Jumlah suatu bilangan n dan 7 adalah 15 bentuk PLSV adalah

Variabel dan

Pertidaksamaan Linear

Satu Variabel

Persamaan Pertidaksamaan Linear

Linear Satu Satu Variabel

Variabel

Himpunan Himpunan Selesaian Selesaian

Penerapan Penerapan dalam Masalah

dalam Masalah Nyata

Nyata

Einstein dilahirkan di Ulm di Württemberg, Jerman; sekitar 100 km sebelah timur Stuttgart. Bapaknya bernama Hermann Einstein, seorang penjual ranjang bulu yang kemudian menjalani pekerjaan elektrokimia. Pada umur lima tahun, ayahnya menunjukkan kompas kantung, dan Einstein menyadari bahwa sesuatu di ruang yang “kosong” ini beraksi terhadap jarum di kompas tersebut. Dia kemudian menjelaskan pengalamannya ini sebagai salah satu saat yang paling menggugah dalam hidupnya. Meskipun dia membuat model dan alat mekanik sebagai hobi, dia dianggap sebagai pelajar yang lambat, kemungkinan disebabkan oleh dyslexia, sifat pemalu, atau karena struktur yang

Albert Einstein

jarang dan tidak biasa pada otaknya (diteliti setelah

(1879 –1955 M)

kematiannya). Dia kemudian diberikan penghargaan untuk teori relativitasnya karena kelambatannya ini. Dia

berkata dengan berpikir dalam tentang ruang dan waktu dari anak-anak lainnya. Dia mampu mengembangkan kepandaian yang lebih berkembang.

Einstein mulai belajar matematika pada umur dua belas tahun. Ada isu bahwa dia gagal dalam matematika dalam jenjang pendidikannya, tetapi ini tidak benar. Penggantian dalam penilaian membuatnya bingung pada tahun berikutnya. Dua pamannya membantu mengembangkan ketertarikannya terhadap dunia intelek pada masa akhir kanak-kanaknya dan awal remaja dengan memberikan usulan dan buku tentang sains dan matematika. Pada tahun 1894, dikarenakan kegagalan bisnis elektrokimia ayahnya, Einstein pindah dari München ke Pavia, Italia (dekat kota Milan). Albert tetap tinggal untuk menyelesaikan sekolah, menyelesaikan satu semester sebelum bergabung kembali dengan keluarganya di Pavia.

Einstein merupakan salah seorang ilmuan yang menggunakan persamaan linear untuk menyatakan hubungan antara energi dan massa dalam teori relativitasnya, yaitu E =

mc 2 . Setelah teori relativitas umum dirumuskan, Einstein menjadi terkenal ke seluruh dunia, pencapaian yang tidak biasa bagi seorang ilmuwan. Di masa tua, ketenarannya melampaui ketenaran semua ilmuwan dalam sejarah dan dalam budaya populer. Kata Einstein dianggap bersinonim dengan kecerdasan atau bahkan genius.

Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik antara lain: 1. Kita harus pandai-pandai mengamati segala sesuatu yang terjadi di sekitar kita,

sehingga kita bisa mengambil manfaatnya. 2. Miskipun kita dianggap sebagai anak yang lamban belajar, kita tidak perlu pesimis

untuk selalu belajar dan belajar terus dalam menuntut ilmu. Kalau kita belajar dengan sungguh-sungguh dan tekun, maka hasilnya akan bermanfaat bagi diri kita dan orang lain.

3. Jika kita benar-benar ingin menuntut ilmu dengan baik dan benar, maka kita jangan sampai terpengaruh dengan masalah apapun yang kita hadapi.

4. Ketika kita sudah mendapatkan suatu ilmu, gunakanlah ilmu itu untuk kebaikan dan ajarkanlah kepada orang lain.

Sumber: https://wikimedia. org/wikipedia

K Memahami Konsep

egiatan 4.1 Persamaan Linear Satu Variabel

Pada bab ini kalian harus mengenal terlebih dahulu operasi hitung pada aljabar. Kalian telah mempelajari materi itu pada bab sebelumnya. Konsep pada bab yang akan kalian pelajari ini bermanfaat dalam berbagai hal. Kalian akan menggunakan materi ini untuk menyelesaikan masalah-masalah nyata. Terutama masalah-masalah yang akan kalian peroleh pada bab-bab selanjutnya. Namun, sebelum kalian memahami konsep persamaan linear satu variabel, terlebih dahulu kalian lakukan Kegiatan 4.1 berikut.

Ayo Kita Amati

Suatu kalimat dapat dibuat dari susunan kata-kata atau menggunakan simbol tertentu. Penggolongan kalimat dalam matematika dibagi menjadi dua, yaitu kalimat tertutup dan kalimat terbuka.

Amati percakapan dua orang siswa, Toman dan Rizky, yang sedang bermain tebak-tebakan berikut.

Toman : “Riz, coba jawab pertanyaanku. Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?”

Rizky : “Itu sih pertanyaan mudah, Tom. Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno.”

Toman : “Betul.” Rizky

: “Sekarang giliranku. Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya?” Toman : “Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini.” Rizky : “Jawabanmu salah, Tom. Coba kalau matematika. Kamu kan

jago matematika. Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian dikurangi tiga menghasilkan tujuh. Bilangan berapakah itu?”

Toman : “Ehm, sebentar Riz. Bilangan yang kamu maksud adalah 5, bukan? Lima dikali dua kemudian dikurangi tiga sama dengan tujuh. Benar kan? Sekarang giliranku. Suatu bilangan jika dikalikan oleh dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kalinya dan dikurangi satu sama dengan tujuh. Bilangan berapakah itu?”

MATEMATIKA

Rizky : “Aduh, susah banget sih. Saya tebak bilangan yang kamu maksud adalah enam. Enam dikali dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kali enam dan dikurangi satu hasilnya tujuh. Bagaimana, tebakanku benar kan?”

Toman : “Hampir benar. Jawaban yang benar adalah negatif enam.” Rizky

: “Halah, kurang negatif saja. He he he.”

Perhatikan kalimat-kalimat dalam percakapan Toman dan Rizky di atas. Kalimat-kalimat tersebut dapat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok sebagai berikut.

1. Kalimat yang tidak dapat dinilai kebenarannya, yaitu:  Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?  Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya?  Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian dikurangi tiga

menghasilkan tujuh.  Suatu bilangan jika dikalikan oleh dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kalinya dan dikurangi satu sama dengan tujuh. Kalimat-kalimat tersebut merupakan kalimat yang tidak dapat dinilai

benar atau salah. Mengapa?

2. Kalimat yang bernilai benar  Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno.

 Lima dikali dua kemudian dikurangi tiga sama dengan tujuh.

3. Kalimat yang bernilai salah  Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini.

 Enam dikali dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kali enam dan dikurangi satu hasilnya tujuh.

Kelompok kalimat (2) dan kalimat (3) merupakan kelompok kalimat berita (deklaratif) yang dapat dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak kedua- duanya. Kalimat yang dapat dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya disebut dengan kalimat tertutup atau disebut juga pernyataan. Kalian akan mempelajari lebih lanjut tentang pernyataan dalam Logika Matematika di tingkat SMA.

250 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

? Ayo Kita ?

Menanya

Perhatikan kalimat-kalimat berikut.

