Na atividade 1, amplie a exploração dos itens b e c perguntando aos alunos quais são as características em comum entre as diagonais do quadrado e as do losango. Espera-se que eles percebam que as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. pós a construção da figura solicitada na atividade, retome as propriedades do paralelogramo estudadas nas páginas anteriores, pedindo aos alunos que as observem na figura construída. TIVIDDES 1 Observe os paralelogramos abaixo e, em cada caso, determine x e y. a] x 5 4 cm, y 5 cm b] c] cm D D x 5 y 5 45 x 5 30, y 5 60 D 30 x x x 4 cm Construa um paralelogramo CD tal que: C 5 8 cm, 5 4 cm e med[c V ] 5 60. 3 Observe o paralelogramo CD. C y y C C y Faça as atividades no caderno. 4 O perímetro de um paralelogramo é igual a 66 cm. Calcule as medidas dos seus lados, sabendo que a diferença entre elas é de 14 cm. 3,5 cm; 3,5 cm; 9,5 cm e 9,5 cm 5 Um ângulo externo de um paralelogramo mede 64. Faça um esboço da figura e calcule as medidas dos ângulos internos. 116, 116, 64 e 64 6 No paralelogramo CD, a diagonal D forma com o lado C um ângulo de 38 e, com o lado CD, um ângulo de 54. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo. med[c W ] 5 med[ W ] 5 88 med[ W ] 5 med[d W ] 5 9 C 38 54 7 No paralelogramo abaixo, temos: med[c V ] 5 70, CM é bissetriz do ângulo DC V, e M é bissetriz do ângulo C V. Determine a medida do ângulo MC X. 90 C D Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. D C M ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI D Qual das duas superfícies coloridas possui o maior perímetro? Os perímetros são iguais. 8 diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 80. Quais são as medidas, em grau, dos ângulos desse quadrilátero? 50, 50, 130 e 130 144 144
seguir, estudaremos alguns paralelogramos que podem ser classificados em retângulos, losangos ou quadrados, por apresentarem propriedades particulares. Retângulo Retângulo é o paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos. Dado um retângulo CD qualquer, temos: D C med[ W ] 5 med[ W ] 5 med[c W ] 5 med[d W ] 5 90 pós explorar com a turma a classificação dos quadriláteros, faça afirmações e peça aos alunos que discutam e validem se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: Todo quadrado é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um quadrado., Todo retângulo é um quadrado, mas nem todo quadrado é um retângulo., Todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo. Como o retângulo é um paralelogramo, são válidas as propriedades do paralelogramo. lém disso, podemos afirmar que em todo retângulo as diagonais são congruentes _ C & D i. Losango Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Losango é o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes. Como o losango é um paralelogramo, são válidas as propriedades dos paralelogramos. Também podemos afirmar que, em todo losango, as diagonais são perpendiculares entre si e coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos. Então, dado um losango CD qualquer, temos: Quadrado D C & C & CD & D Quadrado é o paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos e os quatro lados congruentes. O quadrado é um paralelogramo e um caso particular de retângulo e de losango; assim, valem, além das propriedades do paralelogramo, as seguintes propriedades: s diagonais são congruentes. s diagonais são perpendiculares entre si. s diagonais correspondem às bissetrizes dos ângulos internos. Ou seja, todas as propriedades dos retângulos e dos losangos valem para os quadrados. Então, dado um quadrado CD qualquer, temos: D C med[ W ] 5 med[ W ] 5 med[c W ] 5 med[d W ] 5 90 & C & CD & D C & D ILUSTRÇÕES: LUIZ RUIO 145 145
Na atividade 1, peça aos alunos que justifiquem as afirmativas falsas. Caso encontrem dificuldades, retome os conceitos explorados na página anterior. mplie a atividade e peça aos alunos que reescrevam as sentenças falsas tornando-as verdadeiras TIVIDDES 1 Quais das sentenças são verdadeiras? a] Todo quadrado é um losango. b] Existem retângulos que são losangos. c] Todo paralelogramo é um quadrilátero. d] Todo quadrado é um retângulo. e] Um losango pode não ser um paralelogramo. f] Em um losango, os quatro lados são sempre congruentes. g] Todo retângulo é um paralelogramo e todo paralelogramo é um retângulo. alternativas a, b, c, d, f Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? alternativas a, b, c, d, f D O a] med[oc V ] 5 90 b] med[dc W ] 5 med[c V ] c] O 5 OC d] O 5 OD e] C 5 D f] :CD é isósceles g] :C é equilátero 3 Sabendo que o ângulo D W mede 100, determine, em grau, as medidas indicadas pelas letras no losango CD. b a C h g D Faça as atividades no caderno. 5 s diagonais de um retângulo formam um ângulo de 114. Determine as medidas, em grau, dos ângulos que essas diagonais formam com os lados do retângulo. x 5 33 ; y 5 57 x 114 6 Um ângulo externo de um losango mede 140 30. Qual é a medida, em grau, do maior de seus ângulos internos? med[ W ] 5 med[d W ] 5 140 30 C D x 140 30 7 bissetriz de um ângulo obtuso de um losango forma, com um dos lados, um ân gu lo de 64. Determine a medida, em grau, de cada ângulo desse losango. 18, 18, 5 e 5 8 Na figura abaixo, temos um quadrado CD e um triângulo equilátero E. Sabendo que o triângulo EC é isósceles, determine a medida do ângulo EC W. 75 y D C Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. D C ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI c d a 5 b 5 e 5 f 5 50 ; c 5 d 5 g 5 h 5 40 4 Uma diagonal de um losango forma com um lado um ângulo de 36. Calcule, em grau, as medidas dos ângulos desse losango. 7, 7, 108 e 108 e f C E x 146 146
Trapézios Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas um par de lados paralelos. Pergunte aos alunos se é possível traçar um trapézio retângulo com apenas um ângulo reto. É esperado que eles percebam que não, pois não haveria duas retas paralelas, o que é característica do trapézio. partir do trapézio CD ao lado, temos: ase maior: C ase menor: D E é uma altura do trapézio. Pares de ângulos suplementares: C W e D W ; DC W e DC W Diagonais: C e D Os trapézios são classificados em trapézio retângulo, trapézio isósceles e trapézio escaleno. Trapézio retângulo Trapézio retângulo é aquele que tem dois ângulos retos. E altura D D/ C C Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Trapézio isósceles D C D/ C med[ W ] 5 med[ W ] 5 90 Trapézio isósceles é aquele que tem os lados não paralelos congruentes. Considere um trapézio isósceles CD qualquer. Observe a seguir que, traçando pelo vértice D uma reta paralela a, determinamos o ponto E na base maior, obtendo o triângulo DEC e o paralelogramo DE. Observe que: & DE [lados opostos de um paralelogramo] & DC [trapézio isósceles] D C Como & DE e & DC, concluímos que DE & DC e, assim, o triângulo EDC é isósceles. Temos ainda que: DCE W & DEC W [ângulos da base do triângulo isósceles] E W & DEC W [ângulos correspondentes] Como DCE W & DEC W e E W & DEC W, concluímos que DCE W & E W, ou seja, os ângulos adjacentes à base maior são congruentes. D W e CD W são ângulos colaterais internos, respectivamente, a E W e DCE W. Como E W & DCE W, seus suplementares são congruentes, ou seja, D W & CD W. Portanto, os ângulos adjacentes à base menor também são congruentes. Portanto, se um trapézio é isósceles, os ângulos adjacentes às mesmas bases são congruentes. ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 147 147
Traçando as diagonais C e D, obtemos os triângulos D e CD, que são congruentes pelo caso LL de congruência de triângulos. Podemos, assim, concluir que as diagonais do trapézio isósceles são congruentes. D & DC med[ W ] 5 med[d W ] med[ W ] 5 med[c W ] C & D C Trapézio escaleno Trapézio escaleno é aquele em que os lados não paralelos não são congruentes. D não é congruente a DC. Observação Todo trapézio retângulo é escaleno. C Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Trapezoides Trapezoide é todo quadrilátero convexo que não tem lados paralelos. ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI D DC C D C Lemos: não paralelo Veja sequência didática 1 do 3 o bimestre no Material do Professor Digital. 148 148
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 4. a] Traçando as diagonais do quadrilátero azul, obtemos pares de triângulos isósceles congruentes [1 e ; 3 e 4]. 360 Como todos os ângulos do quadrilátero têm a mesma medida, cada um mede: 5 90. Portanto, o quadrilátero azul é um retângulo. 4 Faça as atividades no caderno. TIVIDDES 1 Em um trapézio isósceles, um dos ângulos externos mede 100 40. Determine as medidas dos ângulos internos desse trapézio. Em um trapézio isósceles, a soma das medidas dos ângulos obtusos é 50. Quanto medem os ângulos agudos? 55 e 55 3 Um dos ângulos obtusos de um trapézio isósceles mede 100. Determine, em grau, a medida x do ângulo E W formado pelas bissetrizes dos ângulos internos da base maior. x 5 100 100 40, 100 40, 79 0 e 79 0 100 100 E x 4 Reúna se com um colega, e resolvam as questões a seguir. a] O quadrilátero da figura abaixo é formado por losangos idênticos. O quadrilátero azul, no centro, é um retângulo. Justifiquem essa afirmação. D C 5 Identifique cada uma das figuras abaixo, respondendo se são trapézios retângulos, isósceles ou escalenos. Em seguida, junte se a um colega e converse com ele sobre o porquê de sua resposta. a] b] D 9 45 90 45 4 9 H 4 c] Q R d] e] P S trapézio retângulo ou escaleno trapézio isósceles trapézio escaleno trapézio retângulo ou escaleno C trapézio escaleno Na atividade 3, destaque que os ângulos da base de um trapézio isósceles, assim como os de um triângulo isósceles, são congruentes. Exemplo de resposta para a atividade 7: Trapézio retângulo Trapézio isósceles ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 1 3 f] C trapézio isósceles 4 D b] Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110. Determinem a medida do suplemento do maior ângulo do trapézio. 6 Qual é a diferença entre o trapézio e o trapezoide? 7 Desenhe, em seu caderno, um trapézio retângulo e um trapézio isósceles. Faça, quando necessário, as marcações para indicar congruência de lados e de ângulos. 50 6. Espera-se que os alunos respondam que o trapézio possui dois lados paralelos, enquanto, no trapezoide, nenhum dos lados é paralelo. ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 149 149
Lendo e aprendendo O texto busca contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF08M10. Explore com os alunos o esquema apresentado para determinar um termo qualquer da sequência figural. pós a elaboração da sequência de 9 elementos pelos alunos, sugira que eles a validem utilizando o esquema explorado anteriormente. Lendo e aprendendo Construindo uma sequência Faça as atividades no caderno. Observe a sequência de figuras abaixo. É possível saber qual é o elemento 7? Posição 1 3 4 5 6... n Elemento O elemento 1 é um trapezoide, o é um trapézio e o 3 é um paralelogramo. Depois temos, novamente, um trapezoide, um trapézio e um paralelogramo, nessa ordem e assim por diante. pesar de as figuras serem diferentes, é possível dizer que essa sequência é repetitiva. repetição está na seguinte classificação dos quadriláteros: nenhum par de retas paralelas: trapezoide um par de retas paralelas: trapézio dois pares de retas paralelas: paralelogramo Obedecendo a essa sequência, podemos deduzir que o elemento 7 será um trapezoide. Se quisermos determinar o tipo de quadrilátero que ocupa, por exemplo, a posição 5, sem descrever todos os elementos anteriores, basta dividir 5 por 3 [número de tipos da repetição]. Como a divisão de 5 por 3 é uma divisão não exata, que resulta em 8 com resto 1, então deveríamos observar o primeiro elemento após 8 ciclos. Podemos concluir então que a posição 5 será ocupada por um trapezoide. Dependendo da posição que estivermos estudando, podemos obter, também, restos 0 e nas divisões, que correspondem, respectivamente, a um paralelogramo e a um trapézio. Seguindo o esquema abaixo, podemos determinar um termo qualquer da sequência. n é a posição do quadrilátero Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. sim Calcule r, resto da divisão de n por 3 não r é igual a zero? sim r é igual a 1? não O quadrilátero é um paralelogramo. O quadrilátero é um trapezoide. O quadrilátero é um trapézio. Pronto! ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO Qual é o quadrilátero que ocupa a posição 4 dessa sequência? paralelogramo No caderno, elabore uma sequência com 9 elementos, obedecendo à regra descrita acima, sem repetir os quadriláteros. Você não pode colocar na sequência, por exemplo, dois quadrados. Resposta pessoal. 150 EF08M10: Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. 150
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Interpretação e identificação dos dados Plano de resolução Resolução Resolvendo em equipe [Canguru] Vários ângulos são formados por quatro retas, conforme indicado na figura. Sabe-se que a 5 55, d 5 40 e D 5 35. Qual é o valor de f? alternativa e a] 100 b] 105 α γ c] 10 d] 15 δ nalise as informações do enunciado e anote as que você julgar relevantes para a resolução do problema. Resposta pessoal. Na figura há triângulos com dois ângulos dados? Se sim, podemos determinar a medida do terceiro ângulo? Sim, o triângulo formado pelos ângulos av e d V e o formado pelos ângulos d V e DV. Os terceiros ângulos medem 85 e 105, respectivamente. Conhecidas as medidas dos três ângulos do enunciado e as medidas dos ângulos determinados anteriormente, qual é o procedimento para encontrar o valor de f? nalisar o quadrilátero formado pelos dois ângulos calculados, d e f. Que conceito sobre triângulos e quadriláteros é fundamental para a resolução deste problema? soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180. soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360. Determinar o valor de f. f 5 130 Reúna-se com mais dois colegas. Mostre a eles seu plano de resolução e verifique se há ideias em comum entre vocês. Discutam quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolham um dos planos para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno. β e] 130 Faça as atividades no caderno. LUIZ RUIO Resolvendo em equipe seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. lém de favorecer o desenvolvimento das competências gerais e 10 e da competência específica, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item plicando da seção Trabalhando os conhecimentos adquiridos deste ou de outros capítulos, por exemplo. Para esta atividade, organize a turma em grupos de 4 ou 5 integrantes. Peça aos alunos que relacionem os ângulos apresentados na imagem e fundamentem suas ideias com argumentos. Dê um tempo para que eles discutam e produzam um cartaz. Comente que esses cartazes poderão ser um material de consulta para todos do grupo nas próximas aulas. Feito isso, solicite a eles que socializem as estratégias para que os grupos possam descobrir diferentes formas de resolução. Verificação Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. presentação Elaborem uma síntese, por meio de cartazes, sobre triângulos e quadriláteros. Triângulos: classificação de triângulos quanto às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos; pontos notáveis; casos de congruência; soma das medidas dos ângulos internos. Quadriláteros: classificação e elementos de paralelogramos e trapézios; soma das medidas dos ângulos internos; propriedades dos paralelogramos, dos retângulos, dos losangos e dos quadrados; propriedades dos trapézios. 151 Competência geral : Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções [inclusive tecnológicas] com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 10: gir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica : Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 151
seção Trabalhando os conhecimentos adquiridos tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento. Revisitando Essa seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. Nas atividades 3 e 7, peça aos alunos que justifiquem as alternativas falsas, dando um contraexemplo ou explicando conceitualmente. Trabalhando os conhecimentos adquiridos Revisitando Faça as atividades no caderno. 1 Os triângulos podem ser classificados em relação às medidas dos lados e às medidas dos ângulos internos. ssim, podemos afirmar que um triângulo equilátero também é acutângulo. Com base nessas considerações, é possível que exista um triângulo isósceles retângulo? sim Neste capítulo, você estudou os pontos notáveis do triângulo: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro. O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo. Relacione, no caderno, cada ponto notável à ceviana correspondente. 3 Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? alternativas a, b a] soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180. b] Todo triângulo equilátero é também isósceles. c] Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são suplementares. d] Existem 3 casos de congruência de triângulos: LL, L e LLL. 4 O triângulo é a única figura geométrica rígida. Por esse motivo, é bastante usada na engenharia civil e na arquitetura. Observe ao seu redor e escreva exemplos de estruturas compostas de triângulos. Resposta pessoal. Exemplos de respostas: as antenas de celular, as torres de transmissão de energia, as estruturas de telhados etc. 5 Os quadriláteros podem sempre ser subdivididos em dois triângulos, traçando se uma de suas diagonais. Considerando essa situação, responda: qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero? 360 6 Copie no caderno e complete a frase usando as palavras do quadro a seguir. quadriláteros trapézios paralelos um dois Os quadriláteros foram classificados com relação à quantidade de pares de lados. ssim, paralelogramos são que possuem pares de lados paralelos. Os possuem apenas par de lados paralelos. paralelos; quadriláteros; dois; trapézios; um 7 Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? a] Todo retângulo é também um quadrado. b] Todo quadrado é também um losango. c] Um trapézio retângulo possui dois ângulos retos. d] Um paralelogramo pode possuir mais de duas diagonais. baricentro mediana; incentro bissetriz; ortocentro altura alternativas b, c Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. plicando 1 Denomina se incentro o ponto comum: a] às alturas do triângulo; b] às mediatrizes dos lados do triângulo; c] às medianas do triângulo; alternativa e d] aos três lados do triângulo; e] às bissetrizes do triângulo. 15 15
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Determine as sentenças verdadeiras. a] Sendo congruentes os lados adjacentes ao ângulo reto de triângulos retângulos, podemos afirmar que os triângulos são congruentes. b] Sendo congruentes todos os ângulos de dois triângulos, podemos afirmar que os triângulos são congruentes. c] Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, o ângulo oposto e um ângulo adjacente respectivamente congruentes. alternativas a, c 3 Qual é a medida do ângulo CD V? C 4 Determine a medida de RPS V na figura abaixo. Q 0 40 R P S 60 1 45 5 105 40 T D Lembre-se: Não escreva no livro! 6 Sabendo que CM & M e V & CV, prove que M & MD. M C :M & :DCM [caso L], portanto: M & MD 7 Observe o quadrado CD e os triângulos EF e GHC na figura. Podemos afirmar que os dois triângulos são congruentes? Justifique sua resposta. sim, pelo caso LL E D G 3 8 Mostre que todo ponto pertencente à mediatriz de um segmento é equidistante dos extremos desse segmento. asta provar que :P & :DP pelo caso LL. P 3 F D H C Oriente os alunos a resolver a atividade 5 com muito cuidado, lembrando que trata de redigir uma demonstração. Dessa forma, peça que explicitem o enunciado da propriedade que desejam demonstrar. No caso dessa atividade, a redação pode ser parecida com: Dado o quadrilátero CD e os ângulos de medidas a e d formados pela diagonal D, se a 5 d e & C, então X & CW. Eles podem concluir a validade da propriedade por meio da congruência dos triângulos D e CD. Na atividade 7, pergunte aos alunos se, com as informações da figura, podemos garantir que os segmentos EF egh são paralelos. Questione sobre as características do quadrado e como podemos relacionar os triângulos. Para resolver a atividade 9, considere um triângulo isósceles C. Vamos mostrar que :EC & :CD. D E DILSON SECCO 5 Sabendo que a 5 d e & C, prove que W & C V. :D & :CD [caso LL]; portanto: W & CW a b C D 9 Demonstre a congruência das medianas traçadas a partir dos vértices da base de um triângulo isósceles. 10 Demonstre que & CD, sendo :CE isós celes, W & D V e a5d. E 5 CE, pois :CE é isósceles; :E & :DCE [caso L o ], logo, & CD a E b C D D ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 153 O triângulo C é isósceles, então & C. Como CD e E são medianas, segue que D & EC. Os ângulos V e C W são congruentes. Por fim, C é lado comum. Da congruência desses triângulos, concluímos que CD & E. ssim, espera-se que os alunos percebam que, em um triângulo isósceles, as medianas coincidem com as bissetrizes e as alturas. Portanto, a mediana divide o triângulo em dois triângulos congruentes. Logo, as medianas relativas às bases são congruentes. C 153
