Pecahan desimal 1 317 apabila dibulatkan ke satuan terdekat adalah
Wikimedia-ID.github.io
Soal Project Euler dalam Bahasa IndonesiaBerikut adalah soal2 Project Euler dalam bahasa Indonesia Daftar IsiSoal 1Jika kita membuat daftar semua bilangan asli yang lebih kecil daripada 10 yang merupakan kelipatan 3 atau 5, maka kita akan mendapatkan 3, 5, 6, dan 9. Jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah 23. Tentukanlah jumlah dari semua bilangan kelipatan 3 atau 5 yang lebih kecil daripada 1000. Answer: e1edf9d1967ca96767dcc2b2d6df69f4 Soal 2Setiap pola baru dalam barisan Fibonacci dibentuk dengan menjumlahkan dua buah bilangan sebelumnya. Jika kita memulai barisan dengan angka 1 dan 2, maka 10 bilangan pertama barisan Fibonacci adalah: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...Tentukanlah hasil penjumlahan semua bilangan genap yang lebih kecil dari empat juta dalam barisan Fibonacci seperti di atas. Answer: 4194eb91842c8e7e6df099ca73c38f28 Soal 3Faktor prima dari 13195 adalah 5, 7, 13, dan 29. Berapakah faktor prima terbesar dari bilangan 600851475143 ? Answer: 94c4dd41f9dddce696557d3717d98d82 Soal 4Sebuah bilangan disebut sebagai palindrom, bila kita membacanya baik dari depan maupun dari belakang, kita akan mendapatkan bilangan yang sama. Bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 2 digit adalah 9009 = 91 × 99. Tentukan bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 3 digit. Answer: d4cfc27d16ea72a96b83d9bdef6ce2ec Soal 52520 adalah bilangan terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua angka dari 1 sampai 10. Berapakah bilangan positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 20? Answer: bc0d0a22a7a46212135ed0ba77d22f3a Soal 6Jumlah dari kuadrat sepuluh bilangan asli pertama adalah, 12 + 22 + ... + 102 = 385 Kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah, (1 + 2 + ... + 10)2 = 552 = 3025 Selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah 3025 - 385 = 2640. Tentukan selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah seratus bilangan asli pertama. Answer: 867380888952c39a131fe1d832246ecc Soal 7Bila kita membuat daftar enam bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, kita dapat melihat bahwa bilangan prima ke-6 adalah 13. Berapakah bilangan prima ke-10 001? Answer: 8c32ab09ec0210af60d392e9b2009560 Soal 8Empat bilangan berurutan dari 1000 bilangan berikut yang memiliki hasil kali terbesar adalah 9 × 9 × 8 × 9 = 5832. 7316717653133062491922511967442657474235534919493496983520312774506326239578318016984801869478851843 8586156078911294949545950173795833195285320880551112540698747158523863050715693290963295227443043557 6689664895044524452316173185640309871112172238311362229893423380308135336276614282806444486645238749 3035890729629049156044077239071381051585930796086670172427121883998797908792274921901699720888093776 6572733300105336788122023542180975125454059475224352584907711670556013604839586446706324415722155397 5369781797784617406495514929086256932197846862248283972241375657056057490261407972968652414535100474 8216637048440319989000889524345065854122758866688116427171479924442928230863465674813919123162824586 1786645835912456652947654568284891288314260769004224219022671055626321111109370544217506941658960408 0719840385096245544436298123098787992724428490918884580156166097919133875499200524063689912560717606 0588611646710940507754100225698315520005593572972571636269561882670428252483600823257530420752963450Temukanlah tiga belas bilangan berurutan dari 1000 bilangan di atas yang memiliki hasil kali terbesar. Berapakah hasil kali ketiga belas bilangan tersebut? Answer: 0f53ea7949d32ef24f9186207600403c Soal 9Triplet Pythagoras adalah kumpulan tiga buah bilangan asli, a < b < c, yang memenuhi, a2 + b2 = c2 Sebagai contoh, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Dan hanya terdapat persis satu triplet Pythagoras yang bisa memenuhi a + b + c = 1000. Temukan triplet Pythagoras tersebut dan tentukanlah hasil a × b × c. Answer: 24eaa9820350012ff678de47cb85b639 Soal 10Jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil daripada 10 adalah 2 + 3 + 5 + 7 = 17. Tentukanlah jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil dari dua juta (2 000 000). Answer: d915b2a9ac8749a6b837404815f1ae25 Soal 11Pada kisi berukuran 20×20 berikut, empat buah bilangan yang membentuk satu garis diagonal lurus telah ditandai dengan warna merah. 08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08 Hasil perkalian dari bilangan tersebut adalah 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696. Berapakah hasil perkalian terbesar dari empat bilangan berurutan dalam satu garis lurus (atas, bawah, kiri, kanan, atau diagonal) pada kisi berukuran 20×20 di atas? Answer: 678f5d2e1eaa42f04fa53411b4f441ac Soal 12Barisan bilangan segitiga dibuat dengan menjumlahkan bilangan asli. Maka bilangan segitiga ke-7 adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Sepuluh bilangan segitiga pertama adalah: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... Jika kita membuat daftar faktor dari tujuh bilangan segitiga pertama: 1: 1 Dapat terlihat bahwa 28 adalah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima faktor. Berapakah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima ratus faktor? Answer: 8091de7d285989bbfa9a2f9f3bdcc7c0 Soal 13Carilah sepuluh angka pertama dari hasil penjumlahan seratus buah bilangan 50 digit berikut ini. 37107287533902102798797998220837590246510135740250 46376937677490009712648124896970078050417018260538 74324986199524741059474233309513058123726617309629 91942213363574161572522430563301811072406154908250 23067588207539346171171980310421047513778063246676 89261670696623633820136378418383684178734361726757 28112879812849979408065481931592621691275889832738 44274228917432520321923589422876796487670272189318 47451445736001306439091167216856844588711603153276 70386486105843025439939619828917593665686757934951 62176457141856560629502157223196586755079324193331 64906352462741904929101432445813822663347944758178 92575867718337217661963751590579239728245598838407 58203565325359399008402633568948830189458628227828 80181199384826282014278194139940567587151170094390 35398664372827112653829987240784473053190104293586 86515506006295864861532075273371959191420517255829 71693888707715466499115593487603532921714970056938 54370070576826684624621495650076471787294438377604 53282654108756828443191190634694037855217779295145 36123272525000296071075082563815656710885258350721 45876576172410976447339110607218265236877223636045 17423706905851860660448207621209813287860733969412 81142660418086830619328460811191061556940512689692 51934325451728388641918047049293215058642563049483 62467221648435076201727918039944693004732956340691 15732444386908125794514089057706229429197107928209 55037687525678773091862540744969844508330393682126 18336384825330154686196124348767681297534375946515 80386287592878490201521685554828717201219257766954 78182833757993103614740356856449095527097864797581 16726320100436897842553539920931837441497806860984 48403098129077791799088218795327364475675590848030 87086987551392711854517078544161852424320693150332 59959406895756536782107074926966537676326235447210 69793950679652694742597709739166693763042633987085 41052684708299085211399427365734116182760315001271 65378607361501080857009149939512557028198746004375 35829035317434717326932123578154982629742552737307 94953759765105305946966067683156574377167401875275 88902802571733229619176668713819931811048770190271 25267680276078003013678680992525463401061632866526 36270218540497705585629946580636237993140746255962 24074486908231174977792365466257246923322810917141 91430288197103288597806669760892938638285025333403 34413065578016127815921815005561868836468420090470 23053081172816430487623791969842487255036638784583 11487696932154902810424020138335124462181441773470 63783299490636259666498587618221225225512486764533 67720186971698544312419572409913959008952310058822 95548255300263520781532296796249481641953868218774 76085327132285723110424803456124867697064507995236 37774242535411291684276865538926205024910326572967 23701913275725675285653248258265463092207058596522 29798860272258331913126375147341994889534765745501 18495701454879288984856827726077713721403798879715 38298203783031473527721580348144513491373226651381 34829543829199918180278916522431027392251122869539 40957953066405232632538044100059654939159879593635 29746152185502371307642255121183693803580388584903 41698116222072977186158236678424689157993532961922 62467957194401269043877107275048102390895523597457 23189706772547915061505504953922979530901129967519 86188088225875314529584099251203829009407770775672 11306739708304724483816533873502340845647058077308 82959174767140363198008187129011875491310547126581 97623331044818386269515456334926366572897563400500 42846280183517070527831839425882145521227251250327 55121603546981200581762165212827652751691296897789 32238195734329339946437501907836945765883352399886 75506164965184775180738168837861091527357929701337 62177842752192623401942399639168044983993173312731 32924185707147349566916674687634660915035914677504 99518671430235219628894890102423325116913619626622 73267460800591547471830798392868535206946944540724 76841822524674417161514036427982273348055556214818 97142617910342598647204516893989422179826088076852 87783646182799346313767754307809363333018982642090 10848802521674670883215120185883543223812876952786 71329612474782464538636993009049310363619763878039 62184073572399794223406235393808339651327408011116 66627891981488087797941876876144230030984490851411 60661826293682836764744779239180335110989069790714 85786944089552990653640447425576083659976645795096 66024396409905389607120198219976047599490197230297 64913982680032973156037120041377903785566085089252 16730939319872750275468906903707539413042652315011 94809377245048795150954100921645863754710598436791 78639167021187492431995700641917969777599028300699 15368713711936614952811305876380278410754449733078 40789923115535562561142322423255033685442488917353 44889911501440648020369068063960672322193204149535 41503128880339536053299340368006977710650566631954 81234880673210146739058568557934581403627822703280 82616570773948327592232845941706525094512325230608 22918802058777319719839450180888072429661980811197 77158542502016545090413245809786882778948721859617 72107838435069186155435662884062257473692284509516 20849603980134001723930671666823555245252804609722 53503534226472524250874054075591789781264330331690 Answer: 361113f19fd302adc31268f8283a4f2d Soal 14Sebuah barisan iteratif berikut didefinisikan untuk himpunan bilangan bulat positif dengan aturan: n n/2 (n bilangan genap) Menggunakan aturan di atas, dimulai dari 13, maka kita akan mendapatkan barisan: 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 Dapat terlihat bahwa barisan ini (yang dimulai dari 13 dan berakhir di 1) memiliki 10 suku. Meskipun belum ada bukti matematisnya, diperkirakan bahwa apapun bilangan awalnya, barisan seperti ini akan selalu berakhir di 1 (Masalah Collatz). Bilangan awal manakah yang besarnya lebih kecil daripada satu juta yang akan menghasilkan barisan terpanjang? Catatan : besar suku berikutnya (setelah bilangan awal) dalam barisan boleh melebihi satu juta. Answer: 5052c3765262bb2c6be537abd60b305e Soal 15Jika kita mulai bergerak dari pojok kiri atas kisi berukuran 2×2, dan hanya boleh bergerak ke kanan atau ke bawah, maka akan ada persis 6 ruas rute menuju ke pojok kanan bawah. Berapakah jumlah rute yang ada jika kisi berukuran 20×20? Answer: 928f3957168ac592c4215dcd04e0b678 Soal 16215 = 32768 dan jumlah semua digitnya adalah 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26. Berapakah jumlah digit dari angka 21000? Answer: 6a5889bb0190d0211a991f47bb19a777 Soal 17Angka 1 sampai 5 ditulis dalam kata bahasa Inggris sebagai : one, two, three, four, five, dan terdapat 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 jumlah huruf yang digunakan. Bila semua angka dari 1 sampai 1000 (1 dan 1000 termasuk di dalamnya) ditulis dalam kata bahasa Inggris, berapakah jumlah huruf yang digunakan? Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris. Masalah itu tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan dibutuhkan cara yang cerdik! ;o) Answer: 6a979d4a9cf85135408529edc8a133d0 Soal 18Dengan memulai dari puncak segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23. 3 Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23. Berapakah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa dari atas ke bawah pada segitiga berikut: 75 Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan membutuhkan cara yang cerdas! ;o) Answer: 708f3cf8100d5e71834b1db77dfa15d6 Soal 19Anda diberikan informasi sebagai berikut, dan Anda diminta untuk melakukan penelitian.
Berapakah banyak hari Minggu yang jatuh pada tanggal 1 pada abad ke-20 (1 Jan 1901 sampai 31 Des 2000)? Answer: a4a042cf4fd6bfb47701cbc8a1653ada Soal 20n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai n × (n 1) × × 3 × 2 × 1. Answer: 443cb001c138b2561a0d90720d6ce111 Soal 21Misalkan d(n) adalah jumlah semua bilangan yang lebih kecil daripada n yang dapat membagi habis n. Jika d(a)=b dan d(b)=a, dengan ab, maka a dan b adalah sebuah pasangan akrab, dan a serta b dapat disebut bilangan akrab. Sebagai contoh, bilangan-bilangan yang dapat membagi habis 220 dan lebih kecil daripada 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110; maka d(220)=284. Bilangan yang dapat membagi habis 284 dan lebih kecil daripada 2784 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142; maka d(284)=220. Hitunglah jumlah semua bilangan akrab yang lebih kecil daripada 10000. Answer: 51e04cd4e55e7e415bf24de9e1b0f3ff Soal 22[names.txt](/projecteuler/files/names.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...') , adalah 46K berkas teks yang berisi lebih dari lima ribu nama depan. Urutkanlah nama-nama tersebut berdasarkan abjad, lalu hitunglah nilai dari setiap nama dengan cara mengkonversikan setiap huruf menjadi angka sesuai dengan urutan alfabet. Setelah itu kalikan jumlah angka-angka tersebut dengan posisinya pada daftar nama names.txt yang telah diurutkan. Sebagai contoh, saat daftar nama sudah diurutkan berdasarkan abjad, COLIN berada di posisi ke 938 pada daftar nama, dari huruf-hurufnya COLIN akan memiliki nilai 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53. Sehingga, COLIN akan memiliki nilai 938 × 53 = 49714. Berapakah jumlah nilai dari semua nama pada names.txt? Answer: f2c9c91cb025746f781fa4db8be3983f Soal 23Bilangan sempurna adalah sebuah bilangan yang jumlah semua pembagi habisnya sama dengan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, jumlah pembagi habis dari 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, dengan demikian 28 adalah bilangan sempurna. Sebuah bilangan n disebut defisien jika jumlah pembagi habisnya kurang dari n, dan disebut limpahan jika jumlahnya melebihi n. 12 adalah bilangan limpahan terkecil, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, sedangkan bilangan terkecil yang dapat dibentuk dari hasil jumlah dua buah bilangan limpahan adalah 24. Dengan analisis matematis, dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat lebih dari 28123 dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan. Dan, batas ini tidak bisa diperkecil lagi oleh analisis lebih lanjut, sehingga bilangan terbesar yang tidak dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan adalah kurang dari batas ini (28123). Carilah jumlah semua bilangan positif yang tidak bisa dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan. Answer: 2c8258c0604152962f7787571511cf28 Soal 24Permutasi adalah susunan terurut dari objek. Sebagai contoh, 3124 adalah salah satu permutasi yang mungkin dari digit 1, 2, 3, dan 4. Jika semua permutasi dituliskan sesuai dengan urutan angka atau alfabet, maka kita sebut itu sebagai susunan leksikografis. Susunan leksikografis dari permutasi 0, 1, dan 2 adalah: 012 021 102 120 201 210Berapakah suku kesatu juta dari susunan leksikografis dari permutasi digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9? Answer: 7f155b45cb3f0a6e518d59ec348bff84 Soal 25Barisan Fibonacci dibentuk dari hubungan berulang: Fn = Fn1 + Fn2, di mana F1 = 1 and F2 = 1. Dari aturan tersebut didapatkan 12 suku pertamanya: F1 = 1 Suku ke-12, yaitu F12, adalah suku pertama yang memiliki tiga digit. Suku keberapakah pada barisan Fibonacci yang pertama kali memiliki 1000 digit? Answer: a376802c0811f1b9088828288eb0d3f0 Soal 26Unit pecahan adalah sebuah pecahan yang memiliki pembilang 1. Representasi desimal dari unit pecahan untuk penyebut dari 2 sampai 10 adalah sebagai berikut: 1/2=0.51/3=0.