Diketahui sebuah persegi ABCD panjang diagonal AC 10 cm dan B 45 derajat panjang sisi AB adalah

Masih ingatkah Anda dengan cara membuktikan teorema Pythagoras dan cara mencari salah satu sisi segitiga siku-siku jika kedua sisi yang lainnya diketahui? Selain bisa digunakan untuk mencari salah satu sisi segitiga siku-siku, teorema Pythagoras bisa digunakan untuk mencari perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku pada sudut khusus. Adapun sudut khusus yang dimaksud di sini adalah 30°, 45°, dan 60°. Bagaimana perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku pada sudut khusus?

Perhatikan gambar ∆ABC di bawah ini.

Segitiga ABC di atas merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2x cm dan dengan ∠CAD = ∠ABC = ∠ACB = 60°, kemudian dari titik C ditarik garis tegak lurus (90°) dengan garis AB dan berpotongan di titik D. Akibatnya ∠ACB terbagi menjadi dua yakni∠ACD = ∠BCD = 30° dan garis AD sama dengan garis BD, sehingga garis AD sama dengan setengah garis AB, maka:

AD = AB

AD = ½ AB

AD = ½ . 2x cm

AD = x cm

Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang CD dapat di cari yakni:

CD2 = AC2 – AD2

CD2 = (2x)2 – x2

CD2 = 4x2 – x2

CD2 = 3x2

CD = x√3 cm

Dengan demikian, diperoleh perbandingan sisi pada segitiga siku-siku pada sudut 30° dan 60°, yakni:

AD : CD : AC = x : x√3 : 2x

AD : CD : AC = 1 : √3 : 2

Misalkan garis AD kita sebut sisi terpendek, garis CD kita sebut sebagai sisi menengah, dan AC kita sebut sebagai sisi terpanjang, maka secara umum perbandingan segitiga siku-siku dengan sudut 30° dan 60° yakni:

sisi pendek : sisi tengah : sisi panjang = 1 : √3 : 2

Perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku pada sudut khusus dapat diterapkan untuk mengerjakan soal tanpa harus mengguanakan teorema Pythagoras lagi. Oke silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar persegi panjang PQRS di bawah ini.

Diketahui panjang diagonal PR = 20 cm dan ∠RPS = 60°. Tentukan

1. a) panjang PS;
2. b) panjang PQ;
3. c) luas PQRS;
4. d) keliling PQRS.

Penyelesaian:

1. a) panjang PS dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (30° dan 60°), yakni:

sisi pendek : sisi panjang = 1 : 2

PS : PR = 1 : 2

PS : 20 cm = 1 : 2

PS = ½ x 20 cm

PS = 10 cm

1. b) panjang PQ juga dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (30° dan 60°), yakni:

sisi tengah : sisi panjang = √3 : 2

PQ : PR = √3 : 2

PQ : 20 cm = √3 : 2

PQ = (√3/2) x 20 cm

PQ = 10√3 cm

1. c) luas PQRS dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegi panjangyakni:

L = p x l

L = PS x PQ

L = 10 cm x 10√3 cm

L = 100√3 cm2

1. d) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegi panjangyakni:

K = 2(p + l)

K = 2(PS + PQ)

K = 2(10 cm + 10√3 cm)

K = 20(1 + √3) cm

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Segitiga ABC pada gambar di atas adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan sudut siku-siku di titik B. Di mana panjang AB = BC = 2x cm, ∠ ABC = 90° dan∠BAC = ∠ACB = 45°.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka panjang AC diperoleh:

AC = √(AB2 + BC2)

AC = √((2x)2 + (2x)2)

AC = √(4x2 + 4x2)

AC = √8x2

AC = 2x√2 cm

Berdasarkan hasil di atas maka diperoleh perbandingan segitiga siku-siku pada sudut 45° yakni:

AB : BC : AC = 2x : 2x : 2x√2

AB : BC : AC = 1 : 1 : √2

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar persegi ABCD di bawah ini.

Diketahui panjang diagonal AC = 10 cm dan ∠BAC = 45°. Tentukan

1. a) panjang AB;
2. b) luas ABCD;
3. c) keliling ABCD.

Penyelesaian:

1. a) panjang AB dapat dicari dengan perbandingan segitiga siku-siku sudut khusus (45°), yakni:

AB : AC = 1 : √2

AB : 10 cm = 1 : √2

AB = (1/√2) x 10 cm

AB = (10/√2) cm

AB = 5√2 cm

1. b) luas ABCD dapat dicari dengan menggunakan rumus luas persegiyakni:

L = s2

L = AB2

L = (5√2 cm)2

L = 50 cm2

1. e) keliling PQRS dapat dicari dengan rumus keliling persegiyakni:

K = 4s

K = 4AB

K = 4 . 5√2 cm

K = 20√2 cm

Cara Mencari Tripel Pythagoras

Sebelum Anda mencari tripel Pythagoras terlebih dahulu Anda harus paham dengan pengertian tripel Pythagoras. Apa itu tripel Pythagoras? Untuk mencari pengertian tripel Pythagoras perhatikan kelompok bilangan berikut ini.