1. Bilangan prima terkecil adalah 3.

2. Jika a adalah bilangan asli, maka 2a + 4 adalah bilangan ganjil.

3. Dua adalah bilangan ganjil. Dari ketiga kalimat di atas, manakah yang bernilai benar? Jelaskan. Setelah kalian melakukan kegiatan di atas, buatlah pertanyaan terkait dengan

kalimat tertutup. Misalnya, “apa perbedaan antara kalimat tertutup dan yang bukan?” Kemudian ajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.

Ayo Kita Amati

Amatilah kalimat-kalimat berikut.

1. Kota X adalah ibukota Negara Republik Indonesia.

2. Provinsi S terletak di Pulau Sulawesi.

3. Dua ditambah a sama dengan delapan.

5. x + 4 = 10 Gambar 4.1 Pulau Sulawesi Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran kelima kalimat di atas? Kalimat-

kalimat di atas tidak dapat kita tentukan nilai kebenarannya. Sebab ada unsur yang belum diketahui nilainya. Kalimat (1) bergantung pada kota X, kalimat (2) bergantung pada Provinsi S, kalimat (3) bergantung pada nilai a, kalimat

(4) bergantung pada █, dan kalimat (5) bergantung pada x. Kalimat-kalimat tersebut merupakan kalimat terbuka. Unsur tertentu dalam

setiap kalimat terbuka disebut variabel. Kalimat (1) akan menjadi kalimat tertutup jika X diganti Jakarta dan menjadi

kalimat yang bernilai benar. Namun jika X diganti selain Jakarta maka kalimat (1) bernilai salah.

MATEMATIKA

Kalimat (2) akan menjadi kalimat tertutup apabila S diganti Gorontalo dan menjadi kalimat yang bernilai benar. Namun jika S diganti selain Gorontalo maka kalimat itu bernilai salah.

Kalimat (5) akan menjadi kalimat tertutup apabila x diganti dengan suatu bilangan. Jika diganti 6 maka kalimat bernilai benar dan jika diganti selain 6 maka kalimat bernilai salah. Pengganti variabel yang berupa bilangan disebut konstanta.

Sedikit Informasi

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja karena memiliki unsur yang belum diketahui nilainya.

Variabel adalah simbol/lambang yang mewakili sebarang anggota suatu himpunan semesta. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.

Contoh 4.1

1. Dua dikurang m sama dengan satu. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu m.

2. y adalah bilangan prima yang lebih dari empat. Merupakan kalimat terbuka yang memiliki variabel y.

3. x + 7 = 9. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel x.

4. 4 + b > 10. Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel b.

5. 2a – 4 < 31 Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel a.

Suatu kalimat terbuka yang memiliki variabel harus diganti oleh satu atau lebih anggota dari himpunan semesta yang didefinisikan, sehingga kalimat

terbuka yang diberikan akan menjadi benar. Pengganti variabel tersebut dinamakan selesaian. Himpunan semua selesaian dalam kalimat terbuka disebut himpunan selesaian.

252 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Bagaimanakah cara kalian menentukan unsur-unsur yang nilainya belum diketahui dari kalimat (3), (4), dan (5) agar menjadi kalimat yang dinyatakan benar? Tukarkan jawaban dengan temanmu. Apakah ada jawaban yang berbeda di kelasmu? Mengapa?

Contoh 4.2

1. x + 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 4. Jadi, selesaiannya adalah x = 4, dan himpunan selesaiannya adalah {4}.

2. p adalah bilangan ganjil, p ∈ {1, 2, 3, ..., 10}. Pengganti p supaya pernyataan bernilai benar adalah 1, 3, 5, 7, dan 9. Jadi, himpunan selesaiannya adalah {1, 3, 5, 7, 9}.

3. 5x + 2 = 9, dengan x ∈ himpunan bilangan asli. Tidak ada pengganti x yang membuat pernyataan menjadi benar. Jadi, himpunan selesaiannya adalah ∅ atau { }

Ayo Kita Amati

Perhatikan contoh-contoh kalimat terbuka berikut.

e. x + 10y = 100 2 j. x –4=0 Kalimat-kalimat terbuka di atas memiliki variabel, kedua sisi dihubungkan

oleh tanda sama dengan (=) atau pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan dapat digolongkan sebagai berikut.

a. Bentuk (a), (c), (f), (g) dan (h) merupakan persamaan linear satu variabel (PLSV).

b. Bentuk (e) merupakan persamaan linear dengan dua variabel.

c. Bentuk (j) merupakan persamaan kuadrat dengan satu variabel.

d. Bentuk (b), (d), dan (i) merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

MATEMATIKA

? Ayo Kita ?

Menanya

Berdasarkan penjelasan di atas, apa yang dapat kalian simpulkan tentang persamaan linear satu variabel? Bagaimanakah bentuk umum dari persamaan linear satu variabel?

Ayo Kita Menggali Informasi

Persamaan adalah kalimat terbuka yang terdapat tanda sama dengan (=). Lantas, bagaimana bentuk persamaan linear satu variabel? Untuk mengetahui lebih lanjut, mari kita gali informasi.

Untuk menulis kalimat sebagai suatu persamaan, kalian harus mencari kata kunci seperti adalah atau sama dengan untuk menentukan letak tanda sama dengan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 4.3

1. Tuliskan kalimat berikut menjadi suatu persamaan.

a. Jumlah suatu bilangan n dan 7 adalah 15. Jumlah suatu bilangan n dan 7 adalah 15.

n + 7 = 15

Jadi, persamaannya adalah n + 7 = 15.

b. Selisih bilangan y dan 7 adalah 3.

y–7

Jadi, persamaannya adalah y – 7 = 3.

c. Hasil kali bilangan g dan 5 sama dengan 30. Hasil kali bilangan g dan 5 sama dengan 30.

5g = 30

Jadi, persamaannya adalah 5g = 30.

254 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

2. Sebanyak 24 siswa tereliminasi dalam babak penyisihan pada pemilihan siswa berprestasi. Babak penyisihan ini menyisakan 96 siswa untuk babak berikutnya. Tuliskan persamaan yang dapat kalian gunakan untuk menentukan banyak siswa yang mengikuti pemilihan siswa berprestasi semula.

Alternatif Penyelesaian

Kalimat Banyaknya dikurangi Banyaknya sama Banyaknya siswa yang

siswa yang dengan siswa yang mengikuti

tersisa pemilihan siswa berprestasi mula-mula

tereliminasi

Misalkan variabel s adalah banyak siswa yang mengikuti pemilihan siswa berprestasi mula-mula

96 Jadi, persamaannya adalah s – 24 = 96.

Persamaan s

Ayo Kita Menalar

Kalian telah memahami kalimat tertutup, kalimat terbuka, membuat persamaan dari masalah atau kontekstual. Menurut kalian, kapan suatu kalimat terbuka menjadi pernyataan? Bagaimana suatu persamaan dapat membantu kalian dalam menyelesaikan soal cerita? Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear satu variabel? Tuliskan bentuk umum dari persamaan linear dua variabel.

Ayo Kita Berbagi

Diskusikan jawaban kalian pada fitur Ayo Kita Bernalar dengan teman sebangku. Selanjutnya sampaikan hasil diskusi kalian di depan kelas.

