0,999 dalam matematika adalah suatu bilangan desimal yang memuat angka 9 berulang tak terhingga. Juga bisa ditulis sebagai 0 , 9 ¯ {\displaystyle 0,{\bar {9}}} 0 , 111 = 1 9 9 × 0 , 111 = 9 × 1 9 = 9 × 1 9 0 , 999 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}0,111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0,111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0,999\dots &{}=1\end{aligned}}}
Versi pembuktian yang sama yang lebih mudah dimengerti adalah berdasarkan persamaan berikut:
1 = 9 9 = 9 × 1 9 = 9 × 0 , 111 = 0 , 999 {\displaystyle 1={\frac {9}{9}}=9\times {\frac {1}{9}}=9\times 0,111\dots =0,999\dots }Oleh karena kedua persamaan berlaku berdasarkan sifat transitif, 0,999 haruslah sama dengan 1. Hal yang sama, 3/3 = 1, dan 3/3 = 0,999. Sehingga, 0.999 haruslah sama dengan 1.
Manipulasi digit
Bentuk pembuktian lainnya menggunakan desimal berulang lainnya. Ketika sebuah bilangan dalam notasi desimal dikalikan dengan 10, digit itu tidak akan berubah, tetapi pemisah desimal akan berpindah satu digit ke kanan. Sehingga 10 x 0,999 sama dengan 9.999.
Pengurangan 0,999 dari 9,999 dapat dilakukan secara digit per digit; di setiap digit setelah pemisah desimal, hasil 9-9 adalah 0. Namun nol yang berulang-ulang ini tidak akan mengubah sebuah bilangan, sehingga perbedaannya adalah persis 9. Langkah akhirnya kemudian menggunakan aljabar. Misalnya bilangan desimal yang dipertanyakan [0.999] disebut x. Maka 10x x = 9. Ini adalah sama dengan 9x = 9. Pembagian kedua sisi oleh 9 menyelesaikan pembuktian: x = 1.[1]
x = 0 , 999 10 x = 9 , 999 10 x x = 9 , 999 0 , 999 9 x = 9 x = 1 0 , 999 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\0,999\ldots &=1\end{aligned}}}Validitas manipulasi digit pada bukti di atas tidak perlu dianggap sebagai sebuah aksioma; ia mengikuti hubungan dasar antara desimal dengan bilangan yang ia representasikan. Hubungan ini, yang dapat dikembangkan menjadi beberapa cara yang setara, telah membentuk hubungan desimal 0,999 dan 1,000... mewakili bilangan yang sama.
Analitik
Oleh karena permasalahan 0,999 tidak memengaruhi perkembangan formal matematika, permasalahan ini dapat ditunda sementara sampai kita dapat membuktikan teorema standar analisis real. Satu persyaratannya adalah mengkarakterisasikan bilangan real yang dapat ditulis ke dalam notasi desimal: terdiri dari tanda pilihan, barisan terhingga bilangan apapun dari digit yang membentuk bagian bilangan bulat, pemisah desimal, dan barisan digit yang membentuk bagian pecahan. Untuk tujuan diskusi 0,999, bagian bilangan bulat dapat diringkas sebagai b0 dan dapat mengabaikan bilangan negatif, sehingga sebuah ekspansi desimal mempunyai bentuk: b 0 , b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 {\displaystyle b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots }
Adalah penting bahwa bagian pecahan, tidak seperti pada bagian bilangan bulat, tidaklah terbatas pada jumlah digit yang terhingga.
Deret dan barisan tak terhingga
Metode ekspansi desimal yang paling umum digunakan adalah dengan mendefinisikannya sebagai penjumlahan deret tak terhingga. Secara umum:
b 0 , b 1 b 2 b 3 b 4 = b 0 + b 1 [ 1 10 ] + b 2 [ 1 10 ] 2 + b 3 [ 1 10 ] 3 + b 4 [ 1 10 ] 4 + . {\displaystyle b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}[{\tfrac {1}{10}}]+b_{2}[{\tfrac {1}{10}}]^{2}+b_{3}[{\tfrac {1}{10}}]^{3}+b_{4}[{\tfrac {1}{10}}]^{4}+\cdots .}Untuk 0,999, kita dapat menggunakan teorema konvergen deret geometri:[2]
Jika | r | < 1 {\displaystyle |r|