No Desafio, os alunos terão a oportunidade de explorar diferentes pontos notáveis. No item a, é importante que eles percebam que o triângulo equilátero é um caso particular em que todos os pontos notáveis coincidem. Na atividade 14, pergunte aos alunos quais ângulos são suplementares. Espera- -se que eles percebam que 130 é suplementar de z e que x é suplementar de y. Na atividade, pergunte aos alunos como podemos garantir que a forma não é um quadrado. Espera-se que eles respondam que as diagonais formariam um ângulo de 90º. DESFIO Utilizando um software de geometria dinâmica, construa um triângulo acutângulo escaleno e, em seguida, construa os pontos notáveis desse triângulo: baricentro [G], ortocentro [H], incentro [I] e circuncentro [O]. Para facilitar a exploração da construção, esconda as construções auxiliares, deixando apenas o triângulo e os pontos notáveis. Movimente a construção como indicado nos itens e, no caderno, responda às questões. a] Modifique a configuração do triângulo de forma que este se assemelhe a um triângulo equilátero. O que acontece com os pontos notáveis? b] Modifique o triângulo de forma que ele se assemelhe a um triângulo retângulo, depois a um triângulo acutângulo e depois a um triângulo obtusângulo. O que acontece com o ortocentro em cada triângulo? 11 s medidas dos ângulos de um quadrilátero são indicadas por a, b, c e d. Sabendo que b 5 a, c 5 b e d 5 a 1 c, determine as medidas a, b, c e d, em grau. a 5 30, b 5 60, c 5 10 e d 5 150 1 Em um quadrilátero convexo CD, a medida do ângulo W é o dobro da medida do ângulo V, e esta é a terça parte da medida do ângulo C V. Sendo D W o ângulo correspondente à metade das somas das medidas de W e V, determine as medidas dos quatro ângulos, W, V, CV e DW, em grau. 96, 48, 144 e 7 13 Observe a figura. Quantos trapézios de cada cor podem ser vistos neste mosaico? Lembre-se: Não escreva no livro! 14 Determine x, y e z no trapézio isósceles abaixo. x 5 z 5 50 ; y 5 130 x y 130 15 Dois ângulos opostos de um paralelogramo são expressos por 3x 1 16 e 4x 15. Quanto medem os ângulos, em grau? 109 e 109 16 Um ângulo de um paralelogramo mede 48 36 58. Qual é o valor do seu ângulo obtuso? 131 3 17 diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 108. Calcule as medidas desses ângulos, em grau. 144 e 36 18 bissetriz de um ângulo agudo de um losango forma 5 com um dos lados. Quanto medem os ângulos do losango? 50, 130, 50 e 130 19 Em um trapézio isósceles, as bases medem 5 cm e 5 cm, respectivamente, e o perímetro é 64 cm. Quanto mede cada um dos outros lados? 17 cm 0 O ângulo obtuso de um trapézio retângulo mede 133. Qual é a medida do ângulo agudo desse trapézio? 47 1 Em um trapézio isósceles, uma altura forma, com um dos lados congruentes, um ân gulo de 35. Calcule as medidas dos ângulos do trapézio. 15, 15, 55 e 55 figura a seguir é um retângulo. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas. x 5 4 ; y 5 48 D z C Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 154 São 48 trapézios, sendo 1 azuis, 1 amarelos, 1 vermelhos e 1 lilases. y x 84 Competência geral : Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções [inclusive tecnológicas] com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 154
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 3 O perímetro de um paralelogramo é igual a 84 cm, e a soma das medidas dos lados menores é igual a da soma das medidas 5 dos lados maiores. Calcule, em centímetro, a medida dos lados maiores. 30 cm 4 Observe o quadrado CD e mostre que EFGH também é um quadrado, sendo E 5 F 5 CG 5 DH. 5 figura é composta de quatro losangos ao redor de um retângulo. Sabendo que o retângulo tem cm por 1 cm, determine o perímetro da figura. [3 1 6 1 3 1 6] cm 5 18 cm 6 Na figura, OH, CDO, ODEF e HOFG são quadrados. Podemos afirmar que DHF é um quadrado? Justifique sua resposta. Sim, pois os quatro lados são congruentes e os quatro ângulos são congruentes. Elaborando H C G F O H D 9. No paralelogramo CD, med[ W ] 1 med[ W ] 5 180 Traçando as bissetrizes de W e W, obtemos o ponto E na intersecção. E D G E C F Nas questões 7 e 8, determine, no caderno, a única alternativa correta. 7 Os pontos médios dos lados de um trapézio isósceles são os vértices de um: alternativa b a] trapézio; c] quadrado; b] losango; d] retângulo. 8 diferença entre as medidas do maior e do menor ângulo de um trapézio retângulo é 18. O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos de sua base maior tem como valor: a] 10 c] 94 30 alternativa c b] 146 0 d] 85 30 9 Mostre que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são perpendiculares. 30 Nos losangos abaixo, determine x e y, em grau. a] D x 5 40 ; y 5 70 Retome a ideia trabalhada na seção Lendo e aprendendo da página 150 e elabore, no caderno, uma sequência repetitiva com figuras geométricas. Depois da sequência elaborada, troque de caderno com um colega e tente deduzir qual é a regra da sequência construída por ele. Resposta pessoal. gora, discuta com o colega as regras de cada sequência, e construam um esquema para cada sequência que permita determinar um elemento qualquer dela, como o apresentado na seção. Resposta pessoal. x y 40 b] x 5 35 ; y 5 55 x 35 C y Lembre-se: Não escreva no livro! C No :E, temos: med[ W ] med[ W] 1 1med[ E W] 5 180 Portanto, E W mede 90. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens verbal [oral ou visual-motora, como Libras, e escrita], corporal, visual, sonora e digital, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: gir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. D ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 155 Na atividade 4, os triângulos DHG, CGF, FE e EH são congruentes pelo caso LL. Um dos lados já foi dado como congruente no enunciado, pois temos a informação de que E 5 F 5 CG 5 DH. Os ângulos internos medem 90, pois D, C, e são vértices do quadrado CD. Por fim, E, FC, GD e H são congruentes, pois suas medidas correspondem às medidas dos lados do quadrado CD diminuídas das medidas dos segmentos E, F, CG e DH, respectivamente. Da congruência de triângulos, podemos concluir que os lados do quadrilátero EFGH são congruentes e os ângulos de seus vértices medem 90, pois são suplementares aos ângulos internos de cada um dos triângulos: DHG, CGF, FE e EH. ssim, concluímos que o quadrilátero EFGH é quadrado. Elaborando seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais, 4 e 10 e da competência específica 5. Se julgar adequado, recolha alguns exemplos de esquemas visuais elaborados pelos alunos e os reproduza no quadro de giz. nalise junto com a turma se o esquema está correto e se funciona para determinar os elementos da sequência para o qual foi elaborado, simulando alguns casos. Um exemplo de sequência figural poderia ser o de triângulos escaleno, isósceles, equilátero, escaleno, isósceles e equilátero, repetindo-se indefinidamente dessa forma. Reforce que o esquema precisa cobrir todas as possibilidades, assim como foi feito no caso da seção Lendo e aprendendo. 155
Objetivos Resolver e elaborar problemas envolvendo área de figuras planas. Calcular área de círculo, coroa circular e setor circular. Resolver e elaborar problemas envolvendo volume de paralelepípedos reto- -retângulos. Relacionar volume e capacidade. Reconhecer a relação entre as unidades de medida de volume e capacidade. Resolver problemas que envolvam as expressões algébricas associadas à área de figuras planas e ao volume de paralelepípedos. CPÍTULO 8 Vista aérea do rio Paraná, na fronteira do Paraguai e do rasil. Foto de 017. Área, volume e capacidade JOSE LUIS STEPHENS/SHUTTERSTOCK Habilidades da NCC Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades: EF08M06, EF08M19, EF08M0 e EF08M1. É hora de observar e refletir situação proposta tem o objetivo de fazer com que os alunos identifiquem as unidades de medidas apresentadas no texto e as associem às respectivas grandezas. proveite esse momento para conversar com eles sobre o que conhecem a respeito de área, volume e capacidade, assuntos que serão abordados neste capítulo. É hora de observar e refletir O rio Paraná é o segundo maior da mérica do Sul, com extensão de 4 880 km, e é considerado o rio mais importante da bacia do Paraná. Essa bacia tem área aproximada de 880 000 km em território brasileiro. Nela, está localizado o quífero Guarani, maior reserva de água subterrânea da mérica do Sul, que tem um volume de água de aproximadamente 46 000 km 3. Resposta pessoal; espera-se que os alunos relacionem as unidades de medida apresentadas às grandezas comprimento, área e volume. Você conhece as unidades de medida apresentadas no texto? Elas estão relacionadas a que grandezas? Para indicar a quantidade de água em um reservatório, que unidade de medida você costuma usar? Exemplo de resposta: litro 156 156 EF08M06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. EF08M19: Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área [quadriláteros, triângulos e círculos], em situações como determinar medida de terrenos. EF08M0: Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. EF08M1: Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Trocando ideias nalisem a situação a seguir. Para armazenar a água da chuva e regar as plantações, Ricardo irá instalar um tanque de água em sua propriedade. Daniela, representante da empresa que fabrica esses tanques, foi até a propriedade de Ricardo fazer um estudo e apresentar um orçamento. Chegando lá, ela disse que o ideal seria um tanque que tenha formato de um paralelepípedo reto retângulo e capacidade para armazenar 36 000 litros de água, ou seja, 36 metros cúbicos. ENÁGIO COELHO Trocando ideias Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre os assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se julgar necessário, solicite a eles que respondam às questões por escrito no caderno. seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 da NCC. Dando continuidade ao trabalho de diagnóstico dos conhecimentos prévios dos alunos, a questão proposta permite múltiplas respostas. Incentive os alunos a compartilhá-las com os demais colegas de turma propiciando uma ampliação do repertório de estratégias de resolução de problemas. Para resolver o problema, eles deverão pensar em diferentes multiplicações envolvendo três números reais positivos cujo resultado seja 36. Caso apresentem somente exemplos em que as medidas correspondam a números inteiros positivos, mostre a eles que essas medidas podem ser associadas a outros números, como: 7, m, m e,5 m; m, 3 m e 3 m. Sabendo que o tanque precisa ter 36 m 3, quais poderiam ser as medidas do comprimento, da largura e da altura desse tanque? Exemplos de resposta: 3 m, 6 m e m; 3 m, 4 m e 3 m. Neste capítulo, vamos retomar os conceitos de área, volume e capacidade a fim de solucionar problemas do cotidiano envolvendo esses conteúdos. 157 Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência geral 10: gir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. 157
Esse tópico tem como objetivo propiciar o desenvolvimento da habilidade da NCC EF08M19. Nos anos anteriores, os alunos já estudaram o conceito de área e estabeleceram as expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. Neste momento, iremos retomar essas expressões por meio do trabalho com resoluções de problemas. ssim como em outros momentos desse volume, a habilidade EF08M06 é explorada ao se trabalhar as expressões algébricas de área e volume. Na situação proposta, Joana está avaliando alguns terrenos e estimando os valores com base no preço máximo a ser pago por metro quadrado. Comente com os alunos que os valores de terrenos são estabelecidos com base no correspondente a um metro quadrado, que pode variar de acordo com diferentes fatores, como localização, formato e características físicas. 1 Já estudamos anteriormente o cálculo de área de alguns quadriláteros, como retângulos, quadrados, paralelogramos, trapézios e losangos, além do cálculo de área de triângulos. Vamos, nesse momento, relembrar esses cálculos. Área do retângulo e do quadrado Situação 1 Área de figuras planas Joana foi encarregada de comprar um terreno para uma empresa, sabendo que poderia pagar até R$ 500,00 pelo metro quadrado do terreno. Chegando ao local, veja o que o corretor de imóveis informou sobre o terreno. Joana lembrou que a área de um retângulo é dada pela multiplicação entre as medidas da base e da altura, como indica a expressão a seguir. retângulo 5 b 3 h O terreno tem formato retangular, com 1 m de largura e 0 m de comprimento. Substituindo os valores correspondentes à largura e ao comprimento do terreno na expressão, Joana determinou a área do terreno. terreno 5 1 m 3 0 m 5 40 m Para determinar o valor máximo que poderia pagar pelo terreno, Joana multiplicou o valor correspondente à área encontrada por 500. 40 3 500 5 10 000 Portanto, Joana poderia pagar, no máximo, R$ 10 000,00 por esse terreno. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Situação ILUSTRÇÕES: ENÁGIO COELHO pós verem o primeiro terreno, o corretor convidou Joana para avaliar outro. Veja as informações que ele forneceu sobre esse terreno. Joana sabia que um quadrado é um caso particular de retângulo; logo, a área de um quadrado de lado a pode ser dada pela seguinte expressão: quadrado 5 a 3 a 5 a ² Temos outro terreno, Joana, que pode lhe interessar. Esse terreno tem dimensões menores que o primeiro que visitamos. Ele tem formato quadrado, com 9 m de comprimento. 158 EF08M06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. EF08M19: Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área [quadriláteros, triângulos e círculos], em situações como determinar medida de terrenos. 158
Substituindo a medida do lado do terreno nessa expressão, Joana determinou a área do terreno. terreno 5 9 m 3 9 m 5 [9 m] 5 81 m Para determinar o valor máximo a pagar por esse terreno, Joana calculou: 81 3 500 5 40 500 Portanto, Joana poderia pagar, no máximo, R$ 40 500,00 por esse terreno. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Área do triângulo e do paralelogramo O esquema ao lado indica as medidas da horta que Vitória irá construir. Entre as regiões triangulares há um espaço com a forma de um paralelogramo, em que ela colocará placas de granito, compondo um caminho. Para comprar o material necessário, Vitória precisa calcular as respectivas áreas destinadas à horta e ao caminho. área de um triângulo pode ser determinada pela seguinte expressão, em que b corresponde à medida da base e h à medida da altura do triângulo: b3h triângulo = Substituindo as medidas correspondentes, a área de uma região triangular é: m 3 1 m 1 m = = Como a área destinada à horta é representada por duas regiões triangulares com as mesmas medidas, então suas áreas são iguais. Logo, m será a área reservada à horta. O caminho tem a forma de um paralelogramo cuja base mede 0,5 m e a altura, 1 m. área de um paralelogramo é dada pela multiplicação entre as medidas da base e da altura: paralelogramo = b3h Logo, a área desse espaço com a forma de um paralelogramo é de: = 0,5 m 3 1 m = 0,5 m Área do trapézio e do losango 0,5 m horta 1 m 1 m caminhohorta 0,5 m m Juliano precisa calcular a área aproximada de um terreno com a forma de um hexágono, como mostra a planta a seguir. 10 m 10 m m presentou-se uma situação-problema em que foi solicitado o cálculo de área de dois triângulos e um paralelogramo. proveite esse momento para verificar a compreensão dos alunos em relação às expressões apresentadas para o cálculo de área desses polígonos. Se considerar adequado, solicite aos alunos que deduzam a expressão algébrica para o cálculo de área de um triângulo de base a e altura b a partir da área de um retângulo de lados medindo a e b. Como essa dedução foi apresentada no ano anterior, espera-se que os alunos se lembrem dessa relação, mas, se tiverem dificuldades, retome esse conteúdo antes de propor as atividades deste tópico. ssim como no caso do triângulo, a expressão algébrica para o cálculo de área de um quadrado pode ser deduzida a partir da área de um retângulo de mesma medida de base e de altura. É importante que os alunos compreendam essa relação para atribuírem significado às expressões apresentadas. Cada lado do quadrado maior da malha mede 1 cm, que corresponde a 10 m na realidade. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 159 159
Na situação apresentada, para determinar a área aproximada de um terreno, calculou-se a área de um trapézio e de um losango, no qual a representação do terreno foi dividida. proveite esse momento para recordar o conceito de figuras equivalentes, que correspondem a figuras de mesma área. Caso os alunos tenham dificuldades em compreender as expressões apresentadas para o cálculo de área, trabalhe a decomposição e composição de figuras, relacionando a área de trapézios e de losangos com a área de retângulos. nalisando a planta, Juliano percebeu que é possível decompor esse terreno em dois quadriláteros: um trapézio e um losango. DILSON SECCO Juliano sabe que a área de um trapézio é dada por: ` + bj3h trapézio = Com base nos quadradinhos da malha, Juliano percebeu que no trapézio, a medida da base menor [b] é 30 m, a medida da base maior [] é 60 m e a medida da altura [h] é 30 m. Substituindo esses valores na expressão, ele determinou a área do trapézio. `30 m + 60mj330 m 90 m330m 700 = = = m = 1350 m Com uma régua, Juliano mediu as diagonais do losango e obteve,8 cm como medida aproximada para a diagonal menor e 5,7 cm para a diagonal maior. área de um losango pode ser determinada por: losango = D3d Considerando que 1 cm da malha corresponde a 10 m, Juliano determinou que a medida da diagonal menor [d ] é aproximadamente 8 m e a medida da diagonal maior [D] é aproximadamente 57 m. Logo, a área aproximada será: 57 m3 8m 1596 = = m = 798 m Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Desse modo, Juliano concluiu que a área do terreno é de: 1350 m 1798 m 5148 m TIVIDDES Faça as atividades no caderno. 1 comunidade de um bairro resolveu restaurar o gramado de um antigo campo de futebol. Quantos metros quadrados de grama serão necessários para cobrir o campo, que tem 105 m de comprimento e 68 m de largura? 7 140 m Um quadrado tem diagonal medindo 5 cm. Qual é a área desse quadrado? Explique como você pensou para responder a essa questão. 1,5 cm². Espera-se que os alunos percebam que um quadrado também é um losango. Logo, sua área pode ser determinada pelo produto das medidas de suas diagonais dividido por. 160 160 Sugestão de atividade extra Se tiver oportunidade, proponha aos alunos, organizados em grupos, a realização do experimento Qual é a área do quadrilátero?, do portal M 3 Matemática Multimída. Nele, são apresentadas diferentes formas para o cálculo, algumas vezes aproximado, da área de um quadrilátero. Em seguida, é pedida a construção de um quadrilátero. Na etapa final, cada grupo deve fazer aproximações para a área do polígono, utilizando os métodos apresentados, e discutir qual forma foi a mais eficiente. Disponível em: . cesso em: 7 out. 018.