1. a) 5, 12, 13
2. b) 14, 8, 17
3. c) 8, 6, 10
4. d) 3, 4, 6

Misalkan kelompok tiga bilangan di atas merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga. Masih ingatkah Andacara menentukan jenis segitiga dengan teorema Pythagoras? Nah dengan menggunakan teorema Pythagoras maka kita akan bisa tentukan yang mana kumpulan bilangan tersebut yang merupakan segitiga siku-siku.

a). misalkan a = 5, b = 12 dan c = 13,  dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

c2 = 132

c2 = 169

a2 + b2 = 52 + 122

a2 + b2 = 25 + 144

a2 + b2 = 169

Karena 132 = 52 + 122, maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.

b). misalkan a = 14, b = 8 dan c = 17,  dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

c2 = 172

c2 = 289

a2 + b2 = 142 + 82

a2 + b2 = 196 + 64

a2 + b2 = 260

Karena 172 > 82 + 172, maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-siku.

1. misalkan a= 6, b= 8 dan c = 10,  dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

c2 = 102

c2 = 100

a2 + b2 = 62 + 82

a2 + b2 = 36 + 64

a2 + b2 = 100

Karena 102 = 62 + 82, maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.

1. misalkan a= 3, b= 4 dan c = 6,  dengan mengkudaratkan sisi miring dan jumlahkan kaudrat sisi lainnya, maka diperoleh:

c2 = 62

c2 = 36

a2 + b2 = 32 + 42

a2 + b2 = 9 + 16

a2 + b2 = 25

Karena 62 > 32 + 42, maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-siku.

Dari uraian di atas tampak bahwa kelompok tiga bilangan 5, 12, 13 dan 6, 8, 10 merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku, karena memenuhi teorema Pythagoras. Selanjutnya, kelompok tiga bilangan tersebut disebut tripel Pythagoras.

Jadi, dari penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa pengertian tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya. Bagaimana caranya mencari tripel Pythagoras?

Sekarang perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas merupakan tabel cara mencari tripel Pythagoras. Dari tabel di atas dapat ditarik kesimpulan untuk mencari tripel Pythagoras dapat dicari dengan rumus:

(a2 – b2), 2ab, (a2 + b2)

dengan a > b dan a, b merupakan bilangan bulat positif.

Contoh Soal

Pada segitiga ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tunjukkan bahwa ∆ABC siku-siku dan di titik manakah ∆ABC siku-siku?

Penyelesaian:

Untuk membuktikan apakah ∆ABC siku-siku dapat digunakan teorema Pythagoras, yakni:

AC2 = 262

AC2 = 676

AB2 + BC2 = 102 + 242

AB2 + BC2 = 100 + 576

AB2 + BC2 = 676

Karena AC2 = AB2 + BC2, maka ∆ABC termasuk segitiga siku-siku.

Cara Mencari Sisi Segitiga Siku-Siku dengan Teorema Pythagoras

Gambar di atas merupakan segitiga siku-siku, maka akan berlaku teorema phyagoras. Di mana teorema phytagoras menyatakan bahwa pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya (silahkan baca: cara membuktikan teorema Phytagoras). Maka pada gambar di atas akan berlaku rumus:

a = √(c2 – b2)

b = √(c2 – a2)

c = √(a2 + b2)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang penerapan teorema phytagoras untuk mencari salah satu sisi segitiga siku-siku jika kedua sisinya sudah diketahui, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 24 cm dan BC = 10 cm.

Hitunglah panjang AC.

Penyelesaian:

Pernyataan di atas jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 24­2 + 102

AC2 = 576 + 100

AC2 = 676

AC = √676

AC = 26

Jadi, panjang AC adalah 26 cm.

Contoh Soal 2

Diketahui segitiga RST siku-siku di S dengan RS = (x + 5) cm, ST = (x + 9) cm dan RT = 20 cm. Hitunglah nilai x, RS dan ST!

Penyelesaian:

Pernyataan di atas jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku

RT2 = RS2 + ST2

202 = (x + 5)­2 + (x + 9)2

400 = (x­2 + 10x + 25) + (x2 + 18x + 81)

400 = 2x2 + 28x + 106

294 = 2x2 + 28x

2x2 + 28x – 294 = 0

x2 + 14 – 147 = 0

(x – 7)(x + 21) = 0

x – 7 = 0

x = 7 (memenuhi)

x + 21 = 0

x = – 21 (tidak mungkin)

RS = (x + 5) cm

RS = (7 + 5) cm

RS = 12 cm

ST = (x + 9) cm

ST = (7 + 9) cm

ST = 16 cm

Jadi, nilai x, RS, dan ST berturut-turut adalah 7, 12 cm dan 16 cm.

Contoh Soal 3

Diketahui segitiga XYZ siku-siku di Y dengan XY = (p + 15) cm, YZ = 10 cm dan XZ = (p + 17) cm. Hitunglah nilai p, XY dan XZ!

Penyelesaian:

Pernyataan di atas jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku

XZ2 = XY2 + YZ2

YZ2 = XZ2 – XY2

102 = (p + 15)­2 – (p + 17)2

100 = (p­2 + 30p + 225) – (p2 + 34x + 289)

100 = –4p –  64

4p = 100 – 64

4p = 36

p = 9

XY = (p + 15) cm

XY = (9 + 15) cm

XY = 24 cm

XZ = (p + 17) cm

XZ = (9 + 17) cm

XZ = 26 cm

Jadi, nilai p, XY, dan XZ berturut-turut adalah 9, 24 cm dan 26 cm.