MATEMATIKA

? ? ! ! Ayo Kita

Berlatih 4.1

1. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut bernilai benar atau salah.

a . 16 adalah dua pertiga dari 24.

b. Hasil kali 4 dan −2 adalah −8.

c. Terdapat 300 detik dalam 1 jam.

d. Segilima beraturan memiliki lima simetri lipat.

e. 2 adalah bilangan prima terkecil dan merupakan bilangan genap.

f. Tahun 1988 adalah tahun kabisat.

g. 8 adalah faktor dari 12.

h. 12 kurang dari 14.

i. 2 – 3 + 5 – 4 = 2 j . Diagonal persegipanjang berpotongan tegak lurus.

2. Tentukan himpunan selesaian pada setiap kalimat terbuka berikut,

jika lambang atau variabel dalam kalimat adalah bilangan asli.

a. m adalah kelipatan 7 yang kurang dari 20.

b. (k – 3) membagi 12.

c. t adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 5.

d. a – 2 = a ÷ 2

e. 6p 2 −9=p

f. s × s = s + s

g. x − 8 = −5

h. b adalah bilangan kelipatan 2 dan 3 yang kurang dari 10.

i. r adalah panjang rusuk kubus yang memiliki luas permukaan 6 satuan persegi.

j. d adalah bilangan genap yang habis dibagi 3.

3. Manakah di bawah ini yang merupakan Persamaan Linear Satu Variabel? Kemudian sebutkan variabel dan konstanta dari setiap kalimat terbuka berikut.

256 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1 Semester 1

f.. −3 = x

b. – 4 + 3s = 24 2 g. x +7=9

e. 2x −1=5

j. 10 = x +6

4. Tulislah kalimat berikut menjadi kalimat matematika yang memuat variabel.

a . Jumlah dua bilangan, x dan 12, sama dengan 12.

b. 54 sama dengan 9 lebihnya dari t.

c. 11 adalah hasil bagi suatu bilangan y dengan 6.

d. 5 adalah seperempat dari c.

e. Bilangan w dibagi 5 sama dengan 6.

f. Keliling segitiga sama sisi adalah 16 cm.

5. Untuk membeli majalah, Ida Ayu dan Komang mengumpulkan uang jajan mereka. Uang yang dimiliki Komang adalah Rp28.000. Setelah dikumpulkan, jumlah uang mereka sebesar Rp52.000. Tuliskan persamaan yang kalian gunakan untuk menentukan jumlah uang yang berasal dari Ida Ayu.

6. Manusia dewasa pada umumnya bernapas sekitar 24.000 kali dalam sehari. Tuliskan persamaan yang dapat kalian gunakan untuk menentukan berapa kali manusia bernapas dalam satu menit.

7. Jumlah tiga bilangan cacah berurutan adalah 159. Tuliskan persamaanya

8. Selisih panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 8 cm. Keliling persegi panjang tersebut adalah 32 cm. Tuliskan persamaan yang bisa kalian gunakan untuk menentukan ukuran panjang persegi panjang.

9. Tuliskan soal cerita dari persamaan 28 – n = 5. 14cm

10. Suatu segitiga diperoleh dengan cara memotong persegi panjang. Tinggi segitiga adalah setengah dari panjang s

s pada persegi panjang. Luas daerah yang diarsir adalah 84 cm persegi. Tulis suatu persamaan yang dapat kalian gunakan untuk menentukan panjang s.

MATEMATIKA

Menyelesaikan Persamaan

K Menggunakan Penjumlahan egiatan 4.2 atau Pengurangan

Dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel, tujuannya adalah menyederhanakan persamaan untuk menyisakan variabel saja di salah satu sisi. Setiap langkah yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan menghasilkan persamaan ekuivalen. Apakah yang dimaksud dengan persamaan ekuivalen?

Perhatikan persamaan-persamaan berikut.

1. x + 1 = 3

2. x + 2 = 4

3. 2x −2=6 Bagaimanakah himpunan selesaian dari ketiga persamaan di atas? Ketiga

persamaan tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Persamaan- persamaan di atas disebut dengan persamaan yang ekuivalen atau persamaan yang setara. Persamaan yang ekuivalen dapat dimodelkan sebagai timbangan yang seimbang kemudian kedua lengan ditambah atau dikurangi oleh beban yang sama, namun timbangan masih dalam keadaan seimbang.

Ayo Kita Amati

Untuk memahami bagaimana persamaan yang ekuivalen digunakan untuk menentukan himpunan selesaian suatu persamaan, lakukan kegiatan-kegiatan berikut.

Bagaimana cara kita menggunakan penjumlahan dan pengurangan untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel? Konsep persamaan dapat kita terapkan pada konsep timbangan. Timbangan akan seimbang apabila berat benda pada lengan sebelah kiri sama dengan berat benda pada lengan sebelah kanan. Perhatikan dua timbangan di bawah ini.

(a) (b)

Gambar 4.2

258 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Pada Gambar 4.2(a) terlihat bahwa timbangan mencapai kesimbangan jika kedua lengan memiliki beban yang sama. Ketika dikurangkan atau dijumlahkan sejumlah beban yang sama pada setiap lengan, timbangan masih tetap seimbang (tampak pada Gambar 4.2(b)).

Untuk mengetahui lebih lanjut bagaimana kalian harus menyelesaikan persamaan linear satu variabel, lakukan kegiatan berikut.

1. Gunakan model timbangan untuk menyelesaikan persamaan n + 3 = 7.

Gambar 4.3

a. Jelaskan bagaimana Gambar 4.3 di atas menunjukkan persamaan n + 3 = 7.

b. Berapakah berat satu ? Bagaimanakah kalian mengetahuinya? Jadi, berapakah nilai n?

2. Jelaskan bagaimana kalian mengecek jawaban dalam bagian (1).

3. Manakah di antara dua gambar berikut yang menyatakan selesaian dari

n + 1 = 9? Jelaskan.

Gambar 4.4

MATEMATIKA

4. Setelah kalian memahami bagaimana menentukan selesaian persamaan linear di atas, lengkapi tabel berikut. Tulis pertanyaan yang menyatakan persamaan. Kemudian cek selesaian yang kalian peroleh.

Persamaan

Pertanyaan

Selesaian Cek

x+1=5 Berapakah nilai x supaya x+1=5

4+1=5 persamaan bernilai benar?

x=4

5 = 5 (benar)

4 + m = 11 8=a+3 x − 9 = 20

13 = p −4

? Ayo Kita ?

Menanya

Perhatikan kegiatan nomor (4) di atas, apa yang membedakan persamaan (a) – (c) dengan persamaan (d) dan (e)? Apakah proses menentukan selesaian berbeda? Jelaskan. Selain pertanyaan yang sudah disebutkan, coba buatlah pertanyaan lain terkait dengan selesaian persamaan linear satu variabel. Selanjutnya, kalian bisa mengajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.

Ayo Kita Menggali Informasi

Setelah kalian melakukan Kegiatan 4.2, perhatikan beberapa contoh berikut untuk lebih memantapkan bagaimana menyelesaikan persamaan linear.

Contoh 4.4

1. Tentukan selesaian dari persamaan berikut.

b. 8 = x −7 260 Kelas VII SMP/MTs

a. x + 4 = 7

Semester 1

Alternatif Penyelesaian

a. x + 4 = 7

Penyajian masalah Penyajian masalah menggunakan timbangan

menggunakan persamaan

x+4=7 Terdapat empat beban yang sudah diketahui

beratnya dan sebuah bola yang belum diketahui beratnya di lengan kiri timbangan. Yang kesemuanya seimbang dengan tujuh beban di lengan kanan timbangan. Berapakah berat satu bola?

