Gunakanlah tabel distribusi normal z untuk menentukan p(0 z 1 65)

Distribusi normal merupakan suatu distribusi yang umum digunakan dalam ilmu Statistika. Ketika mempelajari distribusi normal, kamu mungkin akan menemukan istilah-istilah seperti z score, tabel z atau tabel distribusi z. Sebenarnya apa pengertian dari istilah-istilah tersebut? Bagaimana cara membaca tabel z atau bisa disebut juga dengan z tabel? Pada artikel kali ini, akan dibahas mengenai materi terkait z tabel. Selain itu akan disajikan pula cara pembuatan z tabel menggunakan Microsoft Excel.

Distribusi Normal

Sumber : Gerd Altmann from Pixabay

Distirbusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian merupakan salah satu jenis distribusi dengan variabel random yang kontinu. Distribusi normal memiliki kurva yang berbentuk menyerupai lonceng. Fungsi densitas/kerapatan distribusi normal dinyatakan sebagai berikut :

Sumber : Dokumentasi Penulis

Dimana :

• π : konstanta yang bernilai 3,1416
• e : bilangan Euler yang bernilai 2,7183
• µ : mean (rata-rata) populasi
• σ : standar deviasi (simpangan baku) populasi

Baca juga: Penggunaannya Rumus Slovin

Distribusi normal yang memiliki rata-rata = 0 dan standar deviasi = 1 disebut distribusi normal standar. Variabel random distribusi normal standar dilambangkan dengan Z yang merupakan hasil transformasi dari variabel random X yang berdistribusi normal.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Di dalam distribusi normal dikenal suatu aturan yang disebut aturan empiris  (68-95-99,7). Aturan empiris ini mengatakan bahwa:

• Sekitar 68% data berada dalam satu standar deviasi dari rata-rata.
• Sekitar 95% data berada dalam dua standar deviasi dari rata-rata.
• Sekitar 99,7% data berada dalam tiga standar deviasi dari rata-rata.

Jika aturan empiris diilustrasikan pada kurva distribusi normal maka dapat diperoleh :

Sumber : Dokumentasi Penulis

Aturan empiris juga dapat diinterpretasikan sebagai peluang (probabilitas) yaitu jika kamu mengambil suatu data secara acak dari populasi yang berdistribusi normal, maka:

• Peluang data tersebut berada dalam satu standar deviasi dari rata-rata adalah sekitar 0,68.
• Peluang data tersebut berada dalam dua standar deviasi dari rata-rata adalah sekitar 0,95.
• Peluang data tersebut berada dalam tiga standar deviasi dari rata-rata adalah sekitar 0,9974.

Berdasarkan aturan empiris, kamu dapat mengetahui persentase data yang berada pada tiga letak saja (satu standar deviasi dari rata-rata, dua standar deviasi dari rata-rata, dan tiga standar deviasi dari rata-rata). Namun bagaimana jika kamu ingin mengetahui persentase data yang berada pada jarak berapapun dari rata-rata? Untuk menjawabnya, kamu bisa menggunakan z score dan z tabel.

Karena distribusi normal memiliki berbagai kurva yang berbeda (bergantung pada parameter µ dan σ), maka kita akan memanfaatkan kurva distribusi normal standar dengan melibatkan proses transformasi data.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Nilai z hasil transformasi dari x yang berdistribusi normal disebut juga dengan z score (standard score). Z score merupakan ukuran yang menentukan seberapa jauh jarak suatu nilai dengan rata-rata dalam satuan standar deviasi. Z score berada pada sumbu datar dari kurva normal. Z score akan bernilai positif jika nilainya berada di sebelah kanan rata-rata. Begitu pula sebaliknya, z score bernilai negatif jika nilanya berada di sebelah kiri rata-rata.

Pengertian Tabel Z

Z tabel / tabel z adalah tabel yang berisi persentase luasan daerah di bawah kurva distribusi normal (dapat juga menunjukkan probabilitas atau peluang) yang dihitung berdasarkan z score. Tabel z statistik hanya digunakan untuk data yang berdistribusi normal.

