Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x 3 cos x − 1 = 0 pada 0 ≤ x ≤ 180 adalah
Jakarta - Persamaan trigonometri menjadi salah satu materi dalam pelajaran matematika. Agar lebih memahami, ada contoh soal persamaan trigonometri yang bisa dipelajari di sini. Persamaan trigonometri memiliki tiga rumus dasar yang wajib diketahui sebagai berikut
Selain itu, persamaan trigonometri berbentuk a cos x + b sin x = c, dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu mengubah persamaan tersebut menjadi a cos x + b sin x = c Leftrightarrow k cos (x -α) =cdengan k = q² + b² dan tan α = frac{a}{b} Syaratnya: c² ≤ a² + b² Contoh Soal Persamaan Trigonometri dilansir buku 'Bahas Total Kumpulan Soal Super Lengkap Matematika SMA' karya Supadi:1. Soal
2. Dikutip dari buku ' xxx' berikut contoh soal persamaan trigonometri Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah... Jawaban √3 cos x + sin x = √2 1/2√3 cos x + 1/2 sin x = 1/2 √2 cos 30° cos x + sin 30° sin x = cos 45° cos (x-30°) = cos 45', maka(x-30°) = ± 45° + k . 360°x1 -30° = 45° + k . 360° atau x1 = 75° + k . 360° supaya x1 terletak di antara 0° dan 360° makax1 = 75° + 0 . 360° = 75°x2 - 30° = -45° + k . 360°atau x2 = 15° + k. 360° ambil k = 1, x2 = -15° + 1 x 360° = 345° 3. Contoh soal persamaan trigonometri cos 2x° - cos x° - 2 = 0 Jawaban cos 2x° - cos x° - 2 = 0Leftrightarrow (2 cos² x - 1) - cos x° - 2 = 0Leftrightarrow 2 cos² x° - cos x° - 3 = 0Leftrightarrow (2 cos x° - 3) (cos x° + 1) = 0Leftrightarrow cos x = 2/3 (tidak mungkin) atau cos x°= -1= cos 180° x=180° Selamat belajar contoh soal persaman trigonometri, detikers! Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut" (pay/pal)
Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu. UN 2017 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/3, π, 5π/3} B. {2π/3, π, 4π/3} C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π} D. {0, π/3, 5π/3, 2π} E. {0, π/3, 4π/3, 2π}Pembahasan : cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0(2cos2x - 1) + cos x = 0 2cos2x + cos x - 1 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 1) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1 cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300°cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π → x = 180° Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} atau {π/3, π, 5π/3}Jawaban : A Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian. UN 2017 Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 7π/6} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6} Pembahasan : 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2(1 - sin2x) 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x 6sin2x - 5sin x - 4 = 0 (3sin x - 4)(2sin x + 1) = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -1/2 sin x = 4/3 → tidak mempunyai solusi sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP = {210°, 330°} atau {7π/6, 11π/6}Jawaban : E UN 2016 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {60°, 120°, 150°} B. {60°, 150°, 300°} C. {90°, 210°, 300°} D. {90°, 210°, 330°} E. {120°, 250°, 330°}Pembahasan : cos 2x + sin x = 0 1 - 2sin²x + sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 (2sin x + 1)(sin x - 1) = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330°sin x = 1, 0 ≤ x ≤ 360° → x = 90° Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}Jawaban : D
Pembahasan : cos 2x + 3cos x - 1 = 0(2cos2x - 1) + 3cos x - 1 = 0 2cos2x + 3cos x - 2 = 0 (2cos x - 1)(cos x + 2) = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -2 cos x = -2 → tidak mempunyai solusi cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 360° Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HP = {60°, 300°}
UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {0°, 20°, 60°} B. {0°, 20°, 100°} C. {20°, 60°, 100°} D. {20°, 100°, 140°} E. {100°, 140°, 180°}Pembahasan : 0° ≤ x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540° Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1(360°) = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}Jawaban : D UN 2014 Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {30°, 150°} B. {30°, 300°} C. {60°, 150°} D. {60°, 300°} E. {150°, 300°} Pembahasan : 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2(1 - sin2x) + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 0 2sin2x - 5sin x + 2 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 2) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 2 sin x = 2 → tidak mempunyai solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A UN 2013 Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {30°, 60°, 150°} D. {60°, 90°, 120°} E. {60°, 120°, 150°}Pembahasan : cos 2x - sin x = 0(1 - 2sin2x) - sin x = 0 2sin2x + sin x - 1 = 0 (2sin x - 1)(sin x + 1) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = -1 sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180° Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150°sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180° (tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°) Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A UN 2012 Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {120°, 150°} B. {150°, 165°} C. {30°, 150°} D. {30°, 165°} E. {15°, 105°}