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 5. b. Espera-se que os alunos respondam que não. Exemplo de resposta: 3 Determine a área do paralelogramo e, depois, responda à questão a seguir. 35 cm 7 cm 5 cm Se dobrarmos a medida da altura do paralelogramo e dividirmos medida da base por, o que poderemos afirmar sobre a área dessa nova figura? Converse com o professor e os colegas. s áreas serão 4 Heloísa vai pintar as paredes de três quartos de sua residência. Para saber a quantidade de tinta necessária, ela avaliou a planta de um desses quartos, sabendo que todos têm as mesmas medidas. janela 1,50 m 3, m cm porta 0,85 m,75 m O pé direito [distância do chão ao teto] do quarto de Heloísa é de m, a janela tem 1,50 m de largura e 1,50 m de altura. Com base nessas informações, determine: a] a área total aproximada das paredes que serão pintadas; 59,55 m² b] a quantidade aproximada de tinta necessária, sabendo que 3,6 litros de tinta podem ser usados para pintar até 35 m. aproximadamente 6,15 litros 4 cm iguais, ou seja, as figuras serão equivalentes. 5 Observe os polígonos a seguir. a] Qual é a relação entre as áreas desses área do quadrado é o dois polígonos? dobro da área do triângulo. b] Desenhe no caderno um triângulo que tenha a mesma área desse quadrado. Há somente um modo de desenhar esse triângulo? Converse com o professor e os colegas. Resposta pessoal. 6 Determine a área das figuras a seguir, sabendo que o lado de cada quadradinho corresponde a 1 cm. a] c] b] d] 7 Calcule a área da parte pintada de laranja de cada figura. a] 600 cm² b] 33,5 cm 7,5 cm 8 cm 4 cm 40 cm Lembre-se: Não escreva no livro! 1 cm 30 cm 17,5 cm² Para responder à atividade 4, os alunos deverão determinar a área das paredes de um dos quartos e, depois, multiplicar o valor obtido por 3. O problema pede a área aproximada, mas é importante que os alunos considerem descontar a área da porta e a da janela. ssim, no item a pode-se determinar a área ocupada pela janela [1,5 m 3 1,5 m 5 5,5 m²] e pela porta [0,85 m 3 m 5 1,7 m²]. Depois, calcula-se a área das paredes: 3 [3, m 3 m] 1 1 3 [,75 m 3 m] 5 5 11 m² 1 1,8 m² 5 5 3,8 m² Por fim, tem-se: 3,8 m²,5 m² 1,7 m² 5 5 19,85 m² Como são três quartos, a área pedida é de 59,55 m². No item b, os alunos deverão determinar a quantidade de tinta necessária. Estabelecendo uma regra de três, obtém-se: 35 3,6 5 ] 59,55 x ] 35 x 514,38 ] ] x - 6,15 Logo, serão necessários a proximadamente 6,15 litros de tinta. Na atividade 6, oriente os alunos a decompor as figuras da malha em triângulos ou quadriláteros para determinar a área correspondente. 3 cm cm cm cm cm 5 cm 1 cm ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 161 161
Dando continuidade ao trabalho com as habilidades EF08M19 e EF08M06, neste tópico são trabalhados os cálculos de áreas de círculos, coroas circulares e setores circulares. Se considerar adequado, relembre com os alunos o cálculo do comprimento de uma circunferência. área do círculo foi apresentada com base na aproximação de setores circulares em triângulos. o compor uma figura com a forma aproximada de um quadrilátero, conclui-se que a área do círculo é dada por 5 s 3 r. Área do círculo Considere o círculo de centro O e raio de medida r. Podemos dividir esse círculo em 18 setores circulares congruentes. Veja as figuras abaixo. O r r É possível reagrupar esses setores em uma figura que lembre um paralelogramo com altura de medida h, que é aproximadamente igual a r, e base b de medida aproximadamente igual a C, em que C é o comprimento da circunferência. O símbolo 7 significa "aproximadamente igual". o dividir qualquer círculo em n setores, sendo n um número muito grande, cada um dos setores circulares se aproxima do formato de um triângulo. Nesse caso, verificamos que a área do círculo corresponde aproximadamente à área do paralelogramo formado pelos n triângulos. Como a medida da base do paralelogramo é aproximadamente igual à metade do comprimento da circunferência e a altura é aproximadamente igual à medida do raio, podemos escrever: r 7 s 3 r h 7 r b 7 C r Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Tomando por base essa ideia, pode se inferir que: círculo 5 sr No exemplo apresentado, foi determinada a área de uma toalha circular para estimar a quantidade de linha necessária para sua fabricação. Comente com os alunos que o recurso da estimativa é bastante utilizado em diversas áreas, a fim de evitar a falta ou o desperdício de recursos. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO Exemplo ndreia sabe que com 1 novelo de 14 g de determinada linha, ela consegue confeccionar um tapete de crochê de 1 500 cm de área. Quantos novelos dessa linha ndreia usará para fazer um tapete circular com 100 cm de raio? Inicialmente, vamos determinar a área aproximada do tapete de formato circular. Para isso, vamos considerar s 5 3,14: tapete53,143`100 cmj 53,14310000 cm 531400 cm Para determinar a quantidade de novelos para a confecção do tapete, basta dividir a área total do tapete pela área confecionada a partir de 1 novelo: 31 400 4 1 500 7 0,93 Logo, ndreia precisará de 1 novelos para confeccionar o tapete. 16 EF08M06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. EF08M19: Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área [quadriláteros, triângulos e círculos], em situações como determinar medida de terrenos. 16
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Área da coroa circular Coroa circular é uma região limitada por duas circunferências concêntricas [os centros são coincidentes], situadas em um mesmo plano e com raios de medidas diferentes. Na ilustração, temos a circunferência C 1 de centro O e raio com medida R e a circunferência C, também de centro O e raio com medida r. área [] da coroa circular é obtida pela diferença entre a área C 1 do círculo C 1 e a área C do círculo C. Exemplo 5 C 1 C 5 sr sr 5 s[r r ] Um clube esportivo construirá uma pista de corrida com o formato de uma coroa circular, como mostra a figura abaixo. Pista Gramado 3 m Qual é a área da pista, considerando s 5 3,14? área da pista é obtida pela diferença entre as áreas do círculo C I, cujo raio mede 4,5 m [3 m 1 1,5 m], e do círculo C II, cujo raio mede 3m: 53,143 3m 53,1439 m 58,6 m C I ` j 1,5 m R O r C 1 C coroa circular Sugestão de vídeo Para ilustrar o cálculo da área de um círculo, sugerimos o vídeo Roda do sonho, do portal M 3 Matemática Multimídia, que faz uso dos personagens Pablo e rquimedes para abordar a conclusão de rquimedes sobre a área de um círculo, que é equivalente à área de um triângulo retângulo que tem por base o perímetro desse círculo e por altura a medida de seu raio. São também comentados o problema clássico da quadratura do círculo e a expressão da área do círculo como a multiplicação do número s pela medida do raio ao quadrado. Disponível em: . cesso em: 7 out. 018. C II 53,143`4,5 mj 53,1430,5 m 563,585 m Logo, para determinar a área aproximada da pista fazemos: 63,585 m 8,6 m 5 35,35 m Poderíamos determinar a área da pista utilizando a expressão da área de uma coroa circular: = r`r - r j Substituindo os valores correspondentes a R [medida do raio de C I ] e r [medida do raio de C II ], temos: 53,143: `4,5mj - `3mj D 53,14380,5m - 9m 53,143 11,5 m 535,35 m Logo, a área aproximada da pista é de 35,35 m². ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 163 163
o trabalhar a área de setor circular, é importante que os alunos percebam que a área do setor circular é diretamente proporcional à medida seu ângulo central. Essa compreensão será um importante auxílio para a construção e interpretação de gráficos de setores. Para esses casos, é muito importante que os alunos tenham alguns referenciais, como 50% [metade da área do círculo] corresponde a um setor circular com o ângulo central de 180 e 5% [um quarto da área do círculo] corresponde a um ângulo central de 90. Área do setor circular Observe na ilustração o setor circular cujo ângulo central mede a. área desse setor circular é diretamente proporcional à medida do seu ângulo central em grau. ssim, podemos escrever: setor 5 a crculo í 360w setor 5 a sr 360w O r a setor circular Logo, a área de um setor circular de raio r e ângulo central de medida a em grau é dada por: setor 5 a 3sr 360w Exemplo Qual é a área do setor circular de ângulo central medindo 40 e raio de 0 cm? Podemos calcular a área do setor usando a expressão: a setor = 3 sr 360c Substituindo os valores correspondentes, temos: 40c 1 = 3 r3`0 cmj = 3 r3 400 cm 7 44,44 r cm 360c 9 Portanto, a área desse setor é de aproximadamente 44,44s cm². TIVIDDES Faça as atividades no caderno. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 1 Calcule a área de um círculo cujo raio mede 9 m. Calcule a área de um setor circular de ângulo central medindo 108w e raio de medida 8 cm. 3 Calcule a área da superfície vermelha da figura. 81s m 1s cm 19, s cm Material Digital udiovisual Vídeo: O número pi ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI cm 5 cm Orientações para o professor acompanham o Material Digital udiovisual 164 EF08M0: Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. EF08M1: Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. 164
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 4 Calcule a área da coroa circular determinada por duas circunferências concêntricas de raios de medida 8 cm e 5 cm. 39s cm² 5 Uma piscina de formato circular ocupará uma área de aproximadamente 8,6 m. Considerando s 5 3,14, qual é a medida do diâmetro dessa piscina? 6 m 6 Em um jardim, Fabiana fará um canteiro circular, onde plantará algumas árvores de médio porte. o redor desse canteiro, ela plantará algumas flores. Veja, ao lado, o esboço que ela fez com as respectivas medidas desse canteiro. Para cada um dos canteiros, Fabiana utilizará um tipo de adubo. O adubo, que será usado no canteiro das árvores, custa R$ 10,00 o quilograma. Já o adubo, que será usado nos canteiros das flores, custa R$ 7,00 o quilograma. Cada quilograma será usado para adubar 1 m de cada espaço. a] Quantos quilogramas de cada adubo serão necessários? dubo : 78,5 kg; adubo : 175,84 kg b] Quanto Fabiana gastará em adubo? R$ 015,88 3 Volume e capacidade nderson ganhou três latas de tinta que haviam sobrado da reforma da casa de um amigo. ranco marelo Verde Lembre-se: Não escreva no livro! Sabendo que as latas eram de tintas de cores diferentes e que não estavam cheias, nderson pretende usá-las para pintar as paredes de três cômodos de sua residência. Para saber a quantidade de tinta de cada lata, ele mediu a altura do conteúdo de cada uma, colocando um pedaço de madeira até atingir o fundo da lata e, depois, mediu o comprimento da madeira suja de tinta. Veja o que nderson obteve. 5 cm tinta branca 18 cm tinta verde 0 cm 5 m tinta amarela 9 m DILSON SECCO ILUSTRÇÕES: ENÁGIO COELHO 165 Na atividade 5, os alunos deverão determinar a medida diâmetro de um círculo, dada a sua área. Como 5 s 3 r, tem-se: 8,6 5 3,14 3 r ] r 5 9, logo, o raio desse círculo mede 3 m, o que implica que o diâ metro mede 6 m. Na atividade 6, os alunos deverão determinar a área do círculo correspondente ao espaço em que as árvores serão plantadas e a área da coroa circular onde as flores serão plantadas. Desse modo, considerando s 5 3,14, a área do círculo menor é de: 5 s 3 r ] ] 5 3,14 3 [5 m] 5 5 3,14 3 5 m 5 5 78,5 m Já a área do canteiro de flores pode ser determinada subtraindo do círculo maior a área do menor. Desse modo, a área do círculo maior é de: 5 s 3 r ] ] 5 3,14 3 [9 m] 5 5 3,14 3 81 m 5 5 54,34 m Então, a área da coroa circular é de: 54,34 m 78,5 m 5 5 175,84 m Como o adubo para as árvores custa 10 reais o quilograma, Fabiana gastará 785 reais com esse adubo. Já para o canteiro das flores, gastará: 175,84 3 7 5 1 30,88. O tópico Volume e capacidade tem como objetivo favorecer o desenvolvimento das habilidades EF08M0 e EF08M1 [descritas na da página 164]. Os alunos já estudaram o cálculo de volume de paralelepípedos e as medidas de capacidade. situação apresentada tem o objetivo de retomar esses conteúdos de modo que os alunos estabeleçam uma relação entre eles. Na situação apresentada, é importante destacar que a espessura da lata e o pedaço de madeira usado para medir a altura da tinta na lata influenciam no cálculo do volume de tinta. Por esse motivo, indicamos que o valor calculado é uma aproximação. 165
Sugestão de atividade extra Se considerar adequado, proponha aos alunos uma atividade prática em que deverão colocar em uma caixa de leite quantidades específicas de um líquido, sem o auxílio de um copo medidor. Para essa atividade, serão necessários os seguintes materiais: caixas de leite vazias [sem a tampa ], água, régua, varetas de madeira e corante. Separe os alunos em grupos e proponha a eles que despejem diferentes quantidades de água dentro das caixas, por exemplo: 500 mc, 400 mc, 50 mc etc. Utilizando estratégias próprias, como medir as dimensões da caixa para determinar o volume ou fazer marcações internas de altura e usar a proporção, os alunos deverão obter quantidades próximas às solicitadas. Para verificar se o conteúdo corresponde ao solicitado, pode-se usar um copo graduado como instrumento de medição. Sabendo que o comprimento e a largura das latas medem 3 cm, qual é o volume aproximado de tinta em cada lata? Quando enchemos um recipiente com líquido, verificamos que ele ocupa a forma do recipiente. Logo, a forma ocupada pelas tintas nas latas corresponde a um paralelepípedo. Já vimos que o volume de um paralelepípedo é dado pela multiplicação entre o comprimento, a largura e a altura, conforme a expressão a seguir. V paralelepípedo 5 a3b3h Então, como nderson obteve os valores aproximados para as alturas, temos: Volume aproximado de tinta branca: Volume aproximado de tinta amarela: Volume aproximado de tinta verde: V = 3 cm 3 3 cm 3 5 cm = 135 cm 3 V = 3 cm 3 3 cm 3 0 cm = 10580 cm 3 V = 3 cm 3 3 cm 3 18 cm = 95 cm pós medir a área das paredes de seus cômodos, nderson verificou que seriam necessários 10 litros de tinta branca, 9 litros de tinta amarela e 8 litros de tinta verde. quantidade de tinta disponível será suficiente? ntes de responder a essa pergunta, vamos relembrar as unidades de medida de capacidade e de volume que fazem parte do Sistema Internacional de Unidades [SI]. O litro [l] é a unidade padrão de medida de capacidade e corresponde à capacidade de um cubo com arestas medindo 1 decímetro cúbico [1 dm 3 ]. 1 l 5 1 dm 3 1 dm 3 1 c DILSON SECCO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. O decímetro cúbico [dm 3 ] é uma das unidades de medida 1 dm de volume, assim como o centímetro cúbico [cm³]. Observe, no quadro abaixo, os múltiplos e os submúltiplos do litro, que estão no SI. 1 dm Quadro de unidades de medida de capacidade Múltiplos Unidade- -padrão Submúltiplos Unidade quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro Símbolo kl hl dal l dl cl ml Relação com o litro 1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l 166 166
Em relação às unidades de medida de volume, o metro cúbico [m³] que corresponde ao volume de um cubo de lados medindo 1 m é a unidade padrão de medida de volume. Veja, no quadro a seguir, os múltiplos e os submúltiplos do metro cúbico. Unidade quilômetro cúbico Múltiplos hectômetro cúbico Quadro de unidades de volume Unidade- -padrão decâmetro metro decímetro cúbico cúbico cúbico Submúltiplos centímetro cúbico milímetro cúbico Símbolo km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Relação com o metro 10 9 m 3 1000000 m 3 1000 m 3 1 m 3 0,001 m 3 cúbico 10 6 m 3 10 9 m 3 proveite esse momento para relembrar com os alunos as transformações entre as unidades de medida de volume e capacidade e suas relações. Se considerar adequado, proponha uma atividade a ser realizada no quadro de giz com a participação de todos os alunos da turma. Para isso, escreva uma medida no quadro de giz e peça a um aluno que a transforme para outra unidade de medida, por exemplo: transformar 0 dm 3 em litro. Faça isso algumas vezes, de modo que todos possam participar. Observe que cada unidade de volume equivale a 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 3 1 000 4 1 000 3 1 000 4 1 000 3 1 000 4 1 000 3 1 000 4 1 000 3 1 000 4 1 000 3 1 000 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 4 1 000 Voltando ao problema inicial, vamos determinar se a quantidade de tinta disponível é suficiente para nderson. Ele precisa de 10 litros de tinta branca e tem 13 5 cm³ dessa tinta. Vamos transformar o volume de tinta disponível para dm³; para isso, basta dividir 13 5 cm³ por 1 000: 13 5 cm 3 4 1 000 5 13,5 dm 3 Como 1 dm 3 corresponde a 1 litro, a quantidade de tinta disponível é aproximadamente 13,5 litros. Portanto, a quantidade de tinta branca disponível é suficiente para nderson. Usando o mesmo raciocínio, determinamos se as quantidades de tintas amarela e verde são suficientes: Tinta amarela: Tinta verde: 10 580 cm 3 4 1000 5 10,58 dm 3 9 5 cm 3 4 1000 5 9,5 dm 3 Logo, nderson tem disponível aproximadamente 10,58 litros de tinta amarela e aproximadamente 9,5 litros de tinta verde. Respondendo à pergunta do problema, ele tem tinta suficiente, pois precisava de 9 litros de tinta amarela e 8 litros de tinta verde. Material Digital udiovisual Áudio: Oxigênio Orientações para o professor acompanham o Material Digital udiovisual Exemplo ntonela contratou a empresa de Enzo para construir uma piscina com capacidade de 60 000 litros no sítio dela. Para o projeto da piscina, a única restrição era que a profundidade da piscina não poderia ter mais que 1,6 metro. Com isso, Enzo propôs a ntonela uma piscina com as seguintes medidas: 7,5 m de largura, 5 m de comprimento e 1,6 m de altura. ntonela, então, perguntou: Com essas medidas, a piscina teria capacidade de 60 mil litros?. 167 167
Para responder, Enzo expôs os seguintes cálculos: Cálculo do volume Vparalelepípedo 5 a 3 b 3 h 5 7,5 3 5 3 1,6 5 60 O volume da piscina é 60 metros cúbicos. Como 1 m 3 5 1 000 litros, então a capacidade da piscina será de 60 000 litros de água. Na atividade 3, os alunos deverão determinar quantos litros de água devem ser colocados no vaso até atingir um terço de sua altura. Espera-se que eles percebam que essa quantidade corresponde a um terço do volume total do vaso, que, nesse caso, corresponde a 1,5 litro. Na atividade 4, os alunos deverão, inicialmente, transformar 500 litros em metros cúbicos, obtendo, assim,,5 m³. ssim, eles saberão que:,5 5 3 3 5 3 x ] ],5 5 15x ], 5 ] x 5 51, 5 15 Logo, a altura da piscina deverá ser de 1,5 m. TIVIDDES Se achar necessário, diga aos alunos que as ilustrações não foram apresentadas em escala de tamanho. Faça as atividades no caderno. 1 Calcule o volume dos sólidos abaixo. a] 90,5 m 3 14,6 m m 3,1 m b],656 cm 3 5,6 cm 7,1 cm 5,6 cm Sarah e ndré passaram em uma lojinha quando estavam voltando para casa de um passeio e compraram uma forminha de gelo diferente. O gelo quando formado lembrava um bloco retangular. Na embalagem, estava escrito que o gelo formado tem as seguintes medidas: 1 mm de largura, 1 mm de altura e 96 mm de comprimento. Qual é o volume do gelo feito nesta forma? 13 84 mm 3 Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 3 Um vaso tem o formato de um bloco retangular, como indica a figura abaixo. Se colocarmos água até um terço de sua altura, quantos litros de água colocaremos neste vaso? 1,5 litro 0 cm ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 15 cm 15 cm 4 Camila vai construir uma piscina em seu quintal, que ocupará uma área retangular de lados medindo 3 m e 5 m. Qual deverá ser a profundidade dessa piscina de modo que a capacidade total seja de 500 litros? 1,5 m Veja a sequência didática do 3 o bimestre no Material do Professor Digital. 168 168
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Trabalhando os conhecimentos adquiridos Revisitando plicando Faça as atividades no caderno. 1 Explique como você faria para determinar a área de um triângulo sabendo a medida de sua base e de sua altura. área de um triângulo é dada pelo produto das medidas de sua base e altura dividido por. Explique como você determinaria a área da figura a seguir sabendo a medida dos lados dos quadradinhos, mas sem contá-los um a um. 4. Sim, pois quanto maior a medida do ângulo interno, maior será a área correspondente, e quanto menor a medida do ângulo, menor será a área correspondente. 3 Como determinamos a área de um círculo? 4 medida da área de um setor circular é proporcional ao seu ângulo central? 5 Sabendo o comprimento, a largura e o volume de um paralelepípedo, é possível determinar sua altura? Explique. Sim. Como o volume de um paralelepípedo é dado V 5 a 3 b 3 h, então a altura será dada v 6 Um metro cúbico equivale a quantos litros de água? pela seguinte expressão: h 1 000 litros de água 1 Considere um trapézio cuja base maior meça 8 mm, a altura meça 3 mm e tenha 18 mm de área. Qual é a medida da base menor desse trapézio? 4 mm Calcule a área de um círculo de 5 cm de diâmetro. 3 Qual é a medida do raio do círculo cuja área mede 36s m. 4 Determine a área de uma coroa circular delimitada por circunferências de raios de medida 6 cm e 10 cm. 64s cm 5 Calcule a área do setor circular nos casos a seguir, dadas as medidas a do ângulo central e r do raio. a] a 5 60w 50s cm b] a 5 30w 3s m c] a 5 50w 31,5s cm 3 r 5 10 cm r 5 6 m r 5 15 cm 6 Na figura, O 5 10 cm, O 5 8 cm e med [ O V ] 5 30w. Calcule, em centímetro quadrado, a área aproximada da superfície em destaque. [Considere s 5 3,14] 9,4 cm O 10 cm 8 cm 30 Exemplo de resposta: Decompor a figura em um triângulo, um paralelogramo, um trapézio e um retângulo, conforme a figura a seguir. Multiplicando a medida do raio ao quadrado pelo número s. 156,5s cm 6 m = ` a3 b j ILUSTRÇÕES: GUILHERME CSGRNDI 169 seção Trabalhando os conhecimentos adquiridos tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento. Revisitando Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. Na atividade, espera-se que os alunos respondam que é possível decompor a figura dada em outras, como no exemplo de resposta apresentado. plicando Na atividade 6, os alunos deverão determinar a área do setor de raio de 10 cm e, depois, subtrair a área do setor de raio de 8 cm para encontrar a área procurada. Área do setor referente ao raio de 10 cm: 30 x 1 5 ] 5 360 s 3 10 1 x 5 s ] 1 x 5100 100 s ] 5 ] x 5 s 3 Área do setor referente ao raio de 8 cm: 30 y 1 5 ] 5 360 s3 8 1 y 5 ] 1 y 5 64 s ] 64s 16 ] y 5 s 3 Subtraindo as áreas: 5 16 9 s s5 s53s 3 3 3 Como s 5 3,14, portanto, a área destacada será 9,4 cm². 169
No Desafio, os alunos deverão determinar, inicialmente, o volume da lata e, depois, sua capacidade. V 5 30 cm 3 30 cm 3 40 cm 5 5 36 000 cm 3 Logo, a capacidade da lata é de 36 litros. caixa-d água tem volume de m³, ou seja, tem capacidade para 000 litros. Dividindo 000 por 36, tem-se: 000 4 36 5 55,55... Logo, serão necessárias 56 viagens para encher a caixa- -d água. Elaborando seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais e 4 e da competência específica 6. Para elaborar as possibilidades pedidas no item a da atividade 1, os alunos deverão pensar em três números reais positivos cuja multiplicação resulte em 16. Nesse caso, é importante destacar que as medidas indicadas devem corresponder as dimensões das embalagens com maior possibilidade de uso. Por exemplo, uma embalagem de medidas iguais a 3 cm, 1 cm e 6 cm pode ter mais possibilidades de uso que uma embalagem de medidas iguais a 1 cm, 1 cm e 16 cm. Na atividade, oriente os alunos a utilizar a escala na representação da planta do cômodo. lém disso, dependendo da situação-problema elaborada, a representação de janelas e portas, com suas respectivas medidas, pode ser necessária. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 7 [Obmep] Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um quadrado de área 16 cm, cinco qua drados de área 4 cm cada um e treze quadrados de área 1 cm cada um. Qual era a medida do lado da folha antes de ela ser cortada? alternativa d a] 3 cm b] 4 cm Elaborando 30 m c] 5 cm d] 7 cm e] 8 cm 8 Determine a área da superfície verde de cada uma das seguintes figuras. a] 11,5s m b] 75s m 9 figura a seguir representa a vista aérea de uma piscina. Considere s 5 3,14 para responder às questões. m 1 m 3 m 4 m 10 m a] Qual é a área aproximada dessa piscina? b] O contorno verde representa um determinado ladrilho que foi colocado em toda a borda dessa piscina. Qual é o comprimento aproximado desse contorno? 1,38 m 5 8,57 m Lembre-se: Não escreva no livro! 10 Leia o texto a seguir. O hidrômetro é um instrumento utilizado para medir o consumo de água. unidade de medida utilizada pelo hidrômetro é o metro cúbico [m 3 ]. Em outubro, no momento da leitura, um hidrômetro registrava 850 m 3. No mês seguinte, na nova leitura, ele registrava 3480 m 3. gora, responda às questões. a] Qual foi o consumo, em decímetro cúbico, nesse período? 630 000 dm 3 b] Qual foi o consumo, em litro, nesse período? 630 000 litros DESFIO [Obmep] Na casa de Manoel há uma caixa- -d água vazia com capacidade de metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao rio até encher completamente a caixa-d água? alternativa d 1 Ivan encomendou a um designer que criasse uma embalagem com as seguintes características: deve ter o formato de um paralelepípedo reto-retângulo e deverá ocupar um volume de 16 cm 3. a] Desenhe duas opções de embalagens com essas características. Respostas pessoais. b] crescente uma característica à encomenda de Ivan para que a embalagem possa ter um único formato. Exemplo de resposta: deve ter o formato de um cubo. Desenhe a planta de um cômodo de sua residência e indique as respectivas medidas. Elabore um problema envolvendo a planta desenhada por você e o cálculo de área. Troque seu problema com um colega e solicite a ele que o resolva. Depois, verifiquem se as resoluções estão corretas. Resposta pessoal. 40 cm 30 cm a] 53 b] 54 c] 55 d] 56 e] 57 Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 170 170 Competência geral : Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções [inclusive tecnológicas] com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens verbal [oral ou visual-motora, como Libras, e escrita], corporal, visual, sonora e digital, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens [gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados].