(3)1/4=0.251/5=0.21/6=0.1(6)1/7=0.(142857)1/8=0.1251/9=0.(1)1/10=0.1 Di sini 0.1(6) berarti 0.166666..., dan memiliki 1 digit yang berulang. Dapat kita lihat bahwa 1/7 memiliki 6 digit yang berulang. Carilah berapa nilai dari d < 1000, bila 1/d memiliki paling banyak digit berulang dalam bentuk desimalnya. Answer: 6aab1270668d8cac7cef2566a1c5f569 Soal 27Euler menemukan sebuah rumus kuadrat yang luar biasa: n² + n + 41 Ternyata rumus tersebut akan menciptakan 40 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 sampai 39. Tetapi, saat n = 40, 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 angka ini ternyata habis dibagi 41, dan saat n = 41, 41² + 41 + 41 angka ini juga habis dibagi 41. Rumus luar biasa lainnya n² 79n + 1601 telah ditemukan, rumus tersebut akan menghasilkan 80 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 to 79. Hasil kali dari koefisien rumus tersebut, 79 dan 1601, adalah 126479. Dengan bentuk kuadrat berikut ini: n² + an + b, di mana |a| < 1000 dan |b| < 1000 Carilah hasil kali koefisien, a dan b, untuk rumus kuadrat di atas yang menghasilkan paling banyak bilangan prima untuk nilai n berurutan, dimulai dari n = 0. Answer: 69d9e3218fd7abb6ff453ea96505183d Soal 28Dimulai dari angka 1 di tengah, lalu bergerak ke kanan searah jarum jam, maka dapat dibentuk spiral angka berukuran 5 x 5 sebagai berikut: 21 22 23 24 25 Dapat terlihat bahwa jumlah angka-angka yang terletak pada diagonal spiral angka ini adalah 101. Berapakah jumlah angka-angka pada diagonal, jika dibentuk spiral dengan cara yang sama, namun berukuran 1001 x 1001? Answer: 0d53425bd7c5bf9919df3718c8e49fa6 Soal 29Jika kita mencoba menghitung semua kombinasi dari ab untuk 2 a 5 dan 2 b 5 maka kita akan mendapatkan: 22=4, 23=8, 24=16, 25=32 Lalu jika kita urutkan angka-angka tersebut, dengan terlebih dahulu membuang angka yang berulang, maka kita akan mendapatkan barisan 15 buah bilangan berbeda sebagai berikut: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125 Berapakah banyak bilangan berbeda, pada barisan yang dibuat dari rumus ab untuk 2 a 100 dan 2 b 100? Answer: 6f0ca67289d79eb35d19decbc0a08453 Soal 30Hanya terdapat tiga buah bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan empat, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan angka yang sama: 1634 = 14 + 64 + 34 + 44 Tetapi 1 = 14 tidak ikut dimasukkan dalam bilangan-bilangan di atas, karena bukan merupakan hasil penjumlahan. Jumlah dari semua bilangan tersebut adalah 1634 + 8208 + 9474 = 19316. Carilah jumlah dari semua bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan lima, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan bilangan yang sama Answer: 27a1779a8a8c323a307ac8a70bc4489d Soal 31Mata uang Inggris terdiri dari pecahan pound (£), dan pence (p), dan terdapat delapan macam koin yang beredar di sana:
Kita dapat membentuk £2 salah satunya dengan cara berikut:
Berapa banyak cara untuk membentuk £2 menggunakan koin yang beredar? Answer: 142dfe4a33d624d2b830a9257e96726d Soal 32Kita dapat menyebut bilangan dengan n digit sebagai bilangan pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n satu kali; sebagai contoh, bilangan 5 digit, 15234, adalah bilangan pandigital 1 sampai 5 7254 dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan 39 × 186 = 7254, dan jika identitas ini dilihat dengan seksama, kita dapat menemukan semua angka dari 1 sampai 9. Identitas seperti ini dapat juga disebut pandigital. Carilah jumlah dari semua bilangan, yang jika ditulis sebagai hasil kali, identitasnya dapat ditulis sebagai pandigital 1 sampai 9. PETUNJUK: Beberapa hasil kali bisa dibentuk dengan lebih dari satu cara perkalian, pastikan tidak ada hasil kali yang dihitung lebih dari sekali pada penjumlahan di atas. Answer: 100f6e37d0b0564490a2ee27eff0660d Soal 33Pecahan 49/98 adalah pecahan yang menarik, karena seseorang yang tidak paham matematika mungkin akan mencoba untuk menyederhanakan pecahan tersebut dengan menghapus angka yang sama, yaitu angka 9 pada pembilang dan penyebut 49/98 = 4/8, dan kebetulan hasilnya benar. Pecahan angka puluhan seperti, 30/50 = 3/5, dapat kita sebut sebagai kasus trivial, dan tidak kita ikut sertakan pada perhitungan ini. Hanya terdapat empat buah pecahan seperti ini yang tidak trivial, yang nilai desimalnya kurang dari satu, dan memiliki dua digit baik pada pembilang maupun penyebut Jika hasil kali dari keempat pecahan ini diberikan dalam sampai yang bentuk yang paling sederhana, carilah nilai dari penyebutnya. Answer: f899139df5e1059396431415e770c6dd Soal 34145 adalah bilangan yang menarik, karena 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145. Carilah jumlah semua bilangan yang jika faktorial dari semua digitnya dijumlahkan, hasilnya adalah bilangan yang sama. Catatan: walaupun 1! = 1 dan 2! = 2, namun mereka tidak diikutsertakan karena bukan merupakan hasil penjumlahan beberapa faktorial digit. Answer: 60803ea798a0c0dfb7f36397d8d4d772 Soal 35Bilangan 197 dapat disebut bilangan prima siklik karena semua perputaran digitnya: 197, 971, dan 719, merupakan bilangan prima. Terdapat tiga belas buah bilangan prima siklik yang lebih kecil daripada 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, dan 97. Berapa banyak bilangan prima siklik yang lebih kecil dari satu juta? Answer: b53b3a3d6ab90ce0268229151c9bde11 Soal 36Bilangan desimal 585 = 10010010012 (biner), adalah bilangan palindrom, baik dalam basis 10 (desimal) ataupun basis 2 (biner). Carilah jumlah dari semua bilangan, yang lebih kecil daripada satu juta, yang merupakan bilangan palindrom dalam basis 10 (desimal) dan dalam basis 2 (biner). (Harap diingat, bahwa bilangan palindrom, dalam basis berapapun, tidak boleh diawali oleh angka nol.) Answer: 0e175dc2f28833885f62e7345addff03 Soal 37Bilangan 3797 memiliki sifat yang unik. Bilangan tersebut adalah prima, dan jika kita menghapus satu per satu digitnya dari kiri ke kanan, semua bilangan barunya tetaplah bilangan prima: 3797, 797, 97, dan 7. Kita dapat juga membuang digit dengan cara yang sama dari kanan ke kiri: 3797, 379, 37, dan 3, dan semua bilangan barunya juga tetaplah bilangan prima. Hanya ada sebelas buah bilangan prima yang jika digitnya dihapus satu per satu baik dari kiri ke kanan maupun kanan ke kiri, tetap merupakan bilangan prima. Carilah jumlah kesebelas bilangan prima tersebut. Catatan: 2, 3, 5, dan 7 tidak termasuk dalam kesebelas bilangan tersebut. Answer: cace46c61b00de1b60874936a093981d Soal 38Ambil bilangan 192 dan kalikan dengan 1, 2, dan 3, akan didapat: 192 × 1 = 192 Dengan menyatukan semua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, 192384576. Kita akan menyebut 192384576 sebagai hasil kali terangkaikan dari 192 dan (1,2,3) Hasil yang serupa bisa didapatkan dengan angka 9 dan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan 5, yang memberikan bilangan pandigital, 918273645, di mana bilangan ini merupakan hasil kali terangkaikan dari 9 dan (1,2,3,4,5). Berapakah bilangan terbesar pandigital 1 sampai 9 yang dapat kita bentuk dari hasil kali terangkai suatu bilangan bulat dan (1,2, ... , n) di mana n > 1? Answer: f2a29ede8dc9fae7926dc7a4357ac25e Soal 39Misalkan p adalah keliling dari sebuah segitiga siku-siku yang memiliki sisi {a,b,c}, dan a,b,dan c adalah bilangan bulat. Maka akan ada tiga buah segitiga untuk p = 120. {20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50} Berapakah nilai p 1000, yang akan menghasilkan jumlah segitiga siku-siku paling banyak? Answer: fa83a11a198d5a7f0bf77a1987bcd006 Soal 40Bentuk desimal dari sebuah pecahan irasional dibuat dengan merangkaikan barisan bilangan bulat positif: 0.123456789101112131415161718192021... Dapat dilihat bahwa digit ke-12 di belakang koma adalah 1. Jika dn melambangkan digit ke-n di belakang koma, carilah hasil dari bentuk berikut ini. d1 × d10 × d100 × d1000 × d10000 × d100000 × d1000000 Answer: 6f3ef77ac0e3619e98159e9b6febf557 Soal 41Kita dapat menyebut sebuah bilangan dengan n digit sebagai pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n persis satu kali. Sebagai contoh, 2143 adalah bilangan pandigital 4 digit yang kebetulan juga merupakan bilangan prima. Berapakah bilangan pandigital prima terbesar yang ada di dunia ini? Answer: d0a1bd6ab4229b2d0754be8923431404 Soal 42Suku ke-n dari barisan bilangan segitiga dapat dihitung sebagai tn = ½n(n+1); sehingga sepuluh bilangan segitiga pertama adalah: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... Dengan mengubah setiap huruf menjadi angka yang sesuai dengan urutan pada alfabet, dan menjumlahkan semua angka yang didapat untuk tiap kata, kita bisa mendapatkan nilai kata tersebut. Sebagai contoh, nilai dari kata SKY adalah 19 + 11 + 25 = 55 = t10. Jika nilai kata yang didapat termasuk dalam barisan bilangan segitiga, maka kata tersebut akan kita sebut sebagai kata segitiga Menggunakan [words.txt](/projecteuler/files/words.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas berukuran 16K yang berisi kurang lebih dua ribu kata dalam bahasa Inggris, berapa banyak kata segitiga dalam berkas tersebut? Answer: 82aa4b0af34c2313a562076992e50aa3 Soal 43Bilangan 1406357289, adalah bilangan pandigital dari 0 sampai 9, karena bilangan ini memuat digit 0 sampai 9 tepat satu kali dengan urutan yang acak. Namun bilangan 1406357289 juga memiliki sifat lain yang cukup menarik, yaitu sifat habis dibaginya sub-string dari bilangan tersebut dengan bilangan prima. Misalkan d1 adalah digit ke-1, d2 adalah digit ke-2, dan seterusnya. Dengan mengingat notasi ini, kita bisa menemukan bahwa:
Carilah jumlah dari semua bilangan pandigital dari 0 sampai 9 yang memiliki sifat ini. Answer: 115253b7721af0fdff25cd391dfc70cf Soal 44Bilangan segilima dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut, Pn=n(3n1)/2. Sepuluh bilangan segilima pertama adalah: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ... Dapat dilihat bahwa P4 + P7 = 22 + 70 = 92 = P8. Tetapi, selisih keduanya, 70 22 = 48, bukanlah bilangan segilima. Carilah pasangan bilangan segilima, Pj dan Pk, di mana jumlah dan selisihnya juga merupakan bilangan segilima dengan nilai D = |Pk Pj| paling kecil; berapakah nilai dari D? Answer: 2c2556cb85621309ca647465ffa62370 Soal 45Bilangan segitiga, segilima, dan segienam dapat dibentuk dari rumus berikut ini: Bilangan segitigaTn=n(n+1)/21, 3, 6, 10, 15, ...Bilangan segilimaPn=n(3n1)/21, 5, 12, 22, 35, ...Bilangan segienamHn=n(2n1)1, 6, 15, 28, 45, ...Dapat dibuktikan bahwa T285 = P165 = H143 = 40755. Carilah bilangan segitiga selanjutnya yang juga merupakan bilangan segilima dan segienam. Answer: 30dfe3e3b286add9d12e493ca7be63fc Soal 46Christian Goldbach pernah mengajukan dugaan bahwa setiap bilangan ganjil yang bukan bilangan prima dapat dibentuk dari penjumlahan bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat. 9 = 7 + 2×12 Namun ternyata dugaan ia salah. Berapakah bilangan ganjil komposit (bukan bilangan prima) terkecil yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil penjumlahan suatu bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat? Answer: 89abe98de6071178edb1b28901a8f459 Soal 47Dua bilangan berurutan paling kecil yang memiliki faktor prima berbeda adalah: 14 = 2 × 7 Tiga bilangan berurutan paling kecil yang memiliki tiga faktor prima berbeda adalah: 644 = 2² × 7 × 23 Carilah empat bilangan berurutan paling kecil yang memiliki empat faktor prima berbeda. Berapakah bilangan pertama dari keempat bilangan berurutan tersebut? Answer: 748f517ecdc29106e2738f88aa7530f4 Soal 48Deret 11 + 22 + 33 + ... + 1010 = 10405071317. Carilah 10 digit terakhir dari jumlahan deret 11 + 22 + 33 + ... + 10001000. Answer: 0829124724747ae1c65da8cae5263346 Soal 49Suatu barisan aritmatika, 1487, 4817, 8147, yang tiap sukunya memiliki beda 3330, memiliki dua buah keunikan: (i) ketiga-tiganya adalah merupakan bilangan prima, dan, (ii) keempat digit pada setiap suku merupakan perubahan posisi/permutasi dari suku yang lain. Tidak ada barisan aritmatika yang suku-sukunya merupakan bilangan prima satu, dua, atau tiga digit yang memiliki sifat di atas, namun masih ada satu lagi kelompok barisan aritmatika empat digit yang bisa memenuhi sifat di atas. Jika ketiga suku dari barisan aritmatika tersebut dirangkaikan, maka akan terbentuk satu bilangan yang terdiri atas 12 digit. Berapakah bilangan tersebut? Answer: 0b99933d3e2a9addccbb663d46cbb592 Soal 50Bilangan prima 41, dapat dibentuk dari penjumlahan enam bilangan prima berurutan: 41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 Ini adalah penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang jumlahnya menghasilkan bilangan prima kurang dari seratus. Penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang hasilnya adalah bilangan prima kurang dari seribu membutuhkan 21 suku, dan hasilnya adalah 953. Berapakah bilangan prima di bawah satu juta yang dapat dibentuk dari penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan? Answer: 73229bab6c5dc1c7cf7a4fa123caf6bc Soal 51Dengan mengganti digit ke-1 dari bilangan 2 digit dengan bentuk *3, terdapat enam buah bilangan prima dari sembilan bilangan yang ada: 13, 23, 43, 53, 73, dan 83. Dengan menukarkan digit ke-3 dan ke-4 dari bentuk bilangan 56**3 dengan digit yang sama, maka akan didapatkan sekumpulan bilangan 5 digit, dengan tujuh buah bilangan prima dari sepuluh kemungkinan bilangan yang ada: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, dan 56993. Dan 56003, me rupakan bilangan prima yang paling kecil dari kelompok ini. Carilah bilangan prima yang paling kecil dari suatu kelompok, dimana kelompok tersebut didapatkan dengan mengganti beberapa bagian dari bil angan (tidak harus berurutan) dengan digit yang sama, dan kelompok tersebut memiliki delapan buah bilangan prima. Answer: e2a8daa5eb919905dadd795593084c22 Soal 52Dapat dilihat bahwa bilangan 125874, dan kelipatan duanya, 251748, mengandung digit-digit yang sama, namun dengan urutan yang berbeda. Carilah bilangan bulat terkecil x, sedemikian rupa sehingga 2x, 3x, 4x, 5x, dan 6x mengandung digit-digit yang sama. Answer: a420384997c8a1a93d5a84046117c2aa Soal 53Terdapat persis sepuluh cara untuk memilih tiga angka dari bilangan 12345: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, and 345 Dalam kombinatorika, kita menggunakan lambang, 5C3 = 10. Secara umum, nCr = n! ,dimana r n, n! = n×(n1)×...×3×2×1, dan 0! = 1.r!(nr)! Saat n = 23, nilai kombinasi yang ada akan melebihi satu juta: 23C10 = 1144066. Berapa banyak kombinasi nCr yang akan menghasilkan nilai lebih dari satu juta, untuk n, 1 n 100? (Hasil kombinasi boleh sama) Answer: e3b21256183cf7c2c7a66be163579d37 Soal 54Dalam permainan kartu poker, seorang pemain bisa memegang lima kartu. Susunan kelima kartu tersebut dapat diperingkatkan, dari peringkat rendah ke peringkat tinggi dengan aturan sebagai berikut:
Semua kartu memiliki urutan nilai: Jika dua pemain memegang susunan kartu yang memiliki peringkat yang sama, maka kartu kedua pemain tersebut akan dibandingkan nilainya, yang memiliki nilai lebih besar menang; sebagai contoh, sepasang (One Pair) kartu delapan mengalahkan sepasang (One Pair) kartu lima. Namun apabila tidak bisa ditemukan nilai yang lebih besar, sebagai contoh, kedua pemain memiliki sepasang (One Pair) kartu queen, maka akan dilihat kartu sisanya, dan kartu sisa tersebut akan dibandingkan (lihat contoh 4 di bawah); Jika kartu dengan peringkat tertinggi dari kedua pemain ternyata seri, maka kartu peringkat selanjutnya yang akan dibandingkan, dan seterusnya. Perhatikan kelima kartu yang dimiliki oleh dua pemain berikut: Permainan KePemain 1Pemain 2Pemenang15H 5C 6S 7S KD Sepasang (One Pair) kartu lima 2C 3S 8S 8D TDSepasang (One Pair) kartu delapan Pemain 225D 8C 9S JS ACKartu tertinggi (Highest Card) Ace 2C 5C 7D 8S QHKartu tertinggi (Highest Card) Queen Pemain 132D 9C AS AH ACTiga Aces (Three of a Kind) 3D 6D 7D TD QDFlush dengan Diamonds Pemain 244D 6S 9H QH QCSepasang (One Pair) kartu Queen 3D 6D 7H QD QSKartu tertinggi (Highest Card) sembilan Sepasang (One Pair) kartu Queen Pemain 152H 2D 4C 4D 4SKartu tertinggi (Highest Card) tujuh Full House 3C 3D 3S 9S 9DDengan tiga buah kartu empat Full House Pemain 1Dengan tiga buah kartu tiga File, [poker.txt](/projecteuler/files/poker.txt), berisi seribu permainan acak yang dimainkan oleh dua orang pemain. Setiap baris dalam berkas berisi sepuluh kartu (yang dipisah oleh sebuah spasi): lima kartu pertama adalah milik pemain 1, dan lima kartu selanjutnya adalah milik pemain 2. Anda dapat mempercayai bahwa semua kartu yang ada sudah benar (tidak ada huruf yang salah diketik atau kartu ganda), Kartu pada setiap pemain dituliskan dengan urutan acak, dan dalam setiap permainan pasti ada pemenangnya. Berapa kali pemain 1 menang? Answer: 142949df56ea8ae0be8b5306971900a4 Soal 55Jika kita memilih bilangan 47, lalu menjumlahkan dengan kebalikannya, 47 + 74 = 121, akan didapat hasil palindrom. Namun cara ini tidak selalu langsung menghasilkan bilangan palindrom. Sebagai contoh, 349 + 943 = 1292, Seperti contoh di atas, 349 memerlukan tiga iterasi dari cara di atas untuk mendapatkan bilangan palindrom. Meskipun belum ada seorangpun yang membuktikannya, diduga bahwa ada beberapa bilangan, seperti 196, yang tidak bisa menghasilkan bilangan palindrom dengan cara di atas. Bilangan yang tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom dengan cara menjumlahkan dengan kebalikannya disebut bilangan Lychrel. Untuk keperluan penelitian ini, kita asumsikan bahwa semua bilangan adalah bilangan Lychrell, sampai bisa dibuktikan sebaliknya. Anggaplah bahwa untuk semua bilangan yang lebih kecil daripada sepuluh ribu, bilangan tersebut kemungkinan akan (i) menjadi bilangan palindrom setelah pengulangan proses (iterasi) kurang dari lima puluh kali, atau, (ii) kita tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom, walaupun kita menggunakan segala kemampuan atau alat yang ada. Sebagai informasi, 10677 adalah bilangan pertama yang membutuhkan lebih dari lima puluh kali pengulangan agar dapat menghasilkan bilangan palindrom : 4668731596684224866951378664 (53 pengulangan, 28 angka). Menariknya, ada beberapa bilangan palindrom yang juga merupakan bilangan Lychrel; contohnya 4994. Berapa banyak bilangan Lychrel yang besarnya kurang dari sepuluh ribu? Answer: 077e29b11be80ab57e1a2ecabb7da330 Soal 56Satu googol (10100) adalah bilangan yang sangat besar: angka satu diikuti oleh seratus buah angka nol; 100100 juga merupakan bilangan yang bahkan lebih besar: angka satu diikuti oleh dua ratus buah angka nol. Namun walaupun berukuran besar, jumlah dari semua angkanya hanya 1. Misalkan ada sebuah bilangan asli yang memiliki bentuk ab, di mana a, b < 100, berapakah jumlah terbesar dari angka-angka dalam ab? Answer: c22abfa379f38b5b0411bc11fa9bf92f Soal 57Kita dapat menunjukkan bahwa akar dua dapat dinyatakan sebagai penjumlahan suatu pecahan sebanyak tak hingga kali. 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ))) = 1.414213 Dengan menghitung empat iterasi pertama dari rumus di atas, kita akan mendapat: 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5 Tiga iterasi selanjutnya akan menghasilkan 99/70, 239/169, dan 577/408, Namun pada iterasi ke delapan, 1393/985, untuk pertama kalinya kita dap at menemukan banyaknya digit pada pembilang lebih banyak daripada pada penyebut. Dalam seribu iterasi pertama, berapa banyak pecahan yang pembilangnya memiliki banyak digit yang lebih banyak dibanding penyebutnya? Answer: b3e3e393c77e35a4a3f3cbd1e429b5dc Soal 58Dengan memulai menuliskan angka 1 di tengah, lalu berputar berlawanan arah jarum jam seperti pada bentuk berikut, kita dapat membentuk suatu spiral angka persegi dengan ukuran sisi 7. 37 36 35 34 33 32 31 Ada satu hal yang menarik, yaitu bilangan ganjil kuadrat tersusun di diagonal sebelah kanan bawah. Namun yang lebih menarik lagi, 8 dari 13 angka yang ada pada kedua diagonal adalah prima sehingga perbandingannya dapat dituliskan 8/13 62%. Jika satu lapis spiral lagi dibuat di sekeliling spiral di atas, maka kita akan mendapatkan spiral angka persegi dengan ukuran sisi 9. Jika proses ini dilanjutkan, berapakah panjang sisi terkecil dari persegi spiral angka seperti di atas, sehingga spiral tersebut memiliki perbandingan bilangan prima terhadap semua angka pada diagonal yang nilainya jatuh bawah 10%? Answer: b62fc92a2561538525c89be63f36bf7b Soal 59Setiap karakter pada komputer disimpan dengan kode unik, dan salah satu standar konversi karakter tersebut adalah ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Sebagai contoh, huruf A kapital memiliki kode A = 65, tanda bintang (*) = 42, dan huruf k kecil memiliki kode k = 107. Proses enkripsi modern yang diterapkan pada suatu berkas, akan mengubah huruf ke kode ASCII-nya, lalu melakukan operasi XOR untuk setiap nilai yang didapat dengan nilai yang tertentu, yang diambil dari kunci rahasia. Keuntungan menggunakan metode XOR adalah kita dapat menggunakan kunci rahasia yang sama saat melakukan enkripsi untuk mengamankan teks, dan melakukan dekripsi kembali menjadi teks awal; sebagai contoh, 65 XOR 42 = 107, lalu 107 XOR 42 = 65. Agar proses enkripsi tidak mudah ditembus, maka dibuatlah kunci rahasia yang sama panjang dengan teks awal, dan kunci ini dibentuk dari angka acak. Sang pengguna komputer akan menaruh pesan yang telah dienkripsi dan kunci rahasia tersebut di tempat yang berbeda, dan tanpa mengetahui keduanya, tidak memungkinkan untuk melakukan dekripsi pesan. Sayangnya, metode ini tidak praktis untuk kebanyakan pengguna, sehingga metode ini disempurnakan dengan menggunakan kata sandi sebagai kunci rahasia. Jika kata sandi lebih pendek dari pesan yang ingin dikirim (dan sering kali terjadi demikian), maka kata sandi akan diulang terus menerus sampai sama panjang dengan pesan yang ingin dikirim. Keseimbangan dari metode ini adalah kita dapat menggunakan kata sandi yang cukup panjang, untuk berusaha mengamankan pesan yang ingin dikirim, namun yang masih memungkinkan untuk diingat. Terdapat pesan rahasia yang ada di berkas cipher1.txt (klik kanan dan pilih Save Link/Target As), berkas tersebut berisi pesan rahasia dalam bentuk kode ASCII. Tugas Anda akan dipermudah, yaitu dengan mengetahui bahwa kata sandi yang digunakan untuk enkripsi pesan ini adalah hanya terdiri dari tiga huruf kecil, dan pesan rahasia ini adalah sebuah pesan yang berisi kata berbahasa Inggris. Dekripsilah pesan tersebut, dan cari jumlah dari semua nilai ASCII pada pesan tersebut. CATATAN: Enkripsi adalah proses mengubah pesan asli menjadi kode rahasia, Dekripsi adalah proses mengubah kembali kode rahasia menjadi pesan asli. Answer: 68f891fe214e2bfa07c998ad5d0a390f Soal 60Bilangan prima 3, 7, 109, dan 674, sangat patut diperhatikan. Dengan mengambil dua dari empat buah bilangan prima tersebut, lalu merangkaikannya dengan susunan apapun, kita akan mendapatkan bilangan baru yang selalu prima. Sebagai contoh, ambil bilangan 7 dan 109, lalu rangkaikan. Keduanya baik 7109 maupun 1097 adalah bilangan prima. Jumlah dari ke empat bilangan prima di atas adalah 792, dan ini merupakan jumlah terkecil dari himpunan empat bilangan prima yang memiliki sifat seperti yang dijelaskan di atas. Carilah jumlah terkecil dari himpunan lima bilangan prima, yang memiliki sifat bahwa bila dua bilangan primanya dirangkaikan, kita akan selalu mendapatkan bilangan prima. Answer: a4b5a70ca8cf24d0eb4330748d1e72e5 Soal 61Bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan adalah bilangan yang menggunakan nama segi banyak, dan bilangan tersebut dapat dibuat dengan rumus: SegitigaP3,n=n(n+1)/21, 3, 6, 10, 15, ...SegiempatP4,n=n21, 4, 9, 16, 25, ...SegilimaP5,n=n(3n1)/21, 5, 12, 22, 35, ...SegienamP6,n=n(2n1)1, 6, 15, 28, 45, ...SegitujuhP7,n=n(5n3)/21, 7, 18, 34, 55, ...SegidelapanP8,n=n(3n2)1, 8, 21, 40, 65, ...Sebuah himpunan dari tiga buah bilangan dengan 4 digit: 8128, 2882, 8281, memiliki tiga sifat yang menarik.
Carilah himpunan yang mirip seperti himpunan di atas, namun mengandung enam buah bilangan 4 angka, yang merupakan himpunan siklik, dan memiliki bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan yang berbeda. Answer: caec17d84884addeec35c3610645ab63 Soal 62Digit-digit pada bilangan kubik, 41063625 (3453), dapat diacak untuk membuat dua bilangan kubik lain: 56623104 (3843) dan 66430125 (4053). Faktanya, 41063625 adalah bilangan kubik terkecil yang memiliki tiga buah bilangan kubik, hasil pengacakan semua digitnya . Carilah bilangan kubik terkecil, yang apabila digit-digitnya diacak, bisa menghasilkan lima bilangan kubik termasuk dengan bilangan itu sendiri. Answer: 8f46b522b5401b8b6df99a7410eea44b Soal 63Sebuah bilangan dengan 5 digit, 16807=75, juga merupakan hasil pangkat lima suatu bilangan lain. Hal yang serupa, bilangan 9 digit, 134217728=89, adalah hasil pangkat sembilan suatu bilangan lain. Berapa banyak bilangan positif n-digit, yang juga merupakan hasil pangkat n suatu bilangan? Answer: f457c545a9ded88f18ecee47145a72c0 Soal 64Semua akar kuadrat adalah periodik (berulang) saat ditulis dalam pecahan kontinu seperti berikut ini: N = a0 + 1 a1 +1 a2 +1 a3 + ...Sebagai contoh, perhatikan 23: 23 = 4 + 23 4 = 4 + 1 = 4 +1 1 1 +234 23 3 7 Jika kita melanjutkannya, maka kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut: 23 = 4 + 1 1 +1 3 +1 1 +1 8 + ...Dan proses di atas dapat dituliskan sebagai berikut: a0 = 4, 1 =234 23+4 =1 +7 233 a1 = 1,7 7 =233 7(23+3) =3 +14 233 a2 = 3,2 2 =233 2(23+3) =1 +14 234 a3 = 1,7 7 =234 7(23+4) =8 +234a4 = 8,7 1 =234 23+4 =1 +7 233 a5 = 1,7 7 =233 7(23+3) =3 +14 233 a6 = 3,2 2 =233 2(23+3) =1 +14 234 a7 = 1,7 7 =234 7(23+4) =8 +2347 Kita dapat menemukan bahwa terdapat pola berulang. Untuk memudahkan, kita gunakan lambang 23 = [4;(1,3,1,8)], untuk memberitahu bahwa blok (1,3,1,8) berulang sampai tak hingga kali Sepuluh representasi pecahan kontinu dari bilangan akar kuadrat (bilangan irasional) adalah: 2=[1;(2)], periode=1 Terdapat persis empat buah dari bentuk di atas, untuk N 13, yang memiliki periode ganjil. Berapakah banyaknya bentuk di atas, untuk N 10000 yang memiliki periode ganjil? Answer: dc960c46c38bd16e953d97cdeefdbc68 Soal 65Akar kuadrat dari 2 dapat ditulis sebagai pecahan kontinu. 2 = 1 + 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 + ...Pecahan kontinu tersebut dapat ditulis, 2 = [1;(2)], (2) menandakan bahwa 2 berulang secara ad infinitum (sampai tak hingga kali). Dengan proses yang sama, 23 = [4;(1,3,1,8)]. Ternyata teknik perhitungan akar kuadrat ini memberikan hasil rasional yang sangat mendekati nilai aslinya. Sebagai contoh kita akan melihat 2. 1 + 1 = 3/22 1 +1 = 7/52 +1 2 1 +1 = 17/122 +1 2 +1 2 1 +1 = 41/292 +1 2 +1 2 +1 2 Barisan dari sepuluh bilangan pertama yang konvergen ke 2 adalah: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ... Yang mengejutkan, sebuah konstanta penting dalam matematika dapat juga dinyatakan dalam blok berulang, yaitu Sepuluh bentuk pecahan pertama yang konvergen kek e adalah: 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ... Jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-10 adalah 1+4+5+7=17. Carilah jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-100, dari pecahan kontinu yang konvergen ke e. Answer: 7a614fd06c325499f1680b9896beedeb Soal 66Perhatikan sebuah persamaan kuadrat Diophantine sebagai berikut: x2 Dy2 = 1 Saat D=13, solusi minimal x adalah 6492 13×1802 = 1. Kita dapat asumsikan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat positif ketika D merupakan bilangan kuadrat. Dengan mencari solusi minimal x untuk D = {2, 3, 5, 6, 7}, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut: 32 2×22 = 1 Dapat kita lihat solusi minimal x di atas untuk D 7, hasil x terbesar kita dapatkan saat D=5. Carilah nilai D 1000, yang solusi minimal x nya merupakan solusi x terbesar. Answer: 3a066bda8c96b9478bb0512f0a43028c Soal 67Dengan dimulai dari sisi atas segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat bahwa jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23. 3 Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23. Carilah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa di atas, dari atas ke bawah pada segitiga [triangle.txt](/projecteuler/files/triangle.txt) (Klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), triangle.txt adalah sebuah berkas teks 15K yang memuat segitiga mirip seperti di atas sebanyak seratus baris. NOTE: Ini adalah versi lebih sulit dari [Soal 18](#problem-18). Kita tidak dapat menyelesaikan masalah ini dengan mencoba melakukan perhitungan pada jalur satu per satu, karena terdapat 299 kemungkinan jalur! Bahkan jika anda dapat memeriksa satu triliun (1012) rute per detik pun, anda memerlukan lebih dari dua puluh miliar tahun untuk memeriksa semuanya. Terdapat cara yang efisien untuk menyelesaikan masalah ini. ;o) Answer: 9d702ffd99ad9c70ac37e506facc8c38 Soal 68Perhatikan sebuah cincin 3-gon "ajaib" , berisi angka dari 1 sampai 6. Setiap angka pada satu garis lurus akan berjumlah sembilan. Dengan melihat garis yang titik luar dengan angka terkecil (4,3,2 pada contoh ini), lalu melihat berputar searah jarum jam, setiap gambar akan menghasilkan solusi unik. sebagai contoh, solusi dari bentuk di atas dapat dideskripsikan oleh himpunan: 4,3,2; 6,2,1; 5,1,3. Cincin di atas dapat dibuat dengan berbagai jumlah angka dalam satu garis lurus, yaitu: 9, 10, 11, and 12. Terdapat sebanyak delapan solusi untuk cincin di atas. Jumlah AngkaHimpunan Solusi94,2,3; 5,3,1; 6,1,294,3,2; 6,2,1; 5,1,3102,3,5; 4,5,1; 6,1,3102,5,3; 6,3,1; 4,1,5111,4,6; 3,6,2; 5,2,4111,6,4; 5,4,2; 3,2,6121,5,6; 2,6,4; 3,4,5121,6,5; 3,5,4; 2,4,6 Dengan merangkaikan setiap himpunan, kita bisa mendapatkan bilangan dengan 9 angka; dan angka terbesar untuk cincin 3-gon adalah 432621513. Dengan menggunakan angka dari 1 sampai 10, dan dengan mencoba berbagai macam susunan, kita dapat membuat bilangan dengan 16 atau 17 angka. Berapakah bilangan dengan 16 angka terbesar yang dapat dibentuk dari cincin 5-gon "ajaib"? Answer: 26227442c6fed0292a528ac3790175be Soal 69Fungsi Totient Euler, φ(n) [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ(9)=6. nRelatif Primaφ(n)n/φ(n)211231,221.541,32251,2,3,441.2561,52371,2,3,4,5,661.1666...81,3,5,74291,2,4,5,7,861.5101,3,7,942.5 Dapat kita lihat, bahwa saat n=6 kita mendapatkan nilai n/φ(n) terbesar, untuk n 10. Carilah nilai dari n 1,000,000 dimana nilai n/φ(n) merupakan yang terbesar. Catatan: Dua bilangan a dan b disebut relatif prima jika FPB(a,b)=1 Answer: bf08b01ead83cbd62a9839ca1cf35ada Soal 70Fungsi Totient Euler, φ(n) [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ(9)=6. Yang menarik, φ(87109)=79180, dan dapat kita lihat bahwa bilangan 87109 merupakan permutasi dari 79180. Carilah nilai dari n, 1 < n < 107, di mana φ(n) merupakan permutasi dari n dan rasionya n/φ(n) menghasilkan nilai terkecil. Answer: 1884dde67ced589082c8b7043abce181 Soal 71Misalkan suatu pecahan n/d, di mana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan: 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8 Dapat kita lihat bahwa 2/5 muncul persis di sebelah kiri dari 3/7. Dengan membuat daftar semua pecahan paling sederhana untuk d 1.000.000 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, carilah pembilang yang persis ada di sebelah kiri dari 3/7. Answer: 71f38fa2f04db30be52f883d583bfd6f Misalkan suatu pecahan, n/d, dimana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan: 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8 Dapat kita lihat bahwa terdapat 21 buah suku dalam barisan ini. Berapa banyak elemen yang ada dalam himpunan semua pecahan yang paling sederhana untuk d 1,000,000? Answer: 0384fb529dc651fe0f460acff3e9ac5d Misalkan suatu pecahan, n/d, dimana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan: 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8 Dapat kita lihat bahwa terdapat 3 pecahan lain antara 1/3 dan 1/2. Berapa banyak pecahan yang terdapat antara 1/3 dan 1/2, dalam himpunan terurut semua pecahan yang paling sederhana untuk d 12,000? Answer: 990a49eb474672444137fff1e5528a1b Bilangan 145 dikenal karena sifatnya yang menarik, yaitu jumlah faktorial dari semua digitnya juga sama dengan 145: 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145 Namun jika dihitung dengan cara serupa seperti di atas, sifat ini tidak langsung terlihat pada angka 169. Bahkan bilangan 169 menciptakan rantai terpanjang yang akan kembali ke 169; ternyata hanya terdapat tiga buah rantai (loop) yang bisa kembali ke angka awalnya: 169 363601 1454 169 Tidaklah sulit untuk membuktikan bahwa bilangan-bilangan lain akan memiliki rantai yang tidak kembali ke awal, jika dihitung dengan cara serupa di atas. Sebagai contoh, 69 363600 1454 169 363601 ( 1454) Jika rantai dibuat dengan angka awal 69, maka kita akan mendapatkan rantai yang berisi lima suku tidak berulang, dan diketahui bahwa rantai tidak berulang terpanjang yang dapat dibuat, dengan bilangan awal yang lebih kecil dari dari satu juta, memiliki enam puluh suku. Berapa banyak rantai, dengan angka awal lebih kecil dari satu juta, yang memiliki persis enam puluh suku tidak berulang? Answer: 69cb3ea317a32c4e6143e665fdb20b14 Diketahui bahwa 12 cm adalah panjang kawat terpendek yang bisa ditekuk untuk membentuk segitiga siku-siku yang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat. Berikut ini adalah beberapa contoh dari kawat lain. 12 cm: (3,4,5) Ada beberapa kawat, seperti yang memiliki panjang 20 cm, yang tidak bisa ditekuk untuk membentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya berupa bilangan bulat. Sementara itu beberapa kawat lainnya memungkinkan untuk ditekuk menjadi lebih dari satu macam segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya berupa bilangan bulat; sebagai contoh, kawat sepanjang 120 cm memungkinkan untuk dibuat menjadi tiga macam segitiga siku-siku yang panjang sisinya berupa bilangan bulat. 