Ambil empat beban dari setiap lengan.

Kurangkan 4 di kedua sisi [ekuivalen dengan menambahkan (−4)]

x+4+ (−4) =7+ (−4) x+4=3

x=3

MATEMATIKA

Penyajian masalah Penyajian masalah menggunakan timbangan

menggunakan persamaan

8=x −7 Terdapat delapan beban yang sudah diketahui

beratnya di lengan kiri timbangan. Sedangkan lengan di sebelah kiri terdapat beban dengan berat yang kurang dari tujuh. Apakah ada cara lain supaya timbangan menjadi seimbang?

Letakkan tujuh beban dari setiap lengan.

Tambahkan 7 di kedua sisi

2. Tentukan himpunan selesaian dari 12 + x = 40

Alternatif Penyelesaian

12 + x = 40

12 – 12 + x = 40 – 12 x = 28

262 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Jadi, himpunan selesaiannya adalah {28}.

3. Andi memakan 8 kue baruasa dan Nyoman memakan 11 kue baruasa dari kemasan yang baru dibuka. Mereka berdua menyisakan 23 kue baruasa di dalam kemasan. Tulis persamaan dan tentukan selesaiannya untuk mengetahui banyaknya kue baruasa dalam kemasan semula.

Alternatif Penyelesaian

Kata-kata Banyak kue semula dikurangi banyak kue yang dimakan Andi dikurangi banyak kue yang dimakan Nyoman sama dengan banyak kue yang tersisa.

Variabel Misalkan b adalah banyak kue dalam kemasan semula Persamaan b − 8 − 11 = 23

Jadi, banyak kue baruasa dalam kemasan semula adalah 42 kue.

MATEMATIKA

Menyelesaikan Persamaan

K Menggunakan Perkalian egiatan 4.3 atau Pembagian

Pada kegiatan sebelumnya kalian telah menerapkan operasi penjumlahan dan pengurangan pada persamaan yang ekuivalen untuk menyelesaikan suatu persamaan. Pada kegiatan ini akan diperluas lagi dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan persamaan.

Perhatikan ketiga gambar bangun di bawah. Bagaimana cara kalian untuk menentukan nilai x

c. segitiga Luas = 24 satuan

a. persegipanjang

b. jajargenjang

Luas = 20 satuan persegi Luas = 28 satuan persegi

persegi

Penggunaan variabel dalam menyelesaikan suatu persamaan akan kita pelajari dalam kegiatan ini.

Ayo Kita Amati

1. Gunakan persamaan untuk memodelkan soal cerita berikut.

“Tiga anak logam yang bersahabat telah mengumpulkan 24 koin seribuan. Mereka beristirahat di dermaga untuk membagi rata koin yang mereka dapatkan. Berapa Sumber: http://panduanwisata.id banyak koin seribuan yang setiap

Gambar 4.5 Anak-Logam anak dapatkan?”

Bagaimanakah persamaan yang bisa kalian buat untuk menyatakan masalah di atas?

264 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Perhatikan timbangan di bawah ini.

Berapakah berat satu ? Bagaimanakah kalian mengetahuinya? Berapa banyak koin uang seribuan yang didapatkan satu anak?

2. Untuk lebih memahami bagaimana menyelesaikan bentuk persamaan dengan menggunakan operasi perkalian perhatikan tabel berikut.

Penyajian masalah Penyajian masalah menggunakan timbangan

menggunakan persamaan

Timbangan di samping dinyatakan sebagai

3x + 6 = 12 Tiga beban berbentuk bola dan enam koin

seimbang dengan duabelas koin. Berapakah berat sebuah bola?

Mengurangkan 6 dari kedua sisi [setara dengan menambahkan (−6) di kedua sisi].

3x + 6 + (−6) = 12 + (−6) 3x = 6

Mengambil enam koin di kedua lengan.

MATEMATIKA

Membagi kedua sisi dengan 3 (setara dengan mengalikan kedua sisi

1 dengan ) 3

 1  1  3 x =  6  3  3

  1   Membagi koin menjadi tiga bagian yang sama.

Jadi, setiap beban berbentuk bola sama beratnya ×x=2 1 dengan dua koin.

x=2 Setelah kalian melakukan kegiatan (1) – (4), jelaskan kepada teman kalian

bagaimana menggunakan perkalian atau pembagian untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel.

? Ayo Kita ?

Menanya

Buatlah pertanyaan lainnya yang terkait dengan penyelesaian persamaan linear satu variabel. Kemudian ajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.

Ayo Kita Menggali Informasi

Setelah kalian melakukan Kegiatan 4.3, perhatikan beberapa contoh berikut untuk lebih memantapkan bagaimana menyelesaikan persamaan linear.

Contoh 4.5

Tentukan himpunan selesaian dari setiap persamaan linear dua variabel berikut.

a. 3x + 1 = −7 b. − p =

266 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian

a. 3x + 1 = –7 3x + 1 – 1 = –7 – 1 3x = –8

8 x =−

 8  Himpunan selesaian dari persamaan 3x + 1 = –7 adalah  −  .

Jadi, himpunan selesaiannya adalah  −  .

Pada dua kegiatan sebelumnya, persamaan yang dicontohkan memiliki variabel di salah satu sisi atau berada di salah satu lengan pada timbangan. Bagaimana cara kalian untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki variabel di kedua sisi? Untuk mengetahui bagaimana menyelesaikannya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 4.6

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel 5m + 4 = 2m + 16.

MATEMATIKA

Alternatif Penyelesaian

Penyajian masalah Penyajian masalah menggunakan timbangan

menggunakan persamaan

Timbangan di samping dinyatakan sebagai

5m + 4 = 2m + 16

Lima beban berbentuk bola dan empat koin seimbang dengan dua beban berbentuk bola dan enambelas koin. Berapakah berat sebuah bola?

Mengurangkan 4 dari kedua sisi [setara dengan menambah (−4) di kedua sisi].

5m + 4 + (−4) = 2m + 16 + (−4)

5m + 0 = 2m + 12 5m = 2m + 12

Mengambil enam bola di kedua lengan. Mengurangkan 2m di

kedua sisi [setara dengan menambahkan (−2m) di

kedua sisi] 5m = 2m + 12

5m − 2m = 2m − 2m + 12 3m = 12

Mengambil dua bola di kedua lengan.

268 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Membagi kedua sisi dengan 3 (setara dengan mengalikan kedua sisi

Membagi koin menjadi tiga bagian yang sama. ×m=4 1

Jadi, setiap beban berbentuk bola sama beratnya m=4

dengan empat koin. Jadi, himpunan selesaiannya adalah {4}.

Untuk menyelesaikan suatu persamaan, kadang kala kalian harus menyederhanakan persamaan sebelum menggunakan sifat ekuivalen.

Contoh 4.7

Tentukan selesaian dari persamaan 2(x − 4) +5x = 34

Alternatif Penyelesaian

Sebelum menyelesaikannya, kita harus menyederhanakan bentuk aljabar di sisi kiri.

