.

jarak garis HF ke titik A

Jarak garis HF ke titik P adalah AP= a/2√6

jarak garis AG ke titik C

Jarak garis AG ke titik C adalah PC= a/3√6

CONTOH 1:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke garis EG.
   JAWAB :
   a = 6

Cara 1 :
Jarak titik B ke garis EG adalah :

Cara 2 :

keluarkan segitiga BPE

Jadi jarak garis EG ke titik B adalah BP = 3√6

Lihat video contoh 1 no.1

Jarak titik B ke EG pada Kubus contoh 1

1. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB = BC = cm dan panjang sisi tegak 10 cm. Jika M adalah titik perpotongan diagonal AC dengan BC. Tentukan jarak M ke garis AT
   JAWAB :

Tinjau segitiga TAM

AM = ½ AC , dengan AC bisa didapat menggunakan phitagoras dari segitiga ABC:

AM = ½ x 12 = 6 cm
Dan panjang TM,

Tinjau lagi segitiga TAM, tarik titik M ke garis At sehingga siku-siku di N

Jarak antara M ke garis AT adalah MN. Dapat dicarimenggunakan perbandingan kesebangunansegitiga

TMN dengan segitiga TAM,

Jadi n jarak M ke garis AT adalah NM = 4,8 cm

CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. jarak garis AG dengan titik C

JAWAB :

Cara 1 :
Jarak garis AG ke titik C adalah

Cara 2 :
Keluarkan segitiga ACG agar mudah

Jarak AG ke C adalah PC, maka bisa menggunakan kesamaan luas segitiga AGC

Lihat Video untuk contoh 2

Jarak titik C ke garis AG contoh 2

CONTOH 3:Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC =6√2 cm dan TA = 10 cm. Cari jarak A ke TC.

JAWAB :

a = 6√2

Tarik titik A ke garis TC sehingga menjadi siku-siku di M, maka jarak A ke TC adalah AM

limas T.ABCD

Keluarkan segitiga TAC agar mudah menghitung AC dan AM, maka ATC merupakan segitiga sama kaki.

segitiga ACT

Tarik titik T ke AC sehingga tegak lurus di N.
Cari panjang AC :

Atau pakai phytagoras

Cari panjang AM dengan kesamaan luas segitiga

Jadi jarak A ke TC adalah AM = 9,8

Lihat Video untuk contoh 3

Jarak titik A ke TC pada Limas T ABCD contoh 3

Jarak Titik ke Bidang

Jarak antara titik A dan  bidang α adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ adalah proyeksi titik A pada bidang α.

jarak titik ke bidang

1. a. Jarak bidang AHF ke titik C adalah PC=2/3 EC=2/3a√3
   b. Jarak bidang AHF ke titik E adalah EP=1/3 EC=1/3 a√3

kubus ABCD.EFGH

Agar lebih memahami perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 1:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang AHF

JAWAB :

a = 8

Cara 1 :

Cara 2 :
Keluarkan segitiga AMC , tarik M ke garis Ac sehingga siku-siku di Q.

Diagonal sisi AC = a√2=8√2

AM=MC=a/2 √6=8/2 √6=4√6

Cari panjang PC menggunakan kesamaan segitiga

Jadi jarak titik C ke AHF adalah PC =16/3 √3

Lihat video untuk contoh 1

Cara Cepat Jarak titik C ke bidang AHF contoh 1

CONTOH 2:Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD, dengan AB = BC = cm dan TA = 13 cm. Cari jarak titik T ke bidang ABCD

JAWAB :

Tarik titik C ke garis AC sehingga siku-siku di P, keluarkan segitiga TPC.

