Pernyataan dalam logika matematika adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah dan tidak keduanya. Nilai kebenaran dari pernyataan dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan-aturan tertentu.
Logika Dasar
Aturan dasar yang perlu dipahami dari logika matematika untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan antara lain:
- Negasi – negasi atau ingkaran adalah kebalikan dari kebenaran suatu pernyataan. Misalkan p adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, maka ~p adalah negasi dari p dan bernilai salah, begitu pula sebaliknya.
- Konjungsi – konjungsi adalah penghubung logika yang mewakili “dan”. Misalkan terdapat dua pernyataan p dan q, maka p ˄ q dibaca: “p dan q”.
- Disjungsi – disjungsi adalah penghubung logika yang mewakili “atau”. Misalkan terdapat dua pernyataan p dan q, maka p ˅ q dibaca: “p atau q”.
- Implikasi – Implikasi adalah penghubung logika jika-maka [p ⇒ q, dibaca: p maka q]
- Biimplikasi – Biimplikasi adalah penghubung logika jika dan hanya jika [p ⟺ q, dibaca: p jika dan hanya jika q]
Berikut rangkuman pembahasan untuk tiap-tiap penghubung.
Operasi atau Penghubung Logika
Konjungsi [DAN]
Konjungsi adalah penghubung logika dua pernyataan yang akan bernilai benar jika kedua pernyataannya benar. Berikut tabel nilai kebenaran pada konjungsi.
Diberikan p dan q pernyataan
Dalam bahasa sederhana, p ∧ q benar jika p dan q bernilai benar. Selain itu, p ∧ q bernilai salah.
Disjungsi [ATAU]
Disjungsi adalah penghubung dua pernyataan yang akan bernilai salah jika kedua pernyataannya salah. Berikut tabel nilai kebenaran pada disjungsi.
Perlu diingat bahwa p ∨ q akan bernilai salah jika p dan q bernilai salah, selain itu bernilai benar.
Implikasi [jika, maka]
Implikasi adalah penghubung dalam logika matematika yang menyatakan hubungan kausal jika-maka, yang hanya akan bernilai salah jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Berikut tabel nilai kebenaran untuk implikasi.
Perlu diingat bahwa p ⇒ q bernilaisalah hanya pada kasus p benar dan q salah, selain itu bernilai benar.
Biimplikasi [jika dan hanya jika]
Biimplikasi adalah penghubung dalam pernyataan matematik yang merepresentasikan makna jika dan hanya jika. Biimplilkai akan bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama, jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang berbeda, maka p ↔ q bernilai salah. Berikut tabel nilai kebenaran untuk biimplikasi.
Perlu digarisbawahi bahwa pernyataan p ↔ q benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama, jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang berbeda, maka p ↔ q bernilai salah.
Contoh Soal
Penerapan logika matematika dan tabel nilai kebenaran pada pembuktian pernyataan.
1. Nilai kebenaran dari pernyataan p ↔ [q ˅ ~p] adalah….
| p | q | ~p | [q ˅ ~p] | p ↔ [q ˅ ~p] |
| B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | S |
| S | S | B | B | S |
Jadi, nilai kebenaran dari pernyataan tersebut adalah BSSS
2. Nilai kebenaran dari pernyataan [ ~p ↔ q ] v [ ~p ʌ q ] adalah…
| p | q | ~p | [ ~p ↔ q ] | [ ~p ʌ q ] | [ ~p ↔ q ] v [ ~p ʌ q ] |
| B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B |
| S | B | B | B | B | B |
| S | S | B | S | S | S |
Jadi nilai kebenaran dari pernyataan tersebut adalah SBBS
3. Buktikan ekuivalensi berikut: ~[p ↔ q] ≡[p ∧ ¬q] ∨ [¬p ∧ q]
| p | q | p ↔ q | ~[p ↔ q] | p ∧ ~q | ~p ∧ q | [p ∧ ¬q] ∨ [¬p ∧ q] |
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | B | S | B |
| S | B | S | B | S | B | B |
| S | S | B | S | S | S | S |
Karena nilai kebenaran dari kedua pernyataan ~[p ↔ q] dan [p ∧ ¬q] ∨ [¬p ∧ q] adalah sama, maka ekuivalensi kedua pernyataan tersebut dapat dibuktikan benar.