2(x − 4) +5x = 34 2x − 8 +5x = 34 7x − 8 = 34 7x − 8 + 8 = 34 + 8 7x = 42 7 x= 42

x =6 Jadi, himpunan selesaian dari persamaan adalah {6}.

MATEMATIKA

Jika suatu persamaan melibatkan pecahan, kalian dapat menyederhanakannya dengan cara mengalikan bilangan yang bisa dibagi oleh penyebut di setiap sisi. Tahukah kalian bilangan apakah yang dimaksud? Bilangan yang dimaksud adalah KPK. Dengan mengalikan KPK di kedua sisi, kalian akan

menghilangkan pecahan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 4.8

Tentukan selesaian dari persamaan

1 x− 5 = x+ .

Alternatif Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persamaan, kalian bisa mengalikan setiap sisi dengan 6, yakni KPK dari 2, 3, dan 6.

1 x− 5 = x+

6 6 6 x− 30 = x+

36 () x 2 × x

x+

x −2=5 x −2+2=5+2 x=7

Jadi, himpunan selesaiannya adalah {7}. Untuk lebih meyakinkan, ganti variabel x pada persamaan semula dengan 7.

2m° Tentukan ukuran setiap sudut pada segitiga di

Contoh 4.9

m° samping. Gunakan busur derajat untuk memeriksa

° kebenaran jawaban.

(m + 10)

270 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian

Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 180 o . Sehingga persamaan yang dapat terbentuk adalah sebagai berikut.

1 Jadi besar ketiga sudut segitiga antara lain 42 ° , 85 , dan 52 ° .

Ayo Kita Menalar

Kita kadang berpikir bahwa suatu persamaan, misalnya 3x + 4x = 7x sebagai “fakta penjumlahan” karena persamaan tersebut bernilai benar untuk semua x anggota bilangan real. Begitu pula persamaan x + 1 = x + 1 bernilai benar untuk semua x anggota bilangan real. Sedangkan persamaan 2x + 1 = 7 akan bernilai benar jika kita memilih x = 3. Artinya bahwa himpunan selesaiannya adalah {3}. Namun, bagaimana dengan persamaan x = x + 2, 3[x − (x + 1)] = −2 dan 5 − 3(x − 6) = 4(x − 9) − 7x. Apakah ketiga persamaan tersebut memiliki selesaian? Jelaskan jawaban kalian dan diskusikan dengan teman kalian.

Ayo Kita Berbagi

Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.

MATEMATIKA

? ? ! ! Ayo Kita

Berlatih 4.2

1. Tentukan apakah pernyataan berikut bernilai benar atau salah. Jelaskan jawabanmu.

a. Persamaan –2x + 3 = 8 setara dengan persamaan –2x = 1.

b. Persamaan x – (x – 3) = 5x setara dengan persamaan 3 = 5x.

c. Untuk menyelesaikan 3 x = 12 , kita harus mengalikan kedua sisi

dengan .

e. Persamaan – x = –6 setara dengan x = 6.

f. Persamaan 2(3 x + 4) = 6 x + 12 tidak memiliki selesaian.

2. Tentukan apakah setiap variabel yang diketahui memenuhi persamaan yang diberikan.

a. x = − 4, 3x + 7 = –5

b. x = − 6, − 3x − 5 = 13

c. x = 12, x–4= x–2

d. y = 9,

e. x = 200, 0,2 (x − 50) = 20 − 0,05x

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.

272 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

4. Jika x adalah bilangan asli, tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.

5. Jika 3x + 12 = 7x – 8, tentukanlah nilai dari x + 2.

6. Jelaskan dan perbaiki kesalahan dalam penyelesaian persamaan di bawah ini.

3x −4= 2x + 1 3x −4− 2x = 2x + 1 − 2x

x −4= 1 x −4+4= 1−4

x= −3

7. Bagaimana cara kalian untuk menentukan selesaian dari persamaan yang melibatkan bilangan desimal? Coba tentukan himpunan selesaian dari persamaan x − 0,1 x = 0,75x + 4,5 . Jelaskan bagaimana kalian menyelesaikannya.

8. Banyak sekali manfaat kita mempelajari materi ini. Dalam IPA misalnya, kita bisa menentukan titik leleh suatu unsur kimia. Perhatikan masalah berikut.

Titik leleh suatu zat adalah suhu yang dapat mengubah zat tersebut

Titik leleh bromin adalah −7°C dari bentuk padat menjadi cair. Titik

leleh bromin adalah dari titik leleh nitrogen. Tulis dan selesaikan

persamaan untuk menentukan titik leleh nitrogen.

MATEMATIKA

9. Perhatikan gambar di n ° samping. Terdapat enam segitiga

yang membentuk persegi panjang. Tentukan ukuran sudut setiap

x ° segitiga. Gunakan busur derajat n °

untuk memeriksa kebenaran p °

jawaban kalian.

(t + 5) °

10. Persamaan Linear. Bilangan

1 yang terletak di dalam persegi yang tidak terasir di bawah ini

5 diperoleh dari menjumlahkan

dua bilangan yang berada di atasnya. Misalkan, 5 dalam baris

2x kedua diperoleh dari penjumlahan bilangan 2 dan 3, bilangan pada

baris di atasnya. Bilangan-bilangan dijumlahkan menghasilkan pada baris di bawahnya hingga berkahir pada 2x.

Tentukan nilai x.

11. Apakah terdapat suatu nilai x sehingga luas kedua bangun datar berikut menjadi sama? Jelaskan jawabanmu.

2cm

1 cm (x + 1)cm

x cm

12. Suhu Celcius dapat ditentukan dengan mengkonversi suhu Fahrenheit. Kalian bisa menggunakan rumus berikut untuk menkonversi suhu dari Celcius ke Fahrenheit dan sebaliknya.

C = ( F − 32)

9 o Pada Desember 2014, suhu rata-rata di Provinsi NTT adalah 30 C.

Bagaimana cara kalian mengubahnya menjadi derajat Fahrenheit. Jelaskan jawaban kalian.

274 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Menemukan Konsep

K Pertidaksamaan Linear egiatan 4.4 Satu Variabel

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat aturan-aturan sebagai berikut.

1. Siswa yang ikut pembelajaran remedial adalah siswa yang nilainya kurang dari 6. Berapakah nilai minimal seorang siswa tidak mengikuti pembelajaran remedial?

2. Kecepatan maksimum kendaraan ketika melewati jalan raya di depan sekolah adalah 30 km/ jam.

Berapakah kecepatan maksimal kendaraan yang diperbolehkan? Apakah mengendarai motor dengan kecepatan 40 km/jam diperbolehkan?

Sumber: http://bg.blogspot.com

3. Temanmu datang lebih dari 5 menit yang lalu. Kapan teman kalian datang? Apakah 10 menit yang lalu temanmu sudah

datang?

4. Film “Fast and Furious 7” hanya untuk orang berusia tidak kurang dari 17 tahun. Berapakah umur minimal seseorang yang diperbolehkan menonton Film

“Fast and Furious 7”? Apakah usia 16 tahun boleh menontonnya?

5. Kalian membutuhkan paling sedikit 3 lembar kertas untuk mengerjakan tugas Matematika.

Berapa lembar kertas yang akan kalian butuhkan untuk mengerjakan tugas Matematika? Apakah cukup hanya 2 lembar?