120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51) Diketahui L adalah panjang kawat. Berapakah banyak kawat dengan L 1,500,000 yang dapat membentuk persis satu buah segitiga siku-siku, yang panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat? Answer: 583e391a7bd87f785412f72f486433cb Kita dapat menuliskan lima sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan lain dengan enam cara: 4 + 1 Berapakah banyaknya cara bilangan seratus ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan lainnya? Answer: 18ed0f01e082beffe0049ae1272689d2 Kita dapat menuliskan sepuluh sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan prima dengan lima cara: 7 + 3 Berapakah bilangan terkecil yang dapat dituliskan sebagai jumlahan bilangan-bilangan prima dalam lebih dari lima ribu macam cara berbeda? Answer: e2c420d928d4bf8ce0ff2ec19b371514 Misalkan p(n) adalah banyaknya cara mengelompokkan n buah koin. Sebagai contoh, lima koin dapat dikelompokkan dalam tujuh cara yang berbeda, sehingga p(5)=7. Carilah nilai terkecil dari n, bila p(n) habis dibagi oleh satu juta. Answer: ef2a8695e428116131cc94c651d0e566 Teknik pengamanan yang umum digunakan untuk perbankan daring (online banking) adalah dengan cara menanyakan pengguna tiga karakter acak dari sandi nasabah itu. Sebagai contoh jika sandi yang digunakan adalah 531278, bank bisa menanyakan angka ke-2, ke-3, dan ke-5; sehingga jawaban yang diharapkan oleh bank adalah: 317. Sebuah berkas teks, [keylog.txt](/projecteuler/files/keylog.txt), berisi lima puluh proses login yang berhasil dari seorang nasabah bank. Diketahui bahwa tiga karakter yang diminta oleh bank selalu diambil secara berurutan dari kiri ke kanan (contoh : bank tidak bisa mengambil angka ke-2, ke-9, lalu ke-3, karena angka ke-9 harusnya diambil terakhir). Analisislah berkas tersebut, dan tentukan sandi yang paling pendek yang mungkin digunakan oleh nasabah tersebut. Answer: 3ccc6e16d99b21d42948f6d49b90fa30 Kita ketahui bahwa bila hasil akar kuadrat dari bilangan asli bukan merupakan bilangan bulat, maka akar kuadrat itu adalah bilangan irasional. Bentuk desimal dari akar kuadrat ini akan terus berlanjut tanpa ada pola yang berulang. Akar kuadrat dari dua adalah 1,41421356237309504880, dan penjumlahan dari seratus buah angka yang terletak di belakang koma adalah 475. Untuk seratus bilangan asli pertama, carilah jumlah dari seratus buah angka-angkanya yang terletak di belakang koma, hanya untuk akar kuadrat yang irasional. Answer: 6cc501a25298e4051886ef1a126e9484 Pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, misalkan kita menelusuri jalur yang dimulai dari ujung kiri atas, ke ujung kanan bawah. Saat menelusuri jalur kita hanya dapat berpindah ke kanan dan bawah. Jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil ditandai dengan warna merah, dan jumlahnya sama dengan 2427. Carilah jalur yang memiliki jumlah angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari ujung kiri atas, dan bergerak menuju ujung kanan bawah, serta hanya diperbolehkan untuk berpindah ke kanan dan ke bawah. Answer: f9ffec84499832add77e6a8bb00246ec CATATAN: Soal ini adalah versi yang lebih menantang dari [Soal 81](#soal-81). Jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, ditandai dengan angka berwarna merah; jumlahnya adalah 994. Jalur dapat dimulai di manapun pada kolom paling kiri, dan harus berakhir di manapun pada kolom paling kanan, dan hanya diperbolehkan untuk bergeser ke atas, bawah, dan kanan. Carilah jalur dengan hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari kolom paling kiri ke kolom paling kanan. Answer: e6b3b1cd89b018d4754cf63863f6690a CATATAN: Soal ini adalah versi yang jauh lebih menantang dari [Soal 81](#soal-81). Pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, dimulai dari pojok kiri atas, ke pojok kanan bawah, denagn bergerak ke kiri, kanan, atas, dan bawah, ditandai oleh angka berwarna merah, dan jumlahnya adalah 2297. Carilah jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari ujung kiri atas, ke ujung kanan bawah, dengan bergerak ke kiri, kanan, atas, dan bawah. Answer: 61b28c4fbe8560003ee50fa5619d7a1e Dalam permainan Monopoly, papan permainan standar yang digunakan adalah sebagai berikut: Seorang pemain mulai dari petak GO, lalu jumlah dari dua buah dadu bermuka enam yang dilemparkan akan menjadi jumlah petak yang harus dilalui oleh pemain tersebut. Petak-petak harus dilalui searah jarum jam. Kita dapat mengunjungi semua petak dengan probabilitas yang sama, yaitu: 2.5%. Tetapi, berada di G2J (Go To Jail/Masuk Penjara), CC (community chest/dana umum), dan CH (chance/kesempatan) akan membuat peluang berubah. Selain G2J, dan satu kartu dari CC serta CH, ada cara lain yang bisa membuat pemain untuk masuk PENJARA, yaitu jika pemain tiga kali berturut-turut memperoleh dadu yang kedua angkanya sama, mereka tidak maju pada putaran dadu ketiga, tetapi mereka langsung menuju ke kotak PENJARA. Saat memulai permainan, tumpukan kartu CC dan CH diacak. Saat pemain sampai di kotak CC atau CH, ia akan mengambil satu kartu paling atas dari tumpukan yang sesuai, lalu setelah mengikuti petunjuk yang tertera pada kartu, kartu dikembalikan ke tumpukan yang paling bawah. Terdapat enam belas kartu dalam setiap tumpukan, namun dalam soal ini, kita hanya mempedulikan kartu yang bisa mempengaruhi perpindahan petak dari pemain; segala kartu yang isinya tidak berkaitan dengan perpindahan petak, tidak akan dipedulikan, dan pemain akan tetap berada di petak CC/CH. Masalah utama dari soal ini berkaitan dengan kemungkinan untuk mengunjungi petak tertentu setelah melakukan putaran dadu. Perlu dijelaskan, bahwa dengan mengabaikan petak G2J, karena petak ini tidak mungkin menjadi petak yang ditempati setelah pemain memutar dadu, sehingga petak G2J akan mempunyai probabilitas nol untuk disinggahi setelah dadu diputar. Petak CH akan memiliki peluang paling kecil untuk ditempati, karena 10 dari 16 kartu pada chance/kesempatan akan membuat pemain pindah ke petak lain, dan kita hanya akan menghitung posisi paling akhir dari setiap putaran dadu pemain. Kita tidak akan membuat perbedaan antara "hanya sekedar lewat" dengan masuk ke PENJARA, dan kita juga akan mengabaikan aturan yang mengharuskan pemain memiliki dadu kembar untuk "keluar dari penjara", dengan asumsi semua pemain pasti membayar untuk keluar dari penjara. Dengan memulai dari petak GO, lalu memberi nomor untuk setiap petak secara berurutan dari 00 ke 39, kita dapat merangkaikan bilangan dua digit tersebut, untuk membentuk untai yang akan melambangkan petak-petak yang telah dikunjungi. Secara statistik, dapat ditunjukan tiga petak yang paling populer dikunjungi. Secara berurutan petak tersebut adalah, PENJARA (6.24%) = petak ke-10, E3 (3.18%) = petak ke-24, dan petak GO (3.09%) = petak ke-00. Sehingga ketiga petak yang paling sering dikunjungi tersebut dapat ditulis dengan bilangan enam digit: 102400. Jika kita tidak menggunakan dadu bermuka enam, dan kedua dadu diganti menjadi dadu bermuka empat, carilah bilangan enam digit yang melambangkan kotak yang paling sering dikunjungi seperti di atas. Answer: ead3264438ef83a8c2da2e98067b4445 Dengan menghitung secara teliti, dapat terlihat bahwa terdapat delapan belas segi empat, pada kisi berukuran 3 x 2: Tidak ada kisi yang bisa menghasilkan persis dua juta segi empat. Namun carilah ukuran kisi yang bisa menghasilkan segi empat mendekati dua juta buah, lalu hitunglah luas kisi tersebut. Answer: 92bf5e6240737e0326ea59846a83e076 Seekor laba-laba ditandai dengan huruf S, berada pada salah satu pojok ruangan berbentuk balok, dengan ukuran 6 x 5 x 3, dan seekor lalat ditandai dengan huruf F, berada di pojok seberangnya. Dengan berjalan pada permukaan ruangan, panjang jalur terpendek yang berupa "garis lurus" dari S ke F adalah 10, dan jalurnya ditunjukkan pada gambar. Terdapat sampai tiga pilihan jalur terpendek untuk setiap balok, dan jalur terpendek dari pilihan tersebut terkadang bukanlah merupakan bilangan bulat. Jika rotasi dari balok diabaikan, bisa ditunjukkan bahwa ada 2060 balok berbeda, untuk balok yang memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat berukuran maksimum M x M x M (semua jalur terpendek adalah bilangan bulat), untuk M = 100. Ini adalah nilai M paling kecil, yang bisa menghasilkan jalur terpendek berupa bilangan bulat lebih besar dari dua ribu buah; jumlah jalur terpendek saat M = 99 adalah 1975. Carilah nilai M terkecil sehingga jumlah jalur terpendek yang ada banyaknya melebihi satu juta (jalur harus berupa bilangan bulat). Answer: f5c3dd7514bf620a1b85450d2ae374b1 Bilangan terkecil yang dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan kuadrat bilangan prima, pangkat tiga bilangan prima, dan pangkat empat bilangan prima adalah 28. Dan hanya terdapat persis empat bilangan kurang dari lima puluh yang bisa dituliskan dengan cara di atas: 28 = 22 + 23 + 24 Berapa banyak bilangan yang lebih kecil dari lima puluh juta, yang bisa dituliskan sebagai hasil penjumlahan kuadrat bilangan prima, pangkat tiga bilangan prima, dan pangkat empat bilangan prima? Answer: e7fb7907f1af626cc42e787e367ec602 Sebuah bilangan asli N, yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dan perkalian dari himpunan bilangan asli lain, {a1, a2, ... , ak} disebut bilangan hasilkali-jumlahan: N = a1 + a2 + ... + ak = a1 × a2 × ... × ak. Sebagai contoh, 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3. Jika banyaknya bilangan asli lain yang bisa digunakan adalah k, kita harus mencari bilangan N terkecil yang bisa memenuhi sifat hasilkali-jumlahan. Bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk nilai k = 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah sebagai berikut. k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2 Kemudian untuk 2k6, jumlah semua bilangan hasilkali-jumlahan terkecilnya adalah 4+6+8+12 = 30; perhatikan bahwa 8 hanya dihitung sekali dalam penjumlahan tersebut. Contoh lainnya, himpunan bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk 2k12 adalah {4, 6, 8, 12, 15, 16}, dan jumlahnya adalah 61. Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk 2k12000? Answer: ffde7251f43906d31534ae69fa555757 Sebuah bilangan Romawi dapat dianggap sahih apabila mengikuti beberapa aturan dasar. Walaupun mungkin aturan tersebut akan membuat beberapa bilangan dapat ditulis dengan lebih dari satu cara, namun pasti terdapat cara penulisan "terbaik" dari bilangan tersebut. Sebagai contoh, terdapat setidaknya enam cara untuk menulis angka enam belas: IIIIIIIIIIIIIIII Tetapi, berdasarkan aturan, hanya XIIIIII dan XVI yang valid, dan XVI dianggap sebagai cara penulisan yang paling efisien, karena cara penulisan ini menggunakan huruf yang paling sedikit. Sebuah berkas teks berukuran 11K, [roman.txt](/projecteuler/files/roman.txt), berisi seribu bilangan Romawi yang sahih, tetapi belum tentu paling efisien, lihat (see [About Roman Numerals](/projecteuler/files/about_roman_numerals.txt) untuk mengetahui aturan-aturan dasar apa saja yang digunakan pada soal ini. Carilah banyaknya huruf yang bisa dihemat, apabila semua bilangan Romawi pada berkas teks tersebut ditulis dengan cara yang paling efisien. Catatan: Anda dapat mengasumsikan semua bilangan Romawi yang ada di berkas teks tersebut tidak ada yang memiliki empat huruf yang sama secara berurutan. Answer: 5c572eca050594c7bc3c36e7e8ab9550 Setiap sisi pada kubus ditulisi angka yang berbeda (0 sampai 9); hal yang sama dilakukan pada kubus yang kedua. Dengan meletakkan kedua kubus secara bersebelahan pada berbagai posisi yang berbeda, kita dapat membentuk berbagai macam bilangan 2 digit. Sebagai contoh, bilangan kuadrat 64 dapat dibentuk dengan cara: Dengan memilih angka pada kubus secara saksama, kita dapat menampilkan semua bilangan kuadrat kurang dari seratus: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, and 81. Sebagai contoh, salah satu caranya adalah dengan menuliskan {0, 5, 6, 7, 8, 9} pada kubus yang pertama dan {1, 2, 3, 4, 8, 9} pada kubus yang lainnya. Tetapi, untuk soal ini, kita harus memperbolehkan untuk membalik angka 6 atau 9, sehingga susunan {0, 5, 6, 7, 8, 9} dan {1, 2, 3, 4, 6, 7} dapat menghasilkan kesembilan bilangan kuadrat di atas; apabila tidak diperbolehkan, akan mustahil untuk membentuk bilangan 09. Saat menentukan susunan kubus yang berbeda, kita hanya memperhatikan angka-angka pada setiap kubus, bukan posisinya. {1, 2, 3, 4, 5, 6} sama dengan {3, 6, 4, 1, 2, 5} Namun karena kita memperbolehkan angka 6 dan 9 untuk dibalik, maka dua himpunan berbeda pada contoh terakhir, keduanya akan dianggap sebagai himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} saat digunakan untuk membentuk bilangan 2 digit. Berapa banyak susunan kubus yang berbeda yang diperlukan supaya semua bilangan kuadrat dapat ditampilkan? Answer: 6a61d423d02a1c56250dc23ae7ff12f3 Soal 91Titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) memiliki koordinat berupa bilangan bulat, dan apabila digabung dengan titik asal, O(0,0), akan terbentuk ΔOPQ. Terdapat persis empat belas segitiga siku-siku, yang dapat dibentuk jika koordinat berada di antara selang tertutup antara 0 dan 2; atau dapat ditulis Diberikan 0 x1, y1, x2, y2 50, berapa banyak segitiga siku-siku yang dapat dibentuk? Answer: e8dc153260a59d4f236cfd7439d5dfd3 Soal 92Sebuah rantai angka dapat dibuat dengan menjumlahkan terus menerus hasil kuadrat digit-digit dalam suatu bilangan, untuk membentuk bilangan baru, dan berhenti sampai ada bilangan sama yang muncul kembali. Sebagai contoh, 44 32 13 10 1 1 Karena itu, semua rantai yang terdapat bilangan 1 atau 89 akan terus menerus berputar. Yang istimewa adalah APAPUN angka mulainya, apabila dikerjakan dengan cara di atas, akan selalu tiba di 1 atau 89. Berapa banyak bilangan awal dalam rantai seperti ini, yang besarnya kurang dari sepuluh juta, yang berakhir pada 89? Answer: 6cee918c0612bccc2dac03d05e07035f Soal 93Dengan menggunakan semua bilangan dari himpunan {1, 2, 3, 4} masing-masing satu kali, dan menggunakan semua operasi aritmatika yang ada (+, , *, /) serta dengan menggunakan tanda kurung, kita dapat membuat bilangan bulat positif baru. Sebagai contoh, 8 = (4 * (1 + 3)) / 2 Perhatikan bahwa perangkaian digit, seperti 12 + 34, adalah tidak diperbolehkan. Menggunakan himpunan, {1, 2, 3, 4}, kita dapat mendapatkan tiga puluh satu buah bilangan bulat baru berbeda, dan bilangan 36 adalah yang paling besar, dan semua angka dari 1 sampai 28 masih bisa dibentuk oleh himpunan tersebut, sebelum akhirnya tidak ada lagi bilangan yang bisa dibentuk. Carilah himpunan empat digit berbeda, a < b < c < d, di mana himpunan tersebut dapat menghasilkan bilangan-bilangan baru berurutan yang paling panjang, dari 1 sampai n. Berikan jawaban anda dalam format tulisan: abcd. Answer: 26588e932c7ccfa1df309280702fe1b5 Soal 94Kita dapat dengan mudah membuktikan, bahwa tidak terdapat segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi dan luas berupa bilangan bulat. Namun, terdapat segitiga yang hampir sama sisi 5-5-6 dan memiliki luas 12 satuan. Kita akan menetapkan, bahwa sebuah segitiga yang hampir sama sisi adalah sebuah segitiga yang dua buah sisinya sama panjang, dan panjang sisi ketiganya boleh berbeda tidak lebih dari satu satuan panjang dengan sisi lainnya. Carilah jumlah keliling dari semua segitiga yang hampir sama sisi, yang memiliki panjang sisi dan luas berupa bilangan bulat, dan keliling masing-masing segitiganya tidak melebihi satu miliar (1.000.000.000). Answer: 3218c6bb59f2539ec39ad4bf37c10913 Soal 95Pembagi wajar dari suatu bilangan adalah kumpulan semua bilangan yang dapat membaginya habis, kecuali bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, pembagi wajar dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, dan 14. Lalu karena jumlah semua pembagi wajar tersebut juga sama dengan 28, kita dapat menyebut bilangan tersebut adalah bilangan sempurna. Menariknya, hasil penjumlahan dari semua pembagi wajar 220 adalah 284 dan hasil penjumlahan dari semua pembagi wajar 284 adalah 220, terdapat rantai antara kedua bilangan tersebut. Karena adanya rantai tersebut, 220 dan 284 dapat disebut pasangan akrab. Terdapat contoh bilangan lain yang dapat membentuk rantai lebih panjang. Sebagai contoh, dimulai dari 12496, kita dapat membentuk rantai dengan panjang lima bilangan: 12496 14288 15472 14536 14264 ( 12496 ) Karena rantai ini kembali ke angka awalnya, maka rantai ini akan disebut rantai akrab. Carilah bilangan terkecil, yang dapat membuat rantai akrab terpanjang, yang bilangan-bilangan pada rantainya tidak melebihi satu juta. Answer: cd2018beeece5fb0a71a96308e567bde Soal 96Su Doku (jika diterjemahkan dari bahasa Jepang berarti letak angka) adalah nama yang diberikan untuk sebuah konsep teka-teki yang populer. Asal mulanya tidak diketahui, namun kita harus menghargai jasa Leonhard Euler yang menemukan ide teka-teki hampir serupa, dan lebih menantang, yang disebut kotak-kotak Latin ("Latin Squares"). Tujuan dari teka-teki Su Doku adalah untuk mengganti kotak kosong (atau nol) dalam kotak-kotak berukuran 9 x 9 dan pada setiap baris, kolom, dan kotak ukuran 3 x 3, terdapat semua angka dari 1 sampai 9. Berikut ini adalah contoh dari awal teka-teki, dan solusinya. 