Tabel z statistik pada umumnya dibuat dengan format berikut :

• Kolom dan baris pertama dari tabel z statistik menunjukkan z score.
• Kolom pertama dari tabel z statistik berisi bilangan bulat dan bilangan di tempat desimal pertama (bilangan bulat dan satu bilangan di belakang koma).
• Baris pertama dari tabel z statistik berisi bilangan yang menunjukkan bilangan di tempat desimal kedua (bilangan kedua di belakang koma).
• Nilai yang berada di dalam tabel merupakan peluang. Interpretasi nilai peluang tersebut bergantung pada jenis tabel.

Jenis-jenis Tabel Z

Tabel z cumulative from mean

Tabel z cumulative from mean menunjukkan luasan daerah di bawah kurva normal dimulai dari rata-rata (titik 0 pada sumbu x, karena rata-rata dari distribusi normal standar adalah 0) menuju ke sebelah kanan sampai z score yang diinginkan. Dapat dikatakan pula sebagai peluang suatu nilai berada di antara 0 dan z atau P(0 ≤ Z ≤ z). Pada tabel z jenis ini hanya berisi z score positif.

Tabel z cumulative

Tabel z cumulative menunjukkan luasan daerah di bawah kurva normal dari negative infinity (negatif tak hingga) menuju ke sebelah kanan sampai z score yang diinginkan. Dapat dikatakan pula sebagai peluang suatu nilai kurang dari z atau P(Z ≤ z). Tabel z cumulative berisi z score positif dan z score negatif.

Tabel z complementary cumulative

Tabel ini menunjukkan luasan daerah di bawah kurva normal dari z score yang diinginkan menuju ke sebelah kanan sampai tak hingga. Dengan kata lain, merupakan peluang suatu nilai lebih dari z atau P(Z ≥ z).

Cara Membuat Tabel Z

Jenis tabel z score yang sering digunakan adalah tabel z cumulative. Oleh karena itu, pada artikel ini hanya akan membahas cara pembuatan tabel z score untuk jenis cumulative. Untuk membuat tabel z cumulative, kamu dapat menggunakan Microsoft Excel. Berikut adalah langkah-langkah pembuatannya :

1. Isi sel A2 dengan nilai -3,4

2. Isi sel A3 dengan rumus =A2+0,1. Salin rumus tersebut hingga sel A70. Ini artinya kamu membuat z score secara berurutan dimulai dari -3,4 sampai 3,4 dengan selisih sebesar 0,1.

Sumber : Dokumentasi Penulis

3. Isi sel B1 dengan nilai 0

4. Isi sel C1 dengan rumus =B1+0,01. Salin rumus tersebut hingga sel K1. Ini berarti kamu membuat angka yang berurutan mulai dari 0,00 hingga 0,09 dengan selisih sebesar 0,01.

Sumber : Dokumentasi Penulis

5. Isi sel B2 dengan rumus =NORMSDIST($A2-B$1). Salin rumus tersebut hingga sel K2.

Sumber : Dokumentasi Penulis

6. Blok sel B2 sampai dengan K2 kemudian drag sampai sel K35, sehingga sel yang terisi adalah bagian yang memiliki z score negatif.

Sumber : Dokumentasi Penulis

7. Selanjutnya isi cell B36 dengan rumus =NORMSDIST($A36+B$1). Salin rumus tersebut hingga ke cell K36.

Sumber : Dokumentasi Penulis

8. Blok sel B36 sampai dengan K36 kemudian drag sampai sel K70 sehingga sel yang terisi adalah daerah dengan z score positif dan semua bagian dalam tabel z score sudah terisi.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Cara Membaca Tabel Z

Untuk setiap jenis tabel z, maka cara membacanya juga berbeda-beda. Pada kali ini, akan diberikan contoh bagaimana cara membaca tabel z cumulative yang telah dibuat berdasarkan langkah-langkah sebelumnya. Sebagai contoh jika ingin dicari nilai dari P(Z ≤ 2,56).

Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu dengan menentukan letak nilai 2,5 pada kolom pertama (pada tabel contoh yang telah dibuat sebelumnya, nilai 2,5 terletak di sel A61), lalu tarik garis ke arah kanan.