CPÍTULO 9 Equações do o grau JEFFERSON CHRISTOFOLETTI/EMRP Objetivos Identificar equações do o grau. Resolver equações do o grau incompletas usando diferentes estratégias. Resolver problemas por meio de equações incompletas do o grau, compreendendo os procedimentos envolvidos. Habilidades da NCC Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades da NCC: EF08M06 e EF08M09. DILSON SECCO O feijão-caupi é uma cultura de origem africana, introduzida no rasil na segunda metade do século XVI pelos colonizadores portugueses no estado da ahia. Esse tipo de feijão recebe alguns nomes populares, como feijão- -macassa e feijão-de-corda, na região Nordeste; feijão-de-praia e feijão-da-colônia, na região Norte; feijão-miúdo, na região Sul. Na foto, temos uma plantação de feijão-caupi em Palmas [TO], 013. É hora de observar e refletir Um agricultor plantou feijão-caupi em uma área retangular de 10 000 m², como a da figura. pós a colheita, o agricultor chegou à conclusão de que obteve uma produtividade de 000 kg de feijão em cada quadrado de lado x. É comum utilizarmos o hectare [ha] como unidade de medida de área em contextos agrários [1 ha equivale a 10 000 m²]. Responda no caderno. x x x x x x x De que maneira podemos determinar a medida do lado do quadrado? Podemos determinar por meio da expressão 1x² 5 10 000. É comum utilizarmos, nesse tipo de contexto, um nome especial para a área de um desses quadrados, sendo ele uma unidade de medida de área. Qual é essa unidade de medida? DIEZ, O/DP/ZUM PRESS/GLOW IMGES 171 É hora de observar e refletir Essa abertura apresenta a oportunidade de os alunos discutirem a respeito de unidades de medida convencionais e não convencionais. Converse com eles e peça que deem, em um primeiro momento, exemplos de unidade de medida de área e algum contexto em que ela seja utilizada. É comum encontrarmos anúncios de venda de imóveis em panfletos ou na internet com a área do imóvel em metro qua drado [m²]. Em estradas próximas a zonas rurais, também é possível encontrarmos placas com anúncios de venda de grandes porções de terra em hectare [ha]. Sugestão de atividade extra Dis cuta com os alunos a respeito da regionali dade das unidades de medida e os transtornos que isso pode gerar durante uma negociação. No link sugerido a seguir, há uma tabela com as medidas agrárias. Disponível em: . cesso em: 5 out. 018. EF08M06: Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações. EF08M09: Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de o grau do tipo ax 5 b. 171
Trocando ideias Esta seção foi criada para proporcionar aos alunos a conversa sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se julgar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais e 10 e das competências específicas e 6. proveite essa atividade para analisar os conhecimentos prévios dos alunos. Deixe-os discutirem primeiro para só depois intervir. Se julgar pertinente, comente com a turma que esse tipo de evento, o de queda livre, é estudado em Física ao tratar de cinemática, que é o estudo e a descrição do movimento dos corpos. Diga aos alunos que eles terão oportunidade de aprender mais sobre esse e outros tipos de movimento no Ensino Médio. Trocando ideias drone ponto de início da queda 10 m ponto de chegada Um professor de Matemática propôs o seguinte experimento aos alunos do 8 o ano: verificar o tempo de queda de um objeto usando apenas imagens. Para a realização do experimento, a turma utilizou uma câmera especial, que capta uma imagem a cada segundo, um drone [equipamento aéreo controlado remotamente] e uma bola de tênis. E, para os cálculos, consideraram: ponto de início [origem] da queda: 0 m e 0 s; ponto final da queda: ponto em que a bola chega ao solo; sabe-se que o drone está a 10 m do solo; a quantidade de imagens e os dados registrados pela câmera especial, que permitia determinar a altura em que a bola se encontrava a cada segundo durante a queda. CLYTON CSSINO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. No entanto, a câmera parou de funcionar em determinado momento. Os únicos dados armazenados foram anotados no quadro abaixo. Tempo [s] 0 1 3 4 ltura [m] 0 5 0 45 80 Obtenham uma expressão algébrica que permita calcular a altura do objeto a partir do tempo. 5x² Como o objeto percorreu 10 m até atingir o solo, que sentença matemática expressa por uma igualdade terá que ser resolvida para determinarmos o tempo de queda? 5x² 5 10 Neste capítulo, vamos aprender a resolver algumas equações do o grau com uma incógnita, permitindo resolver problemas como este ou o da abertura do capítulo. 17 Competência geral : Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções [inclusive tecnológicas] com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 10: gir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. 17
1 Inicie a explicação do tópico relembrando o significado de coeficiente. É importante que os alunos distingam uma equação do o grau de uma equação do 1o grau e que consigam reconhecer quais equações do o grau são completas e quais são incompletas. Equação do o grau com uma incógnita Considere a situação a seguir. Um curral tem formato retangular e área igual a 88 m. Sabendo que uma das dimensões tem o dobro da outra, quanto mede cada uma das dimensões desse curral? Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. x LUIZ RUIO x Considerando x a medida da menor dimensão, a medida da maior corresponderá a x e a área poderá ser representada por x 3 x. ssim: x 3 x 5 88 x 5 88 x 88 5 0 Uma maneira de calcular a medida de cada uma das dimensões desse curral é resolver essa equação. equação x 88 5 0 é um exemplo de equação do o grau com uma incógnita, nesse caso, representada por x. Denominamos equação do o grau na incógnita x aquela que pode ser reduzida a uma equação do tipo ax 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e c são números reais, com a % 0. Nas equações escritas na forma ax 1 bx 1 c 5 0, cuja incógnita é x, chamamos a, b e c de coeficientes. Exemplos x 5x 1 6 5 0 é uma equação do o grau, com a 5 1, b 5 5 e c 5 6. 6x x 1 5 0 é uma equação do o grau, com a 5 6, b 5 1 e c 5 1. Sugestão de atividade extra Peça à turma que façam uma pesquisa, cujo objetivo é responder: Historicamente, as equações do o grau, completas ou incompletas, ajudaram a resolver que tipo de problema?. Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que os problemas tratados eram os de área. 7x x 5 0 é uma equação do o grau, com a 5 7, b 5 1 e c 5 0. x 36 5 0 é uma equação do o grau, com a 5 1, b 5 0 e c 5 36. Cuidado! Não são exemplos de equações do o grau com uma incógnita: x 1 y 5 8, pois possui duas incógnitas: x e y. x 3 1 4x x 5 7, pois o maior expoente da incógnita x é 3. [3y ] 5 0, pois o maior expoente da incógnita y é 4, já que [3y ] é igual a 3y 4 6y 1 4 173 Competência específica : Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens [gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados]. 173
Equações completas e incompletas Uma equação do o grau ax 1 bx 1 c 5 0, na incógnita x, é considerada completa quando todos os coeficientes [a, b, c] são diferentes de zero. Exemplos a 5 1 x 9x 1 0 5 0 b 5 9 x 1 10x 16 5 0 c 5 0 a 5 1 b 5 10 c 5 16 Quando b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação do o grau ax 1 bx 1 c 5 0, na incógnita x, é incompleta. Na atividade 7, verifique se os alunos são capazes de perceber que, para responder à questão, basta impor que o coeficiente de x seja diferente de zero, isto é: 3m % 0. GUILHERME CSGRNDI Exemplos a 5 1 a 5 1 x 36 5 0 b 5 0 x 10x 5 0 b 5 10 4x 5 0 c 5 36 c 5 0 TIVIDDES 1 Uma quadra de basquete tem área igual a 40 m. Escreva a equação do o grau que pode ser utilizada para determinar o comprimento e a largura a quadra, de acordo com a figura representada abaixo. Exemplo de resposta: x² 1 13x 40 5 0 x + 13 x Identifique as equações do o grau. a] 6x 1 5 5 0 d] 0x 1 5x 1 6 5 0 b] x 6x 1 9 5 0 e] 9 y 5 0 c] y 4y 5 0 f] [z 3] 5 0 3 Considerando ax 1 bx 1 c 5 0, com a % 0, determine os coeficientes das equa ções. a] 3x 1 6x 5 0 a 5 3, b 5 6, c 5 0 b] 3x 1 5 0 a 5 3, b 5 0, c 5 1 c] 5 10x 1 x 5 0 d] [k 1 1]x kx 5 0, com k 1 1 % 0 a 5 4 b 5 0 c 5 0 Neste capítulo, vamos estudar apenas as equações do o grau incompletas na incógnita x do tipo ax 1 c 5 0, ou ax 5 c, com a % 0, e a e c números reais. No próximo ano, será aprofundado o trabalho com as equações consideradas completas. alternativas b, c, e, f a 5 k 1 1, b 5 k, c 5 0 a 5 1, b 5 10, c 5 5 Faça as atividades no caderno. 4 Escreva no caderno a equação ax 1 bx 1 c 5 0, em que: a] a 5 5, b 5 1 e c 5 0 b] a 5 4, b 5 0 e c 5 9 c] a 5 0,, b 5 1 e c 5 0,5 0,x 1 x 1 0,5 5 0 5x x 5 0 4x 9 5 0 5 Um quadrado com lado de medida x tem área igual a 65 m. Escreva uma equação do o grau para determinar o valor de x. Exemplo de resposta: x 65 5 0 6 Classifique as equações do o grau em completa ou incompleta. a] 3x 1 5x 5 0 incompleta b] 3x 1 9 5 0 incompleta c] x 1 7x 1 1 5 0 completa d] 6x 5 0 incompleta e] x 3 x 1 4 5 0 completa 7 Determine os valores possíveis de m na equação [3m ]x 1 [m 1 1]x 4 5 0, de modo que ela seja do o grau. V ] 3 3 8 Reescreva a equação 5 [ x 3 ] 5 x [x ] na forma 4 ax 1 bx 1 c 5 0, com a % 0. Exemplo de resposta: 4x 5x 1 39 5 0 Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 174 174
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Raiz de uma equação do o grau Já vimos, quando estudamos as equações do 1 o grau com uma incógnita, que podemos verificar se um número é ou não raiz de uma equação. Para isso, substi tuímos a incógnita pelo número dado: se a sentença obtida for verdadeira, o número dado será raiz da equação; se a sentença for falsa, o número não será raiz da equação. Exemplos Vamos verificar se 3, 0, 1 e 3 são raízes da equação 3x 7 5 0. Para x 5 3: 3x 7 5 0 3 3 [3] 7 5 0 3 3 9 7 5 0 0 5 0 sentença verdadeira Para x 5 1: 3x 7 5 0 3 3 [1] 7 5 0 3 3 1 7 5 0 4 5 0 sentença falsa Para x 5 0: 3x 7 5 0 3 3 [0] 7 5 0 3 3 0 7 5 0 7 5 0 sentença falsa Para x 5 3: 3x 7 5 0 3 3 [3] 7 5 0 3 3 9 7 5 0 0 5 0 sentença verdadeira Então, verificamos que 3 e 3 são raízes da equação, enquanto 0 e 1 não são raízes de 3x 7 5 0. Vamos determinar p na equação [p 1]x 5 0, sabendo que é raiz. Substituindo a incógnita x por, já que é raiz da equação, podemos obter o valor de p. [p 1] 3 [] 5 0 Podemos associar este tópico à determinação do valor numérico de uma expressão algébrica, pois, para verificar se um número é raiz de uma equação, substituímos a incógnita pelo número, efetuando os cálculos. É importante que os alunos percebam, entretanto, que no contexto de uma equação as letras assumem o papel de incógnita, enquanto em uma expressão algébrica as letras representam uma variável. Questione-os a respeito dessa distinção, verificando se a diferença está clara. Esclareça eventuais dúvidas. [p 1] 3 4 5 0 8p 4 5 0 8p 6 5 0 8p 5 6 6 p 5 8 p 5 3 4 Portanto, o valor de p é 3 4, sabendo que a raiz da equação [p 1]x 5 0 é. 175 175
TIVIDDES 1 Dados os números 4,, 1, 0, 1, e 4, quais deles são raízes da equação x 1 8 5 0? e 3k Em x e o 5 50, com k % 0, qual é 1 o valor de k para que seja raiz? 0 k 5 3 Faça as atividades no caderno. 3 Verifique se 0, é raiz das equações abaixo. a] x 1 9 5 0 b] 15x 5 5 0 não sim 4 Dê um exemplo de equação do o grau com uma incógnita de modo que: a] 0 seja uma raiz; b] não possua raízes reais. Exemplo de resposta: x 5 0 Exemplo de resposta: x 1 1 5 0 Faça a seguinte pergunta aos alunos: Se o conjunto universo considerado no 1 o exemplo fosse o conjunto dos números naturais, a equação x 7 5 0 teria quantas soluções? Por quê?. Espera-se que eles respondam que a equação teria uma única solução, pois 6 não é um número natural. Resolução de equações do o grau Resolver uma equação do o grau é determinar suas raízes, que devem pertencer a um dado conjunto universo U [conjunto formado por todos os valores que a incógnita pode assumir]. Essas raízes também são chamadas de soluções da equação em um conjunto universo. companhe nos exemplos a seguir a resolução de equações do o grau incompletas. Exemplos Vamos determinar as raízes reais ou soluções da equação x 7 5 0, sendo U 5 V. x 7 1 7 5 0 1 7 dicionamos 7 a ambos os membros da equação. x 5 7 x 7 5 Dividimos os dois membros por. x 5 36 x 5 36 5 6 ou x 5 36 5 6 Portanto, as raízes reais da equação são 6 e 6. Resolvendo a equação 3x 1 6 5 0, sendo U 5 V, temos: 3x 1 6 6 5 0 6 Subtraímos 6 de ambos os membros da equação. 3x 5 6 3x 6 5 Dividimos os dois membros por 3. 3 3 x 5 Como não existe um número real que, elevado ao quadrado, seja igual a, dizemos que a equação não tem raízes reais ou não tem solução em V. Vamos determinar as raízes reais ou soluções da equação 3x 5 0, em V. 3x 0 5 Dividimos os dois membros por 3. 3 3 x 5 0 x 5 0 5 0 ou x 5 10 5 0 Portanto, a equação tem duas raízes reais iguais a zero. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 176 176
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Lendo e aprendendo Você já ouviu falar em IMC? O IMC [Índice de Massa Corpórea] é calculado a partir da razão entre a massa [em quilograma] e o quadrado da altura [em metro] de uma pessoa adulta. Esse índice foi desenvolvido no século XVIII pelo cientista belga dolphe Quételet, mas somente em 1980 passou a ser utilizado como padrão internacional de referência para medidas de obesidade pela Organização Mundial de Saúde [OMS]. O IMC pode ser utilizado como parâmetro para adultos de 0 a 59 anos de idade. Esse índice não se aplica a crianças e adolescentes nem a idosos; para essas faixas etárias, são aplicados métodos específicos. Em pessoas muito musculosas, também pode acontecer de o índice indicar sobrepeso indevidamente. De acordo com o resultado do IMC obtido, podemos ter a seguinte referência: IMC abaixo de 17 de 17 a 18,49 de 18,5 a 4,99 de 5 a 9,99 Classificação muito abaixo do ideal abaixo do ideal ideal acima do ideal de 30 a 34,99 obesidade de grau 1 de 35 a 39,99 obesidade de grau a partir de 40 obesidade de grau 3 GERORGE TUTUMI Lendo e aprendendo seção trata do Índice de Massa Corpórea [IMC]. exploração desse tema favorece o desenvolvimento da competência geral 8. Comente que a fórmula para o cálculo desse índice só é válida para adultos e que outros fatores devem ser considerados antes de chegar a qualquer conclusão a respeito das condições de saúde de uma pessoa. pós essa conversa, peça que apresentem exemplos de outras situações que conhecem e que envolvem expressões como a que foi obtida para representar o IMC. lgumas classificações podem trazer riscos à saúde, como a "obesidade", que pode gerar problemas como hipertensão, diabetes [tipo II], doenças cardiovasculares etc., e o "abaixo do ideal", que pode causar queda de cabelo, infertilidade, estresse, entre outras complicações. O IMC é considerado um parâmetro para avaliar se a massa de um adulto em relação à sua altura é adequada, mas para verificar se uma pessoa é saudável, há outras ferramentas para essa verificação. Os profissionais de saúde, por exemplo, conseguem avaliar de forma mais criteriosa se a massa de um indivíduo está ou não adequada utilizando algumas técnicas e outros parâmetros, como: análise do percentual de gordura; comprimento da circunferência da cintura; relação cintura # quadril. Observando somente o IMC, o homem com 8 kg de massa e 1,85 m de altura tem o IMC ideal. Caso a massa passe a ser 105 kg, ele será classificado como portador de obesidade de grau 1. Observando como parâmetro somente o IMC de um homem adulto de 4 anos com 8 kg de massa e 1,85 m de altura, o que podemos afirmar? E se sua massa aumentar para 105 kg? 177 Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 177
Em vários itens dessas atividades, os alunos podem retomar os conceitos de fatorações algébricas, procurando, assim, novas estratégias para a resolução de equações do o grau, exercitando suas habilidades algébricas. o trabalhar com situações contextualizadas, pode-se sempre chamar a atenção dos alunos para os valores que a incógnita pode assumir. No problema 1, por exemplo, x só pode assumir valores positivos, pois corresponde a uma medida. TIVIDDES 1 Resolva as equações em V. x 5 a] x 64 5 0 c] 9x 16 5 0 b] 3x 1 7 5 0 d] 3x 5 0 Calcule as raízes reais de cada equação. a] [x ] 1 4x 5 4 b] x 4 3 5 x 1 4 1 c] x 3 x 3 17 1 5 x 1 x 4 d] 3m 1 5 4m 1 e] e x x 5o 8 e 15o5 0 5 5 Resolução de problemas Faça as atividades no caderno. 3 Responda às questões, sabendo que o retângulo e o quadrado abaixo têm a mesma área, 64. 5x 8 1,6x x a] Qual é a medida do lado do quadrado? b] Qual é o perímetro do quadrado? E o do retângulo? 3; 35,6 4 Determine o valor de x em cada caso. a] terça parte do quadrado de x é igual a 7. x 5 9 ou x 5 9 b] diferença entre o quadrado de x e 4 é igual a 140. x 5 1 ou x 5 1 Na resolução de problemas com equações do o grau, podemos seguir as seguintes etapas: 1 a ] interpretar o problema, estabelecendo a equação que o traduz; a ] resolver a equação; 3 a ] interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. Observe a resolução de alguns problemas que recaem em uma equação do o grau. Problema 1 x 5 8 ou x 5 8 Não tem raízes reais. x 5 0 m 5 0 4 4 ou x 5 3 3 x 5 0 x 5 1 ou x 5 1 5 5 x 5 ou x 5 x 5 5 ou x 5 5 Sebastião tem um terreno quadrado e nele planta milho. Um vizinho cedeu um pedaço de terra para que Sebastião também usasse para plantio, aumentando a largura do terreno inicial em 0%. Sebastião pretende cercar todo o terreno para evitar x que alguns animais estraguem a plantação. Se a área do terreno com a parte cedida pelo vizinho é de 750 m², qual será o comprimento total da cerca? Vamos chamar de x o lado do quadrado que representa o terreno de Sebastião. 0,x x Precisamos encontrar o valor de x para indicar o perímetro do terreno, correspondente ao comprimento total da cerca. Podemos escrever a seguinte equação que representa a área do terreno após a parte cedida pelo vizinho. x 3 [0,x 1 x] 5 750 Resolvendo a equação em x, temos: x 3 1,x 5 750 ] 1,x 5 750 ] x = 750 ] x 1, 5 65 ] x 5 5 ou x 5 5 Como x é uma medida de comprimento, não pode ser um número negativo; portanto: x 5 5 ssim, as dimensões do terreno são 30 m e 5 m, então o comprimento total da cerca é de 110 m. x 8 GUILHERME CSGRNDI DILSON SECCO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 178 178
Problema Luiz tem dois irmãos. O produto da idade do irmão mais novo pela idade do irmão mais velho é igual a 144. Se o irmão mais novo tem 5 anos a menos que Luiz e o mais velho 5 anos a mais que Luiz, qual é a idade de Luiz? GEORGE TUTUMI Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO Denotando a idade de Luiz por x, a idade do irmão mais novo pode ser representada pela expressão x 5 e a idade do irmão mais velho, por x 1 5. Podemos, então, representar a situação pela seguinte equação: [x 5] 3 [x 1 5] 5 144 Resolvendo a equação, encontramos o valor de x. x² 5 5 144 ] x² 5 169 ] x 5 13 ou x 5 13 Como o valor de x representa a idade de Luiz, não faz sentido considerar a raiz 13. Portanto, Luiz tem 13 anos. TIVIDDES 1 O produto de um número positivo por sua quarta parte é igual a 100. Calcule esse número. 0 Em determinado triângulo, a medida da base é numericamente igual à medida da altura. Se a área do h triân gulo é 7 cm, qual é a medida da altura desse triângulo? 1 cm h 3 soma da medida da base maior com a medida da base menor é numericamente igual à h altura de um trapézio de área 18 cm. Quanto mede a altura desse trapézio? 6 cm Faça as atividades no caderno. 4 Se x é um número par positivo e o produto do número par anterior a ele com o número par posterior a ele resulta em 60, qual é o valor de x? 8 5 Ricardo vai construir um chiqueiro de formato retangular cuja área é 3 m. Quais serão as dimensões desse chiqueiro se a medida de um dos lados for o dobro da medida do outro? 4 m e 8 m 8 GEORGE TUTUMI Nas atividades, 3 e 5, os alunos devem utilizar o cálculo de áreas de figuras planas. Se necessário, relembre algumas fórmulas. Na atividade 4, verifique se os alunos são capazes de escrever [x ] 3 [x 1 ] 5 60 para resolver o problema. 179 179
Neste tópico, exploramos a resolução de equações incompletas do o grau usando calculadora ou o software de planilha eletrônica, visando contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF08M09. Resolução de equações incompletas do o grau com calculadora ou planilha eletrônica s equações que resolvemos até agora são da forma ax² 1 c 5 0, na incógnita x e com a % 0 e a e c números reais. Vamos isolar a incógnita x realizando a mesma operação em ambos os membros da igualdade. ax 1 c 5 0 ax + c - c 5 c dicionamos c nos dois membros. ax a c 5 a Dividimos os dois membros por a. x c c 5 ou x 5 Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da igualdade. a a ssim, podemos calcular as raízes de equações da forma ax² 1 c 5 0 realizando as operações com o auxílio de uma calculadora ou, até mesmo, utilizando uma planilha eletrônica. companhe as situações a seguir. Situação 1 Roberta revestiu com lajotas quadradas o chão de um salão que tem a forma de um retângulo, em que o comprimento é o quádruplo da largura. Ela precisa comprar material para fazer o rodapé do salão, que estará presente em três paredes, sendo duas delas as mais longas. Se a área do salão é de 36 m², ela precisará comprar material para quantos metros de rodapé? Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. GEORGE TUTUMI 180 EF08M09: Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de o grau do tipo ax² 5 b. 180