Diagonal sisi AC=a √2=5 √2 x √2 =10 cm

PC=1/2 AC =1/2 x 10 =5 cm

Maka :

Jadi jarak T ke bidang ABC adalah TP=12 cm

Lihat video untuk contoh 2

Jarak titik T ke bidang ABCD contoh 2

CONTOH 3Diketatahui limas beraturan T.ABC dengan AB = AC = 8 cm, TA =10 cm. Jika TA tegak lurus dengan alas, dan siku siku di A Tentukan jarak titik A ke bidang TBC

JAWAB :

Tarik T ke pertengahan BC di titik P agar titik A searah dengan garis TP, kemudian tarik titik A ke titik Q sehingga siku-siku dengan garis TP, maka jarak A ke TBC adalah garis AQ

Keluarkan segitiga TAP siku siku di A agar mudah untuk dianalisa.

Gunakan kesamaan luas segitiga untuk mencari AQ

Jadi jarak A ke bidang TBCadalah 20/33√66

Lihat video unuk contoh 3

Jarak Garis ke Garis

Jarak garis ke garis pada garis g dan h adalah jarak dari ruas garis yang tegak lurus antara garis g dan h.

Pada gambar diatas garis g dan h sejajar, untuk mencari jarak antara garis g dan h ditarik garis dari ruas garis g ke ruas garis h dititik A dan B [garis yang ditarik harus siku-siku agar mendapatkan jarak terdekat].
Kemudian gambar dibawah ini garis g dan h bersilangan maka jarak antara garis g dan h adalah ruas garis AB dimana menarik garis A keB harus tegak lurus terhadap garis g dan h.

Berikut adalah contoh cara cepat jarak garis ke garis yang sering digunakan pada kubus :
Jarak HG ke AB adalah a√2

Jarak diagonal sisi AC dengan diagonal ruang DF adalah :

Jarak sisi AD dengan diagonal ruang BH adalah :

mari kita lihat contoh dibawah ini agar lebh mengerti

CONTOH 1 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis EH ke garis BC
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis AD ke garis BC
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak garis CH ke garis AF

JAWAB :

1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis EH ke garis BC

Jelas terlihat digambar jarak garis EH dengan BC adalah EB, dimana EB adalah diagonal sisi yaitu :

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis AD ke garis BC

Jelas terlihat digambar jarak garis AD dengan BC adalah AB, dimana AB adalah panjang sisi kubus sepanjang 6 cm

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak garis CH ke garis AF

Titik tengah AF dan CH adalah P dan Q, sehingga jarak antara AF dan CH adalah PQ.

Jika dilihat dari gambar PQ sejajar dengan BC sehingga PQ = BC = 12 cm.        

Lihat video untuk contoh 1

Jarak Garis ke garis contoh
1

CONTOH 2 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis DF ke garis AC
   JAWAB :

Cara Konsep :

Tinjau gambar segitiga BDF, jarak antara garis AC dengan DF adalah MN.

BD adalah diagonal sisi sehingga BD =8√2 , dan DF adalah diagonal ruang sehingga DF = 8√3Bisa dilihat pada gambar diatas M merupakan titik tengah BD sehingga DM =4√2 .

Jika kita tinjau lagi segitiga DMN dan DBF adalah sebangun, sehingga kita bisa mencari MN dengan menggunakan perbandingan :

Cara Cepat :

dimana a adalah rusuk kubus

Agar lebih mengerti lagi lihat video untuk contoh 2

Jarak garis DF ke Ac contoh 2

CONTOH 3:
Diberikan limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = cm dan TA = 20 cm. Hitunglah jarak antara garis BD ke TC
JAWAB :

Jarak antara garis BD dan TC adalah MN, M adalah pertengahan dari M dan jarak M ke N harus siku-siku karena merupakan jarak terdekat.
Keluarkan segitiga TMC untuk mencari MN

Cari jarak MN dengan kesamaan luas segitiga TMC

Jadi jarak BD ke TC adalah MN = 9,6

lihat video untuk contoh 3

Jarak garis BD ke TC contoh 3

JARAK GARIS KE BIDANG

Jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar adalah jarak sembarang titik A pada garis g dan bidang α.