0 0 3 9 0 0 0 0 10 2 0 3 0 5 8 0 66 0 0 0 0 1 4 0 00 0 8 7 0 0 0 0 61 0 2 0 0 0 7 0 89 0 0 0 0 8 2 0 00 0 2 8 0 0 0 0 56 0 9 2 0 3 0 1 05 0 0 0 0 9 3 0 0 4 8 3 9 6 7 2 5 19 2 1 3 4 5 8 7 66 5 7 8 2 1 4 9 35 4 8 7 2 9 1 3 61 3 2 5 6 4 7 9 89 7 6 1 3 8 2 4 53 7 2 8 1 4 6 9 56 8 9 2 5 3 4 1 75 1 4 7 6 9 3 8 2 Sebuah teka-teki Su Doku yang baik memiliki solusi yang unik dan dapat diselesaikan oleh logika, walaupun terkadang diperlukan cara "coba-coba" dalam mencari solusi yang ada. Tingkat kesulitan dari teka-teki ini ditentukan oleh kerumitan mencari solusi; contoh di atas dapat dianggap sebagai contoh mudah karena dapat diselesaikan secara langsung, dengan mengamati kotak satu per satu. Sebuah berkas teks berukuran 6K, [sudoku.txt](/projecteuler/files/sudoku.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), berisi lima puluh teka-teki Su Doku berbeda, dari berbagai tingkat kesulitan, namun semua teka-teki tersebut memiliki solusi yang berbeda (teka-teki yang pertama sama dengan contoh di atas). Dengan menyelesaikan kelima puluh teka-teki yang ada, carilah jumlah dari semua 3 angka pertama pada pojok kiri atas; sebagai contoh, pada contoh teka-teki di atas, 3 angka pertama pada pojok kiri atasnya adalah 483. Answer: 26f6abfa0d7725fef678e371897d5df0 Soal 97Bilangan prima pertama yang memiliki lebih dari satu juta digit telah berhasil ditemukan pada tahun 1999. Bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yaitu 269725931; bilangan tersebut memiliki persis 2.098.960 digit. Kemudian bilangan prima Mersenne lainnya, dengan bentuk 2p1, telah ditemukan, dan bilangan tersebut memiliki digit yang lebih banyak. Namun, pada tahun 2004 ditemukan sebuah bilangan prima bukan Mersenne besar yang memiliki 2.357.207 digit: 28433×27830457+1. Carilah sepuluh angka terakhir dari bilangan prima ini. Answer: 68c8c919526039022b923a72d5cc12b1 Soal 98Dengan menukarkan setiap huruf dalam kata CARE dengan angka 1, 2, 9, dan 6 secara berurutan, kita dapat membentuk sebuah bilangan kuadrat: 1296 = 362. Yang mengesankan adalah, dengan menggunakan aturan penukaran yang sama, kata RACE, juga akan membentuk sebuah bilangan kuadrat: 9216 = 962. Kita akan menyebut kata CARE (dan RACE) sebagai kata kuadrat anagramik. Perlu diketahui bahwa digit pertama nol tidak diizinkan, dan juga tidak diperbolehkan untuk memberikan digit yang sama pada huruf yang berbeda. Menggunakan [words.txt](/projecteuler/files/words.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas teks berukuran 16K yang berisi hampir dua ribu kata dalam bahasa Inggris, carilah semua pasangan kata kuadrat anagramik (kata yang palindrom, TIDAK dianggap sebagai anagram dari dirinya sendiri). Berapakah bilangan kuadrat terbesar yang ada? CATATAN: Semua anagram yang mungkin terbentuk pasti sudah ada dalam berkas teks tersebut. Answer: 36b3b5f54143786b7ab2ebb6bcd06e75 Soal 99Membandingkan dua buah bilangan dalam bentuk perpangkatan seperti 211 dan 37 tidaklah sulit, karena hampir semua kalkulator dapat membuktikan 211 = 2048 < 37 = 2187. Tetapi, membuktikan 632382518061 > 519432525806 akan lebih sulit, karena kedua bilangan memiliki lebih dari tiga juta digit. Menggunakan [base_exp.txt](/projecteuler/files/base_exp.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas teks berukuran 22K yang berisi seribu baris pasangan bilangan dengan pangkatnya, carilah baris ke berapakah yang memiliki hasil paling besar. CATATAN: dua baris pertama pada berkas teks tersebut adalah sama seperti bilangan contoh di atas. Answer: 1ecfb463472ec9115b10c292ef8bc986 Soal 100Sebuah kotak berisi dua puluh satu cakram berwarna, yang terdiri dari lima belas cakram biru, dan enam cakram merah, dan dua cakram diambil secara acak secara satu persatu. Dapat terlihat peluang untuk mengambil dua cakram biru, P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2. Susunan lainnya, dengan peluang untuk mendapatkan cakram biru juga 50% , adalah sebuah kotak yang berisi delapan puluh lima cakram biru, dan tiga puluh lima cakram merah. Carilah susunan lainnya yang berisi lebih dari 1012 = 1,000,000,000,000 buah cakram, dan tentukan berapakan jumlah cakram biru dalam kotak tersebut, sehingga peluang mengambil dua cakram biru juga 50%. Answer: 21156e3acc4ca35b7a318c541a0648d5 Soal 101Jika kita diberikan k buah suku pertama dari suatu barisan bilangan, tidak mungkin kita dapat menentukan nilai dari suku selanjutnya, karena terdapat tak terhingga kemungkinan rumus suku banyak yang bisa sesuai dengan barisan tersebut. Misalnya kita lihat barisan bilangan kubik. Barisan ini dibentuk dengan fungsi pembangkit Misalkan kita hanya diberikan dua suku pertama dari barisan ini. Dengan menerapkan prinsip "makin sederhana makin baik" kita mungkin akan beranggapan bahwa barisan tersebut adalah barisan linear, dan memprediksi suku selanjutnya adalah 15 (karena memiliki beda yang sama, yaitu 7). Bahkan jika kita diberikan tiga suku pertama, dengan prinsip "makin sederhana makin baik", kita mungkin bisa beranggapan bahwa hubungan barisan tersebut adalah hubungan kuadrat. OP(k, n) adalah fungsi yang akan memiliki k buah suku pertama yang benar saat dicocokkan dengan barisan, jika nilai n disubtitusikan. OP(k, n) akan memiliki suku yang sesuai untuk n k, dan kemungkinan suku yang tidak sesuai pertama akan ditemukan saat OP(k, k+1); yang dalam soal ini akan disebut sebagai bad OP (BOP), yang berarti suku banyak optimum yang keliru. Sebagai contoh, jika kita hanya diberikan suku pertama dari barisan, kita mungkin akan menganggap barisan tersebut memiliki rumus konstan; sehingga, untuk n 2, OP(1, n) = u1. Sehingga kita dapat menghitung OP untuk barisan bilangan kubik berikut: OP(1, n) = 11, 1, 1, 1, ...OP(2, n) = 7n61, 8, 15, ...OP(3, n) = 6n211n+61, 8, 27, 58, ...OP(4, n) = n31, 8, 27, 64, 125, ... Dapat terlihat bahwa tidak ada kesalahan lagi (tidak ada BOP) saat k 4. Dengan menjumlahkan suku-suku pertama yang salah, saat dibuat rumus OP (ditandai dengan warna merah pada bagian di atas), kita akan mendapatkan 1 + 15 + 58 = 74. Misalkan terdapat sebuah fungsi pembangkit suku banyak derajat sepuluh: un = 1 n + n2 n3 + n4 n5 + n6 n7 + n8 n9 + n10 Carilah jumlah suku-suku pertama yang salah, saat dibuat rumus OP. Answer: d382b0cc25e82446da83d3a792e1cd27 Soal 102Tiga titik berbeda ditaruh secara acak pada bidang kartesius, di mana tiap titik memiliki koordinat (x,y) memenuhi -1000 x, y 1000, sedemikian rupa sehingga ketiganya membentuk segitiga. Misalkan terdapat dua segitiga: A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947) X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645) Dapat dibuktikan bahwa segitiga ABC mengurung titik asal O(0,0), dan segitiga XYZ tidak. Dengan menggunakan triangles.txt (klik kanan dan pilih Save Link/Target As), sebuah berkas teks berukuran 27K yang berisi koordinat dari seribu buah segitiga acak, carilah banyaknya segitiga yang mengurung titik asal O(0,0). CATATAN: dua contoh pertama pada berkas teks sama dengan contoh di atas. Answer: 74db120f0a8e5646ef5a30154e9f6deb Soal 103Misalkan S(A) adalah melambangkan penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:
Jika S(A) bisa diminimumkan untuk suatu nilai n, maka kita akan menyebut bahwa himpunan tersebut memiliki penjumlahan istimewa optimal. Lima penjumlahan istimewa optimal pertama adalah sebagai berikut. n = 1: {1} Dapat terlihat bahwa untuk suatu himpunan optimal, A = {a1, a2, ... , an}, himpunan optimal selanjutnya adalah B = {b, a1+b, a2+b, ... ,an+b}, di mana b adalah anggota "tengah" dari baris sebelumnya. Dengan menerapkan "aturan" ini, kita bisa menduga bahwa himpunan optimum selanjutnya untuk n = 6 akan menjadi A = {11, 17, 20, 22, 23, 24}, dengan S(A) = 117. Tetapi, ternyata himpunan ini bukanlah yang paling optimal, karena kita hanya menggunakan algoritma yang membuat himpunan mendekati optimal. Himpunan optimal untuk n = 6 adalah A = {11, 18, 19, 20, 22, 25}, dengan S(A) = 115 dan untai himpunan yang terkait adalah: 111819202225. Misalnya A adalah himpunan istimewa optimal untuk n = 7, maka carilah untai himpunannya. CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 105 dan Soal 106. Answer: af8c238336c2a79bb81a24b3fef3330d Soal 104Barisan Fibonacci bisa didapat dari hubungan berikut: Fn = Fn1 + Fn2, di mana F1 = 1 dan F2 = 1. Ditemukan bahwa F541, yang memiliki 113 digit, adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit terakhirnya adalah pandigital 1-9 (mengandung semua angka dari 1 sampai 9, namun tidak harus berurutan). Dan F2749, yang memiliki 575 digit, adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit pertamanya adalah pandigital 1-9. Diketahui Fk adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit pertama DAN sembilan digit terakhirnya adalah pandigital 1-9, carilah nilai k. Answer: c8771ddd4df191098d70a8e94dd1cde7 Soal 105Misalkan S(A) melambangkan hasil penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:
Sebagai contoh, {81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65} bukanlah himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, sebab dapat ditemukan 65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84, contoh lain {157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158} memenuhi kedua sifat di atas untuk semua kombinasi himpunan bagian yang mungkin, dan S(A) = 1286. Menggunakan [sets.txt](/projecteuler/files/sets.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 4K yang berisi seratus himpunan yang memiliki tujuh sampai dua belas anggota (dua contoh di atas adalah dua himpunan pertama dalam berkas tersebut), carilah semua himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, A1, A2, ..., Ak, dan carilah nilai dari S(A1) + S(A2) + ... + S(Ak). CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 106. Answer: c87d30e494eff438fe37b4c810167da0 Soal 106Misalkan S(A) adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:
Untuk soal ini, kita akan asumsikan bahwa himpunan dengan n anggota berisi bilangan yang terus membesar, dan pasti memenuhi sifat kedua. Mengejutkan bahwa dari 25 pasangan himpunan bagian yang ada, yang bisa didapat dari himpunan dengan n = 4, hanya 1 dari pasangan tersebut yang perlu diuji untuk sifat pertama. Sementara itu, saat n = 7, hanya 70 dari 966 himpunan bagian yang ada yang perlu diuji. Untuk n = 12, berapa banyak pasangan yang perlu diuji dengan sifat pertama, dari 261625 pasangan himpunan bagian yang ada? NOTE: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 105. Answer: c8fd9e36fdeb06bcc93a0732c667b6d8 Soal 107Jaringan takberarah berikut ini memiliki dari tujuh verteks (titik) dan dua belas rusuk with a total bobot 243. Jaringan di atas dapat dilambangkan pula sebagai matriks berikut ini. ABCDEFGA-161221---B16--1720--C12--28-31-D211728-181923E-20-18--11F--3119--27G---231127-Kita dapat menyederhanakan jaringan tersebut dengan membuang beberapa rusuk, dan semua verteks masih tetap terhubung. Jaringan yang paling sederhana ditunjukkan pada gambar di bawah. Jaringan ini memiliki bobot 93, dan dapat menghemat 243 93 = 150 bobot, dari jaringan mula-mula. Menggunakan [network.txt](/projecteuler/files/network.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas berukuran 6K berisi sebuah jaringan dengan empat puluh verteks, dan diberikan dalam bentuk matriks, carilah jumlah penghematan maksimum yang dapat dilakukan, dengan membuang beberapa ruas namun dengan memastikan bahwa semua verteks tetap terhubung. Answer: b0db1202ec966e7855ca23626eb285b8 Soal 108Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif. 1 1 1
+ =
x y n
Untuk n = 4 terdapat persis empat solusi berbeda: 1 1 1
+ =
5 20 4
1 1 1
+ =
6 12 4
1 1 1
+ =
8 8 4
Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi seribu buah? CATATAN: Soal ini adalah versi lebih mudah dari Soal 110; dan sangat disarankan Anda menyelesaikan soal ini terlebih dahulu. Answer: 765ba18edd2844db2db95fba25d2f3e7 Soal 109Dalam permainan darts, seorang pemain akan melempar tiga batang dart (panah kecil) ke papan target yang dibagi menjadi dua puluh bagian yan g sama besar, diberi angka dari satu sampai dua puluh. Nilai dari sebatang dart ditentukan dari angka yang dimiliki oleh daerah tempat dart tersebut mendarat. Jika dart mendarat di luar lingkaran merah/hijau, maka pemain akan mendapat nilai nol. Daerah berwarna hitam dan krim dalam lingkaran akan mengalikan nilai dengan satu. Tetapi, garis merah/hijau pada bagian luar dan bagian tengah lingkaran akan melipatgandakan nilai, masing-masing menjadi dua kali (double) dan tiga kali (treble). Pada tengah-tengah papan, terdapat dua lingkaran sepusat yang disebut bull region, atau bulls-eye. Bagian luar bull bernilai 25 poin, dan bagian dalam bull adalah double bull dan bernilai dua kali lipatnya, yaitu 50 poin. Terdapat berbagai variasi dari aturan yang ada, namun aturan yang paling sering digunakan adalah para pemain akan mulai dengan skor 301 atau 501, dan pemain pertama yang bisa mengurangi skornya sampai nol adalah pemenangnya. Tetapi, setiap pemain harus memperhatikan sistem "doubles out", di mana setiap pemain harus mendaratkan dart terakhir mereka di mana saja yang memiliki nilai double(termasuk double bulls-eye berwarna merah di tengah papan) untuk menang; setiap tiga dart yang membuat nilai total pemain menjadi satu atau kurang dari satu, akan mengakibatkan skor ketiga dart tersebut diabaikan ("bust"). Saat seorang pemain dapat menyelesaikan permainannya, hal itu disebut "checkout" dan skor checkout tertinggi yang bisa didapat adalah 170: T20 T20 D25 (dua treble 20s dan double bull). Terdapat sebelas cara berbeda untuk melakukan checkout pada nilai 6: D3 D1D2S2D2D2D1S4D1S1S1D2S1T1D1S1S3D1D1D1D1D1S2D1S2S2D1 Perhatikan bahwa D1 D2 dianggap berbeda dengan D2 D1, karena mereka selesai di double yang berbeda. Tetapi, kombinasi S1 T1 D1 dianggap sama dengan T1 S1 D1. Sebagai tambahan, kita tidak akan mengikut sertakan dart yang meleset dalam kombinasi; sebagai contoh, D3 adalah sama dengan 0 D3 dan 0 0 D3. Luar biasanya, ternyata terdapat 42336 cara berbeda untuk melakukan checkout. Berapa banyak cara pemain dapat melakukan checkout pada nilai kurang dari 100? Answer: e6aebd5be1ba81557dbcc5f6f57bbe5c Soal 110Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif. 1 1 1
