Diketahui limas segi empat beraturan t. abcd titik sudut yang terletak pada bidang tad adalah

Perhatikan gambar berikut!



Misalkan sudut antara bidang ABCD dengan AT adalah . Diketahui pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua rusuknya sama panjang, misalkan pajang rusuk adalah . Karena AC adalah diagonal bidang maka:

 

Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O, dengan menggunakan definisi sinus :

 

Nilai tan yang hasilnya 1 adalah , sehingga besar sudut yang terbentuk antar garis TA dan bidang ABCD adalah 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dengan bidang ABCD adalah 45°. Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah sisi yang berbentuk persegi dengan ukuran yang sama. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = s cm, memiliki:

  • Panjang diagonal sisi = s√2
  • Panjang diagonal ruang = s√3

Pembahasan

1. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dengan bidang ABCD adalah …

Jawab

Misal panjang rusuk limas tersebut adalah a cm

Perhatikan gambar pada lampiran,  

sudut antara TA dengan bidang ABCD = sudut antara TA dengan AC = sudut antara TA dengan AO (O adalah titik tengah AC) = sudut A  

Perhatikan segitiga TAC

AC = √(AB² + BC²)

AC = √(a² + a²)

AC = √(2a²)

AC = a√2

sehingga AO = ½ AC = ½ a√2

Perhatikan segitiga siku-siku TAO

  • AO = sisi samping sudut A (sa) = ½ a√2
  • AT = sisi miring (mi) = a

Sehingga

cos A =

cos A =

cos A =

cos A = cos 45°

A = 45°

Jadi besar sudut antara TA dengan ABCD adalah 45°

2. Bidang empat ABCD dengan alas segitiga BCD siku-siku sama kaki, BC = DB = 6 √2 cm, AB tegak lurus bidang BCD dan AB = 8 cm. Jarak A ke CD adalah ….

Jawab

Karena AB tegak lurus bidang BCD, maka AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BD

Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

Panjang CD

CD = √(BC² + BD²)

CD = √((6 √2)² + (6 √2)²)

CD = √(72 + 72)

CD = √(144)

CD = 12

Panjang AC = panjang AD

AC = √(AB² + BC²)

AC = √(8² + (6 √2)²)

AC = √(64 + 72)

AC = √(136)

AC = √(4 . 34)

AC = 2 √34

AD = AC = 2 √34

Karena segitiga ACD adalah segitiga sama kaki, maka jarak A ke CD = AO dengan O titik tengah CD sehingga CO = OD = ½ CD = 6 cm

Jadi jarak A ke CD adalah

AO = √(AD²  –  OD²)

AO = √((2 √34)²  –  6²)

AO = √(136  –  36)

AO = √(100)

AO = 10 cm

3.  Pada kubus ABCD.EFGH, AB = 6 cm. Jika titik S dan R berturut-turut adalah pusat bidang EFGH dan ABCD, maka jarak garis RF ke DS adalah ...

Jawab

Perhatikan gambar pada lampiran

Jarak RF ke DS sama dengan jarak titik R ke garis DS atau jarak titik S ke garis RF

Perhatikan segitiga DRS siku-siku di D

  • SR = 6 cm (rusuk)
  • DR = 3√2 cm (DR = ½ DB, DB adalah diagonal sisi)

DS = √(SR²  +  DR²)

DS = √(6²  +  (3√2)²)

DS = √(36  +  18)

DS = √(54)

DS = √(9 . 6)

DS = 3√6

Dengan perbandingan luas segitiga (L = ½ . alas . tinggi) diperoleh:

½ . DS . x = ½ . SR . DR

x =

x =

x =

x =

x =

x =

Jadi jarak garis RF ke garis DS adalah 2√3 cm

4. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui TA = √3, AB = 2, sudut antar rusuk tegak TA dengan bidang ABCD adalah α. Nilai tan α = ....

Jawab

sudut antara TA dengan bidang ABCD = sudut antara TA dengan AC = sudut antara TA dengan AO (O adalah titik tengah AC) = sudut A = α

Perhatikan segitiga TAC

AC = √(AB² + BC²)

AC = √(2² + 2²)

AC = √(4 + 4)

AC = √(8)

AC = √(4 . 2)

AC = 2√2

Sehingga AO = ½ AC = √2

Perhatikan segitiga siku-siku TAO

  • AO = sisi samping sudut A (sa) = √2
  • AT = sisi miring (mi) = √3
  • TO = sisi depan sudut A (de)

dengan panjang TO adalah

TO = √(AT²  –  AO²)

TO = √((√3)²  –  (√2)²)

TO = √(3  –  2)

TO = √(1)

TO = 1

Jadi

tan A =

tan α =

tan α =

tan α =

tan α =

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm. Nilai cos ∠(AG, BDG) adalah ...

Jawab  

Perhatikan gambar pada lampiran

Sudut antara AG dengan bidang BDG adalah sudut antara garis AG dengan garis GO sama dengan sudut G pada segitiga AGO

Ukuran segitiga AGO

  • AG = 4√3 cm (diagonal ruang)
  • AO = ½ AC = 2√2 cm (AC = diagonal sisi = 4√2)

Panjang OG diperoleh dengan rumus pythagoras

OG = √(GC²  +  OC²)

OG = √(4²  +  (2√2)²)

OG = √(16  +  8)

OG = √(24)

OG = √(4 . 6)

OG = 2√6

Dengan aturan kosinus diperoleh

AO² = AG² + OG² – 2 . AG . OG . cos G

(2√2)² = (4√3)² + (2√6)² – 2 . 4√3 . 2√6 . cos G

8 = 48 + 24 – 16 √18 cos G

16 √18 cos G = 48 + 24 – 8

16 . 3√2 cos G = 64

48√2 cos G = 64

cos G =

cos G =

cos G =

cos G =

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang jarak  pada bangun ruang

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 12

Mapel : Matematika  

Kategori : Geometri Bangun Ruang

Kode : 12.2.2

Kata Kunci : kubus, jarak, sudut, limas