Berdasarkan lima masalah yang sering kalian temui di atas, akan kita bahas dalam kegiatan ini.

Ayo Kita Amati

Dalam Kegiatan 4.1-4.3, kalian telah mempelajari bagaimana menyatakan dan menyelesaikan persamaan linear satu variabel. Di Kegiatan ini, kalian akan mempelajari pertidaksamaan linear satu variabel. Perhatikan tabel berikut.

MATEMATIKA

Amati perbedaan antara kedua kolom. Terlihat bahwa kedua sisi pada pertidaksamaan linear bukan dipisahkan oleh tanda sama dengan, namun

dipisahkan oleh tanda pertidaksamaan, <, >, ≤, atau ≥. Selesaian persamaan x = 3 dapat disajikan dalam bentuk titik tunggal pada

garis bilangan.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Bagaimana dengan himpunan selesaian dari x ≤ 3? Himpunan selesaian dari

pertidaksamaan tersebut merupakan nilai dari variabel sehingga membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan yang benar. Dalam beberapa kasus, himpunan selesaian sudah ditentukan terlebih dahulu termasuk anggota himpunan bilangan yang mana.

? Ayo Kita ?

Menanya

Berdasarkan apa yang telah kalian amati, mungkin kalian bertanya tentang berapa banyak anggota himpunan selesaian dari suatu pertidaksamaan. Bagaimana cara kita untuk menuliskan himpunan selesaian dari pertidaksamaan? Buatlah pertanyaan lainnya yang terkait dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Kemudian ajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.

276 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Menggali Informasi

Dalam kasus jika himpunan selesaian dari pertidaksamaan x ≤ 3 adalah semua bilangan real, kita bisa menyatakan dengan “semua bilangan real yang kurang dari atau sama dengan 3.” Oleh karena anggota himpunan selesaiannya tak terhingga banyaknya, maka x tidak bisa kita sebutkan satu-satu. Sehingga

kita bisa membuat grafik berupa garis bilangan. Notasi interval atau notasi pembentuk himpunan sebagai penyajian himpunan selesaian.

Notasi Notasi Garis Bilangan

pembentuk interval himpunan

{x| x ≤ 3} Perhatikan beberapa pertidaksamaan dan himpunan selesaiannya dalam

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (−∞, 3]

bentuk garis bilangan berikut.

Perhatikan titik atau bulatan pada garis bilangan. Jika bilangan pada titik digambarkan dengan bulatan penuh ( ), maka titik tersebut termasuk anggota himpunan selesaian. Jika bilangan pada titik digambarkan dengan bulatan kosong ( ), maka titik tersebut tidak termasuk dalam anggota himpunan selesaian.

MATEMATIKA

Untuk menulis pertidaksamaan, cari frase berikut untuk menentukan letak simbol pertidaksamaan.

Simbol pertidaksamaan

Simbol

Frase

Kurang dari

Lebih dari

─ Kurang

─ Lebih dari dari atau

atau sama

kurang lebih dari

Tulislah kalimat berikut menjadi sebuah pertidaksamaan linear satu variabel. Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan −7.

Alternatif Penyelesaian

Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan −7. m

−7 Jadi, pertidaksamaan dari kalimat tersebut adalah m + 5 ≥ −7.

Contoh 4.11

Tulislah masalah berikut menjadi sebuah pertidaksamaan linear satu variabel.

Kalian ingin menentukan nilai x, sedemikian

y+7

sehingga luas jajargenjang di samping tidak kurang dari 40 satuan luas.

278 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Alternatif Penyelesaian

Diketahui alas jajargenjang adalah 5 satuan. Tinggi jajargenjang adalah y + 7 satuan. Luas jajargenjang yang diminta tidak kurang dari 40 satuan luas. alas × tinggi ≤ 40

5 × (y + 7) ≤ 40 5y + 35 ≤ 40

Jadi, pertidaksamaan dari masalah di atas adalah 5y + 35 ≤ 40.

Contoh 4.12

Apakah −2 merupakan salah satu selesaian dari pertidaksamaan berikut?

a. y −5≥−6

b. −5y < 14

Alternatif Penyelesaian

a. y −5≥−6

b. −5y < 14

− − ≥− ? ( 2) 5 6 −−< 5( 2) 14 −≥− 7 / 6 (Salah)

10 < 14 (Benar) −7 tidak lebih dari atau sama

10 kurang dari 14. dengan −6.

Jadi, −2 merupakan Jadi, −2 bukan salah satu selesaian

salah satu selesaian dari pertidaksamaan y −5≥−6

pertidaksamaan −5y < 14

Contoh 4.13

Gambarkan himpunan selesaian dari pertidaksamaan z > − 8 dengan garis bilangan.

Alternatif Penyelesaian

-18-17-16-15-14-13-12-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

MATEMATIKA

Setelah kalian menggali informasi, coba jawablah beberapa pertanyaan di awal kegiatan ini.

Ayo Kita Menalar

Setelah kalian menggali informasi dan mencoba, bagaimana garis bilangan dapat membantu kalian untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang selesaiannya adalah anggota himpunan bilangan asli? Apakah x < 5 dan x ≥ −4 menyatakan dua pertidaksamaan yang sama? Apakah x ≥ −4 dan −4 ≤ x menyatakan dua pertidaksamaan yang sama? Jelaskan jawaban kalian.

Ayo Kita Berbagi

Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.

? ? ! ! Ayo Kita

Berlatih 4.3

1. Tulis pertidaksamaan untuk setiap garis bilangan berikut. Kemudian nyatakan dengan menggunakan kalimat yang tepat.

2. Ubahlah masalah-masalah berikut ke dalam bentuk pertidaksamaan liniear satu variabel.

a. Sebuah bus dapat mengangkut tidak kurang dari 60 penumpang.

b. Jarak rumah Bondi ke sekolah lebih dari seratus meter.

c. Penghasilan Ibu Monika tidak lebih dari Rp2.000.000,00 setiap bulan.

d. Kecepatan Udin berkendara tidak lebih dari 50 km/jam.

e. Bilangan d ditambah 2 hasilnya lebih dari −8.

280 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1 Semester 1

g. Suatu bilangan dibagi 7 hasilnya kurang dari −3.

h. Luas segitiga berikut kurang dari 20 m 2 .

8 meter

i. Keliling bangun berikut tidak lebih dari 51 meter.

j. Volume balok di bawah ini tidak kurang dari 50 m 3 .

(x + 2) m 3m

5m

3. Tuliskan kalimat berikut menjadi pertidaksamaan linear satu variabel.

a. Dua kali suatu bilangan y lebih dari – .

b. Suatu bilangan z tidak lebih dari −10.

4. Manakah diantara ketiga pertidaksamaan berikut yang salah satu selesaiannya adalah −5?

a. x + 12 > 7

b. 1 − 2k ≤ −9

c. a ÷ 2,5 ≥ −3

MATEMATIKA

5. Gambarlah pertidaksamaan berikut pada garis bilangan.

6. Buatlah situasi atau masalah sehari-hari dari pertaksamaan linear berikut.

a. x > 10

b. 2y ≤ 50

c. 2x +3>4

7. Apakah nilai yang diberikan merupakan salah satu selesaian dari pertidaksamaan.

a. n+8 ≤ 13; n = 4

b. 5h > −15; h = −5

8. Gambar pertidaksamaan berikut pada garis bilangan.

a. r ≤ −9

c. s > 2,75

b. t ≥− 3 d. u < 1

8 cm

9. Suatu persegi panjang diketahui (2 lebarnya (2x – 3) cm dan panjangnya

x – 3) cm

8 cm. Luasnya tidak lebih dari 40 cm 2 . Tentukan pertidaksamaan dari situasi

di atas.