4. Buktikan ekuivalensi berikut: ~[p ∧ q] ≡ ~p ∨ ~q
| p | q | p ∧ q | ~[p ∧ q] | ~p | ~q | ~p ∨ ~q |
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | B |
Karena dari tabel nilai kebenaran pernyataan diperoleh nilai kebenaran yang sama antara ~[p ∧ q] dan ~p ∨ ~q, maka pernyataan ekuivalensi ~[p ∧ q] ≡ ~p ∨ ~q terbukti benar.
5. Buktikan ekuivalensi berikut: ~[p ∨ q] ≡ [~p] ∧ [~q]
| p | q | p ∨ q | ¬[p ∨ q] | ¬p | ¬q | [¬p] ∧ [¬q] |
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | B | S | S |
| S | S | S | B | B | B | B |
Pada tabel nilai kebenaran diperoleh nilai kebenaran yang sama antara ~[p ∨ q] dan [~p] ∧ [~q], maka ekuivalensi ~[p ∨ q] ≡ [~p] ∧ [~q] terbukti benar.
6. Buktikan ekuivalensi berikut: ~p ∨ q ≡ p → q
| p | q | ~p | ~p ∨ q | p ⇒ q |
| B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B |
Karen pada tabel kebenaran diperoleh nilai yang sama antara ~p ∨ q dan p → q, maka pernyataan ~p ∨ q ≡ p → q terbukti benar.
Pembahasan masih akan terus diperbarui dengan soal dan pembahasan yang lain. Anda juga dapat mengajukan pertanyaan di kolom komentar di bawah [Jika Anda menggunakan HP, klik exit mobile version untuk membuka kolom komentar]. Untuk pembahasan soal yang lain klik di sini, dan materi klik di sini.
Hai! Sebelumnya, kita sudah membahas mengenai ingkaran dan konjungsi yang merupakan kata penghubung dalam kalimat majemuk pada logika matematika SMA. Apa kamu sudah menyimak materi tersebut? Nah, ternyata masih ada 3 jenis kata penghubung lainnya, lho. Apa sajakah itu? Keep scrolling!
1. Disjungsi [∨]
Disjungsi adalah kata penghubung yang menggunakan kata atau yang disimbolkan dengan ∨. Jika dua pernyataan p atau q, maka p∨q. Bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu dari p atau q bernilai benar. Sebaliknya p∨q bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Contoh :
Nilai kebenaran dari bilangan prima 4 habis dibagi 3 atau 4 habis dibagi 2 adalah ....
Jawab :
Pernyataan pertama: p = Bilangan prima 4 habis dibagi 3 [bernilai salah]
Pernyataan pertama: q = 4 habis dibagi 2 [bernilai benar]
Karena p bernilai salah dan q bernilai benar maka pernyataan p∨q bernilai benar.
2. Implikasi [->]
Implikasi adalah kata penghubung pada pernyataan majemuk dengan kata penghubung jika …, maka … Jika p dan q merupakan dua buah pernyataan, maka p -> q akan bernilai salah jika p benar dan q salah. Kemudian, akan bernilai benar untuk kemungkinan yang lainnya dari pernyataan p -> q.
Contoh :
Nilai kebenaran dari jika 2 + 3 = 5, maka 2 – 3 = 5” adalah…
Jawab :
p = 2 + 3 = 5 [benar] q = 2 – 3 = 5 [salah]
Karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan p -> q bernilai salah.
3. Biimplikasi [↔]Biimplikasi adalah kata penghubung pada pernyataan majemuk yang menggunakan kata jika … dan hanya jika ... Jika p dan q dua buah pernyataan, maka p↔q. Jika kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama maka pernyataan tersebut bernilai benar, sebaliknya p↔q jika salah satu bernilai salah atau salah satu bernilai benar, maka nilai pernyataan akan bernilai salah.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari 10 + 5 = 15 jika dan hanya jika 15 bukan bilangan prima adalah .…
Jawab :
p = 10 + 5 = 15 [Bernilai benar] q = 15 bukan bilangan prima [Bernilai benar]
Karena p bernilai benar dan q bernilai benar, maka pernyataan majemuk tersebut bernilai benar.
Demikianlah pembahasan mengenai macam-macam kalimat yang digunakan dalam penalaran logika. Semoga bermanfaat untukmu ya! Masih mau belajar lagi? Yuk, gabung di ruangbelajar! Di sana kamu bisa belajar dengan video animasi yang keren dan soal-soal latihan.Sumber Referensi
Sharma S. N, Widiastuti N, Himawan C, dkk [2017] Jelajah Matematika SMA Kelas XI Program Wajib. Jakarta:Yudisthira
Artikel diperbahui 21 Januari 2021