Supaya lebih memahami konsep jarak garis ke bidang lihat contoh-contoh dibawah ini

CONTOH 1:

CONTOH 1:

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dibawah ini dengan panjang rusuk 4 cm.

kubus ABCD.EFGH

Tentukan jarak :a. Garis AD ke bidang BCFGb. Garis AH ke bidang BCGFc. Garis DH ke bidang ABEFd. Garis EF ke bidang DCGHe. Garis CG ke bidang DBHF

JAWAB :

a. Jarak garis AD ke bidang BCFG adalah AB karena AB garis yang tegak lurus dengan garis AD dan bidang BCGFG, dimana panjang AB = 4 cm

Jadi jarak garis AD dengan bidang BCFG adalah 4 cm
b. Jarak garis AH ke bidang BCGF adalah AB karena AB garis yang tegak lurus dengan garis AH dan bidang BCGFG

Jadi jarak garis AH dengan bidang BCFG adalah BC = 4 cm
c. Jarak garis DH ke bidang ABEF adalah AD, karena AD tegak lurus dengan gari DH dan bidang ABEF

Jadi jarak garis DH ke bidang ABEF adalah AD = 4 cm

d. Jarak garis EF ke bidang DCGH adalah FG karena FG tegak lurus garis EF dan bidang DCGH

Jadi jarak EF ke bidang DCGH adalah FG = 4 cm

e. Jarak garis CG ke bidang DBHF adalah garis CM karena CM tegak lurus dengan garis CG dan DBHF.

CM = ½ AC
Dimana AC adalah diagonal sisi, jadi

Jarak Bidang ke Bidang

Jarak antara bidang α dan β yang sejajar adalah jarak sembarang titik A pada bidang α dan A’ pada bidang β, dimana A’ adalah proyeksi tiik A pada bidang β.

Di bawah ini adalah salah satu cara cepat mencari bidang ke bidang pada kubus :

Rumus Cepat Jarak Bidang AHF dengan BDG adalah

Untuk lebih jelasnya lihat contoh dibawah ini :

CONTOH 1 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak bidang EFGH dengan bidang ABCD.

JAWAB :

Jika dilihat pada gambar, jarak bidang EFGH dengan bidang ABCD adalah AE
Sehingga jaraknya bidang EFGH dengan bidang ABCD adalah 10 cm

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jika titik P, Q, R dan S berturut turut pada pertengahan GH, FG, CD dan BC. Tentukan jarak antara bidang BDHF dengan bidang PQRS.
   JAWAB :

Bidang BDHF dengan PQRS sejajar, sehingga garis HF dengan PQ juga sejajar. Maka dapat kita tinjau bidang EFGH sebagai perwakilan dari bidang BDHF dan PQRS jika dilihat tampak atas.

Tarik garis dari titik E ke G sehingga memotong FH di M dan memotong PQ di N.

Bisa dilihat jarak antara bidang BDHF dan PQRS adalah MN, EG adalah diagonal kubus, maka :

Lihat video unruk contoh 1 no. 1 dan 2

Jarak Bidang Ke Bidang Contoh 1

CONTOH 2:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Tentukan jarak bidang HFC dengan bidang BDE.

JAWAB :
Cara 1

Jarak HFC dengan bidang BDE adalah

Cara 2 :
Keluarkan jajar genjang EMCN agar lebih jelas

Jarak antara bidang HFC dengan bidang BDE adalah MP. Cari panjang MC dengan kesamaan luas jajargenjang EMCN.

Jadi jarak bidang BDE dengan HFC adalah

Lihat video untuk contoh 2 agar lebih mengerti

Jarak bidang HFC ke bidang BDE contoh 2

CONTOH 3 :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonalruangnya cm. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BF,titik Q terletak pada pertengahan rusuk DH, dan titik R terletakpada pertengahan rusuk AE.a. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q.

b. Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH

JAWAB :

a. Lukislah irisan bidang yang melalui titik-titik A, P, dan Q.
Karena diagonal ruang AG=10√3 cm, maka sisi kubus tersebut adalah :

