Blog Koma - Sebelumnya teman-teman telah belajar menghitung luas daerah menggunakan integral dimana poin penting yang harus kita butuhkan dalam penghitungannya yaitu fungsi setiap kurva, batasan integralnya [baik sumbu X atau sumbu Y], dan daerah arsirannya. Pada artikel ini kita akan mempelajari Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral baik dengan diketahui grafiknya [kurvanya] atau tidak.
Yang namanya cara cepat itu pasti sifatnya terbatas. Apakah cara cepat ini bisa digunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral semua jenis soal? tentu tidak, hanya tipe soal tertentu yang bisa kita gunakan cara cepat. Kami menyarankan bagi teman-teman yang sedang belajar menghitung luas daerah sebaiknya juga menguasai konsep dasarnya juga, karena konsep dasar itu pasti akan bisa mengkover atau bisa menyelesaikan semua jenis soal yang berkaitan dengan integral luasan.
Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral ini secara umum dibagi menjadi dua yaitu pertama : menghitung luas tanpa menggambar kurvanya [grafiknya] dan kedua : diketahui grafiknya tetapi tidak diketahui fungsinya. Untuk penghitungannya juga ada dua yaitu langsung menggunakan rumus baku [artinya tidak perlu menggunakan integral] dan tetap menggunakan integral. Hanya saja untuk penggunaan rumus baku hanya terbatas pada bentuk fungsi kuadrat dan fungsi linear. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.
Menghitung Luas Daerah dengan Rumus Baku
Cara cepat yang pertama yaitu langsung menggunakan rumus baku, artinya kita tidak perlu menggunakan integral. Berikut penjelasannya : i]. Rumus Diskriminan
Tentu teman-teman masih ingat tentang cara menentukan nilai Diskriminan pada materi persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ [D] \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini adalah untuk daerah yang tepat dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.
Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral
Contoh Soal Cara Cepat Menghitung Luas Daerah : 1]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ? Penyelesaian : *]. Menentukan nilai diskriminannya : $ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = [-8]^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $ *]. Menghitung luasnya : $ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas. 2]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ? Penyelesaian : *]. Menentukan nilai diskriminannya : $ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = [7]^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $ *]. Menghitung luasnya : $ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 20\frac{5}{6} \, $ satuan luas. 3]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva seperti gambar di bawah ini,
Menghitung Luas Daerah dengan integral Tanpa menggambar kurva [grafiknya]
Langkah-langkah dalam menghitung luasnya : i]. Tentukan titik potong kurva terhadap sumbu X [dengan substitusi $ y = 0 $ ] untuk luasan satu kurva dan tentukan titik potong kedua kurva jika dibatasi dua kurva. ii]. Dari titik potong bagian [i], kita akan menentukan apakah pada batasan tersebut daerahnya sudah di atas sumbu X atau di bawah dengan cara mensubstitusi salah satu nilai $ x \, $ yang ada diantara titik potong ke fungsinya. Jika nilai fungsi positif maka daerahnya ada di atas dan jika nilai fungsi negatif maka daerahnya ada di bawah sumbu X.
iii]. Menghitung luasnya dengan integral.
Contoh soal menghitung luas daerah dengan integral tanpa menggambar kurva [grafiknya] : 6]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $. Penyelesaian : *]. Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X : $ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ [x - 2][x-4] & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $ Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $, artinya batasan integralnya sudah jelas yaitu dari 2 sampai 4. *]. Menentukan letak daerah arsiran Batasannya antara 2 dan 4, kita coba titik $ x = 3 \, $ , $ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $ Karena hasil fungsinya negatif $[-1] $ , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X, sehingga agar luasnya positif kita kalikan dengan negatif. *]. Menghitung luasnya $ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -[[ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]] \\ & = -[[ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]] \\ & = -[[ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]] \\ & = -[ \frac{56}{3} - 20] \\ & = -[ - \frac{4}{3} ] \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ \frac{4}{3} \, $ satuan luas. 7]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $. Penyelesaian : *]. soal ini mirip dengan sola nomor 6, sehingga titik potong terhadap sumbu X adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $. Batas yang diminta adalah garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi daerah untuk $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 $, ini menandakan ada dua daerah yang akan dihitung luasnya yaitu daerah 0 sampai 2 dan daerah 2 sampai 3. *]. Menentukan letak daerah arsiran Daerah pertama 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $ $ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -6 + 8 \\ & = 3 \end{align} $ Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah 0 sampai 2. Daerah kedua 2 sampai 3, substitusi $ x = 2,5 $ $ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = [2,5]^2 -6.[2,5] + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8 \\ & = -0,75 \end{align} $ Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 2 sampai 3, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif. *]. Menghitung luasnya $ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + [- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ] \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx - \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $ Jadi, luas daerah yang dimaksud bisa dihitung dari bentuk integral di atas. 8]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X. Penyelesaian : *]. Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X : $ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x[x^2 - 4] & = 0 \\ x[x - 2][x+2] & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $ Karena batasnya langsung dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan langsung menggunakan titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua daerah yang akan kita hitung luasnya yaitu daerah dari -2 sampai 0 dan dari 0 sampai 2. Daerah pertama -2 sampai 0, substitusi $ x = -1 $ $ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = [-1]^3 - 4.[-1] \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $ Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah -2 sampai 0. Daerah kedua 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $ $ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $ Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 0 sampai 2, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif. *]. Menghitung luasnya $ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + [- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ] \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = [[ 0 ]-[\frac{1}{4}. [-2]^4 - 2.[-2]^2]] - [[\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]] \\ & = [[ 0 ]-[4 - 8]] - [[4 - 8] - [0]] \\ & = [[ 0 ]-[-4]] - [[-4] ] \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $ Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 8 satuan luas. 9]. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $. Penyelesaian : *]. Menentukan titik potong kedua kurva : $ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ [x-2][x-4] & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $ Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . Namun batasan yang diminta adalah garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 sampai 4, sehingga yang dipakai adalah batasannya dari 2 sampai 3. *]. Menentukan posisi kurva mana yang di atas dan mana yang di bawah. Batasannya antara 2 dan 3, kita coba titik $ x = 2,5 \, $ , kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $ $ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = [2,5]^2 - 2.[2,5] + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5 \\ & = 6,25 \end{align} $ kurva : $ y = 4x - 3 $ $ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.[2,5] - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $ Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih kecil dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di bawah kurva kedua. *]. Menghitung luasnya $ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 [4x - 3] - [x^2 - 2x + 5] dx \\ & = \int \limits_2^3 -x^2 + 6x - 8 dx \\ & = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 8x ]_2^3 \\ & = [-\frac{1}{3}.3^3 + 3.3^2 - 8.3 ] - [-\frac{1}{3}.2^3 + 3.2^2 - 8.2 ] \\ & = [-9 + 27 - 24 ] - [-\frac{8}{3} + 12 - 16 ] \\ & = [-6 ] - [-\frac{8}{3} - 4 ] \\ & = -2 + \frac{8}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $ Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ \frac{2}{3} \, $ satuan luas.Bagaimana pembahasan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu teman-teman yang lagi mempelajari materi integral khususnya tentang penggunaan integral pada luas daerah arsiran. Yang namanya cara cepat pasti sifatnya terbatas hanya untuk soal-soal terntentu saja. Jadi, kami sarankan bagi teman-teman untuk menguasai konsep dasar menghitung luas daerah dengan integral yaitu membutuhkan fungsi, batasan, dan daerahnya dengan menggambar kurvanya.