DILSON SECCO Primeiro, Roberta precisa calcular a medida dos lados do retângulo que representa o salão. Ela representou a situação por meio da seguinte equação: 4x 3 x 5 36 ou 4x 5 36 Roberta resolveu essa equação com o auxílio de uma calculadora, considerando a 5 4 e c 5 36. Ela pressionou a seguinte sequência de teclas. 36 $ 4 5 E obteve 3 como resposta no visor, considerando apenas a raiz positiva, já que estava determinando a medida do comprimento de uma das paredes do salão. Se 3 m é a medida do lado menor, então o lado maior é o quádruplo, ou seja, 1 m. Caso os alunos não tenham uma calculadora, há outras opções, como o uso de um aplicativo de celular ou de um computador. Eventualmente, algumas questões de usabilidade desses aparelhos podem ser diferentes de um modelo para outro. Se eles tiverem alguma dificuldade, acompanhe o processo de execução dos cálculos com cada um deles, esclarecendo eventuais dúvidas e adaptando o processo de cálculo quando necessário. mesma observação vale para os softwares de planilha eletrônica. Portanto, Roberta deve comprar material suficiente para duas paredes de 1 m de comprimento e uma de 3 m de comprimento, ou seja, 7 m de rodapé. Situação Vamos retomar a situação de um objeto em queda, como foi apresentada na seção Trocando ideias deste capítulo. Para calcular o tempo de queda de um objeto que foi abandonado de uma altura de 000 m usaremos uma planilha eletrônica. equação que pode nos dar o tempo aproximado é a seguinte: 5x² 000 5 0 Em um software de planilha eletrônica, preparamos a planilha assim: Preste atenção nos sinais dos coeficientes. Precisamos montar tudo certinho! DILSON SECCO 1 3 4 5 6 7 8 5x 000 5 0 C D E a 5 5 e c 5 000 a c Fórmula x [tempo em segundo] ILUSTRÇÕES: GEORGE TUTUMI 181 Veja sequência didática 3 do 3º bimestre no Material do Professor Digital. 181
Em seguida, inserimos os valores dos coeficientes a e c nas células 7 e C7, respectivamente. 1 7 8 5x 000 5 0 3 4 5 6 C D E a 5 5 e c 5 000 a c 5 000 Note que inserimos c, ou seja, [ 000], c pois o valor da raiz é dado por. a C7 Fórmula 5[000] x [tempo em segundo] c Por fim, definimos uma fórmula na célula equivalente a x =. Como precisamos determinar a medida de tempo, apenas a raiz positiva da equação nos a interessa. Na atividade proposta, verifique se os alunos conseguem trabalhar adequadamente com a calculadora. Comente, se for necessário, que em algumas calculadoras o ponto deve ser usado no lugar da vírgula. Se julgar pertinente e tiver oportunidade, peça aos alunos que utilizem uma planilha eletrônica para resolver os itens propostos. Para as raízes não exatas, trabalhe com o arredondamento de números. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 18 TIVIDDE D7 Fórmula =RIZ[C7/7] C D E 1 5x 000 = 0 3 a = 5 e c = 000 4 5 6 a c x [tempo em segundo] 7 5 000 =RIZ[C7/7] 8 ssim, teremos a raiz positiva da equação. D7 Fórmula =RIZ[C7/7] C D E 1 5x 000 = 0 3 a = 5 e c = 000 4 5 6 a c x [tempo em segundo] 7 5 000 0 8 Faça a atividade no caderno. 1 Usando uma calculadora, determine as duas raízes reais das equações seguintes. a] 5x 0 5 0 e e] x 5 b] 3x 1 5 0 f] 4x 5 3 844 131 e 31 c] 7x 5 5 16 e 6 g] 4x 5 49 13,5 e 3,5 d] x 5 16 19 e 9 h] 5x 5 534 645 137 e 37 b] Considerando 7 como aproximadamente,64, as raízes são aproximadamente 1,64 e aproximadamente,64. e] Considerando 11 como aproximadamente 3,3, as raízes são aproximadamente 13,3 e aproximadamente 3,3. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 18
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Trabalhando os conhecimentos adquiridos Revisitando plicando Faça as atividades no caderno. 1 O que difere uma equação de o grau com uma incógnita de uma equação do 1 o grau com uma incógnita? Na equação de o grau, o maior expoente encontrado na incógnita é, já na de 1 o grau temos o expoente 1 na incógnita. equação do o grau 1,x 5 480 é completa ou incompleta? Justifique. É incompleta. Uma equação completa deve ser da forma ax 1 bx 1 c 5 0, com os coeficientes a, b e c diferentes de 0. 3 Quantas raízes reais tem a equação x 5 0? Duas raízes reais iguais, ambas iguais a 0. 4 Se na equação 3x 5 7 a incógnita x representa uma medida de comprimento, quantas raízes da equação podemos considerar? São raízes reais da equação os números 3 e 3; porém, por se tratar de uma medida de comprimento, podemos considerar apenas a raiz positiva, 3. 1 Classifique as equações seguintes em completas ou incompletas. a] x 5 0 incompleta b] 3y 1 9y 1 5 0 completa c] x 1 x 5 10 completa d] 11x 1 x 5 10incompleta e] 1,578a 1 3,54a 15 454 5 0 completa f] b 1 3b 10 5 0 completa Usando uma calculadora ou um software de planilha eletrônica, verifique se os números seguintes são raízes das respectivas equações. a] 5 é raiz da equação 37x 95 5 0? sim b] 3,1 é raiz da equação 3,1x 5 9,791? sim c] 5,5 é raiz da equação 7x 5 43,75? não 15 d] 15 é raiz da equação x + = 3x, com x % 0? x não 3 Resolva as equações em V. a] 10x 14,4 5 0 1, e 1, b] 0x 1 5 5 0 0,5 e 0,5 c] 13x 169 5 0 13 e 13 16 16 1 1 d] 54, com x% e x% 3x1 3x 1 1 3 3 1 e 1 e] [x 1 3,548815][x 3,548815] 5 0 3,548815 e 3,548815 4 O inverso de um número positivo multiplicado por 104 é igual a esse número. Que número é esse? 3 5 Uma caixa de água estava com 3 00 litros t de líquido. expressão algébrica 300 - nos fornece a quantidade de água na caixa no decorrer do tempo [t ], dado em hora. Com uma única torneira aberta, ela foi esvaziada. Com base nessas informações, determine o tempo, em hora, que levou para ela ficar totalmente vazia. 80 horas 6 Um estacionamento ampliou seu terreno, que era quadrado, para o formato de um retângulo, com uma área de 1970 m. Se os lados do terreno mediam x metros e uma das dimensões foi ampliada em 30%, quais são as novas dimensões do terreno do estacionamento? 130 m e 169 m ILUSTRÇÕES: GEORGE TUTUMI 183 seção Trabalhando os conhecimentos adquiridos tem como objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames, cuidadosamente escolhidas para os alunos as resolverem com base nos conhecimentos adquiridos até o momento. Revisitando Esta seção foi criada para os alunos terem a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. plicando Na atividade 4, relembre o significado de número inverso e sugira a fatoração de 1 04 para facilitar a determinação das raízes. 1 3 1 04 5 x [ x 5 1 04 [ x [ x 5 10 [ x 5 3 ou x 5 3 Na atividade 5, verifique se os alunos observam que, para que a caixa-d água t fique vazia, 300 5 0. t Logo, 3 00 5 [ 6 400 5 5 t [ t 5 80 ou t 5 80. Como t representa uma medida em horas, só consideramos o valor positivo. Para a atividade 6, estimule os alunos a perceber que as dimensões do retângulo são x e x 1 0,3x, ou seja, x e 1,3x. Como a área é 1970, temos: x 3 1,3x 5 1 970 [ x 1970 5 [ x 5 16900. Como x representa uma 13, medida, então x 5 130. ssim, as dimensões do terreno são: 130 m e 169 m. 183
Lembre-se: Não escreva no livro! Elaborando seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais, 4 e 10 e da competência específica 5. Na resolução do problema criado para a atividade 1, verifique se os alunos consideram apenas o valor positivo, já que se trata de medidas de comprimento e de área. Caso haja dúvida para a resolução da atividade, retome a situação do tópico Resolução de equações incompletas do o grau com calculadora ou planilha eletrônica. É interessante que, ao final, haja um compartilhamento dos problemas criados e das estratégias adotadas por cada aluno. 184 GEORGE TUTUMI 7 O número x é um inteiro positivo ímpar. Se o produto entre o ímpar anterior e o posterior vale 11, qual é o número x? 8 O produto do triplo de um número pela sua quinta parte é 101,4. Existem dois números que satisfazem essa condição. Quais são eles? 13 e 13 9 Retome a atividade do Trocando ideias, no início do capítulo. Calcule em quanto tempo a bolinha atingiu o solo. 7 4,9 s 10 Uma cozinha teve o piso revestido com lajotas azuis. Foram utilizadas fileiras com 14 lajotas. Se o formato do cômodo é um quadrado e a área do piso é de 1,5 m, qual é o tamanho do lado de cada lajota? 0,5 m 11 [Enem] temperatura T de um forno [em graus centígrados] é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento [t 5 0] e varia de acordo com a expressão Elaborando 35 t T [t]5 4 1 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 C. Qual é o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? alternativa d a] 19,0 b] 19,8 c] 0,0 d] 38,0 e] 39,0 1 [Unicamp] O índice I de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela fórmula: M I 5 h, onde M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa, em metros. O índice I permite classificar uma pessoa adulta de acordo com a seguinte tabela: Homens Mulheres Classificação 0 < I < 5 19 < I < 4 Normal 5, I < 30 4, I < 9 Levemente obeso I. 30 I. 9 Obeso a] Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0 kg e cuja altura é de 1,60 m. Classifique-a segundo a tabela acima. I 5 5; levemente obesa b] Qual é a altura mínima para que um homem cuja massa é de 97, kg não seja considerado obeso? altura mínima é 1,80 m. 1 Crie um problema inspirado na atividade 6 do plicando, em que a ampliação de um terreno resulta no aumento de determinada área. Troque o problema com um colega e resolva o que ele propôs. Em seguida, discutam a respeito das escolhas da área e da medida dos lados do terreno. Resposta pessoal. Crie uma equação incompleta da forma ax 1 c 5 0 e proponha que um colega utilize uma planilha eletrônica para resolvê-la. Você deve resolver a que ele propuser. Se discordarem da resolução, conversem a respeito e procurem entender qual foi o equívoco. Resposta pessoal. s descrições das competências gerais e 10 e das competências específicas e 6 estão nas páginas 17 e 173. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens verbal [oral ou visual-motora, como Libras, e escrita], corporal, visual, sonora e digital, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 184
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. É hora de extrapolar Faça as atividades no caderno. O QUE VOCÊ SE SORE DIVERSIDDE CULTURL DOS POVOS INDÍGENS NO RSIL? Segundo o Censo demográfico de 010, feito pelo IGE, aproximadamente 897 mil pessoas se declaravam ou se consideravam indígenas, apresentando um aumento em relação ao número obtido na pesquisa censitária realizada no ano 000, que foi de 734 mil pessoas. O Censo 010 também revelou a existência de 74 línguas indígenas faladas entre as 305 etnias diferentes. Os modos de cultura desses importantes povos brasileiros apresentam semelhanças e diversidades que vale a pena conhecer. DELFIM MRTINS/PULSR IMGENS 1 3 4 Fotos: [1] Indígena da etnia Kalapalo pescando no lago Kusse, Querência, MT, 009; [] Membro da etnia Pataxó usando computador em escola da ldeia arra Velha, Porto Seguro,, 014; [3] Crianças em escola na ldeia Kuikuro, lto Xingú, MT, 01; [4] Indígena da etnia Kalapalo lavando mandioca para obter polvilho, Querência, MT, 018. Objetivos: nalisar dados sobre a população indígena, pesquisar e analisar informações sobre os tipos de habitação dos povos indígenas e a arte da cerâmica e da cestaria indígenas e realizar uma exposição de painéis para a comunidade escolar. Etapa 1: nálise de dados do fôlder rasil Indígena produzido pelo IGE. 1. Reúna-se em grupo. ntes de realizar a pesquisa sobre os povos indígenas, respondam às perguntas a seguir no caderno. a] Vocês conhecem alguns povos indígenas? Se sim, citem os nomes. Resposta pessoal. b] O que vocês sabem sobre os modos de viver dos índios brasileiros? Resposta pessoal.. Leiam o fôlder rasil Indígena [disponí- vel em: , acesso em: 10 out. 018], que traz os principais resultados sobre a população indígena brasileira apurados pelo Censo demográfico 010 realizado pelo IGE, e respondam às questões a seguir: a] Foram realizadas pesquisas censitárias nos anos de 1991 e 000 para contabilizar a população indígena brasileira. Os números obtidos nessas pesquisas foram 94 mil e 734 mil, respectivamente. O relatório aponta que esse crescimento expressivo não poderia ser explicado apenas pelos efeitos demográficos comuns [natalidade, mortalidade e migração]. Que outro fator é apontado para explicar esse aumento dos valores populacionais? pesquisa aponta o aumento no número de pessoas que se reconheceram como indígenas, principalmente nas áreas urbanas do país. RENTO SORES/PULSR IMGENS RIT RRETO b] Não existem terras indígenas em áreas urbanas. Segundo os dados sobre a distribuição espacial dos indígenas, essa afirmação é verdadeira ou falsa? falsa Etapa : nalisar informações sobre os tipos de habitação indígena e sobre a arte da cerâmica e cestaria. 3. Leia o trecho a seguir e, depois, faça o que se pede. aldeia Yanomami é uma casa de forma circular ou poligonal de diâmetro entre 0 e 40 metros. parte superior é aberta para permitir a penetração de luz solar e a saída da fumaça. Essa abertura coincide internamente com a praça central da aldeia, onde se realizam cerimônias e pajelanças. [...] aldeia casa dura apenas um ou dois anos; após esse período é reconstruída em outro lugar. Habitação indígena: a aldeia. In: Terra brasileira. Disponível em: . cesso em: 10 out. 018. ldeia do Deminí em Território Indígena Yanomami, arcelos, M, 01. DU ZUPPNI/PULSR IMGENS EDSON STO/PULSR IMGENS 185 É hora de extrapolar seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um painel sobre um povo indígena, que será compartilhado com a comunidade escolar. Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem: Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado. Pesquisa individual ou coletiva. Elaboração, em grupo, do produto proposto. presentação e exposição do produto. Reflexão e síntese do trabalho. s etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho. seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais, 4 e 7 e das competências específicas, 6 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável propor a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários. Na atividade 1, verifique quantos e quais povos indígenas são de conhecimento da turma, compartilhando as respostas dos grupos. Competência geral 7: rgumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. 185
Se achar conveniente, peça aos alunos que comparem a área calculada no item a da atividade 3 com a área da sala de aula ou da quadra da escola para terem uma dimensão do tamanho. Na atividade 5, converse com os alunos sobre os direitos de uso de imagens retiradas da internet e de livros, orientando-os a buscar tais informações. Se julgar oportuno, aprofunde a discussão sobre as licenças creative commons. Na etapa 3, espera-se que os alunos citem alguns exemplos de influências de outras tradições na cultura brasileira, como fast-food e estrangeirismos na língua. etapa 4 sugere que os trabalhos sejam apresentados para a turma antes de serem apresentados à comunidade escolar. Esse tipo de atividade propõe tanto a reflexão e a análise sobre o trabalho desenvolvido basedo na crítica recebida, quanto o cuidado e o respeito para criticar o trabalho dos colegas, baseando-se em argumentos, de forma ética e cooperativa. Para discutir as questões propostas na etapa 5, proponha uma roda de conversa, permitindo que os alunos se expressem livremente, valorizando a diversidade cultural. Essa discussão antecipa e fortalece a fundamentação da escrita proposta na atividade 13. Para consolidar o estudo da unidade, releia e refaça coletivamente as atividades do Revisitando e as questões da abertura de unidade. PULO FRIDMN/PULSR IMGENS a] Qual é a área aproximada de uma casa yanomami de formato circular com um raio de 30 metros? Considere s 5 3,14. 86 metros quadrados b] Se uma aldeia circular tem raio de 0 metros e outra,, tem raio de 40 metros, podemos afirmar que a área da aldeia corresponde ao dobro da área da? Justifique. Não, a área da aldeia de raio 40 m será o quádruplo da área da aldeia de raio 0 m. 4. Escavações arqueológicas revelaram que a confecção de artefatos de cerâmica fazia parte dos costumes de diversos povos indígenas que habitaram ou ainda habitam o rasil. Foram encontrados objetos que visavam ao armazenamento ou ao uso culinário, além de vasos e outros objetos ornamentais que provavelmente eram utilizados em cerimoniais. tualmente, as mulheres Kadiwéu produzem vasos, enfeites de parede e outros ornamentos. Tais peças são preenchidas por padrões compostos de formas de Vasos de cerâmica indígena, MS, 010. várias cores, como mostrado nas imagens. rtesã da etnia Kadiwéu produzindo cerâmica na ldeia lves de arros, Porto Murtinho, MS, 015. Muitos dos padrões e desenhos utilizados pelos indígenas lembram figuras geométricas. nalisem as imagens dos vasos e identifiquem essas figuras. Exemplo de resposta: polígonos, linhas poligonais e linhas curvas. 5. Outras manifestações artísticas ocorrem na cestaria e na pintura corporal. Pesquisem na internet imagens desses tipos de arte com padrões que contenham figuras geométricas. Selecionem duas das imagens pesquisadas e identifiquem as formas geométricas. Então, apresentem as imagens, que poderão ser utilizadas na etapa de produção do painel para os colegas de turma. Caso as imagens pesquisadas não sejam referentes ao povo indígena selecionado, disponibilize-as para os demais colegas. LUCIOL ZVRICK/PULSR IMGENS Etapa 3: Produção dos painéis sobre as características de povos indígenas brasileiros. 6. Leia o texto a seguir e responda à questão. Muitos povos [indígenas] reúnem, em seu cotidiano, modos de viver herdados de seus antepassados, além de produtos, instituições e relações sociais adquiridas após a intensificação do contato com os brancos. Quem são?. In: Povos indígenas no rasil, Instituto Socioambiental [IS]. Disponível em: . cesso em: 10 out. 018. Podemos afirmar que atualmente os modos de viver dos brasileiros não índios também são influenciados e modificados por outras tradições culturais, inclusive as tradições indígenas? Se sim, citem alguns exemplos. Se não, expliquem por quê. 7. Escolham uma das populações indígenas do país e realizem uma pesquisa sobre: local, número populacional, língua falada, organização da sociedade, história e aspectos culturais. lém dessas informações, selecionem imagens e não se esqueçam de anotar as referências de todos os materiais utilizados. 8. Com base nas informações obtidas, elaborem um painel informativo, digital ou impresso, sobre o povo indígena escolhido. Etapa 4: presentação e análise dos painéis. 9. Disponibilizem o painel elaborado pelo grupo para que os colegas analisem e façam comentários em relação à clareza das informações, à escolha das imagens e ao tamanho e à disposição de textos e imagens. 10. notem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas. 11. Depois dos ajustes necessários, organizem uma exposição dos painéis para a comunidade escolar. Etapa 5: Síntese do trabalho realizado. Respostas pessoais. 1. lgumas questões que devem ser discutidas: a] s informações que vocês conheciam sobre os povos indígenas no início do trabalho correspondem às informações obtidas nas pesquisas? b] É importante que a população brasileira conheça mais sobre os povos indígenas? Por quê? 13. Redijam um texto que descreva o processo rea lizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Veja proposta de avaliação de aprendizagem no Material do Professor Digital. 186 Sugestão de site para pesquisa O site do Instituto Socioambiental [IS], Povos indígenas no rasil, apresenta uma listagem com informações sobre populações indígenas no país. Disponível em: . cesso em: 10 out. 018. 186
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. UNIDDE IV Nesta unidade, você vai estudar: Capítulo 10 Grandezas e proporcionalidade Capítulo 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística Capítulo 1 Gráficos estatísticos Nesta unidade, os alunos estudarão conteúdos das unidades temáticas Álgebra [capítulo 10] e Probabilidade e estatística [capítulos 11 e 1]. Em Álgebra, apresentaremos a variação de grandezas: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Em Probabilidade e estatística, relembraremos e aprofundaremos o planejamento e a execução de uma pesquisa amostral, bem como verificar a adequação de diferentes tipos de gráfico para representar um conjunto de dados de uma pesquisa, além das medidas de tendência central e organização dos dados de uma variá vel contínua em classes. O objetivo das questões do É hora de começar é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítulos que integram esta unidade. s questões não precisam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para os alunos refletirem sobre o que aprenderam. É hora de começar 1 Você sabe onde podemos encontrar as grandezas diretamente proporcionais em nosso dia a dia? E as grandezas inversamente proporcionais? Qual é a diferença entre pesquisa censitária e pesquisa amostral? 3 Como podemos diferenciar variáveis quantitativas e qualitativas? 4 Como escolher o gráfico adequado para apresentar uma informação? Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor Digital. 187
Objetivos Identificar a natureza da variação de duas grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. Expressar a relação entre duas grandezas por meio de uma sentença algébrica. Representar graficamente a relação entre duas grandezas no plano cartesiano. Resolver e elaborar problemas envolvendo a relação entre duas grandezas. Habilidades da NCC Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades: EF08M1 e EF08M13. O infográfico desta abertura de capítulo fornece diversas informações sobre o funcionamento de aplicativos que traçam rotas para se locomover de um local para outro, seja caminhando, de bicicleta, carro ou transporte público, mas antes da tecnologia dar esse tipo de suporte, outras formas eram utilizadas. GIL TOKIO CPÍTULO 10 Grandezas e proporcionalidade QUL É O MELHOR CMINHO? Faz parte do planejamento de uma viagem pesquisar qual é o caminho mais adequado. tualmente, esse trabalho é feito com facilidade por aplicativos, que conseguem traçar a rota mais rápida, indicar o melhor meio de transporte, identificar onde há trânsito e até prever em quais dias e horários as ruas, as avenidas e as estradas estarão mais ou menos movimentadas. Como funciona? Para determinar um caminho, os aplicativos levam em consideração dados processados de fontes como: localização por GPS, informações fornecidas por usuários, por orgãos públicos ou privados, entre outros. Com base nesses dados, opções de rotas e de meios de transporte e o tempo estimado para concluir o trajeto em cada um deles são mostrados. De carro Velocidade: os aplicativos calculam o tempo médio de viagem de acordo com a velocidade estabelecida em rodovias, ruas e estradas. Mas esse fator pode ser influenciado pelo trânsito no local ou por outras intercorrências. pé ou de bicicleta Tempo: por depender apenas do ritmo da caminhada ou da pedalada, não há interferência de trânsito em horários mais movimentados. O ritmo médio, utilizado como referência pelos aplicativos, é de 4,6 km/h para caminhadas e de 14 km/h para pedaladas. De transporte público Rotas: o aplicativo dá alternativas de meios de transporte considerando o tempo estimado de viagem, o preço do transporte, as baldeações e os trechos que devem ser percorridos a pé. Trânsito intenso Parada de ônibus 188 EF08M1: Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. EF08M13: Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas. 188