(1 - 2sin22x) + 3sin 2x = -1 -2sin22x + 3sin 2x + 2 = 0 2sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 (2sin 2x + 1)(sin 2x - 2) = 0 sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2 sin 2x = 2 → tidak mempunyai solusi sin 2x = -1/2 , 0° ≤ 2x ≤ 360° Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HP = {105°, 165°}Jawaban : - UN 2010 Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ... A. {0, π} B. {π/2, π} C. {3π/2, π} D. {π/2, 3π/2} E. {0, 3π/2}Pembahasan : sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x (2sin x + 2) = 0 cos x = 0 atau sin x = -1cos x = 0, 0 ≤ x < 2π → x = 90°sin x = -1, 0 ≤ x < 2π → x = 270° Jadi, HP = {90°, 270°} atau {π/2, 3π/2}
UN 2009 Himpunan penyelesaian sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ... A. {10, 50, 170, 230} B. {50, 70, 230} C. {50, 170, 230, 350} D. {20, 80, 100} E. {0, 50, 170, 230, 350}Pembahasan : sin (2x + 110)° + sin (2x - 10)° = 1/2 Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin\(\mathrm{\left ( \frac{A+B}{2} \right )}\) cos\(\mathrm{\left ( \frac{A-B}{2} \right )}\) pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin (2x + 50)° cos 60° = 1/2 2sin (2x + 50)° (1/2) = 1/2 sin (2x + 50)° = 1/2 sin (2x + 50)° = sin 30° Solusi I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -20 + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Solusi II : 2x + 50 = (180 - 30) + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}Jawaban : C UN 2008 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {240°, 300°} B. {210°, 330°} C. {120°, 240°} D. {60°, 120°} E. {30°, 150°}Pembahasan : cos 2x + 7sin x - 4 = 0(1 - 2sin2x) + 7sin x - 4 = 0 -2sin2x + 7sin x - 3 = 0 2sin2x - 7sin x + 3 = 0 (2sin x - 1)(sin x - 3) = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 3 sin x = 3 → tidak mempunyai solusi sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360° Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}
UN 2005 Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {45°, 105°, 225°, 285°} B. {45°, 135°, 225°, 315°} C. {15°, 105°, 195°, 285°} D. {15°, 135°, 195°, 315°} E. {15°, 225°, 295°, 315°} Pembahasan : Acos x + Bsin x = k cos (x - θ) dengan k = \(\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}\) tan θ = \(\mathrm{\frac{B}{A}}\) atau θ = arctan\(\mathrm{\left ( \frac{B}{A} \right )}\)Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B). 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0 ⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 (2cos2x - 1) - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1 ............................(1) Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos (2x - θ) A = √3 dan B = -1 k = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\) = 2 Karena (A, B) = (√3, -1) berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV. tan θ = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos (2x - 330°) .........(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (2x - 330°) = 1 cos (2x - 330°) = 1/2 cos (2x - 330°) = cos 60° Solusi I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}
UN 2004 Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {15°, 105°} B. {15°, 195°} C. {75°, 105°} D. {75°, 345°} E. {105°, 345°}Pembahasan : √6 sin x + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................(1) Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos (x - θ) A = √2 dan B = √6 k = \(\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( \sqrt{6} \right )^{2}}\) = 2√2 Karena (A, B) = (√2, √6) berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. tan θ = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\) = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos (x - 60°) ......(2) Dari persaamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2√2 cos (x - 60°) = 2 cos (x - 60°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) cos (x - 60°) = cos 45° Solusi I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solusi II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HP = {15°, 105°}Jawaban : A UN 2003 Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ... A. {120°, 180°} B. {90°, 210°} C. {30°, 270°} D. {0°, 300°} E. {0°, 300°, 360°}Pembahasan : sin x - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................(1) Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos (x - θ) A = -√3 dan B = 1 k = \(\sqrt{\left ( -\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 1 \right )^{2}}\) = 2 Karena (A, B) = (-√3, 1) berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. tan θ = \(\frac{1}{-\sqrt{3}}\) = \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos (x - 150°) .............(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan 2cos (x - 150°) = √3 cos (x - 150°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos (x - 150°) = cos 30° Solusi I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HP = {120°, 180°}Jawaban : A |