Langkah – langkah melukis irisan bidangi. Cari titik-titik yang sebidang dengan A, p, dan Qii. Tarik perpanjangan A P karena titik A dan P sebidangiii. [karena EF sebidang dengan AP]. Tarik perpanjangan EF sehingga berpotongan dengan perpanjangan AP di Miv. Karena EF sebidang dengan titik G. Tarik perpanjangan GMv. Tarik perpanjangan QG karena titik Q dan G sbidangvi. Karena G dan P sebidang tarik perpanjangan GP

vii. Tarik garis AQ sehingga membentuk irisan APGQ

melukis irisan kubus

b. Carilah jarak bidang APGQ dan bidang RFH
Tarik titik R ke S, dimana S adalah pertengahan garis FH dan tarik garis AN dimana N juga pertengahan QP

Jadi garis RS dan AN adalah perwakilan bidang RFH dan bidang APGQ.
Kemudian simak bidang ARNS

Dimana,
AR = ½ AB = 5 cm

Sehingga jarak garis RN dengan AN adalah RM

Gunakan luas bangun jajar genjang untuk mencari RM

Jadi jarak bidang APGQ ke bidang RGH adalah RM = 5/2 √2

Jika kurang mengerti lihat video untuk contoh 3

Jarak bidang APGQ ke bidang RFH contoh 3

CONTOH 4 :Suatu balok ABCD.EFGH mempunyai panjang, lebar dan tinggi 12 cm, 8 cm dan 6 cm. Jika titik P, Q R, S, T, U, V, W adalah pertengahan garis HG, FG, DC, BC, EH, EF. AD, dan AB, tentukan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW

JAWAB :

Perwakilan garis dari bidang TUVW adalah TU dan perwakilan garis dari bidang PQRS adalah PQ, dan jika bidang EFGH dikeluarkan dan tarik garis TP dan UQ sehingga menjadi belah ketupat TPUQ , lihat gambar di bawah ini.

Kemudian tarik titik P ke garis TU sehingga siku-siku di Q. Garis PX merupakan jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW.
Cari TP dengan phytagoras :

Gunakan kesamaan luas untuk mencari jarak PX.

Luas Jajar Genjang PQTU = Luas Belah ketupat

Jadi jarak antara bidang PQRS dengan bidang TUVW adalah PX = 24/13 √13

Lihat Video untuk contoh 4

Dimensi 3 Jarak bidang PQRS dengan TUVW pada balok contoh 4

PANJANG PROYEKSI  GARIS KE BIDANG

CONTOH 1 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dibawah ini dengan panjang rusuk 4 cm.a. Tentukan proyeksi garis AH dengan bidang BDHF.b. Tentukan panjang proyeksi garis AH dengan bidang BDHF.c. Tentukan proyeksi garis AC ke bidang BDG dan hitung panjang proyeksinya

   JAWAB :

   
   a. Proyeksi garis AH dengan bidang BDHF adalah HM

Proyeksi adalah bayangan garis AH yang jatuh pada bidang BDHF [bayangkan BDHF adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AH sebagai proyektornya]. sehingga hasil proyeksi garis AH dengan bidang DBFH adalah HM
b. Tinjau segitiga HDM

DM = ½ BD =1/2.4√2=2√2 cm, maka HM dapat dicari dengan phytagoras.

Jadi panjang proyeksi garis AH ke bidangBDHF adalah HM = 2√6 cm

c. Lihat gambar dibawah

Proyeksi adalah bayangan garis AM yang jatuh pada bidang BDG [bayangkan BDG adalah sebagai dinding yang akan di proyeksikan dan AC sebagai proyektornya]. sehingga hasil proyeksi garis AM dengan bidang BDG adalah MG.
Keluarkan segitiga DBM :

SUDUT ANTARA GARIS DENGAN GARIS, GARIS DENGAN BIDANG, BIDANG DENGAN BIDANG

Sudut Antara Garis dan Garis

Jika garis g tidak tegak lurus pada garis h, maka sudut antara garis g dan garis h merupakan sudut lancip.

N adalah titik potong garis g dengan garis h dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dengan garis h.

Agar lebih paham simak contoh dibawah ini.