Trajeto: há diferentes opções de trajeto, elaboradas com base em variações de altitude. O usuário pode escolher trechos com ciclovia, com ou sem ladeira etc. É hora de observar e refletir Você já usou algum aplicativo que apresentou a rota mais rápida para diferentes meios de transporte? Se sim, em quais situações? Resposta pessoal. Pelo resultado do aplicativo apresentado no infográfico, quanto tempo o usuário vai demorar de casa até o parque se escolher ir de bicicleta? E de ônibus? 1 minutos; de 33 a 38 minutos Identifique duas grandezas envolvidas no funcionamento desses aplicativos. distância e tempo Tempo: é calculado de acordo com o trajeto e o intervalo médio entre os transportes. Trânsito [no caso de ônibus] e falhas [no caso de metrôs e trens] podem alterar o tempo do trajeto. É hora de observar e refletir proveite a primeira questão para ouvir os relatos dos alunos sobre quais aplicativos eles já utilizaram para traçar rotas. Use o vocabulário e os detalhes trazidos nas narrações deles para discutir a terceira questão proposta. o trabalhar com a terceira questão, retome o significado do termo grandeza pedindo que eles deem mais exemplos, além dos destacados no infográfico. Espera-se que os alunos compreendam o termo grandeza como tudo aquilo que pode ser medido. mplie a exploração da abertura e ressalte que, independentemente do meio de locomoção utilizado, sempre devemos respeitar as leis de trânsito e a sinalização indicada em cada local. Chame a atenção dos alunos para o fato de que tais leis também devem ser respeitadas pelos pedestres. Escolha o caminho Com base na análise do tempo, da distância, da velocidade média e do trânsito, os aplicativos sugerem diferentes possibilidades de deslocamento. Trânsito: fica mais intenso nos horários de pico, adicionando mais minutos [ou horas] ao trajeto. Ocorrências como acidentes, carros quebrados e obras na via também contribuem para a lentidão. Tempo de viagem Pode ser alterado se houver alguma intercorrência no trânsito ou se uma parada for acrescentada ao trajeto, por exemplo. Em tempo real Com os dados transmitidos via GPS por usuários, é possível atualizar, em tempo real, a situação do trânsito e as ocorrências no caminho. Fontes: ndré Lemos. Cidades inteligentes. Disponível em: ; Google. Computational Thinking for Educators. Disponível em: . cessos em: 10 set. 018. 189 Sugestão de atividade extra Proponha aos alunos que façam uma entrevista com pais ou responsáveis, avós ou outras pessoas que não tiveram acesso a essa tecnologia para saber como eles faziam para escolher rotas e quais as vantagens e desvantagens em utilizar os aplicativos com essa finalidade. Depois, abra uma roda de conversa para compartilhar as respostas obtidas. 189
Trocando ideias Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; mas, se julgar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais, 4 e 9 e das competências específicas 4 e 5. Com base não só na representação gráfica, mas também de forma intuitiva, espera-se que os alunos percebam que, quanto maior a quantidade de alimento arrecadada, maior será o desconto cedido pela empresa de viagem, concluindo que as grandezas são diretamente proporcionais. Trocando ideias Lucas e Pedro estavam conversando sobre a campanha de arrecadação de alimentos da escola: a cada quilograma de alimento não perecível que conseguissem arrecadar, uma empresa de viagem daria um desconto de R$ 3,00 na excursão de final de ano. Então, os dois resolveram fazer um gráfico para observar a variação do desconto a partir da quantidade de alimento arrecadada. Vejam: LIMENTO 3 DESCONTO desconto [R$] 60 50 40 30 0 10 0 5 10 15 0 alimento [kg] RFEL OLIVETTI Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Em uma situação como essa, o que acontece com o valor do desconto na medida em que os alunos conseguem mais alimentos? O desconto aumenta. s grandezas desconto e quantidade de alimento são diretamente ou inversamente proporcionais? São grandezas diretamente proporcionais. Neste capítulo, relembraremos as ideias de grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. lém disso, observaremos a variação dessas grandezas construindo um gráfico no plano cartesiano que as relaciona. 190 Competência geral : Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções [inclusive tecnológicas] com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens verbal [oral ou visual-motora, como Libras, e escrita], corporal, visual, sonora e digital, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 190
1 Grandezas e proporcionalidade Já vimos que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Podemos citar como exemplos de grandezas a velocidade de um automóvel, a quantidade de garrafas de leite envasadas numa indústria, a quantidade de moléculas de um gás etc. Duas ou mais grandezas podem estar relacionadas e variar de acordo com determinada proporção. Podemos chamar essas grandezas de diretamente proporcionais ou de inversamente proporcionais, dependendo da forma com que se relacionam. PHILIPPE HUGUEN/FP Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Grandezas diretamente proporcionais Um engenheiro de produção fez um levantamento sobre a produtividade de uma máquina de envasar leite. Os dados foram disponibilizados na tabela seguinte. Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda grandeza. Essa propriedade pode ser observada para as grandezas na tabela acima: quantidade de garrafas e tempo de produção. Veja: 1800 1 5 5 900 05, 700 1800 4 5 5 4 1 Quantidade de garrafas [unidade] Produção de leite Tempo de produção [hora] 900 0,5 1 800 1 700 1,5 7 00 4 14 400 8 Dados obtidos pelo engenheiro. 700 1800 14 400 700 15, = = 1 3 8 = = 4 ILUSTRÇÕES: RFEL OLIVETTI Se julgar necessário, oriente os alunos a explorar a razão entre as grandezas quantidade de garrafas e tempo de produção com os demais valores apresentados na tabela sobre a produção de leite. Sugestão de atividade extra Organize os alunos em trios e peça que escolham duas grandezas e verifiquem se são diretamente proporcionais; caso não sejam, solicite que escolham outras grandezas que sejam diretamente proporcionais. Cada grupo deverá criar um quadro relacionando os valores das duas grandezas e calcular a razão entre os valores registrados. Em seguida, peça a cada trio que apresente o quadro, destacando as grandezas diretamente proporcionais, bem como a razão obtida. 191 Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 191
Lembre os alunos que, em decorrência da definição de razão entre dois números, a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por, que b a também é diferente de 0. Se julgar oportuno, retome a propriedade fundamental das proporções, em que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Pergunte aos alunos se poderíamos escrever de outra maneira a sentença para a quantidade de garrafas de leite produzidas para qualquer quantidade de horas. Espera-se que eles respondam que sim. Para isso, basta isolar t em um dos lados, p obtendo t 5. 1800 Os valores dessas grandezas formam uma sequência de números diretamente proporcionais. Dessa sequência, podemos extrair uma constante de proporcionalidade. Veja: 900 1800 700 700 5 5 5 51800 05, 1 15, 4 partir da constante de proporcionalidade e da propriedade fundamental das proporções, podemos determinar uma sentença algébrica que relacione essas grandezas. Vamos representar a produção [quantidade de garrafas] pela letra p e o tempo de produção, por t. Temos que p é um número natural, e t, um número real positivo. razão entre a produção e o tempo resulta na constante de proporcionalidade, t p p 5 1 800 3 t 51800, então: constante de proporcionalidade Com essa sentença, podemos encontrar a quantidade de garrafas de leite produzidas para qualquer número de horas e vice versa. Para calcular a Exemplos quantidade de garrafas envasadas, ou seja, a produção de garrafas Quantas garrafas de leite são envasadas de leite, devemos substituir o num período de 1 horas de funcionamento? número de horas na sentença p 5 1 800 3 t encontrada. p 5 1 800 3 1 p 5 1 600 São envasadas 1 600 garrafas. Quantas horas são necessárias para envasar 1 600 garrafas? 1 600 5 1 800 3 t 1 600 5 t 1800 7 5 t São necessárias 7 horas. ENÁGIO COELHO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Em complemento à atividade 1, peça aos alunos que deem outros exemplos de grandezas diratamente proporcionais. 19 TIVIDDES Faça as atividades no caderno. 1 Entre os pares de grandezas seguintes, identifique aqueles de grandezas diretamente proporcionais. alternativas a, c, d a] Número de trabalhadores e quantidade de morangos coletados numa plantação. b] Número de lançamentos de um dado e quantidade de vezes que sai a face 3. c] Número de caminhões e quantidade de mercadoria que foi entregue. d] Comprimento de uma corda e o preço pago por ela. e] Volume de água em uma caixa-d água com um furo embaixo e tempo de escoamento decorrido. f] Tempo decorrido em uma partida de basquete e número de cestas. Se a constante de proporcionalidade entre um par de grandezas diretamente proporcionais [x e y] vale 10, escreva no caderno uma sentença algébrica que as relacione. x Exemplos de resposta: x510 3 y ou 5 y 10 19
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. FOTOT/GETTY IMGES 3 Carlinhos tem uma caminhonete e trabalha como entregador de mercadorias para uma loja. Ele está viajando por uma estrada até outra cidade a uma velocidade constante. Veja um quadro com a distância percorrida e o tempo de viagem. Distância [km] Tempo 105 1 h 30 min 1,5 1 h 45 min a] Qual é a constante de proporcionalidade entre essas grandezas? 70 b] Escreva uma sentença algébrica que as relacione. c] Se o tempo total em que Carlinhos permaneceu a uma velocidade constante foi de 4 h 15 min, qual foi a distância percorrida? 97,5 km 3. b] Sejam d e h números reais positivos, em que d é a distância e h o tempo em hora: d 5 70 3 h Grandezas inversamente proporcionais 4 Uma gráfica imprime cartões de visita usan do uma nova impressora. Veja o quadro abaixo e responda às questões. Tempo de Número de cartões funcionamento da impressos impressora 8 000 h 14 000 3 h 30 min a] Quantos cartões a impressora produz em 1 h 30 min de funcionamento? b] Encontre uma sentença algébrica que relacione o número de cartões impressos a partir do número de horas que a impressora funcionou. c] Se em semanas a impressora funcionou por 37 h 30 min, qual foi a produção de cartões? Jéferson, um professor de Física, estava ensinando aos alunos a relação entre os valores da corrente elétrica e da resistência de um resistor. Usando um amperímetro, o professor realizou um experimento e coletou alguns valores, disponibilizando os para a turma numa tabela. mperímetro é um instrumento usado para medir a corrente elétrica. Relação entre corrente elétrica e resistência Corrente elétrica [ampère] 4. a] 6 000 cartões 150 000 cartões 4. b] Exemplo de resposta: sejam n um número natural [número de cartões] e h um número real positivo [tempo em horas], podemos escrever n 5 4 000 3 h Resistência [ohm] 5 44 10 0 11 44 5 Dados obtidos pelo professor Jéferson. Comente com os alunos que, em uma primeira análise para verificar se duas grandezas são ou não inversamente proporcionais, podemos analisar se enquanto uma grandeza cresce a outra decresce. Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda grandeza. Essa propriedade pode ser observada para as grandezas corrente elétrica e resistência. Veja: 10 5 5 e 5 1 44 1 0 5 4 11 5 e 5 1 44 1 4 44 10 5 5 e 5 inverso inverso inverso 193 Sugestão de leitura No texto Lei de Ohm Resistência elétrica, de e-física [ensino de física on-line], há informações sobre a lei de Ohm e exemplos interativos sobre assuntos relacionados à eletricidade. Disponível em: . cesso em: 6 out. 018. 193
Comente com os alunos que podemos descobrir a constante de proporcionalidade de grandezas inversamente proporcionais multiplicando as duas grandezas. Esse fato decorre da definição de grandezas inversamente proporcionais. Os valores dessas grandezas formam uma sequência de números inversamente proporcionais. o analisar a sequência, podemos obter a constante de proporcionalidade. 5 1 44 10 0 44 5 5 5 50 1 1 1 11 5 constante de proporcionalidade partir da constante de proporcionalidade e da propriedade fundamental das proporções, podemos encontrar uma sentença algébrica que relacione essas grandezas. Vamos representar a corrente elétrica pela letra i e a resistência de um resistor por r, sendo i e r números reais. Como a razão entre a corrente e o inverso da resistência resulta na constante i de proporcionalidade, temos 50, então: 1 r 0 i 5 r ssim, podemos determinar o valor da corrente elétrica para qualquer resistência e vice versa. Exemplos Se a corrente vale 0,5 ampère, qual é o valor da resistência? 0 0 i = ou r 5 r i 0 r 5 05, r 5 440 resistência vale 440 ohms. Com uma resistência de 1 000 ohms, qual é o valor da corrente? Note que na sentença encontrada podemos isolar r ou i. E saiba que se a resistência for igual a zero, temos um curto circuito. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 0 i 5 r 0 r 5 1000 i 5 0, corrente vale 0, ampère. Se a corrente vale 0,8 ampère, é possível que a resistência valha 300 ohms? 0 0 i 5 ou r = r i 0 r 5 08, r 5 75 Não é possível, pois a resistência vale 75 ohms. ENÁGIO COELHO Veja a sequência didática 1 do 4 o bimestre no Material do Professor Digital. 194 194
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Lendo e aprendendo Choque elétrico O choque elétrico é a reação de um organismo à passagem de corrente elétrica. Essa reação pode ser bastante dolorosa e provocar, inclusive, a morte. Veja abaixo os efeitos fisiológicos causados a um organismo pela passagem de uma corrente elétrica dependendo da sua intensidade. Intensidade da corrente elétrica 1 a 9 miliampères 10 a 0 miliampères té 100 miliampères Mais que 5 ampères Efeitos no organismo Sensação de calor e formigamento, podendo ocorrer contrações musculares pelo corpo. Sensação de dor, contrações musculares muito fortes, incluindo perturbações circulatórias. Podem ocorrer dificuldade respiratória e perda de consciência. Contrações musculares muito fortes, asfixia, perturbações circulatórias graves e perda de consciência. sfixia imediata, queimaduras graves pelo corpo, podendo levar à morte. Um miliampère é um submúltiplo do ampère, assim como o mililitro é um submúltiplo do litro, e 1 ampère equivale a 1 000 miliampères. TIVIDDES 1 Uma máquina produz 150 cadernos em 1 hora. Em quanto tempo 3 máquinas iguais produziriam a mesma quantidade de cadernos? 0 minutos Um motorista levará um passageiro de uma cidade para uma cidade. Se ele dirigir num trecho da estrada a 80 km/h constantes, percorrerá esse trecho em h. Em quanto tempo ele percorre esse mesmo trecho se dirigir a 100 km/h constantes? 1 h 36 min 3 Um professor de Ciências fez uma experiência e mediu duas grandezas em laboratório, obtendo os valores seguintes. 4 6 8 10 5,5 1,67 1,5 1 Sobre as grandezas e, podemos afirmar que: alternativa d Faça as atividades no caderno. a] é diretamente proporcional a. b] a razão é constante. c] 5,5 3. d] é inversamente proporcional a. 4 No quadro a seguir, os números da coluna x são inversamente proporcionais aos números da coluna y. x y 10 5 4 Escreva no caderno: a] a constante de proporcionalidade; 0 b] uma sentença algébrica que relacione as grandezas; c] o cálculo do valor de y para os valores de x,5 e 40, usando a sentença algébrica. 8 e 0,5, respectivamente Exemplo de resposta: x 3 y 5 0 Lendo e aprendendo proveite o tema da seção e proponha, em parceria com outros professores, a realização de uma pesquisa sobre choque elétrico, com o objetivo de fomentar a preservação da vida. Como o tema permite uma vasta pesquisa, sugerimos seu encaminhamento considerando a realidade e a necessidade da comunidade escolar. seguir, apresentamos algumas sugestões de tema para pesquisa: riscos do choque elétrico, resistência e efeitos do choque no corpo humano, profissionais que lidam com os riscos do choque elétrico, primeiros socorros e prevenção de acidentes. Peça aos alunos que elaborem cartazes, a fim de compartilhar as informações pesquisadas com todos da comunidade escolar. ntes de iniciar as atividades, peça aos alunos que deem exemplos de grandezas inversamente proporcionais diferente das mencionadas no livro até então, como velocidade e tempo. 195 195
ntes de iniciar este tópico, se julgar necessário, relembre como localizar pontos no plano cartesiano. o explorar a primeira situação, peça aos alunos que identifiquem a constante de proporcionalidade correspondente aos valores apresentados. Espera-se que eles respondam que a constante de proporcionalidade é 1. Representação da relação entre grandezas no plano cartesiano té agora vimos como duas grandezas variam, em determinadas condições, usando quadros para encontrar a constante de proporcionalidade e montar uma sentença algébrica que relacione as duas grandezas. gora, veremos como identificar a variação de grandezas por meio de gráficos no plano cartesiano. Gráficos de grandezas diretamente proporcionais companhe as situações a seguir, em que vamos trabalhar com a representação da variação de grandezas diretamente proporcionais por meio de gráficos. Situação 1 ENÁGIO COELHO Gabriel fará aniversário no final de semana. Seus pais pretendem comprar alguns lanches e convidar os amigos da escola para comemorar em casa. Para isso, estão fazendo os cálculos de quanto vão gastar na comemoração. Vamos comprar lanches e sucos para crianças, certo? Certo! E vamos gastar, em média, R$ 1,00 por criança. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Veja o quadro com estimativas de gasto abaixo. Número de crianças [n] 3 4 5 6 Custo da comemoração em RS [c] 36 48 60 7 Cada um desses pares de valores [número de crianças e custo] pode ser associado a um ponto do plano cartesiano. Podemos representar o número de crianças pela letra n e o custo por c, em que n é um número natural, e c, um número real. ssim, temos pares ordenados na forma: [n, c] 196 196
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Observe que, neste gráfico, os pontos estão alinhados, mas não traçamos uma reta que contém esses pontos! O eixo n, das abcissas, representa o número de crianças, ou seja, é um número natural. Traçar a reta que contém, por exemplo, o ponto [3,5; 4] é o mesmo que admitir 3,5 crianças como uma possibilidade. Portanto, o gráfico que relaciona as grandezas número de crianças e custo da comemoração é formado por pontos não interligados no plano cartesiano. Situação Em um posto de gasolina, cada litro de etanol custa R$ 3,00. Podemos montar um quadro relacionan do o número de litros abastecidos com o valor a ser pago pelo abastecimento. O gráfico a seguir ilustra a situação. Dessa vez, traçamos uma semirreta. Mas, pela definição de razão, a origem não faz parte da semirreta que representa o gráfico. Litros de etanol [c] 5,0 10,0 15,0 0,0 Preço em RS [p] 15,00 30,00 45,00 60,00 Com os alunos, analise o gráfico elaborado com base na situação 1, explorando os eixos e os pontos marcados. Nesse caso, é importante ressaltar que a representação gráfica não pode ser uma reta, já que uma reta admitiria números não naturais também e a quantidade de crianças pertence somente ao conjunto dos números naturais. ntes de explorar a segunda situação, peça aos alunos que exemplifiquem outras situações em que duas grandezas diretamente proporcionais tenham seus valores representados nos números reais. Na situação, a representação gráfica traz uma semirreta, já que as duas grandezas relacionam números reais. Chame a atenção para o fato de o ponto [0,0] não pertencer à representação, em decorrência da definição de razão. s grandezas dessa situação têm seus valores representados no conjunto dos números reais. ssim, podemos interligar os pontos, inserindo a semirreta que os contém. Cuidado! a Lembre se de que a razão entre dois números a e b é dada por, com b % 0. b Então, quando representamos razões em um plano cartesiano, não podemos considerar os pontos [a, 0], já que não existem razões com denominador igual a zero. No gráfico que representa a situação, a bolinha vazia na origem [0, 0] indica que não devemos considerar esse ponto. lém disso, para essa situação, não faz sentido uma medida de grandeza negativa, como 1 c de combustível. ILUSTRÇÕES: ENÁGIO COELHO 197 197
ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO seguir, apresentamos exem plos de representações grá ficas para algumas das atividades propostas:. y 6 5 4 3 1 1 0 1 3. b] p 0 15 10 5 0 4. a] k 5 4 3 1 0 4. b] m 10 5 1 3 4 5 6 7 8 9 x 10 0 30 40 n 1 3 4 5 6 7 8 9 10 j 0 5 4. c] p 9 8 7 6 5 4 3 1 0 10 15 0 5 n 1 3 4 5 6 7 8 9 10 q DILSON SECCO 3. a] Considere p o preço e n o número de folhas, com p real e n natural, então uma sentença algébrica é: p 5 0,07 3 n TIVIDDES 1 partir dos pares de valores entre as grandezas seguintes, escreva no caderno uma sentença algébrica que as relaciona. a] k 1 3 6 b] c] j 3 9 18 Exemplo de resposta: k 5 j 3 m 4 5 6 n 16 0 4 p 8 16 4 q 10 0 30 Faça as atividades no caderno. Duas grandezas estão relacionadas por meio da sentença algébrica y 5 1, 3 x. Construa o gráfico dessa relação sabendo que tanto x quanto y podem assumir qualquer valor real positivo. 3 O preço de 10 folhas de sulfite é R$ 0,70. Em seu caderno, expresse a relação entre as grandezas número de folhas e o preço a ser pago por elas por meio de: a] uma sentença algébrica; b] um gráfico no plano cartesiano. 4 No caderno, para cada item da atividade 1, desenhe um gráfico supondo que as duas grandezas têm seus valores representados no conjunto dos números reais. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais O gráfico da relação entre duas grandezas inversamente proporcionais não é uma linha reta. companhe e veja nas situações a seguir. Situação 1 Um prêmio será dividido igualmente entre mais de um ganhador. Veja no quadro abaixo o valor estimado, em milhões de reais, do prêmio com base no número de ganhadores. Número de ganhadores [g] 3 5 8 10 Prêmio, em milhões de reais [p] 10,5 7 4,,65,1 O gráfico a seguir relaciona as grandezas número de ganhadores e valor estimado do prêmio, em milhões de reais. p Uau! Que gráfico 11 diferente! Os pontos não 10 parecem alinhados. 9 8 7 6 5 4 3 1 0 Exemplo de resposta: m 5 0,5 3 n Exemplo de resposta: p 5 0,8 3 q 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 g O gráfico de duas grandezas inversamente proporcionais não é composto por pontos alinhados, mas por pontos pertencentes a uma curva. Neste caso, como o eixo das abcissas, g, representa o conjunto dos números naturais, o gráfico é formado por pontos pertencentes a essa curva. ENÁGIO COELHO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 198 Na situação 1, chame a atenção dos alunos para o fato de que o gráfico é formado somente por pontos, pois os valores da grandeza g pertencem ao conjunto dos números naturais. 198
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Situação Vamos retomar e traçar o gráfico que representa a relação entre a resistência de um resistor e a corrente elétrica, conforme vimos na situação da página 193. tabela a seguir traz os dados que iremos representar no gráfico. TIVIDDES r 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 1 Uma palestrante, ao ser convidada para um evento sobre a escassez de alimento no mundo, levou um pacote de maçãs contendo 80 unidades para dividir com sua plateia. O evento não possuía um número limitado de participantes e a palestrante dividiria as maçãs igualmente para cada um, cortando-as em partes iguais se necessário. Construa, no caderno, o gráfico da quantidade de maçãs pelo número de participantes do evento. área de um retângulo vale 30 cm. Considerando o comprimento c e a largura l como números reais, construa um gráfico em seu caderno relacionando os possíveis valores para c e l. Marque pelo menos 4 pontos no gráfico. 3 Duas grandezas inversamente proporcionais, com valores no conjunto dos números reais, estão relacionadas por meio da sentença algébrica x 3 y 5. Desenhe o gráfico Relação entre corrente elétrica e resistência Corrente elétrica [ampère] [5, 44] Faça as atividades no caderno. da relação entre essas grandezas, marcando pelo menos 4 pontos pertencentes à curva. 4 Observe o gráfico seguinte e responda às perguntas no caderno. 30 0 Resistência [ohm] 5 44 10 0 11 44 5 Dados obtidos pelo professor de Física Jéferson. [11, 0] [, 10] [44, 5] 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 i s 35 5 15 10 5 0 [, 30] [6, 10] Esse gráfico é uma curva? [30, ] 5 10 15 0 5 30 35 40 45 a] Qual é a constante de proporcionalidade da relação entre as grandezas r e s? 60 b] Escreva uma sentença algébrica que relacione essas grandezas. 60 s5 r r ENÁGIO COELHO ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 199 Comente com os alunos que o gráfico que representa duas grandezas inversamente proporcionais é chamado de hipérbole. Na atividade 1, considerando x o número de alunos e y o número de maçãs, temos: y 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 [1, 80] [, 40] [8, 10] [40, ] [1, 80] 10 0 30 40 50 60 70 80 90 x Exemplo de gráfico para a atividade : c 30 5 0 15 10 5 0 [, 15] [5, 6] [10, 3] [0, 1,5] 5 10 15 0 5 30 35 Exemplo de gráfico para a atividade 3: y 6 5 4 3 1 0 [0,5; 4] [1, ] [, 1] [4; 0,5] 1 3 4 5 6 7 Material Digital udiovisual Áudio: Velocidade do avião Orientações para o professor acompanham o Material Digital udiovisual l x ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 199
seção Trabalhando os conhecimentos adquiridos tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. Ela é composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para os alunos as resolverem com base nos conhecimentos adquiridos até o momento. Revisitando Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. Na atividade, poderíamos pensar que a idade e a altura de uma pessoa são grandezas diretamente proporcionais, mas não são. Ou que a medida do lado do quadrado é diretamente proporcional à sua área, mas também não é. Nesses dois exemplos temos grandezas não proporcionais. Trabalhando os conhecimentos adquiridos Revisitando plicando Faça as atividades no caderno. 1 No caderno, complete as lacunas seguintes, dando um exemplo. quociente a] Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o entre cada par de valores correspondentes é. Um exemplo de grandezas diretamente proporcionais constante Exemplo de resposta: quantidade de trabalhadores empacotando feijão e o número de é. pacotes de feijão empacotados b] Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o entre cada par de constante produto valores correspondentes é. Um exemplo de grandezas inversamente proporcionais é. Exemplo de resposta: a quantidade de mangueiras com mesma vazão enchendo um balde e o tempo que leva para ele ficar cheio Dê pelo menos dois exemplos de duas grandezas presentes em algum contexto, que não sejam proporcionais. Resposta pessoal. Exemplos de resposta: altura e idade; dia do mês e chuva acumulada. 3 Observando as sentenças algébricas seguintes, classifique os pares de grandezas como diretamente, inversamente ou não proporcionais. a] y 5 30 3 x diretamente proporcionais d] f5k3x não proporcionais 30 p b] k 5 inversamente proporcionais e] 5 diretamente proporcionais j q c] b 3 g 5 30 inversamente proporcionais f] 3t533s diretamente proporcionais 1 Veja os quadros abaixo com números proporcionais. Descubra mentalmente os números que estão faltando. a] 1 3 4 b] 1 4 5 0,5 0,5 0,75 1 10 5,5 [Enem] Nos shopping centers, costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuá rios colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em um shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 900 tíquetes. Para uma criança que recebe 0 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é alternativa d a] 153. b] 460. c] 1 18. d] 1 380. e] 3 066. 3 lguns operários estão carregando parte da areia que sobrou de um lado da construção para o outro, a fim de guardá-la. Estavam usando determinado recipiente, porém ele era pequeno e teriam de enchê-lo muitas vezes. O tamanho do recipiente e a quantidade de vezes que precisarão enchê-lo são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? inversamente proporcionais Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 00 00
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 4. b] Falsa, pois isso ocorre para grandezas inversamente proporcionais. d] Falsa, pois isso ocorre para grandezas inversamente proporcionais. 4 Se m e n são grandezas diretamente proporcionais e positivas, quais das afirmações seguintes são verdadeiras? Justifique as falsas no caderno. a] Multiplicando m por um fator, n fica multiplicado por este mesmo fator. verdadeira b] O produto m 3 n permanece constante. c] O gráfico n 3 m tem pontos pertencentes a uma reta ou é uma semirreta. verdadeira d] À medida que m cresce, n diminui. n e] O quociente permanece constante. m verdadeira 5 Duas grandezas, i e j, variam de tal modo que o seu produto permanece constante. note no caderno a alternativa correta sobre a relação entre essas grandezas. alternativa d a] j é diretamente proporcional a i. b] j aumenta na mesma medida em que i aumenta. c] j é proporcional ao quadrado de i. d] j é inversamente proporcional a i. e] j é inversamente proporcional ao quadrado de i. 6 Observe os gráficos a seguir e classifique a relação entre as grandezas que eles representam como diretamente, inversamente ou não proporcional. a] y 9 8 7 6 5 4 3 1 inversamente proporcional y 9 8 7 6 5 4 3 1 0 y 9 8 7 6 5 4 3 1 0 c] 1 d] 1 não proporcional 3 4 5 3 4 5 6 não proporcional 6 7 7 8 Lembre-se: Não escreva no livro! 8 9 9 10 11 1 13 10 11 1 13 7 Observe os quadros a seguir, que relacionam grandezas. Para cada um deles, indique a constante de proporcionalidade e encontre uma sentença algébrica que os relacione. a] 3 4 5 3,9 5, 6,5 b] K 8 4 L 0,4 0,8 1,6 x x Na atividade 6, os alunos são incentivados a realizar a leitura da representação gráfica para identificar a relação entre as grandezas. Como os gráficos das relações entre duas grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais foram objetos de estudo neste capítulo, aproveite para explorar os itens c e d, que mostram a relação entre duas grandezas não proporcionais. 8. b] h 40 35 30 5 0 15 10 5 0 b] [, 5] 0 y 9 8 7 6 5 4 3 1 [5, 10] 0 [1,5, 4] 1 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 3 4 5 5 10 15 0 5 30 35 40 45 b 6 7 diretamente proporcional 8 9 10 x c] Y 100 50 5 Z 0,4 0,8 1,6 8 área de um triângulo vale 5 cm. Se a medida da base é representada pela letra b, e a da altura, pela letra h, considerando b e h números reais, em seu caderno: a] escreva uma expressão algébrica que relacione essas grandezas; b 3 h 5 50 b] construa um gráfico que ilustre a relação entre os valores possíveis para a base e para a altura desse triângulo. 7. a] constante de proporcionalidade: 1,3; sentença possível: 5 1,3 3 b] constante de proporcionalidade: 3,; sentença possível: K 3 L 5 3, c] constante de proporcionalidade: 40; sentença possível: Y 3 Z 5 40 ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 01 01
Lembre-se: Não escreva no livro! 9 Um professor de Física estava explicando aos alunos, no ensino médio, a relação entre as grandezas temperatura [T ] e volume [V ] de gases ideais em um sistema com pressão constante. Observe o gráfico e responda às perguntas no caderno. V 80 40 Elaborando seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais, 4 e 10 e da competência específica 5. Para o desenvolvimento da atividade 1, incentive os alunos a refletirem sobre diversos contextos para evidenciar as duas grandezas diretamente proporcionais, como deslocamento e tempo, quantidade de calorias e massa de certo alimento, medida do lado e perímetro de um quadrado, quantia gasta e quantidade de produtos. Explore a representação gráfica antes de os alunos criarem o contexto da atividade. lgumas grandezas que podem ser relacionadas: velocidade e tempo gasto, quantidade de máquinas e tempo de produção, distância percorrida por um táxi e o valor pago pela corrida. ILUSTRÇÕES: DILSON SECCO 0 Elaborando 0 50 a] s grandezas temperatura e volume são diretamente ou inversamente proporcionais? b] Qual é a constante de proporcionalidade entre essas grandezas? Considerando as razões V c] Escreva uma sentença algébrica que as relacione. de, a constante de T Exemplo de resposta: V 5 0,8 3 T 1 Elabore uma atividade na qual haja duas grandezas diretamente proporcionais e seja necessário encontrar uma sentença algébrica que relacione essas duas grandezas. O objetivo de encontrar a sentença algébrica nesta atividade é calcular alguns valores que não estão entre aqueles fornecidos na situação elaborada por você. Troque sua atividade com um colega e resolva a atividade proposta por ele. Se houver divergências entre a sentença algébrica encontrada e a esperada, conversem e tentem chegar a uma conclusão. Se tiverem dificuldades, peçam ajuda para o professor. Resposta pessoal. Observe o gráfico a seguir e construa uma atividade conforme a orientação. y 60 30 4 0 4 Elabore um contexto no qual o gráfico acima ilustre a relação entre duas grandezas. Troque sua atividade com um colega, solicitando que ele encontre uma sentença algébrica que relacione essas grandezas, indicando a constante de proporcionalidade. Resposta pessoal. 5 100 x T diretamente proporcionais proporcionalidade é 0,8. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. s descrições das competências gerais e 4 estão na página 190 e a da competência específica 5 está na página 191. Competência geral 10: gir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. 0
CPÍTULO 11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística Objetivos Compreender a classificação de uma pesquisa em censitária ou amostral. Reconhecer e compreender as diferentes maneiras de seleção de uma amostra: sistemática, casual simples e estratificada. Compreender e determinar a me dia aritme tica, a mediana e a moda de um conjunto de dados. Planejar e executar uma pesquisa amostral e produzir um relatório conclusivo, apresentando os dados coletados. Habilidades da NCC Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades da NCC: EF08M5, EF08M6 e EF08M7. habilidade EF08M7 terá o seu desenvolvimento aprofundado no capítulo 1. SUCCESSO IMGES/SHUTTERSTOCK É hora de observar e refletir Em setembro de 017, uma pesquisa conduzida pela Confederação Nacional de Dirigentes Lojistas [CNDL], em parceria com o SPC* rasil, mostrou que os cães estão presentes em cerca de 79% dos lares dos internautas entrevistados. Os gatos e as aves mostraram-se minoria. pesquisa apontou que 77% dos donos de animais moram em casas, e 3%, em apartamentos. Uma informação relevante para empreendedores levantada por essa pesquisa é o carinho que as pessoas têm por seus animais, cuidando deles como se fossem membros da família. Sua família participou da pesquisa acima mencionada? Resposta pessoal. Reflita a respeito das pessoas que você conhece e que têm animais de estimação. Entre elas, há mais cães, gatos ou pássaros? Você acha que essa pesquisa reflete a realidade brasileira? Resposta pessoal. *Serviço de Proteção ao Crédito Dados obtidos pela Confederação Nacional de Dirigentes Lojistas [CNDL]. EF08M5: Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística [me dia, moda e mediana] com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude. EF08M6: Selecionar razo es, de diferentes naturezas [física, e tica ou econômica], que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras [amostra casual simples, sistemática e estratificada]. EF08M7: Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma te cnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as concluso es. SPC RSIL - SERVIÇO DE PROTEÇÃO O CRÉDITO 03 Neste capítulo, vamos explorar as etapas de um processo estatístico de forma mais detalhada, partindo do objetivo da pesquisa a ser realizada, passando pela seleção das variáveis que serão analisadas e pela coleta de dados; e, tambe m, obter os valores de medidas de tendência central, dando suporte para a análise dos dados. É hora de observar e refletir situação apresentada possui uma riqueza de detalhes que deve ser explorada com os alunos. proveite para discutir sobre a classificação da população em classes socioeconômicas, seguindo o Crite rio de Classificação Econômica rasil, segundo o levantamento feito pela ssociação rasileira de Empresas de Pesquisa [bep]: classe : renda familiar acima de 15 salários mínimos; classe : renda familiar de 7 a 15 salários mínimos; classe C: renda familiar de 3 a 7 salários mínimos; classe D: renda familiar de 1 a 3 salários mínimos; classe E: renda familiar de ate 1 salário mínimo. 03
Trocando ideias Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; caso considere necessário, solicite que respondam às questo es por escrito no caderno. seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e da competência específica. segunda questão questiona o valor da me dia obtida na situação dos preços dos veículos, verificando que a medida e influenciada por um valor discrepante, pois o preço do veículo novo [R$ 50 000,00] faz com que a me dia aumente, não sendo uma medida representativa para os dados apresentados. Espera-se que os alunos percebam que o uso da me dia e conveniente quando o conjunto de dados não apresenta valores discrepantes. Trocando ideias Costumamos usar a média aritmética para sintetizar e indicar o comportamento de dados. Por exemplo, você deve conhecer a média das suas notas de Matemática, o tempo médio para chegar de sua casa até a escola etc. Vejam a situação seguinte, que envolve o conceito de média. Veículo novo R$ 50 000,00 média de preços dos nossos carros é de R$ 58 400,00. Veículo antigo R$ 10 000,00 Veículo antigo R$ 10 500,00 Veículo antigo R$ 1 000,00 Veículo antigo R$ 9 500,00 CLYTON CSSINO Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. O valor da média apresentada pelo vendedor está correto? sim O comentário do vendedor representa bem a situação dos valores dos veículos da Não. Há somente um veículo com preço elevado [R$ 50000,00], fazendo com que o valor loja? Por quê? da média aumente; todos os demais veículos possuem preços mais baixos que a média. Neste capítulo, retomaremos alguns conceitos que podem nos ajudar com pesquisas estatísticas e também aprenderemos novas medidas que nos auxiliam na compreensão do comportamento dos dados de uma pesquisa. 04 04 Competência geral 7: rgumentar com base em fatos, dados e informaço es confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e deciso es comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento e tico em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica : Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 1 Pesquisa estatística Observe a informação. Segundo a ssociação rasileira da Indústria de Produtos para nimais de Estimação [binpet], em 016, o faturamento do segmento foi de quase R$ 0 bilhões de reais, cerca de 5% a mais do que em 015. Isso significa que as pessoas estão gastando mais com seus animais, o que gera oportunidades de negócio para os empreendedores do ramo. Estatísticas como essa motivam os pesquisadores a buscar mais informações a respeito do assunto. ssim, uma nova pesquisa surge para responder perguntas como: Por qual motivo as pessoas estão gastando mais com seus animais?. seguir, vamos retomar alguns conceitos e apresentar outros que podem contribuir para a compreensão e a realização de pesquisas estatísticas. População, amostra e pesquisa censitária ou amostral diretora de uma escola gostaria de saber a opinião dos alunos a respeito da qualidade do lanche servido no intervalo. Nessa pesquisa, os dados de interesse podem ser coletados dos alunos. Portanto, todos os alunos da escola compõem a população [ou universo estatístico] de interesse. o planejar a pesquisa, veja que a diretora percebeu que demoraria muito tempo para entrevistar todos os alunos. Então, para viabilizar a pesquisa, decidiu escolher aleatoriamente 10 estudantes de cada sala. O grupo de alunos selecionados compõe o que chamamos de amostra. Uma amostra deve ser escolhida de forma conveniente e estratégica, para que seja possível coletar informações que retratem a população como um todo. escola possui 5 000 alunos. Vou gastar muito tempo para realizar essa pesquisa se entrevistar cada aluno. É melhor eu selecionar uma amostra. ILUSTRÇÕES: CLYTON CSSINO Inicie o estudo deste tópico conversando com os alunos sobre Estati stica. Pode- -se perguntar a eles como esse ramo da Matema tica esta presente no dia a dia. E possi vel citar que a estati stica é usada, por exemplo, durante as eleições, para verificar as intenções de voto da população; para divulgar os dados do censo realizado pelo IGE; nas questões de provas de concursos e vestibulares, como o Exame Nacional do Ensino Médio [Enem], entre outros. E importante, também, comentar sobre o uso da estati stica em outras disciplinas, como Geografia ou História, e sobre a importa ncia para a poli tica e a economia. O tópico População, amostra e pesquisa censita ria ou amostral, juntamente com as atividades propostas na pa gina 08, visam ao desenvolvimento da habilidade EF08M6, trazendo as diferentes maneiras de seleção de amostras sistema tica, casual simples e estratificada. 05 EF08M6: Selecionar razões, de diferentes naturezas [fi sica, ética ou econômica], que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censita rias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras [amostra casual simples, sistema tica e estratificada]. 05