10. Nadia memperoleh nilai 97, 82, 89, dan 99 pada empat ulangan harian Matematika. Untuk memperoleh nilai A di Matematika, rata-rata nilai ulangannya harus 90 atau lebih. Tuliskan pertidaksamaan yang menyatakan situasi yang dialami oleh Nadia.

282 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Menyelesaikan Masalah Pertidaksamaan Linear

K egiatan 4.5 Satu Variabel

Seperti halnya pada persamaan yang telah kalian pelajari di Kegiatan 4.1 - 4.3, pertidaksamaan pun sering dijumpai dalam masalah sehari-hari. Perhatikan masalah berikut.

Untuk menjadi pramuka, usia kalian harus kurang dari 18 tahun. Selama 4 tahun ini, kalian masih memenuhi syarat untuk menjadi Praja Muda Karana.

Masalah di atas dapat dengan mudah diubah menjadi pertidaksamaan linear. Menurut kalian, jika x adalah usia kalian saat ini, manakah empat pertidaksamaan berikut yang menyatakan masalah di atas?

Bagaimanakah menyelesaikan pertidaksamaan? Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, langkah-langkah yang digunakan sama dengan langkah- langkah yang kalian gunakan untuk menyelesaikan persamaan linear variabel. Untuk memahami bagaimana bagaimana menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan, mari ikuti Kegiatan 4.5 ini dengan baik.

Ayo Kita Amati

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, ada kalanya kita diharuskan menggunakan sifat-sifat ketidaksamaan. Berikut beberapa sifat ketidaksamaan.

Ketika kalian menambahkan atau mengurangi kedua sisi dari pertidaksamaan, tanda ketidaksamaan tidak berubah.

Jika a < b maka a + c < b + c Jika a < b maka a −c b maka a + c > b + c Jika a > b maka a −c>b−c Perhatikan contoh berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.

MATEMATIKA

2. Perbedaan penting antara persamaan linear satu variabel dengan pertidaksamaan linear satu variabel ditunjukkan ketika kita mengali atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan bukan nol.

a. Ketika kalian mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan positif, maka tanda ketidaksamaan tidak berubah. Perhatikan tabel berikut.

a b Jika a < b maka a × c < b × c Jika a < b maka <

c c Jika a > b maka a × c > b × c

a b Perhatikan contoh berikut.

Jika a > b maka >

c c −4 < 2 Perhatikan contoh berikut.

Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.

b. Ketika kalian mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan negatif, maka tanda ketidaksamaan berubah. Perhatikan tabel berikut.

a b Jika a < b maka a × c < b × c Jika a < b maka <

c c Jika a > b maka a × c > b × c

a b Jika a > b maka > Perhatikan contoh berikut.

−4 < 2 Perhatikan contoh berikut. −4 > 2

Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.

284 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

? Ayo Kita ?

Menanya

Setelah kalian mengamati beberapa sifat ketidaksamaan, buatlah pertanyaan yang terkait dengan bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel. Misalnya, “bagaimana kita bisa menggunakan sifat ketidaksamaan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel? Apa yang membedakan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel?”

Untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan di atas, mari kita menggali informasi.

Ayo Kita Menggali Informasi

Contoh 4.14

Selesaikan pertidaksamaan x − 4 < − 2. Gambar selesaiannya dalam garis bilangan dan tuliskan selesaiannya dalam notasi interval.

Alternatif Penyelesaian

x −4<−2 x −4+4<−2+4

x <2 Jadi, selesaiannya adalah x < 2 atau (−∞, 2).

Selesaikan pertidaksamaan 13 ≤ x + 14. Gambar selesaiannya dalam garis bilangan.

MATEMATIKA

Alternatif Penyelesaian

13 ≤ x + 14

13 − 14 ≤ x + 14 − 14 −1≤x Jadi, selesaiannya adalah − 1 ≤ x

Tentukan selesaian dari pertidaksamaan linear berikut. Kemudian gambarkan garis bilangan dari selesaiannya.

− 2x − 5 < 2

Alternatif Penyelesaian

− 2x − 5 < 2 − 2x − 5 + 5 < 2 + 5

− 2x < 7 − 2 x 7

7 x >− atau x > −3,5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –5 – 4–3 –2 –1

286 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Contoh 4.17

Tentukan himpunan selesaian dari peridaksamaan linear berikut dengan x adalah bilangan bulat.

−6(x − 3) ≥ 2 − 2 (x − 8)

Alternatif Penyelesaian

−6(x − 3) ≥ 2 − 2 (x − 8) −6x + 18 ≥ 2 − 2x + 16 −6x + 18 ≥ 18 − 2x −6x + 2x + 18 ≥ 18 − 2x + 2x −4x + 18 ≥ 18

−4x + 18 −18 ≥ 18 −18 −4x ≥ 0 − 4 x 0

x ≤0 Jadi, himpunan selesaian dari pertidaksamaan −6(x − 3) ≥ 2 − 2 (x − 8) adalah

{x| x ≤ 0, x ∈ B}.

Contoh 4.18

Tentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan linear berikut dengan x adalah anggota himpunan bilangan asli, N.

−+ 5 x 2 >+ x 2 − 3

Alternatif Penyelesaian

−+ 5 x 2 >+ x 2

MATEMATIKA

 −+ 5 x 2  − 3 

 <− 3( x + 2)  − 3 

−+<−− 5 x 2 3 x 6 −+<− 2 x 2 6 − 2 x <− 8 − 2 x − 8

x > 4 −+ 5 x 2

Jadi, himpunan selesaian dari pertidaksamaan >+ x 2 adalah − 3 {x| x > 4 ,x ∈ N} atau {5, 6, 7, 8, 9, ...}.

Contoh 4.19

Pak Ferdy memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 800 kg. Berat Pak Fredy adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.

Tentukan pertidaksamaan dari situasi di atas. Tentukan banyak kotak paling banyak yang dapat diangkut oleh Pak Fredy

dalam sekali pengangkutan.

Alternatif Penyelesaian

a. Misalkan: x = banyaknya kotak barang yang diangkut dalam mobil box.

Sehingga, pertidaksamaan dari situasi tersebut adalah sebagai berikut.

288 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Banyak kotak dikali berat tiap kotak ditambah berat Pak Ferdy tidak lebih dari daya angkut mobil.

x × 20

800 Jadi, pertidaksamaan dari situasi Pak Ferdy adalah 20 x + 60 ≤ 800

b. Untuk menentukan banyak kotak paling banyak yang dapat diangkut oleh mobil box Pak Ferdy adalah dengan menentukan selesaian pertidaksamaan.

20 x + 60 ≤ 800

20 x + 60 − 60 ≤ 800 − 60

20 x ≤ 740 x ≤ 37 x paling besar yang memenuhi pertidaksamaan x ≤ 37 adalah 37. Jadi, banyak kotak yang dapat diangkut Pak Fredy dalam sekali

pengangkutan paling banyak 37 kotak.