CONTOH 1:Diketahui kubus ABCD.EFGH . Tentukan besar sudut yang dibentuk :a. Garis AB dengan BCb. Garis AC dengan ABc. Nilai cosinus yang dibentuk antara Garis AC dengan AGd. Garis AC dengan CG

JAWAB :

a. AB dengan BC siku-siku maka sudut yang dibentuk adalah 90ob. Sudut antara AC dengan AB adalah 45o karena setengah sudut dari siku-siku garis AD dengan AB

c. Nilai cosinus antara garis AC dengan AG adalah :

d. Besar sudut antara AC dengan CG adalah 90o

Lihat video untuk contoh 1

Sudut antara garis dengan garis pada kubus contoh 1 besar cosinus antara garis CE dengan garis AG contoh 2

CONTOH 2 :Diketahui kubus ABCD.EFGH , jika α adalah sudut terkecil yang dibentuk dibentuk garis CE dengan AG. Tentukan besar cos α

JAWAB :

Sudut terkecil yang dibentuk garis CE dengan AG adalah sudut EPA,
Mari kita tinjau segitiga EPA,

AG dan CE adalah diagonal ruang dengan AG=CE=a√3, sehungga EP = AP = 1/2 AG =1/2 a√3

Untuk mencari kita mengunakan aturan cosinus sebagai berikut :

Lihat video untuk contoh 2

besar cosinus antara garis CE dengan garis AG contoh 2

CONTOH 3 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH . P adalah perpotongan diagonal EG dan FH, dan sudut yang dibentuk antara AP dan CP adalah α. Tentukan :a. Cos αb. Sin αc. Tan α

   JAWAB :

   
   Perhatikan gambar kubus dibawah

α adalah sudut yang dibentuk antara garis AP dan CP, untuk mempermudah keluarkan segitiga APC.

AP adalah jarak titik tengah P ke titik sudut A
jadi AP =a/2√6 ,PC = AP =a/2√6 .
Dan AC adalah diagonal sisi kubus, sehingga AC =a√2
Kemudian cari trigonometri menggunakan aturan cosinus

b. cosα=1/3 maka kita bisa cari sinα dan tanα, menggunakan perbandingan segitiga siku-siku .

c. dan tanα=2√2/1 = 2√2  berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga diatas

Lihat video untuk contoh 3 no.1

Sudut antara garis AP dan CP contoh 3 no.1

1. Limas segi empat beraturan T.ABCD mempunyai rusuk alas AB = cm dan sisi tegaknya TA = 13 cm. Jika α adalah sudut antara DT dengan BT Tentukan nilai cos α.
   JAWAB :

Simak gambar limas T.ABCD diatas kemudain keluarkan segitiga TBD untuk mempermudah visualisasinya.

DB adalah diagonal alas persegi yang dapat dicari menggunakan rumus :

DB=AD×√2=5√2×√2=10cm

Kemudian gunakan rumus aturan cosinus untuk mencari besar cos α.

Jadi cosα=119/169

CONTOH 4 :Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sinus antara garis EC dengan AD.

JAWAB :

sudut antara garis EG dengan AD

Karena AD dan BC sejajar sehingga AD di proyeksikan lurus ke BC, maka sudut antara EC dengan AD bisa diwakili oleh BC.
Keluarkan segitiga BCE dengan siku-siku di B

BE adalah diagonal sisi maka BE=AB√2=4√2
CE adalah diagonal ruang maka

CE=AB√3=4√3

Sehingga besar sinus antara garis BC dengan CE adalah

Lihat video untuk contoh 4

Dimensi 3besar sinus EC dengan AD pada kubus ABCD.EFGH- contoh 4

Sudut Antara Garis dan Bidang

Definisi :
Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang α, maka sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α.

Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara garis g dan bidang α.

Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 1 :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang BDHF, tentukan besar sudut α
   JAWAB :

sudut antara garis dan bidang

Perhatikan kubus diatas. HM adalah garis hasil proyeksi AH ke bidang BDH, sehingga sudut yang dibentuk antara garis AH dengan bidang DBHM adalah sudut AHM [α].