Langkah berikutnya, kamu menentukan letak nilai 0,04 pada baris pertama (berdasarkan tabel contoh, nilai 0,04 terletak di sel F1). Setelah itu tarik garis ke bawah sampai menemukan titik pertemuan dengan hasil langkah pertama.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Dengan demikian diperoleh nilai dari P(Z ≤ 2,56) adalah 0,9945.

Baca juga: Korelasi Product Moment Pearson

Contoh Soal

Dalam menggunakan tabel z score, hal yang perlu diingat bahwa tabel ini merupakan tabel transformasi z score. Jadi kamu perlu melakukan transformasi data yang berdistribusi normal menjadi berdistribusi normal standar. Berikut akan disajikan beberapa contoh soal terkait penggunaan tabel z score.

Contoh Soal 1

Berapakah luas daerah kurva distribusi normal standar pada Z > -0,56?

Pembahasan :

Karena yang digunakan adalah tabel z cumulative maka kamu harus mengubah bentuk probabilitasnya menjadi P(Z ≤ z)

P (Z > -0,54) = 1 – P(Z ≤ -0,54)

Berdasarkan tabel z cumulative nilai dari P(Z ≤ -0,54) adalah 0,2946 sehingga

P (Z > -0,54) = 1 – P(Z ≤ -0,54) = 1 – 0,2946 = 0,7054

Contoh Soal 2

Diketahui suatu distribusi normal dengan mean 60 dan standar deviasi 16. Berapa luasan daerah di bawah kurva normal antara 68 sampai 84?

Pembahasan :

Distribusi yang diketahui adalah distribusi normal, sedangkan tabel z merupakan tabel distribusi z (tabel transformasi z score). Oleh karena itu, perlu dilakukan transformasi.

Transformasi x = 68 ke z

Sumber : Dokumentasi Penulis

Transformasi x = 84 ke z

Sumber : Dokumentasi Penulis

Sehingga diperoleh :

P(68 ≤ X ≤84) = P(0,5 ≤ Z ≤ 1,5)

P(68 ≤ X ≤84) = P(Z ≤ 1,5) – P(Z ≤ 0,5)

P(68 ≤ X ≤84) = 0,9332 – 0,6915 = 0,2417

P(68 ≤ X ≤84) = 0,2417

Contoh Soal 3

Rata-rata produktivitas padi di provinsi A tahun 2017 adalah 6 ton per ha (hektar), dengan standar deviasi 0,9 ton. Jika luas sawah di provinsi A adalah 100.000 ha dan produktivitas padi berdistribusi normal, berapa luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton?

Pembahasan :

Diketahui data berdistribusi normal dengan rata-rata 6 ton dan standar deviasi 0,9. Akan dicari luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton atau dapat dinotasikan dengan P(X > 8). Agar dapat memanfaatkan tabel distribusi z (tabel transformasi z score) dilakukan transformasi x = 8 ke dalam bentuk z.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Sehingga :

P(X > 8) = P(Z > 2,22) = 1 – P(Z ≤ 2,22) = 1 – 0,9868 = 0,0132

Dapat diinterpretasikan bahwa 0,0132 dari luas sawah di provinsi A memiliki produktivitas lebih dari 8 ton. Diketahui luas sawah di provinsi A adalah 100.000 ha, maka luas sawah di provinsi A yang memiliki produktivitas lebih dari 8 ton adalah 0,0132 x 100.000 = 1320 ha.

Contoh Soal 4

Diketahui umur sebuah lampu produksi PT. XYZ yang berdistribusi secara normal dengan rata-rata 800 jam dan standar deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas lampu produksi perusahaan tersebut akan :

• Berumur kurang dari 834 dan lebih dari 778 jam.
• Berumur kurang dari 750 atau lebih dari 900 jam.

Pembahasan :

Diketahui umur lampu berdistribusi normal dengan rata-rata 800 jam dan standar deviasi 40 jam.

• Probabilitas lampu dari perusahaan tersebut berumur kurang dari 834 jam dan lebih dari 778 jam dapat dinyatakan sebagai P(X ≤ 834 dan X ≥ 778).