Ayo Kita Menalar

Kalian telah mengamati dan memahami langkah-langkah bagaimana menentukan selesaian pertidaksamaan pada Ayo Kita Mengamati. Diskusikan masalah berikut dengan teman kalian.

1. Apa saja perbedaan cara yang kalian lakukan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel?

2. Apakah pertidaksamaan x + 3 > 5 sama dengan x > 5 − 3? Jelaskan jawaban kalian.

3. Apa yang membedakan cara untuk menyelesaikan 4x < − 6 dengan penyelesaian − 4x < 6? Jelaskan.

4. Perhatikan segitiga di samping.

a. Jika keliling segitiga kurang dari

25 dm, tentukan nilai x.

b. Apakah −4 termasuk salah satu

x dari selesaian pertidaksamaan yang

7 dm

kalian buat? Jelaskan.

c. Bagaimanakah seharusnya bentuk pertidaksamaan dari keliling segitiga di samping? Jelaskan.

7 dm

MATEMATIKA

5. Jelaskan bagaimana cara kalian menyelesaikan pertidaksamaan yang berbentuk a < x < b.

Ayo Kita Berbagi

Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.

? ? ! ! Ayo Kita

Berlatih 4.4

1. Jika p adalah variabel pada himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}, tentukan himpunan selesaian berikut ini dan lukiskan penyelesaiannya pada garis bilangan.

g. 1

h. 1 ≤p<4

i. 1 ≤ 2p ≤ 5

j. 1 ≤p≤4

2. Tentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan berikut dengan x adalah anggota himpunan bilangan real. Kemudian lukiskan penyelesaiaanya dalam garis bilangan.

a. 8y −5<3

h. 20 ≥ −3,2(c − 4,3)

i. − 15 8 x > − 40 13 x j. −3(2x − 1) + 2x < 7 − (2x − 1)

290 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

3. Rumah Bu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang panjangnya 20 m dan lebarnya (6y - 1) m. Luas tanah Ibu

Suci tidak kurang dari 100 m 2 ,

a. Berapakah lebar tanah minimal yang dimiliki Bu Suci?

b. Biaya untuk membangun rumah di atas tanah seluas 1m 2 dibutuhkan uang Rp2.000.000,00. Berapakah biaya minimal yang harus Bu

Suci sediakan jika seluruh tanahnya dibangun?

4. Seekor paus pembunuh telah memakan 150 kg ikan hari ini. Paus pembunuh mengkonsumsi sedikitnya 280 kg ikan per hari.

a. Sebuah timba mampu menampung 30 kg ikan. Tuliskan pertidaksamaan dari situasi tersebut dan tentukan selesaian yang menyatakan banyak timba yang berisi ikan untuk dimakan oleh paus Sumber: Kemdikbud tersebut.

b. Apakah boleh paus tersebut memakan ikan dalam empat atau lima timba lagi? Jelaskan.

5. Selesaikan pertidaksamaan 6 < 2 − 4x < 10 dengan x adalah anggota himpunan bilangan bulat.

6. Mobil box dapat mengangkut muatan tidak lebih dari 2.000 kg. Berat sopir dan kernetnya adalah 150 kg. Mobil box itu akan mengangkut beberapa kotak barang. Tiap kotak beratnya 50 kg.

a. Berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut dalam sekali pengangkutan?

b. Jika mobil box akan mengangkut 350 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkat semuanya?

7. Berapakah nilai r sehingga luas daerah yang diarsir di samping menjadi lebih dari atau sama dengan 12 satuan persegi?

MATEMATIKA

8. Kalian memiliki Rp180.000 untuk membeli jeruk. Harga jeruk Rp15.000 per kilogram. Tulis pertidaksamaan dan tentukan selesaiannya yang menyatakan banyaknya jeruk yang dapat kalian beli.

9. Rata-rata suhu udara Kota Ambon bulan Oktober tahun berkisar 20 o C–

32 o C. Gunakan pertidaksamaan untuk mengubah suhu menjadi derajat

Fahrenheit. (Petunjuk: Gunakan C = ( F − 32) )

10. Tentukan nilai x sehingga volume balok berikut tidak lebih dari 36 meter kubik.

2x + 1

Ayo Kita Mengerjakan Tugas Projek

Amati tagihan listrik atau telepon rumah atau sekolah kalian. Bila tidak punya, kalian bisa minta bantuan tetangga, guru, atau yang lainnya. Carilah informasi tentang:

a. Bergantung pada apakah besar tagihan tersebut?

b. Apakah tagihan listrik dapat dinyatakan dengan persamaan linear satu variabel? Jika bisa nyatakan bentuk persamaannya!

c. Bagaimana persamaan linear tersebut dapat dipakai untuk menghitung banyak pemakaian apabila diketahui besar tagihan?

Buat laporan hasil pengamatanmu ini, dan sajikan di depan kelas.

292 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

Ayo Kita Merangkum

Kalian telah mempelajari konsep kalimat terbuka, kalimat tertutup, dan perbedaannya, mempelajari konsep persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, menentukan selesaian dan menyelesaikan masalah yang terkait dengan kedua konsep tersebut. Kalian juga telah mempelajari bagaimana membuat model matematika dari masalah yang diberikan. Pertanyaan berikut akan membantu kalian untuk merangkum apa yang telah kalian pelajari.

1. Apa yang kalian ketahui tentang kalimat terbuka dan kalimat tertutup?

2. Apa perbedaan antara kalimat tertutup dan kalimat terbuka?

3. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan?

4. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear satu variabel?

5. Bagaimana cara kalian menentukan nilai variabel dalam persamaan

linear satu variabel?

6. Apa yang kalian ketahui tentang pertidaksamaan linear satu variabel?

7. Bagaimana cara kalian menentukan nilai variabel dalam pertidaksamaan linear satu variabel?

8. Bagaimana cara kalian menyajikan selesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel?

9. Dalam hal apakah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

bermanfaat?

10. Topik atau materi apa saja yang bermanfaat dalam materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel?

• Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) • Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memuat

tanda sama dengan (=) dan hanya memuat satu variabel dengan pangkat satu.

• Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dan

a ≠ 0. • Penyelesaian persamaan linear adalah pengganti variabel yang menyebabkan persamaan bernilai benar. • Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang

memuat notasi <, >, ≤, ≥.

MATEMATIKA

? ? = ji

K ompetensi 4

A. Pilihan Ganda

1. Agar kalimat 4x − 5 = 3 bernilai benar, maka nilai x harus sama dengan ...

2. Penyelesaian persamaan 3x − 4 = 32 + 7x, dengan x anggota himpunan bilangan bulat adalah ...

3. Nilai x yang memenuhi persamaan −= 2 2 untuk x anggota

himpunan bilangan bulat adalah ...

4. Penyelesaian persamaan x + x = 22 adalah ...

5. Nilai x yang memenuhi persamaan

294 Kelas VII SMP/MTs

Semester 1

6. Dua kali jumlah suatu bilangan t dan 4 sama dengan empat kali bilangan t dikurangi 12. Bilangan t yang dimaksud adalah ....

7. Segitiga di samping memiliki besar sudut C

A berukuran sama dengan besar sudut B, dan besar

sudut A berukuran 42 o lebih kecil dari sudut B. Besar sudut B adalah ...