Simak segitiga AHM berikut :

Sudah diketahui bahwa pada kubus ABCD.EFGH Jika AB = 6 cm, maka :

Jadi, besar sudut α :

CONTOH 2 :Diketahui limas persegi T.ABCD , AB = BC = cm, dan TA = 15 cm. Jika α sudut yang dibentuk antara garis TA dengan bidang TBD. Tentukan nilai sin α.cos α.

JAWAB :

Perhatikan limas T.ABCD.Garis TM adalah proyeksi garis TA ke bidang TBD, sehingga sudut antara garis TA dengan TBD adalah susut ATM [α].

Untuk mempermudah visualisasi, keluarkan segitiga ATM.

Dimana :

Jadi dari segitiga ATM kita bisa menentukan sin α.cos α,

Sudut Antara Bidang dan Bidang

Definisi :
Sudut antara dua bidang [yang berpotongan] adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang tadi di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut si satu titik.

sudut antara bidang dengan bidang

Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara bidang α dengan bidang β. Garis MN adalah perwakilan dari bidang β agar proyeksi M yaitu M’ [ditarik ke titik N] berpotongan di titik N .

Agar lebih memahami konsepnya perhatikan contoh dibawah ini :

CONTOH 1 :Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut yang dibentuk antara bidang AHF dan HCF,maka tan α =

JAWAB :

bidang AHF dengan CHF

Perhatikan gambar kubus diatas. M adalah titik potong garis EG dengan HF sehingga perwakilan sudut antara bidang AHF dengan HCF adalah garis AM dengan garis MC.
Untuk mempermudah visualisasi, keluarkanlah segitiga AMC.

AM adalah jarak titik tengah M ke titik sudut A
jadi AM=a/2 √6,MC=AP=a/2 √6 AM

Dan AC adalah diagonal sisi kubus, sehingga AC =a √2
Kemudian gunakan rumus aturan cosinus untuk mencari besar cos α.

cos α =1/3, maka dapat dicari menggunakan perbandingan segitiga   

jadi tan α = 2√2

Lihat video untuk contoh 1

Sudut antara bidang ACF dengan ACH Contoh 1

CONTOH 2Diketahui kubus ABCD.EFGH . jika α sudut terkecil yang dibentuk antara bidang BDG dan ABCD, maka cos α =

JAWAB :

perhatikan kubus ABCD.EFGH diatas. MG adalah pertengahan bidang BDG dan AC adalah diagonal ABCD sehingga MG berpotongan dengan AC di M. Jadi sudut antara bidang BDG dengan ABCD adalah sudut GMC.
Keluarkan segitiga GMC untuk mempermudah visualisainya.

Lihat video untuk contoh 2

Sudut antara bidang BDG ke ABCD contoh 2

CONTOH 3 :Diketahui bidang empat T.ABC. Bidang-bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 6 cm, AB=AC=√6 , dan α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka tentukan besar sin α

JAWAB :

Perhatikan gambar limas diatas. TM adalah pertengahan bidang TBC dan AM adalah pertengahan bidang ABC, sehingga α adalah sudut antara garis TM dengan AM yang merupakan perwakilan dari kedua bidang ABC dan TBC.
Dimana :

Kemudian keluarkan segitiga TAM untuk mempermudah perhitungan dan visualisasinya.

Berdasarkan segitiga TAM kita sudah mengetahui letak α, sehingga :

Lihat video untuk contoh 3

besar sinus antara bidang ABC dan bidang TBC contoh 3

CONTOH 4 :Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm, tentukan besar tangen sudut antara bidang AHF dengan alas ABCD.

JAWAB :

Tarik garis AP pada pertengahan bidang AHF dan tarik juga garis AC pada pertengahan bidang ABCD, sehingga sudut yang dibentuk antara bidang AHF dengan ABCD adalah sudut PAQ .

Keluarkan segitiga PAQ

Maka besar tangen PAQ adalah :

Lihat video untuk contoh 4