Sumber : Dokumentasi Penulis

Berdasarkan ilustrasi di atas, daerah yang merupakan irisan (dilewati oleh dua garis) adalah 778 ≤ X ≤ 834. Maka P(X ≤ 834 dan X ≥ 778) sama dengan P(778 ≤ X ≤ 834).

P(778 ≤ X ≤ 834) = P(X ≤ 834) – P(X ≤ 778)

Agar dapat memanfaatkan tabel distribusi z (tabel transformasi z score), maka dilakukanlah transformasi.

Transformasi x = 834 ke z

Sumber : Dokumentasi Penulis

Transformasi x = 778 ke z

Sumber : Dokumentasi Penulis

Sehingga :

P(778 ≤ X ≤ 834) = P(X ≤ 834) – P(X ≤ 778)

P(778 ≤ X ≤ 834) = P(Z ≤ 0,85) – P(Z ≤ -0,55)

P(778 ≤ X ≤ 834) = 0,8023 – 0,2912 = 0,5111

Jadi probabilitas lampu dari perusahaan tersebut berumur kurang dari 834 jam dan lebih dari 778 jam adalah 0,5111.

• Probabilitas lampu dari perusahaan tersebut berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam dapat dinotasikan dengan P(X ≤ 750 atau X ≥ 900).

Daerah X ≤ 750 atau X ≥ 900 merupakan daerah gabungan dari kedua interval tersebut, sehingga :

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = P(X ≤ 750) + P(X ≥ 900)

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = P(X ≤ 750)+ 1 – P(X ≤ 900)

Lalu dilakukan transformasi agar dapat menggunakan tabel distribusi z (tabel transformasi z score).

Transformasi x = 750

Sumber : Dokumentasi Penulis

Transformasi x = 900

Sumber : Dokumentasi Penulis

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = P(X ≤ 750) + 1 – P(X ≤ 900)

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = P(Z ≤ -1,25) + 1 – P(Z ≤ 2,5)

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = P(Z ≤ -1,25) + 1 – P(Z ≤ 2,5)

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = 0,1056 + 1 – 0,9938

P(X ≤ 750 atau X ≥ 900) = 0,1118

Jadi probabilitas lampu dari perusahaan tersebut berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam adalah 0,1118.

Contoh Soal 5

Ketika kamu melakukan uji Z, pada bagian daerah kritik (daerah penolakan) biasanya kamu menemukan istilah Zα . Misalkan pada uji z satu sisi, kamu menemukan daerah kritiknya berbunyi : H0 ditolak jika Z > Zα . Bagaimana cara membaca tabel z untuk mencari Zα ?

Zα dapat diinterpretasikan sebagai nilai z yang memberikan probabilitas sebesar 1-α. Sebagai contoh digunakan α = 0,05. Maka dicari nilai z yang menghasilkan probabilitas sebesar 1-0,05 = 0,95. Nilai probabilitas berada di bagian dalam tabel sehingga kamu perlu mencari nilai di dalam tabel yang bernilai paling dekat dengan 0,95.

Sumber : Dokumentasi Penulis

Ditemukan nilai yang paling dekat dengan 0,95 adalah 0,9495 (selisih dengan 0,95 sebesar 0,0005) dan 0,9505 (selisih dengan 0,95 sebesar 0,0005). Dari posisi 0,9495 tarik garis ke arah kiri sampai menunjukkan posisi nilai z yaitu 1,6. Lalu tarik garis ke arah atas sampai ke nilai yang berada di baris pertama yaitu 0,04. Sehingga diperoleh nilai z untuk 0,9495 adalah 1,64.

Untuk nilai 0,9505 juga dilakukan hal yang sama, tarik garis ke arah kiri dan kemudian ke arah atas sampai berada di posisi nilai z. Diperoleh nilai z untuk 0,9505 adalah 1,65. Selanjutnya kamu perlu mencari nilai dari (1,64 + 1,65)/ 2 = 1,645. Jadi, nilai Z0,05 = 1,645.

Baca juga: Uji Linearitas SPSS

Sekian pembahasan mengenai distribusi normal dan tabel z. Kamu dapat membaca referensi lain sebagai tambahan. Semoga artikel ini dapat membantu pemahaman kamu.

Sumber :

Ott, Lyman. 2001. An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis Fifth Edition. Duxbury.