Um pouco de história partir do conhecimento da história da Matemática, os alunos podem perceber que as teorias são fruto de desafios enfrentados pelos matemáticos da e poca, desenvolvidas com grande esforço e ordenadas de maneira diferente da apresentada, depois de todo o processo de formalização. ssim, essa seção busca favorecer o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1. Sugestão de áudios O portal da coleção M 3 Matemática Multimídia apre - senta áudios que trazem fatos históricos que levaram ao desenvolvimento da Estatística. Disponível em: . cesso em: 6 out. 018. Sugestão de atividade extra Caso considere interessante, peça aos alunos que pesquisem informaço es sobre a realização do Censo 010, última pesquisa censitária realizada sobre a população brasileira. No site do IGE, eles poderão encontrar informaço es sobre todas as etapas de realização da pesquisa, que contou com mais de 190 mil recenseadores que visitaram 67,6 milho es de domícilios. Disponível em: . cesso em: 6 out. 018. Sugestão de leitura O texto História: contagem da população, do IGE, traz um pouco da história dos censos no mundo e no rasil. Se julgar oportuno, compartilhe com os alunos. Disponível em: . cesso em: 6 out. 018. 06 Um pouco de história Estatística: origem e finalidade Os primeiros dados estatísticos encontrados são de aproximadamente 5000 a.c. no Egito antigo, e estavam relacionados a prisioneiros de guerra. palavra "estatística" vem do latim status, que significa estado; essa palavra passou a ser utilizada porque os recenseamentos eram feitos por ordem dos governantes que queriam obter dados da população para taxar impostos, daí vem também a palavra censo, derivada de cesere, que em latim significa taxar. Outras contagens populacionais foram realizadas no Egito e em outras regiões. Há registros de que, por volta de 300 a.c., na China, por ordem do imperador Yao, foi realizado um censo da população e das lavouras cultivadas. Posteriormente, por volta dos séculos VIII ao IV a.c., os gregos e romanos também realizaram censos da população para recrutar soldados para o exército. palavra "estatística", no sentido de obtenção, estudo e interpretação de dados, foi utilizada pela primeira vez na lemanha, por volta do século XVIII. No rasil, o primeiro censo foi realizado em 187. Pesquisa censitária pesquisa censitária é aquela em que os dados são obtidos de toda a população. Uma pesquisa desse tipo permite uma grande precisão na análise e na interpretação das informações. Um exemplo de pesquisa censitária é o Censo demográfico que ocorre a cada 10 anos, realizado pelo Instituto rasileiro de Geografia e Estatística [IGE]. pesar de permitir uma maior precisão na análise, a pesquisa censitária pode ser inviável em algumas situações. Por exemplo, durante as eleições, em um curto intervalo de tempo, são realizadas muitas pesquisas para verificar a opinião pública a respeito dos candidatos. Imagine se toda a população brasileira fosse entrevistada uma vez por semana. Seriam muitos dados para serem processados e cada rodada de entrevistas seria equivalente ao próprio processo eleitoral. Pesquisa amostral pesquisa amostral é bastante comum em nosso cotidiano, principalmente de maneira informal. Por exemplo, no Mercado Municipal de São Paulo é comum os lojistas oferecerem aos clientes um pedaço ou uma unidade de fruta para provar, a fim de mostrar a qualidade do produto e, consequentemente, efetivar a venda. Caso alguém esteja interessado em cerejas, uma análise do tipo censitária seria inviável, pois não faz sentido provar cada uma delas antes de comprar. Comerciante no Mercado Municipal de São Paulo, 017. Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática e uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupaço es de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e e uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construço es, inclusive com impactos no mundo do trabalho. LÉO FNELLI LOISIO MURICIO/FOTOREN Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 06
Como vimos, nem sempre a pesquisa censitária se mostra viável. ssim, uma pesquisa amostral pode ser mais vantajosa ou a única possível dependendo do objeto de estudo e das características que pretendemos investigar. Imagine que a intenção seja analisar o tempo que um lote de lâmpadas leva para queimar. Para chegar a um resultado, não é possível testar todas elas e tomar a média desse tempo, pois esse seria um processo destrutivo. Nesse caso, como podemos escolher a amostra? Veja os exemplos a seguir. Exemplos O objeto de estudo de uma pesquisa estatística pode variar desde a análise do perfil da população brasileira até o tempo de duração de lâmpadas. DK SMCO/SHUTTERSTOCK o introduzir o conteúdo sobre pesquisa amostral, comente com os alunos que, ao usar uma amostra da população para a pesquisa, ela pode ser viciada ou tendenciosa quando representa apenas algumas características da população, não permitindo, assim, que seja feita a estatística inferencial. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Em uma linha de produção, as peças costumam sair com qualidade muito parecida. Por esse motivo e por produzirem uma enorme quantidade de peças por hora, o controle de qualidade é feito por amostragem. Selecionamos 1 peça a cada 100 peças para a inspeção do controle de qualidade. Chamamos esse tipo de amostragem de sistemática. O professor de Educação Física gostaria de ouvir a opinião de seus alunos a respeito do esporte que preferem. Como não teria tempo suficiente para ouvir todos, ele resolveu selecionar uma amostra de seis alunos de cada turma escolhidos aleatoriamente. Para isso, escreveu em um papel o número de chamada dos alunos, sorteando seis deles por turma. Essa técnica de amostragem se chama casual simples. ILUSTRÇÕES: CLYTON CSSINO 07 07
pós apresentar os tipos de seleção de amostra para uma pesquisa, comente com os alunos que qualquer uma delas permite obter amostras representativas da população e generalizar com confiança, para a população, os resultados obtidos a partir da amostra. Uma livraria realizou uma pesquisa para saber quais gêneros literários eram os preferidos dos seus leitores. Para isso, entrevistou 90 pessoas, sendo 30 crianças, 30 adolescentes e 30 adultos. divisão da amostra em 3 segmentos [ou estratos] caracteriza uma amostragem estratificada. Se os 90 entrevistados fossem todos adultos, dificilmente os títulos infantojuvenis seriam representados nessa pesquisa. Por isso, há situações em que essa amostragem é preferível. seguir apresentamos exemplos de resposta para a atividade. Para o item a: pesquisa amostral estratificada, escolhendo uma amostra referente a alunos que moram no campo e outra aos que moram na cidade. Para o item b: como a população e bem específica e formada por alunos de uma única turma, a pesquisa censitária seria viável. Para o item c: pesquisa amostral sistemática, já que avaliar a resistência de todas as bexigas produzidas e um processo destrutivo. Para o item d: pesquisa censitária, pois para a escolha do representante e preciso que todos façam sua escolha. Para o item e: pesquisa amostral casual simples, escolhendo aleatoriamente alguns alunos das salas de oitavo ano. ILUSTRÇÕES: CLYTON CSSINO TIVIDDES 1 cidade de Pouso legre, em Minas Gerais, tem aproximadamente 140 000 habitantes. Uma empresa de tecnologia da cidade realizou uma pesquisa com 800 pessoas para saber quantas delas têm acesso à internet no celular. Você possui acesso à internet via celular? 1. a] Os cerca de 140000 habitantes de Pouso legre. b] s 800 pessoas pesquisadas. Faça as atividades no caderno. No caderno, responda às perguntas: a] Qual é a população dessa pesquisa? b] Qual é a amostra da pesquisa? c] Que porcentagem do universo estatístico a amostra representa? % No caderno, indique o tipo de pesquisa mais adequada para cada situação. Se a pesquisa for amostral, informe o tipo que ela poderia ser [estratificada, casual simples ou sistemática]. Justifique suas escolhas. a] Conhecer a profissão dos pais de alunos de uma escola com 3 mil estudantes. escola fica na fronteira entre a cidade e a zona rural. b] Conhecer a opinião sobre a lista de exercícios aplicada em uma turma do oitavo ano. c] Determinar a resistência da borracha de bexigas de festas de aniversário. d] Determinar o representante de classe de uma turma do oitavo ano. e] Determinar a altura média dos alunos do oitavo ano de uma escola. Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 08 08
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Variáveis estatísticas O tempo de duração de uma lâmpada e a porcentagem de lares brasileiros que possuem animais de estimação são características [ou atributos] chamadas, em Estatística, de variáveis. Observe que os valores dessas variáveis têm significados diferentes. Veja a seguir uma forma de organizá-las. Variável qualitativa Quando o valor de uma variável representa uma característica ou atributo, dizemos que ela é uma variável qualitativa. Por exemplo, no caso das cerejas, poderíamos dizer que elas são muito doces, pouco doces, sem sabor, ácidas ou muito ácidas. Outro caso de uma variável qualitativa seria a preferência por um determinado time de futebol, podendo ser qualquer time. Exemplos Estado civil: casado[a], solteiro[a], divorciado[a]; Cidade em que nasceu: Manaus, mapá, Rio de Janeiro ou qualquer outra cidade; Cor dos olhos: verdes, castanhos, azuis, entre outros. Uma variável qualitativa pode ser de dois tipos: ordinal ou nominal. Variável qualitativa ordinal: é uma variável cujos valores podem ser ordenados. São exemplos: o grau de dificuldade das questões de uma prova [fácil, médio ou difícil], o nível de escolaridade, a satisfação quanto a um serviço prestado por alguma empresa [pouco satisfeito, satisfeito ou muito satisfeito], entre outros. Variável qualitativa nominal: os valores desse tipo de variável não podem ser ordenados. São exemplos: a cidade de nascimento, a cor favorita, o sexo, a cor do cabelo, entre outros. Variável quantitativa Os valores de uma variável quantitativa são expressos por números, indicando geralmente contagem ou medida de alguma grandeza. Exemplos Comprimento Número de animais de estimação Número de irmãos Massa Volume Tempo Escolaridade Então, quer dizer que a cor dos nossos olhos e a cor do nosso cabelo são variáveis qualitativas? Fundamental completo Médio completo Superior completo Pós-graduação completa Sim, são variáveis qualitativas nominais. CLYTON CSSINO DILSON SECCO Comente com os alunos que a coleta de dados do processo estatístico e feita por meio da definição das variáveis da pesquisa a ser realizada. Em Estatística, a variável e definida como o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Estatisticamente falando, a cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Verifique se na turma ocorre uma tendência comum: confundir variável qualitativa ordinal e variável quantitativa discreta. Caso isso ocorra, apresente outros exemplos referentes a essas variáveis, deixando a diferença entre elas mais clara e compreensível. 09 09
Comente com os alunos a importância de cada uma das etapas do processo estatístico. coleta de dados, a organização e a apuração, e apresentação dos dados obtidos, por meio de tabelas e gráficos, fazem parte da Estatística descritiva, ao passo que a análise e a interpretação dos resultados integram a Estatística inferencial ou indutiva. Uma variável quantitativa também pode ser de dois tipos: Variável quantitativa discreta: é aquela que indica, geralmente, contagem de algo, como o número de vezes que se toma o transporte público por semana, o número de filhos, a quantidade de sapatos, a quantidade de pontos feitos em uma partida de basquete, entre outras. Placar do jogo de basquete entre a equipe do Paulistano [SP] e a de Campo Mourão [PR], em Campo Mourão, região centro-oeste do Paraná. Na partida de 016, o time do Paulistano venceu com 18 pontos de diferença. DIRCEU PORTUGL/FOTOREN Variável quantitativa contínua: indica, geralmente, uma medida. Essa variável pertence ao conjunto dos números reais. Pode indicar, por exemplo, a distância percorrida de casa até a escola, a velocidade média de caminhada, a altura dos alunos de uma turma, o tempo para completar a prova de 100 metros rasos etc. atleta lmaz yana, da Etiópia, celebra seu novo recorde mundial, por cumprir a prova dos 10 000 m de atletismo em 9 minutos, 17 segundos e 45 milésimos de segundo, durante os Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, em 016. Veja o esquema a seguir que organiza os tipos de variável. ordinal qualitativa nominal VRIÁVEL discreta quantitativa contínua DRIN DENNIS/FP/GETTY IMGES Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Conhecer a categoria da variável pode ajudar na escolha do tipo de gráfico mais adequado para representar os dados. Diga aos alunos que a planilha apresentada na atividade 1 é também chamada de quadro de dados brutos. TIVIDDES Faça as atividades no caderno. 1 Uma pequena empresa está expandindo seus serviços e decidiu organizar em uma planilha algumas informações de todos os funcionários contratados. Veja uma parte da planilha a seguir. Variáveis qualitativas nominais: primeiro nome e sexo; variável qualitativa ordinal: escolaridade; variáveis quantitativas contínuas: salário e tempo de serviço. 1 3 4 5 6 Primeiro nome Marcos Maria Willian Jeferson Luciana C D E Sexo Escolaridade Tempo de Salário serviço [R$] M F M M F Ensino Médio 4 anos Ensino Superior 3,5 anos Ensino Superior,75 anos Ensino Médio 5 anos Ensino Médio,5 anos 3 500,00 4 500,00 3 500,00 950,00 950,00 DILSON SECCO No caderno, identifique as variáveis e seus tipos. 10 10
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. No caderno, classifique as variáveis em qualitativas [ordinal ou nominal] ou quantitativas [contínuas ou discretas]: a] cor dos cabelos; qualitativa nominal b] número de filhos; quantitativa discreta c] pontos obtidos em uma jogada; quantitativa discreta d] número de peças produzidas por uma máquina por hora; quantitativa discreta e] precipitação pluviométrica durante um ano na cidade de Nova Serrana [MG]; f] nível de escolaridade; qualitativa ordinal g] salários dos funcionários de uma empresa; quantitativa contínua h] comprimento de um segmento de reta; quantitativa contínua i] número de livros de uma biblioteca; quantitativa discreta j] número de ações negociadas na bolsa de valores de Nova Iorque; quantitativa contínua k] grau de proficiência em um idioma. qualitativa ordinal 3 Em uma pesquisa realizada com os participantes de um workshop sobre empreendedorismo, identificou-se os seguintes indicadores: idade, sexo, quantidade de filhos, grau de instrução, renda, área de formação e fonte de renda. a] Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas? b] Das variáveis quantitativas, quais são discretas? idade e quantidade de filhos 4 São exemplos de variáveis quantitativas, exceto: a] nota obtida em uma prova; b] grau de escolaridade; alternativa b c] número de filhos; d] massa corporal. Medidas de tendência central Lembre-se: Não escreva no livro! quantitativa contínua 3. a] quantitativas: idade, quantidade de filhos e renda; qualitativas: sexo, grau de instrução, área de formação, fonte de renda gora que vimos alguns dos elementos de uma pesquisa estatística, vamos estudar as medidas de tendência central [ou de posição]. Essas medidas são obtidas a partir dos dados coletados da população ou amostra e nos ajudam a compreender a distribuição dos valores das variáveis quantitativas. Vamos retomar a ideia de média e estudar a mediana e a moda de uma sequência de dados. Para isso, acompanhe a situação a seguir. Clara anotou no calendário a temperatura máxima dos últimos 15 dias do mês de julho de sua cidade. Sugestão de atividade extra Em conjunto com os alunos, escolha uma situação para, a partir dela, realizar uma coleta de dados e, então, com base nesse banco de dados, fazer um estudo estatístico da situação para que emerjam as etapas do processo estatístico e tambe m os conceitos estudados ate o momento. Escolhida a situação com a qual os alunos vão trabalhar, discuta, antes de iniciar o processo de coleta de dados, o objetivo do estudo a ser realizado. E a partir dessa reflexão que os alunos devem perceber quais serão as variáveis a serem analisadas e, consequentemente, quais tipos de dados referentes à situação devem ser coletados. Essa discussão pode ser realizada por meio da comparação dessa situação com outras abordadas pelos meios de comunicação a partir de um tratamento estatístico. pós os alunos terem percebido claramente quais são os objetivos do estudo estatístico a ser realizado, as variáveis a serem analisadas e, portanto, os dados a serem coletados, e importante que eles reflitam sobre como a amostra deve ser selecionada. O estudo do tópico Medidas de tendência central visa o desenvolvimento da habilidade EF08M5. JULHO/018 Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 15 16 3 1 C 9 30 4 C 4 C 19 C 17 4 31 18 5 19 3 C 4 C 4 C 3 C 1 C 19 C 15 C 15 C 6 0 7 1 8 C 4 C 4 C 1 3 4 DILSON SECCO 11 EF08M5: Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística [me dia, moda e mediana] com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude. 11
o introduzir as noço es de me dia aritme tica simples e de me dia ponderada, peça aos alunos que busquem outras situaço es, ale m das apresentadas, em que cada um desses tipos de me dia seja utilizado. Sempre que possível, explore os recursos digitais, ale m da calculadora. Planilhas eletrônicas possuem ferramentas e recursos que permitem realizar o tratamento estatístico, como e o caso do cálculo da me dia. Médias média aritmética simples dos números x 1, x, x 3,, x n, que podemos indicar por x, é dada por: x x x... x x 5 1 1 1 1 n 1 3 n Considerando as temperaturas máximas do mês de julho informadas por Clara, o cálculo da média aritmética simples é obtido por: 3 4 4... 4 19 15 3 x 5 1 1 1 1 1 1 5 15 15 Então, a temperatura máxima média foi de aproximadamente 1,47 ºC. soma de todas as temperaturas máximas quantidade de valores adicionados CLYTON CSSINO média de temperaturas máximas na última quinzena de julho de 018 foi de, aproximadamente, 1,47 C. média aritmética ponderada pode facilitar o cálculo da média quando temos valores repetidos ou quando os valores possuem graus de importância diferentes; por exemplo, no caso das notas de provas. Para obter a média ponderada, fazemos: multiplicamos os valores por seus respectivos pesos [frequência que o valor ocorre ou grau de importância dado] e calculamos a sua soma; dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos. média aritmética ponderada dos números x 1, x, x 3,, x n, em que x 1 tem peso p 1, x tem peso p, x 3 tem peso p 3 etc., é dada por: x13p11x3p1x33p31... 1xn3p x 5 p 1p 1p 1... 1p 1 3 Então, se organizarmos as temperaturas máximas informadas por Clara e indicarmos a frequência que cada uma delas ocorreu no mês de julho, teremos o seguinte quadro: n n Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Temperatura [ C] Frequência 15 19 1 1 3 4 6 Portanto, a média ponderada dos valores é dada por: 15 19 1 1 3 6 4 3 x 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 7 1,47 15 15 ssim como a média aritmética simples, a média aritmética ponderada das temperaturas máximas da última quinzena de julho na cidade de Clara é de, aproximadamente, 1,47 C. Como vimos na seção Trocando ideias, nem sempre a média dos valores dos dados são suficientes para entender seu comportamento. Por isso, frequentemente utilizamos outras medidas: a mediana e a moda. Veja a sequência didática do 4 o bimestre no Material do Professor Digital. 1 1
Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Mediana mediana [Md ] é o valor que ocupa a posição central de uma sequência de valores colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza. Se a distribuição tiver um número ímpar de dados, haverá um valor central, e este será a mediana. Se a distribuição tiver um número par de dados, não haverá um, mas dois valores centrais. ssim, a mediana será a média aritmética desses dois valores centrais. Clara registrou 15 temperaturas em seu calendário, portanto, há um valor central. Vamos dispor os valores em ordem crescente. 15, 15, 19, 19, 1, 1,, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4 7 valores 7 valores valor central Md 5 3 Se, por algum motivo, não houvesse informação para o dia 17 de julho, em que a temperatura máxima registrada foi de 3 C, a mediana seria calculada assim: Nesse caso, a mediana é,5 C. Moda 15, 15, 19, 19, 1, 1,, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4 6 valores 6 valores valores centrais 1 3 Md = = 45 =, 5 Moda é o valor que aparece um maior número de vezes dentre os dados, ou seja, moda é o valor de maior frequência absoluta. Para as temperaturas máximas registradas por Clara, sabemos que: a frequência do valor 15 é ; a frequência do valor 19 é ; a frequência do valor 1 é ; a frequência do valor é 1; a frequência do valor 3 é ; a frequência do valor 4 é 6. Perceba que os dados vão de 15 C a 4 C. diferença entre essas temperaturas se chama amplitude! ssim, podemos concluir que a moda é 4, pois é o valor que apresenta a maior frequência. Decorre dessa informação que a temperatura máxima que mais ocorreu nos últimos 15 dias de julho foi de 4 C. CLYTON CSSINO me dia, bem como a mediana e a moda, caracterizam um conjunto de dados. Comente com os alunos que cada uma dessas medidas de posição [ou de tendência central] pode ser mais conveniente que a outra, ou pode ate mesmo ser usada em conjunto para analisar os dados de uma situação. Entretanto, e preciso ter cuidado para que, ao empregar essas medidas, não haja distorção das informaço es que estão sendo analisadas. Observações 1 o contrário da média ou da mediana, a moda não é necessariamente única. Podemos ter uma sequência de dados com duas modas [bimodal], sem nenhuma moda [amodal] ou com mais de dois valores modais [multimodal]. amplitude dos dados sobre a temperatura é de 9 C, indo de 15 C a 4 C. partir do valor da média [1,47 C], da mediana [3 C] e da moda [4 C], mesmo sem observar todos os dados diretamente, podemos concluir que os valores mensurados estão mais próximos de 4 C do que de 15 C. 13 13
No item b da atividade espera-se que os alunos percebam que nesse caso a mediana indica que pelo menos metade das crianças usa roupa de tamanho menor ou igual a 1 e que o tamanho de roupa mais usado pelas crianças e o tamanho 10. No cálculo do salário me dio, proposto na ativida - de 3, sugerimos o uso da calculadora por envolver valores altos. TIVIDDES 1 tela do computador ao lado mostra o número de visitantes, em um parque, nos 31 dias do mês de julho. a] Calcule a média aritmética, a mediana e a moda dessa distribuição. média aritmética: 99; mediana: 94; moda: 88 b] Na sua opinião, qual dessas medidas é mais significativa para o parque avaliar o número de visitantes no mês de julho? Justifique. c] Em quantos dias o público presente no parque foi acima da média? 1 dias Resposta pessoal. Faça as atividades no caderno. VELINO GUEDES Uma instituição que atende crianças carentes cadastrou 50 crianças para rece berem roupas como doação. Veja na tabela a seguir o tamanho das roupas e a quantidade de crianças. Quantidade de crianças por tamanho de roupa Tamanho da roupa Quantidade de crianças 8 9 10 14 1 1 14 7 16 8 Dados obtidos pela instituição de caridade. a] Calcule a moda e a mediana desses dados. moda: 10; mediana: 1 b] O que cada uma dessas medidas representa nessa situação? Converse com o professor e os colegas. 3 distribuição dos salários de uma empresa está representada na tabela a seguir. salário médio: R$ 1 108,00; moda: R$ 800,00 Distribuição dos salários da empresa Salário Número de funcionários R$ 800,00 R$ 900,00 9 R$ 1 000,00 8 R$ 1 050,00 8 R$ 1 100,00 7 R$ 1 300,00 6 R$ 300,00 4 R$ 5 0,00 1 Dados obtidos pelo departamento pessoal da empresa. Qual é o salário médio dos funcionários dessa empresa? E qual é a moda dos salários dessa empresa? Reprodução proibida. rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. 14 14