+ =
x y n
Dapat dibuktikan bahwa saat n = 1260 terdapat 113 buah solusi berbeda, dan ini adalah merupakan nilai n terkecil yang akan menghasilkan solusi berbeda sebanyak lebih dari seratus buah. Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi empat juta? CATATAN: Soal ini adalah versi yang lebih sulit dari Soal 108 dan tidak memungkinkan untuk diselesaikan dengan cara mencoba satu persatu, perlu cara yang cerdas untuk menyelesaikan soal ini. Answer: 591a7a92f10322866e6a02f3b2386a1c Soal 111Apabila suatu bilangan prima 4-digit memiliki digit yang berulang, jelas bahwa tidak mungkin keempat digit tersebut semuanya sama: 1111 habis dibagi 11, 2222 habis dibagi 22, dan seterusnya. Namun terdapat sembilan buah bilangan prima 4-digit yang memiliki tiga buah digit satu: 1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111 Kita akan menyatakan bahwa M(n, d) melambangkan banyak maksimal dari digit yang berulang untuk bilangan prima digit-n, di mana d adalah digit yang akan berulang, N(n, d) melambangkan banyaknya bilangan prima tersebut, dan S(n, d) melambangkan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut. Sehingga M(4, 1) = 3 adalah jumlah maksimal digit yang boleh berulang, untuk bilangan prima 4 digit, di mana digit berulangnya adalah satu, terdapat N(4, 1) = 9 buah bilangan prima yang memenuhi sifat sebelumnya, dan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut adalah S(4, 1) = 22275. Lalu untuk d = 0, digit tersebut hanya memungkinkan diulang M(4, 0) = 2 kali, namun terdapat N(4, 0) = 13 buah bilangan prima pada kasus tersebut. Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan hasil berikut untuk bilangan prima 4-digit. Digit, dM(4, d)N(4, d)S(4, d)02136706113922275231222133124621443288885315557631666173957863831888793748073 Untuk d = 0 sampai 9, jumlah semua bilangan primanya S(4, d) adalah 273700. Carilah jumlah dari semua S(10, d). Answer: cdf4d134a3b0caa10a69e2771ac4fd36 Soal 112Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468. Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420. Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan bouncy; sebagai contoh, 155349. Jelas bahwa tidak mungkin ada bilangan bouncy yang lebih kecil dari seratus. Namun hampir separuh dari bilangan di bawah seribu adalah bilangan bouncy (525 buah). Pada kenyataannya, pada bilangan 538 untuk pertama kalinya persentase bilangan bouncy di bawahnya menjadi 50%. Cukup mengejutkan bahwa bilangan bouncy menjadi semakin sering ditemui saat kita sampai ke bilangan 21780. Pada titik tersebut, persentase banyaknya bilangan bouncy di bawahnya adalah 90%. Carilah pada bilangan berapa, proporsi bilangan bouncy di bawahnya akan menjadi 99%? Answer: e08c982713a1c2bd3637dd489199722e Soal 113Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468. Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420. Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan "bouncy" sebagai contoh, 155349. Saat nilai n semakin meningkat, banyaknya bilangan bouncy yang lebih kecil dari n juga akan semakin meningkat, sebagai contoh, hanya ada 12951 buah bilangan yang lebih kecil dari satu juta yang bukan merupakan bilangan bouncy, dan hanya terdapat 277032 buah bilangan yang lebih kecil dari 1010 yang bukan merupakan bilangan bouncy. Berapakah banyaknya bilangan yang lebih kecil dari 10100 yang bukan merupakan bilangan bouncy? Answer: a9e504ee704c87f9bddad6d3ffe39532 Soal 114Suatu barisan kotak dengan panjang tujuh satuan, yang memiliki kotak merah yang panjang minimalnya tiga satuan. Jika terdapat dua bagian ko tak berwarna merah (dimana kedua kotak merah boleh memiliki panjang berbeda), kedua bagian tersebut harus dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam. Terdapat persis tujuh belas kombinasi dari masalah ini. Berapa banyak cara mengisi kotak merah pada sebuah barisan kotak dengan panjang lima puluh satuan dengan aturan di atas? CATATAN: Belum terlihat pada contoh di atas, bahwa Anda diperbolehkan untuk menggunakan dua bagian kotak merah berbeda ukuran. Sebagai contoh, pada blok kotak berukuran delapan satuan panjang, anda dapat menggunakan susunan merah (3), hitam (1), dan merah (4). Answer: de48ca72bf252a8be7e0aad762eadcf8 Soal 115CATATAN: Ini adalah versi yang lebih menantang dari Soal 114. Sebuah barisan kotak berukuran n satuan panjang berisi kotak merah dengan panjang minimal m satuan, dan barisan tersebut boleh memiliki dua bagian kotak merah yang wajib dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam (kedua bagian kotak merah boleh memiliki panjang berbeda). Misalkan terdapat fungsi F(m, n), yang merupakan banyaknya cara barisan kotak berukuran n tersebut dapat diisi. Sebagai contoh, F(3, 29) = 673135 dan F(3, 30) = 1089155. Dari fungsi di atas terlihat, bahwa saat m = 3, nilai n = 30 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara. Denagn cara yang sama, untuk m = 10, dapat dibuktikan bahwa F(10, 56) = 880711 dan F(10, 57) = 1148904, sehingga n = 57 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara. Untuk m = 50, carilah nilai n terkecil, sehingga ada lebih dari satu juta cara untuk menyusun kotak merah. Answer: 006f52e9102a8d3be2fe5614f42ba989 Soal 116Kita akan mengganti tegel pada barisan berisi lima tegel hitam dengan tegel lain yang berbeda warna, yaitu merah (panjang dua satuan), hijau (panjang tiga satuan), atau biru (panjang empat satuan). Jika tegel merah dipilih untuk mengisi barisan di atas, maka terdapat persis tujuh cara yang ada. Jika kotak hijau yang dipilih, terdapat tiga cara untuk mengisi kotak hitam. Dan jika kotak biru yang dipilih, terdapat dua cara untuk mengisi kotak hitam. Jika warna-warna yang ada tidak boleh dicampur, maka akan terdapat 7 + 3 + 2 = 12 cara untuk mengganti tegel hitam yang memiliki panjang lima satuan. Berapakah banyaknya cara tegel hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat diganti dengan cara seperti di atas, dan kita hanya diperbolehkan menggantinya dengan satu warna? CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 117. Answer: c21ca0ec54e6d1646a953a480f68feb4 Soal 117Dengan menggunakan kombinasi dari: kotak merah dengan panjang dua satuan, kotak hijau dengan panjang tiga satuan, dan kotak biru dengan panjang empat satuan, kita dapat mengisi kotak hitam dengan panjang lima satuan dengan berbagai cara. Berapa banyak cara kotak hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat di isi? CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 116. Answer: 542612809b3dd08cf518b85450fce8d6 Soal 118Dengan menggunakan akanga 1 sampai 9, dan menyatukan mereka secara acak untuk membentuk suatu bilangan bulat, berbagai himpunan dapat dibentuk. Menariknya, himpunan {2,5,47,89,631}, memiliki anggota-anggota yang semuanya adalah bilangan prima. Berapakah banyaknya himpunan berbeda, yang anggota-anggotanya dibentuk menggunakan angka 1 sampai 9 persis satu kali, yang semua anggotanya adalah bilangan prima? Answer: 080cc5a4ec71a747e260e274bdb13b64 Soal 119Bilangan 512 adalah bilangna yang menarik, karena bilangan ini dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan angka-angkanya, lalu memangkatkan hasil penjumlahan tersebut dengan angka tertentu: 5 + 1 + 2 = 8, dan 83 = 512. Contoh bilangan lain yang memiliki sifat seperti ini adalah 614656 = 284. Kita akan menetapkan an sebagai suku ke n dari barisan bilangan seperti di atas, dan bilangan di atas harus memiliki setidaknya dua angka agar dapat dilakukan penjumlahan. Diberikah a2 = 512 dan a10 = 614656. Carilah a30. Answer: 72fddfa6c52a120892ade628f3819da4 Soal 120Misalkan r adalah sisa bagi saat (a1)n + (a+1)n dibagi oleh a2. Sebagai contoh, jika a = 7 dan n = 3, maka r = 42: 63 + 83 = 728 42 mod 49. Dan karena ada bermacam nilai n, maka bermacam juga nilai r yang akan dihasilkan, tetapi untuk a = 7 kita dapat menemukan bahwa rmax = 42. Untuk 3 a 1000, carilah rmax. Answer: 0dd05ec40fe11279c2203b72e92a450a Soal 121Terdapat sebuah kantong berisi satu disk merah dan satu disk biru. Dalam suatu permainan, seorang pemain akan mengambil sebuah disk secara acak, dan warna disk yang diambil tersebut akan dicatat. Setelah satu putaran, disk akan dikembalikan ke kantong, kemudian ditambahkan satu buah disk merah, dan kembali diambil satu disk secara acak. Pemain diharuskan membayar £1 untuk bermain, dan ia akan menang apabila ia dapat mengambil disk biru lebih banyak dibanding disk merah saat akhir permainan. Jika permainan akan berakhir setelah empat putaran, peluang seorang pemain menang adalah 11/120, sehingga jumlah hadiah terbesar harus disediakan oleh bank dalam permainan ini adalah £10 sebelum pemain tersebut akan mengalami kekalahan. Perlu diingat bahwa segala bentuk pembayaran hadiah akan berupa bilangan bulat, dan pada pembayaran akan disertakan juga £1 yang digunakan pertama kali untuk ikut bermain, sehingga pada contoh ini, pemain sesungguhnya hanya memenangkan £9. Carilah jumlah hadiah terbesar yang harus disediakan oleh bank, pada permainan serupa, namun dengan lima belas putaran. Answer: 51de85ddd068f0bc787691d356176df9 Soal 122Cara paling dasar untuk menghitung n15 membutuhkan empat belas kali perkalian: n × n × ... × n = n15 Tapi dengan menggunakan metode "binary" kita dapat menghitung hal yang sama dengan enam kali perkalian: n × n = n2 Bahkan, memungkinkan untuk menghitung hal yang sama hanya dengan lima kali perkalian: n × n = n2 Kita akan menyatakan m(k) adalah jumlah perkalian minimal yang dapat digunakan untuk menghitung nk; sebagai contoh m(15) = 5. Untuk 1 k 200, carilah m(k). Answer: b710915795b9e9c02cf10d6d2bdb688c Soal 123Misalkan pn adalah bilangan prima ke-n: 2, 3, 5, 7, 11, ..., dan misalkan r adalah sisa pembagian dari (pn1)n + (pn+1)n dibagi oleh pn2. Sebagai contoh, saat n = 3, p3 = 5, dan 43 + 63 = 280 5 mod 25. Nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 109 adalah 7037. Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 1010. Answer: 71497f728b86b55d965edbf1849cca8d Soal 124Radikal dari n, rad(n), adalah hasil kali dari faktor prima berbeda yang dimiliki oleh n. Sebagai contoh, 504 = 23 × 32 × 7, sehingga rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42. Jika kita menghitung rad(n) untuk 1 n 10, lalu mengurutkan bedasarkan rad(n), dan mengurutkan bedasarkan n jika hasil radikalnya sama, maka kita akan mendapatkan: Unsorted Sorted n rad(n) n rad(n) k 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 2 3 4 2 8 2 4 5 5 3 3 5 6 6 9 3 6 7 7 5 5 7 8 2 6 6 8 9 3 7 7 9 10 10 10 10 10 Misalkan E(k) adalah elemen ke-k pada kolom n yang telah terurut sesuai aturan di atas; sebagai contoh, E(4) = 8 dan E(6) = 9. Jika rad(n) dihitung dari 1 n 100000, sesuai dengan cara di atas, carilah E(10000). Answer: f228d2e6f9099153388e9470180c8302 Soal 125Bilangan palindrom 595 memiliki hal yang menarik, karena bilangan ini dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan: 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122. Terdapat persis sebelas bilangan palindrom di bawah seratus yang juga dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan, dan jumlah dari semua bilangan palindrom tersebut adalah 4164. Perlu diingat bahwa 1 = 02 + 12 tidak diikutsertakan dalam perhitungan ini, karena yang diikut sertakan hanya bilangan yang dapat dibuat dari penjumlahan bilangan kuadrat positif saja. Carilah jumlah semua bilangan palindrom kurang dari 108, yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan. Answer: 1b5635e8ab723e01570ca783129493dd Soal 126Jumlah kubus paling sedikit yang diperlukan untuk menutupi permukaan balok dengan ukuran 3x2x1 adalah dua puluh dua buah. Jika kita akan menambahkan lapisan kedua, maka kita akan memerulukan empat puluh enam kubus, untuk menutupi semua permukaan, dan lapisan ketiga akan memerlukan tujuh puluh delapan kubus, lalu lapisan ke empat akan memerlukan seratus dan delapan belas kubus untuk menutupi semua permukaan. Dan, lapisan pertama untuk menutupi balok dengan ukuran 5x1x1 juga memerlukan dua puluh dua kubus; sedangkan untuk balok berukuran 5x3x1, 7x2x1, dan 11x1x1 semua memerlukan empat puluh enam buah kubus. Kita akan menyatakan C(n) untuk melambangkan banyaknya balok yang dapat ditutupi dengan n buah kubus pada salah satu lapisannya. Sehingga C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, dan C(118) = 8. Dapat ditemukan bahwa 154 adalah nilai n terkecil dimana C(n) = 10. Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan C(n) = 1000. Answer: 387d6ae83cbc6fa0b9192b56bf095c49 Soal 127Nilai radikal dari n, rad(n), adalah hasil perkalian faktor prima berbeda dari n. Sebagai contoh, 504 = 23 × 32 × 7, sehingga rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42. Kita akan mendefinisikan tiga bilangan bulat positif (a, b, c) sebagai abc-hit jika:
Sebagai contoh, (5, 27, 32) adalah sebuah abc-hit, karena:
Dapat terlihat bahwa abc-hits akan cukup jarang untuk ditemui, hanya terdapat tiga puluh satu buah abc-hits untuk c < 1000, dengan cumlah c = 12523. Carilah c untuk c < 120000. Answer: c6b1ae935b33c90a2c320b5f6ef3e4ba Soal 128Sebuah ubin segienam dengan angka 1 dikelilingi oleh enam buah ubin segienam lainnya, dimulai dari arah "pukul 12" dan ubin di beri nomor 2 sampai 7 secara berlawanan arah jarum jam. Lapisan baru ditambahkan dengan cara yang sama, dengan lapisan selanjutnya diberi nomor dari 8 sampai 19, 20 sampai 37, 38 sampai 61, dan seterusnya. Diagram berikut ini menunjukkan tiga lapisan pertama. Dengan mencari selisih antara ubin n dengan ke enam buah ubin di sebelahnya, kita akan mendefinisikan PD(n) sebagai banyaknya selisih ubin-ubin tersebut yang merupakan bilangan prima. Sebagai contoh, jika dihitung searah jarum jam, pada ubin 8, maka didapat selisih 12, 29, 11, 6, 1, dan 13. Sehingga PD(8) = 3. Dengan cara yang sama, selisih di sekitar ubin 17 adalah 1, 17, 16, 1, 11, dan 10, sehingga PD(17) = 2. Dapat ditunjukkan bahwa nilai PD(n) terbesar adalah 3. Jika semua ubin yang memiliki nilai PD(n) = 3 didaftarkan secara berurutan dari kecil ke besar, dan dibentuk suatu barisan bilangan, maka ubin pada urutan ke-10 adalah 271. Carilah suku ubin ke-2000 pada barisan ini. Answer: 93a1925da4792b4fa5d2dbb6ebb7c4a2 Soal 129Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111. Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB(n, 10) = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R(k) habis dibagi oleh n, dan A(n) adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A(7) = 6 dan A(41) = 5. Nilai n terkecil yang akan membuat A(n) melebihi sepuluh adalah 17. Carilah nilai n terkecil yang akan membuat A(n) melebihi satu juta. Answer: 82cd979a2b79600137aea54fa0bd944b Soal 130Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111. Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB(n, 10) = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R(k) habis dibagi oleh n, dan A(n) adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A(7) = 6 dan A(41) = 5. Diketahui bahwa untuk semua bilangan prima, p > 5, p 1 pasti habis dibagi A(p). Sebagai contoh, saat p = 41, A(41) = 5, dan 40 adalah habis dibagi 5. Tetapi, ternyata terdapat bilangan komposit langka, yang juga memenuhi sifat di atas; lima contoh pertama adalah 91, 259, 451, 481, dan 703. Carilah jumlah dari dua puluh lima buah bilangan komposit n pertama, dimana Answer: 20594ea0ef7a2f4cf40d19a9b82a0beb Soal 131TErdapat beberapa bilangan prima p, yang jika berpasangan sebuah bilangan bulat positif n, dengan bentuk n3 + n2p akan menghasilkan bilangan kubik sempurna. Sebagai contoh, saat p = 19, 83 + 82×19 = 123. Luar biasanya, untuk setiap bilangan prima dengan sifat ini, terdapat nilai n yang berbeda, dan hanya terdapat empat buah bilangan prima dengan sifat ini yang kurang dari seratus. Berapa banyak bilangan prima kurang dari satu juta yang memiliki sifat istimewa ini? Answer: f7e6c85504ce6e82442c770f7c8606f0 Soal 132Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k. Sebagai contoh, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, dan jumlah dari semua faktor primanya adalah 9414. Carilah jumlah dari empat puluh faktor prima pertama dari R(109). Answer: 5df3a36faa173a393a04a022b2d5d49d Soal 133Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111. Misalkan terdapat repunit dengan bentuk R(10n). Walaupun R(10), R(100), atau R(1000) tidak habis dibagi oleh 17, tetapi R(10000) habis dibagi oleh 17. Namun tidak ada nilai n dimana R(10n) akan habis dibagi 19. Pada kenyataannya, hanya terdapat empat buah bilangan prima kurang dari seratus 11, 17, 41, dan 73 yang dapat membagi habis R(10n). Carilah jumlah semua bilangan prima kurang dari seratus ribu, yang tidak akan pernah dapat membagi habis bilangan R(10n). Answer: c1d33d79d08cde65eaa78e4583ea0594 Soal 134Misalkan terdapat bilangan prima berurutan p1 = 19 dan p2 = 23. Dapat dibuktikan bahwa 1219 adalah bilangan terkecil yang angka terakhirnya dibentuk dari p1, dan juga habis dibagi oleh p2. Bahkan, dengan mengecualikan p1 = 3 dan p2 = 5, untuk semua pasangan bilangan prima p2 > p1, akan selalu ada sebuah bilangan n yang angka terakhirnya dibentuk darip1 dan n juga habis dibagi oleh p2. Misalkan S adalah nilai n terkecil. Carilah S untuk semua pasangan bilangan prima dengan ketentuan 5 p1 1000000. Answer: f12b07460d2586ea47b4d305ae0b0539 Soal 135Diberikan bilangan bulat positif, x, y, dan z, yang membentuk suatu barisan aritmatika, bilangan bulat positif terkecil n, untuk persamaan x2 y2 z2 = n, yang mempunyai persis dua solusi adalah n = 27: 342 272 202 = 122 92 62 = 27 Dapat ditemukan bahwa n = 1155 adalah nilai n terkecil yang memiliki persis sepuluh solusi. Berapakah nilai n kurang dari satu juta yang memiliki persis sepuluh solusi berbeda? Answer: c457d7ae48d08a6b84bc0b1b9bd7d474 Soal 136Bilangan bulat positif, x, y, dan z, akan membentuk sebuah barisan aritmatika. Diberikan n adalah sebuah bilangan bulat positif, persamaan x2 y2 z2 = n, akan mempunyai persis satu solusi saat n = 20: 132 102 72 = 20 Nyatanya, terdapat dua puluh lima buah nilai n kurang dari seratus, yang akan menghasilkan solusi unik pada persamaan di atas. Berapa banyak nilai n kurang dari lima puluh juta yang mempunyai persis satu solusi? Answer: 91db9e8e6cb2dbf9c07a6e0429697336 Soal 137Misalkan terdapat suku banyak tak hingga AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ..., dimana Fk adalah suku ke-kdari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; yang dibentuk dengan, Fk = Fk1 + Fk2, F1 = 1 dan F2 = 1. Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai AF(x) berupa bilangan bulat positif. Secara mengejutkan AF(1/2)=(1/2).1 + (1/2)2.1 + (1/2)3.2 + (1/2)4.3 + (1/2)5.5 + ...=1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ...=2Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut. xAF(x)2111/22(132)/33(895)/84(343)/55 Kita akan menyebut AF(x) sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-10 adalah 74049690. Carilah bilangan bongkah emas ke-15. Answer: 44845aa0f47ec925a3b43e6460a55e27 Soal 138Terdapat sebuah segitiga sama kaki dengan panjang alas b = 16, dan panjang kaki L = 17. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dapat terlihat bahwa tinggi segitiga tersebut adalahh = (172 82) = 15, dimana hanya berseleisih satu satuan dari alasnya. Dengan b = 272 dan L = 305, kita bisa mendapatkan h = 273, dimana hanya berselisih satu satuan dari alasnya, dan ini adalah segitiga terkecil kedua yang memiliki sifat h = b ± 1. Carilah L untuk dua belas segitiga sama kaki terkecil pertama, dimana h = b ± 1 dan b, L adalah bilangan bulat positif. Answer: f7524f4d0d6d042c0f92a0d6469aff85 Soal 139Misalkan (a, b, c) adalah ketiga sisi dari sebuah segitiga siku-siku, dengan panjang sisi yang diurutkan dari kecil ke besar. Kita dapat mengumpulkan empat buah segitiga tersebut bersama-sama untuk membentuk suatu persegi dengan panjang sisi c. Sebagai contoh, segitiga (3, 4, 5) dapat diletakkan bersama-sama untuk membentuk persegi dengan ukuran 5 x 5, dengan sebuah lubang persegi berukuran 1 x 1 di tengahnya. Dan dapat terlihat bahwa persegi berukuran 5 x 5 tersebut dapat ditutup oleh dua puluh lima ubin persegi berukuran 1 x 1. Tetapi, jika segitiga (5, 12, 13) digunakan, maka akan terdapat lubang berukuran 7 x 7, dan segitiga tersebut tidak bisa digunakan untuk membuat persegi dengan ukuran 13 x 13. Diketahui keliling dari suatu segitiga siku-siku adalah kurang dari satu juta satuan panjang, berapa banyak segitiga siku-siku yang dapat digunakan untuk membentuk persegi besar seperti contoh di atas? Answer: 1c343ba00e6d17d7239bf45869ffed0c Soal 140Misalkan terdapat suku banyak tak hingga AG(x) = xG1 + x2G2 + x3G3 + ..., dimana Gk adalah suku ke-k dari suatu barisan yang dibentuk dengan Gk = Gk1 + Gk2, G1 = 1 dan G2 = 4; barisan tersebut adalah, 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... . Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai AF(x) berupa bilangan bulat positif. Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut. xAG(x)(51)/412/52(222)/63(1375)/1441/25 Kita akan menyebut AF(x) sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-20 adalah 211345365. Carilah jumlah dari semua tiga puluh bilangan bongkah emas pertama. Answer: e5d75f96929ba250b2732aad52f3028c Soal 141Sebuah bilangan bulat positif n, dibagi oleh d dan menghasilkan hasil bagi (quotient) dan sisa (remainder) masing-masing q dan r. Lalu d, q, dan r adalah bilangan bulat positif yang dapat membentuk barisan geometri, namun tidak harus dengan urutan demikian. Sebagai contoh, 58 dibagi oleh 6 memiliki hasil 9 dan sisa 4. dapat terlihat bahwa 4, 6, 9 adalah suku berurutan dalam suatu barisan geometri (dengan rasio 3/2). Beberapa bilangan progresif, seperti 9 dan 10404 = 1022, terkadang juga merupakan bilangan kuadrat. Carilah jumlah semua bilangan progresif yang juga merupakan bilangan kuadrat kurang dari satu triliun (1012). Answer: 2aaefa1db80951be140183f9e8c0194e Soal 142Carilah nilai x + y + z terkecil, dengan syarat x > y > z > 0, dan x, y, dan z adalah bilangan bulat, sehingga x + y, x y, x + z, x z, y + z, y z semuanya adalah bilangan kuadrat sempurna. Answer: d3de282705508407532aa20ca8928e3b Soal 143Misalkan terdapat sebuah segitiga ABC dengan besar semua sisi bagian dalamnya kurang dari 120 derajat. Misalkan X adalah titik yang terletak di dalam segitiga tersebut, dan misalkan XA = p, XC = q, dan XB = r. Fermat pernah menantang Torricelli untuk mencari posisi X saat p + q + r memiliki nilai sekecil mungkin. Torricelli dapat membuktikan, bahwa jika segitiga sama sisi AOB, BNC dan AMC digambarkan pada setiap sisi segitiga ABC, lingkaran luar dari segitiga AOB, BNC, dan AMC akan berpotongan di satu titik T, di dalam segitiga. Kemudian ia membuktikan bahwa T, yang disebut titik Torricelli/Fermat, mempunyai nilai p + q + r terkecil. Bahkan lebih luar biasanya lagi, dapat dibuktikan bahwa saat hasil penjumlahan dibuat sekecil mungkin, AN = BM = CO = p + q + r dan AN, BM serta CO juga saling berpotongan pada titik T. Jika hasil penjumlahan telah dibuat sekecil mungkin dan a, b, c, p, q serta r semuanya adalah bilangan bulat positif, kita akan menyebut segitiga ABC sebagai segitiga Torricelli. Sebagai contoh, a = 399, b = 455, c = 511 adalah salah satu contoh dari segitiga Torricelli triangle, dengan p + q + r = 784. Carilah jumlah semua hasil berbeda dari p + q + r 120000 untuk segitiga Torricelli. Answer: ec2d4c1a0c204d1f06ea5e2d189034f6 Soal 144Dalam ilmu fisika tentang laser, sebuah "white cell" adalah sebuah sistem cermin yang bertindak untuk menunda jalannya sinar laser. Saat sinar memasuki cell, sinar akan memantul di dalam cell, sampai sinar tersebut berhasil kembali keluar. Sebuah white cell akan kita anggap memiliki bentuk elips dengan persamaan 4x2 + y2 = 100 Bagian pada interval 0.01 x +0.01 di sebelah atas adalah kosong, sehingga memungkinkan sinar untuk masuk dan keluar dari lubang tersebut. Sinar pada soal ini mulai bergerak dari titik (0.0,10.1) di luar white cell, dan sinar pertama kali menabrak dinding cell di (1.4,-9.6). Setiap kali sinar laser menabrak permukaan elips, sinar tersebut akan mengikuti hukum pemantulan pada fisika "sudut datang sama dengan sudut pandul." Sehingga, kedua sudut, baik sudut datang maupun sudut pantul akan memiliki besar sudut yang sama pada titik pemantulan cermin. Pada gambar di sebelah kiri, garis merah menunjukkan dua titik kontak pertama antara sinar laser dengan dinding white cell; garis biru menunjukkan garis singgung pada sebuah titik di elips yang merupakan titik pemantulan pertama. Kemiringan atau gradien m dari garis singgung pada titik (x,y) apapun yang menyinggung elips adalah: m = 4x/y Garis normal yang ada adalah tegak lurus dengan garis singgung ini, dan berpotongan pada titik pantul. Animasi di sebelah kanan akan menunjukkan 10 pemantulan pertama sinar laser. Berapa kali sinar menabrak permukaan dalam white cell sampai akhirnya berhasil keluar? Answer: 8dd48d6a2e2cad213179a3992c0be53c Soal 145Beberapa bilangan bulat positif n memiliki hasil penjumlahan [ n + kebalikan(n) ] yang berisi angka-angka ganjil. Sebagai contoh, 36 + 63 = 99 dan 409 + 904 = 1313. Kita akan menyebut bilangan tersebut sebagai bilangan reversible; sehingga 36, 63, 409, dan 904 adalah reversible. Angka nol di awal tidak diperbolehkan, baik pada n maupun pada kebalikan (n). Terdapat 120 buah bilangan reversible kurang dari seribu. Berapa banyak bilangan reversible kurang dari satu milliar (109)? Answer: 705e8444ad9c92e9a7589fb97515a9b6 Soal 146Bilangan bulat terkecil n yang dapat menghasilkan n2+1, n2+3, n2+7, n2+9, n2+13, dan n2+27 berupa bilangan prima berurutan adalah n=10. Jumlah semua bilangan n kurang dari satu juta adalah 1242490. Berapakah jumlah semua bilangan bulat n yang memiliki sifat serupa yang kurang dari 150 juta? Answer: 525bd2bf0e31b0f19b38a1d21f2f6a16 Soal 147Pada kotak-kotak bersilang berukuran 3x2, terdapat sebanyak 37 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat mengikuti garis yang ada seperti terlihat pada gambar. Terdapat 5 ukuran kotak-kotak bersilang lain yang lebih keci dari 3x2, yaitu 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 dan 2x2. Jika setiap kotak-kotak bersilang tersebut dicari jumlah persegi panjangnya, maka akan didapat jumlah persegi panjang sebagai berikut: 1x1: 1 Dengan menambahkan angka di atas dengan 37 dari kotak-kotak ukuran 3x2, maka kita akan mendapatkan sebayak 72 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 3x2. Berapa banyak persegi panjang yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 47x43? Answer: d0fca7d85d4a4df043a2ae5772ea472e Soal 148Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa tidak ada satupun bilangan pada tujuh baris pertama segitiga pascal yang habis dibagi 7: 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Tetapi, apabila kita memeriksa seratus baris pertama, kita akan menemukan bahwa hanya terdapat 2361 bilangan dari 5050 bilangan y ang ada yang tidak habis dibagi 7. Carilah berapakah banyaknya bilangan yang tidak habis dibagi 7 pada satu miliar (109) baris pertama segitiga Pascal. Answer: 8a631ab4e3d06baf88299bf4e501b837 Soal 149Dengan melihat tabel berikut ini, dapat dengan mudah dibuktikan bahwa hasil penjumlahan terbesar dari bilangan-bilangan dalam satu garis lurus ke segala arah (horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal) adalah 16 (= 8 + 7 + 1).
2 5 3 2
9 6 5 1
3 2 7 3
1 8 4 8
Sekarang, mari kita mengulang proses pencarian, namun dalam skala yang lebih besar: Pertama-tama, buatlah empat juta bilangan acak dengan sebuah teknik yang disebut sebagai "Lagged Fibonacci Generator": Untuk 1 k 55, sk = [100003 200003k + 300007k3] (modulo 1000000) 500000. Sehingga, s10 = 393027 dan s100 = 86613. Bilangan-bilangan s tersebut kemudian disusun dalam tabel berukuran 2000×2000, menggunakan 2000 bilangan pertama untuk mengisi baris pertama (secara berurutan), lalu 2000 bilangan selanjutnya untuk mengisi baris kedua, dan seterusnya. Akhirnya, carilah jumlah bilangan terbesar dalam satu garis lurus ke segalah arah (horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal). Answer: 96affc386f4b786c2521a32944424982 Soal 150Pada suatu barisan bilangan berbentuk segitiga, terdapat bilangan bulat positif dan negatif, kita akan mencari sebuah segitiga yang lebih kecil, yang akan memuat bilangan-bilangan yang memiliki hasil penjumlahan sekecil mungkin. Pada contoh berikut ini, kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa segitiga yang ditandai memiliki hasil penjumlahan 42. Kita akan membuat barisan bilangan berbentuk segitiga seperti di atas, namun dengan seratus buah baris, sehingga kita akan membuat 500500 buah angka acak sk pada rentang ±219, menggunakan sebuah alat pembentuk angka acak (yang dikenal sebagai Linear Congruential Generator) sebagai berikut: t := 0 Sehingga: s1 = 273519, s2 = 153582, s3 = 450905 etc Kemudian kita akan membentuk barisan bilangan berbentuk segitiga, dengan bilangan-bilangan acak tersebut: s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 ... Segitiga kecil yang akan kita pilih boleh dimulai dari mana saja pada segitiga besar, dan boleh memiliki tinggi berapapun sesuka kita (pada puncak segitiga, kita dapat mengambil dua bilangan di bawahnya, lalu kemudian tiga bilangan di bawahnya, dan seterusnya). Answer: 1802939e514020769701c59b422c0498 Soal 151Sebuah tempat percetakan mengerjakan 16 pekerjaan setiap minggu, dan setiap pekerjaan memerlukan selembar kertas pemeriksa warna dengan ukuran A5. Setiap Senin pagi, kepala tempat percetakan membuka amplop baru, yang berisi selembar kertas pemeriksa warna besar berukuran A1. Ia memotong kertas itu menjadi dua bagian sama besar, sehingga terdapat dua lembar kertas berukuran A2. Kemudian dia memotong lagi salah satu dari kertas tersebut menjadi dua, sehingga didapat dua lembar kertas berukuran A3, dan begitu seterusnya sampai ia mendapat kertas berukuran A5 yang ia perlukan untuk mengerjakan pekerjaan pertama di awal minggu. Semua kertas yang tidak terpakai dikembalikan ke dalam amplop. Saat awal dari setiap pekerjaan, ia mengambil kertas dari amplop secara acak. Jika kertas tersebut sudah berukuran A5, maka langsung ia gunakan. Tetapi apabila ia mendapat kertas yang lebih besar, ia akan melakukan proses pemotongan kembali, sampai ia mendapatkan ukuran kertas yang diperlukan, dan kembali menaruh sisanya ke dalam amplop. Dengan mengabaikan pekerjaan pertama dan terakhir dalam setiap minggu, carilah perkiraan berapa kali kepala tempat percetakan tersebut hanya menemukan selembar kertas di dalam amplop (untuk setiap minggunya). Berikan jawaban anda yang dibulatkan enam angka di belakang koma dengan format x.xxxxxx. Answer: fb84a530fa9a8199edfadd618727fb70 Soal 152Terdapat beberapa cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat berbeda. Sebagai contoh, bilangan {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35} dapat digunakan dengan cara: Kenyataannya, hanya dengan menggunakan bilangan bulat antara 2 sampai 45, terdapat tiga cara untuk melakukan hal yang sama seperti di atas, dua cara lainnya adalah: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} dan {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}. Berapa banyaknya cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat, dengan menggunakan bilangan bulat berbeda antara 2 dan 80? Answer: 34ed066df378efacc9b924ec161e7639 Soal 153Seperti yang kita ketahui, persamaan x2=-1 tidak mempunyai solusi untuk x bilangan real. Bilangan bulat Gaussian adalah sebuah bilangan kompleks a+bi yang nilai a dan b nya merupakan bilangan bulat. Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat kompleks dari 1+2i: yaitu 12i. Hasilnya adalah . Sehingga 1+2i adalah merupakan pembagi dari 5. Perlu diingat bahwa 1+i bukanlah pembagi dari 5 karena . Perlu diingat juga bahwa jika sebuah bilangan bulat Gaussian (a+bi) merupakan pembagi dari suatu bilangan bulat rasional n, maka konjugat kompleksnya (abi) juga merupakan pembagi dari n. Pada kenyataannya, 5 memiliki enam buah pembagi yang memiliki bagian real a positif: {1, 1 + 2i, 1 2i, 2 + i, 2 i, 5}. dengan bagian real a positifBanyaknya s(n) dari pembagi tersebut11121, 1+i, 1-i, 2531, 3441, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,41351, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512 Untuk pembagi dengan bagian real a positif, kita bisa mendapatkan: Untuk 1 n 105, s(n)=17924657155. Berapakah s(n) untuk 1 n 108? Answer: 08ec9d6e6c2275d37e7a227fb2d1f06f Soal 154Sebuah piramida/limas segitiga dibuat menggunakan bola-bola, sehingga setiap bola bersandar pada tiga buah bola di bawahnya. Lalu kita akan menghitung banyaknya jalur dari puncak piramida ke setiap posisi: Setiap jalur dimulai dari puncak piramida, dan turun salah satu dari tiga bolah yang ada di bawahnya. Akibatnya, banyaknya jalur yang diperlukan untuk sampai ke posisi tertentu bisa didapatkan dengan menjumlahkan bilangan bola-bola di atas bola tersebut (tergantung posisi bola, kita mungkin bisa menjumlahkan bilangan maksimal sampai tiga buah bola di atasnya). Hasilnya, akan terbentuk piramida Pascal, dan bilangan-bilangan pada setiap tingkat n merupakan koefisien dari penjabaran (x + y + z)n. Berapa banyak koefisien pada penjabaran (x + y + z)200000 yang merupakan kelipatan 1012? Answer: de866633fa075beb3897cbbc8abf2400 Soal 155Sebuah rangkaian listrik menggunakan kapasitor yang sama, yang memiiki kapasitansi C. Dengan menggunakan prosedur sederhana ini, dan jika tersedia sampai sebanyak n kapasitor identik, kita dapat membuat rangkaian yang memiliki nilai kapasitansi berbeda-beda. Sebagai contoh, dengan menggunakan maksimal sebanyak n=3 kapasitor dengan kapasitansi 60 μF pada tiap kapastiornya, kita bisa mendapatkan tujuh nilai kapasitansi berbeda: Jika kita lambangkan D(n) sebagai banyaknya nilai kapasitansi berbeda yang bisa didapatkan saat disediakan sebanyak n buah kapasitor berkapasitansi sama, sesuai dengan prosedur di atas, kita akan mendapatkan: D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7 ... Carilah D(18). Catatan : Saat menghubungkan kapastior C1, C2 dan seterusnya secara pararel, total kapasitansinya akan menjadi CT=C1+C2+..., Answer: da0a3fc900cc8ae42d514e280524ee39 Soal 156Dimulai dari nol, bilangan asli dengan basis 10 dapat ditulis sebagai berikut: Perhatikan angka d=1. Setelah kita menuliskan setiap angka n, kita akan memperhatikan banyaknya angka satu yang telah muncul, dan kita akan melambangkan hal ini dengan f(n,1). Beberapa nilai pertama dari f(n,1), adalah sebagai berikut: nf(n,1)00112131415161718191102114125 Perhatikan bahwa f(n,1) tidak pernah bernilai 3. Dengan cara yang sama, fungsi f(n,d) memberikan banyaknya angka d yang telah muncul setelah bilangan n muncul. Misalkan s(d) adalah hasil penjumlahan dari semua solusi yang memenuhi f(n,d)=n. Carilah s(d) untuk 1 d 9. Catatan: Jika terdapat nilai n yang sama, yang memenuhi f(n,d)=n untuk nilai d yang berbeda, maka nilai n ini harus ikut dihitung kembali secara terpisah, untuk setiap nilai d yang ada. Answer: ac0c6b67ed28cebb02b802e7a204aaee Soal 157Misalkan terdapat sebuah persamaan diophantine 1/a+1/b= p/10n dengan a, b, p, n merupakan bilangan bulat positif dan a b. Berapakah banyaknya solusi yang dimiliki persamaan tersebut untuk 1 n 9? Answer: c96fc71df4ef8f6420fda7958957538c Soal 158Dengan memilih tiga huruf acak dari 26 huruf yang ada di alfabet, kita dapat membentuk tulisan dengan panjang tiga karakter. Misalkan terdapat tulisan dengan n 26 karakter berbeda dari alfabet. Berapakah nilai terbesar dari p(n)? Answer: 6070fa194890e52b2989af5b542aee90 Soal 159Sebuah bilangan komposit dapat difaktorkan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, dengan mengabaikan perkalian dengan angka satu, bilangan 24 dapat dengan mudah difaktorkan dengan 7 cara berbeda: 24 = 2x2x2x3 24 = 2x3x4 24 = 2x2x6 24 = 4x6 24 = 3x8 24 = 2x12 24 = 24 Untuk mencari angka akar dari suatu bilangan, kita dapat menjumlahkan semua angka yang ada pada bilangan tersebut, kemudian mengulang proses tersebut sampai hasil penjumlahannya kurang dari 10. Sehingga angka akar dari 467 adalah 8. Kita akan menyebut Angka Akar dari Penjumlahan/Digital Root Sum (DRS) sebagai hasil penjumlahan semua angka akar dari faktor-faktor suatu bilangan. 2x2x2x3 9 2x3x4 9 2x2x6 10 4x6 10 3x8 11 2x12 5 24 6 Nilai DRS terbesar dari 24 adalah 11. Answer: 2ab79df40adc1028d1fa83a6333db907 Soal 160Untuk nilai N apapun, f(N) adalah lima angka terakhir sebelum mucnulnya angka nol berulang-ulang pada N!. 9! = 362880 sehingga f(9)=36288 Carilah f(1,000,000,000,000) Answer: e51ada1e23f810eb1b51a18bb6825f85 Soal 161Triomino adalah sebuah bentuk yang dibuat dari tiga persegi, yang disambungkan sisinya. Terdapat dua bentuk dasar: Jika semua arah hadap diperhitungkan, maka terdapat enam macam kombinasi: Semua persegi panjang berukuran n x m dimana nxm habis dibagi 3 dapat dibentuk oleh triominoes. Berapakah banyaknya cara persegi panjang berukuran 9 x 12 bisa dibentuk oleh triomino? Answer: 975ccc38bb5402c5b485f3de5928d919 Soal 162Pada sistem bilangan heksadesimal, bilangan dituliskan dengan 16 angka berbeda: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Bilangan heksadesimal AF saat dituliskan dalam bentuk desimal sama dengan 10x16+15=175. Pada bilangan heksadesimal 3 angka, bilangan 10A, 1A0, A10, dan A01 semuanya mempunyai angka 0,1 dan A. Berapa banyak bilangan heksadesimal yang dibentuk dari paling banyak enam belas angka, yang angka 0, 1, dan A nya muncul setidaknya satu kali? (A,B,C,D,E dan F harus ditulis dengan huruf kapital, tanpa perlu ditandai bahwa bilangan tersebut adalah bilangan heksadesimal, dan tidak diawali dengan angka nol, sebagai contoh 1A3F adalah penulisan yang benar, dan bukan: 1a3f dan bukan 0x1a3f juga bukan $1A3F juga bukan #1A3F dan bukan 0000001A3F) Answer: 049419b9fdad9af74d5888626fff56a3 Soal 163Misalkan terdapat sebuah segitiga sama sisi, dan digambarkan sebuah garis lurus dari semua titik pada segitiga ke tengah-tengah sisi di seberangnya, seperti pada gambar size 1 berikut ini. Sekarang enam belas segitiga berbeda ukuran, bentuk, arah hadap, dan tempat dapat ditemukan pada segitiga ini. Menggunakan segitiga size 1 sebagai segitiga pembangun, kita dapat membentuk segitiga yang lebih besar, salah satunya adalah segitiga size 2 pada gambar di atas. Sekarang kita dapat melihat bahwa terdapat seratus empat buah segitiga berbeda, jika kita mengamati segitiga size 2. Dapat terlihat bahwa segitiga size 2 dibentuk dari 4 buah segitiga size 1. Sebuah segitiga size 3 nantinya akan berisi 9 buah segitiga size 1 dan segitiga dengan ukuran size n akan berisi n2 buah segitiga size 1. Jika kita melambangkan T(n) sebagai banyaknya segitiga yang dapat diamati dari segitiga dengan ukuran size n, maka T(1) = 16 Carilah T(36). Answer: a4f66a42a5b5dc395d00463d77e0a0c6 Soal 164Berapakah banyaknya bilangan 20-angka n (tidak diawali dengan angka nol) yang ada, sehingga tidak ada tiga angka berurutan pada n yang memiliki jumlah lebih dari 9? Answer: 6e96debf3bfe7cc132401bafe5a5d6d6 Soal 165Sebuah segmen garis ditentukan oleh dua titik ujungnya. Selanjutnya, saat dua segmen garis bertemu di satu titik, ada kemungkinan titik temu tersebut merupakan ujung dari salah satu segmen, atau bahkan ujung dari kedua segmen. Jika titik temu kedua segmen garis bukan merupakan ujung dari kedua segmen, maka kita akan menyebut titik tersebut sebagai titik interior segmen. Misalkan terdapat tiga segmen garis L1, L2, dan L3: L1: (27, 44) sampai (12, 32) Dapat dibuktikan bahwa segmen garis L2 dan L3 mempunyai sebuah titik potong sejati. Perlu diingat bahwa walaupun titik ujung dari L3: (22,40) terdapat pada L1, tapi titik ini tidak dianggap sebagai titik potong sejati. Sedangkan L1 dan L2 tidak memiliki titik temu sama sekali. Sehingga antar ketiga segmen garis tersebut, kita bisa menemukan satu titik potong sejati. Sekarang kita akan melakukan hal yang sama untuk 5000 segmen garis. Kita akan membuat 20000 bilangan menggunakan metode "Blum Blum Shub", sebuah metode untuk membentuk bilangan acak. s0 = 290797 Untuk membuat sebuah segmen garis, kita akan menggunakan empat bilangan berurutan tn. Sehingga, segmen garis pertama yang ada adalah: (t1, t2) to (t3, t4) Empat bilangan pertama yang dibuat secara acak dengan cara di atas adalah: 27, 144, 12 dan 232. Sehingga segmen garis pertamanya akan menjadi (27,144) sampai (12,232). Berapakah banyaknya titik potong sejati berbeda, yang terdapat pada 5000 segmen garis tersebut? Answer: b87b096af5a545b4f7a45cfed4e67c87 Soal 166Sebuah kotak-kotak berukuran 4x4 diisi dengan angka d, 0 d 9. Dapat terlihat pada kotak-kotak 6 3 3 0 hasil penjumlahan dari setiap baris dan kolom mempunyai nilai 12. Selanjutnya, jumlah dari setiap diagonal juga 12. Berapakah banyaknya cara kita bisa mengisi kotak-kotak berukuran 4x4, dengan angka d, 0 d 9 sehingga setiap baris, kolom, dan diagonal memiliki jumlah yang sama? Answer: e4f39f61ee7f1bfe433a177c07f5512f Soal 167Untuk dua bilangan bulat positif a dan b, sebuah barisan Ulam U(a,b) dinyatakan oleh U(a,b)1 = a, U(a,b)2 = b dan untuk k > 2, U(a,b)k adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari U(a,b)(k-1) yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dua anggota berbeda sebelumnya pada U(a,b). Sebagai contoh, barisan U(1,2) dimulai dengan Carilah U(2,2n+1)k untuk 2 n 10, dimana k = 1011. Answer: aa5b61f6f4d96cbaeb5944b8fcdf64a3 Soal 168Misalkan terdapat bilangan 142857. Kita dapat melakukan rotasi-kanan bilangan ini dengan memindahkan angka terakhir (7) ke depan, dan akan memberikan kepada kita bilangan 714285. Carilah 5 angka terakhir dari penjumlahan semua bilangan bulat n, 10 < n < 10100, yang memiliki sifat ini. Answer: 39e7aab76650b018578830bc6dba007a Soal 169Dinyatakan f(0)=1 dan f(n) adalah banyaknya cara suatu bilangan n dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan bilangan bulat kuadrat yang masing-masing tidak lebih dari dua kali. Sebagai contoh, f(10)=5 karena terdapat lima cara untuk menghasilkan 10: 1 + 1 + 8 Berapakah nilai f(1025)? Answer: d149d4836703a8908becea56ddd3ed42 Soal 170Kita ambil angka 6, lalu kita kalikan dengan 1273 dan 9854, maka akan didapat: 6 × 1273 = 7638 Dengan menyatukan kedua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, yaitu 763859124. Kita akan menyebut 763859124 sebagai Hasil penyatuan perkalian dari 6 dan (1273,9854). Perlu diingat, bahwa hasil penggabungan dari bilangan-bilangan awalnya, yaitu 612739854, juga merupakan bilangan pandigital 1 sampai 9. Hal yang sama bisa dilakukan untuk bilangan pandigital 0 sampai 9. Berapakah bilangan pandigital 10-angka terbesar dari 0 sampai 9, yang dibentuk dengan cara menyatukan hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan dua atau lebih bilangan bulat lainnya, dan bilangan bulat awal yang digunakan juga merupakan bilangan pandigital 10-angka dari 0 sampai 9? Answer: 6ffe65352f717c1731666a107ace96c1 Soal 171Untuk bilangan bulat postif n, f(n) adalah hasil penjumlahan dari kuadrat angka-angka pada bilangan n, Sebagai contoh f(3) = 32 = 9, Carilah sembilan angka terakhir dari penjumlahan semua n, 0 < n < 1020, yang f(n) nya adalah berupa bilangan kuadrat. Answer: ff586db8c4a5699ec78c645fcb27db7b Soal 172Berapa banyak bilangan 18-angka n (yang tidak diawali dengan angka nol) yang semua angka-angkanya tidak ada yang muncul lebih dari tiga kali? Answer: f5f260ee21ead7478403c2ccd18a1829 Soal 173Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal. Sebagai contoh, menggunakan persis tiga puluh dua ubin persegi, kita bisa membentuk dua macam bidang yang berbeda: Dengan seratus buah ubin, dan Anda tidak diharuskan untuk menggunakan semua ubin, Anda dapat membentuk empat puluh satu bidang berbeda. Jika disediakan satu juta buah ubin, berapa banyak cara bidang persegi seperti di atas yang dapat dibentuk? Answer: 177f825c89a68aefae37b8dec9bb8a9b Soal 174Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal. Jika diberikan delapan buah ubin persegi, maka kita hanya dapat membentuk bidang dengan satu cara: yaitu bidang yang berukuran 3x3 dengan lubang berukuran 1x1 di tengahnya. Tetapi, menggunakan tiga puluh dua ubin, kita dapat membentuk dua bidang berbeda. Jika t melambangkan banyaknya ubin yang digunakan, kita dapat mengatakan bahwa t = 8 adalah bidang tipe L(1) dan t = 32 adalah bidang tipe L(2). Misalkan N(n) adalah banyaknya t 1000000, sehingga t akan membentuk bidang tipe L(n); sebagai contoh, N(15) = 832. Berapakah N(n) untuk 1 n 10? Answer: 73166006522ed7f51ed3e2ca66353b66 Soal 175Diketahui f(0)=1 dan f(n) adalah banyaknya cara untuk menulis bilangan n sebagai hasil dari penjumlahan bilangan 2x, dimana tidak ada bilangan 2x yang muncul lebih dari dua kali. Sebagai contoh, f(10)=5 karena terdapat lima cara berbeda untuk menyatakan 10: Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap pecahan p/q (p>0, q>0) terdapat setidaknya satu buah bilangan bulat n, sehingga Answer: 796dddd004c3465229058072f5b4583e Soal 176Terdapat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) dan (12,35,37). Semua segitiga memiliki salah satu kaki (catheti) dengan panjang 12. Dapat terlihat bahwa tidak ada segitiga siku-siku lain yang panjang sisinya berupa bilangan bulat, yang panjang salah satu kakinya (catheti) sama dengan 12. Carilah bilangan bulat terkecil yang bisa menjadi panjang kaki (catheti) dari 47547 buah segitiga siku-siku bersisi bilangan bulat. Answer: c47c782ebaf8cdbb60eebfa86cd0003c Soal 177Misalkan ABCD adalah segiempat konveks, dengan diagonal AC dan BD. Pada setiap titik sudut, setiap diagonal akan membuat sebuah sudut dengan dua buah sisi lain, sehingga akan terbentuk delapan buah sudut pada pojok segi empat. Sebagai contoh, pada titik A, terdapat dua buah sudut, yaitu CAD dan CAB. Segi empat seperti ini, yang ke delapan sudut pada pojok segi empatnya merupakan bilangan bulat (diukur dalam derajat) akan kita sebut sebagai "Segi empat bersudut bilangan bulat". Salah satu contoh segi empat bersudut bilangan bulat adalah sebuah persegi, dimana kedelapan sudut pada pojok segiempatnya adalah 45°. Contoh lain adalah sebuah segi empat dengan sudut DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, dan ADB = 50°. Berapakah banyaknya semua segi empat bersudut bilangan bulat? Catatan: Dalam perhitungan Anda, Anda dapat menganggap sebuah sudut memiliki bilangan bulat, walaupun sudut tersebut masih memiliki penyimpangan sampai 10-9, atau sembilan angka di belakang koma. Answer: d7a85236af930db0f7e84f2de8ee7ac2 Soal 178Pada bilangan 45656. Berapa banyak bilangan melangkah pandigital kurang dari 1040 yang ada? Answer: 2ffddfa898fa5df6321aebea84d4f33f Soal 179Carilah bilangan bulat 1 < n < 107, dimana n dan n + 1 memiliki banyak pembagi habis positif yang sama. Sebagai contoh, 14 memiliki pembagi habis positif empat buah, yaitu 1, 2, 7, 14 dan 15 juga memiliki pembagi positif empat buah, yaitu 1, 3, 5, dan 15. Answer: bafa0132bc7fc422a8d53bebb9d003c9 Soal 180Untuk bilangan bulat n, terdapat tiga buah fungsi f1,n(x,y,z) = xn+1 + yn+1 zn+1 dan kombinasi ketiganya fn(x,y,z) = f1,n(x,y,z) + f2,n(x,y,z) f3,n(x,y,z) Kita akan menyebut (x,y,z) sebagai bilangan triple emas dengan orde k jika x, y, dan z semuanya merupakan bilangan rasional dengan bentuk a / b dengan Misalkan s(x,y,z) = x + y + z. Carilah u + v. Answer: 6459f69d151314c59df404868f45fa96 Soal 181Terdapat tiga buah benda berwarna black (hitam) B dan satu benda bewarna white (putih) W, benda-benda tersebut dapat dikelompokkan dengan 7 cara, cara-cara tersebut adalah sebagai berikut: (BBBW)(B,BBW)(B,B,BW)(B,B,B,W)(B,BB,W)(BBB,W)(BB,BW)Berapakah banyaknya cara enam puluh benda black (hitam) B dan empat puluh benda white (putih) W dapat dikelompokkan? Answer: 0e1233ecbc058dabf54a8602eac55d95 Soal 182Prosedur untuk melakukan Enkripsi RSA adalah sebagai berikut: Buatlah dua buah angka prima berbeda p dan q. Sebuah pesan pada sistem ini haruslah berupa bilangan pada interval [0,n-1]. Untuk mendekripsi teks, prosedur berikut ini yang harus dilakukan: hitunglah nilai d sehingga ed=1 mod φ, lalu untuk message yang telah dienkripsi c, hitunglah m=cd mod n. Terdapat nilai e dan m sehingga me mod n=m. Permasalah muncul saat kita akan memilih nilai e, yaitu nilai yang dipilih harus menyebabkan tidak terlalu banyak pesan yang tidak berhasil disembunyikan. Jika dipilih p=1009 dan q=3643. Answer: 088ad9a61e60b9309e91cfc3ed27d729 Misalkan terdapat bilangan bulat positif N, dan misalkan N akan kita pisah menjadi k bagian sama besar, r = N/k, Sehingga N = r + r + ... + r. Sebagai contoh, jika 11 dibagi menjadi lima bagian sama besar, 11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2, maka P = 2.25 = 51.53632. Misalkan M(N) = Pmax untuk nilai N yang diberikan. Ternyata hasil perkalian terbesar untuk N = 11 dapat ditemukan dengan cara membagi sebelas menjadi empat bagian sama besar, yang akan menghasilkan Pmax = (11/4)4; sehingga M(11) = 14641/256 = 57.19140625, dimana hasil tersebut merupakan desimal tidak berulang. Tetapi untuk N = 8, hasil perkalian terbesar didapatkan dengan membagi bilangan menjadi tiga bagian sama besar, sehingga M(8) = 512/27, dan hasil tersebut merupakan bilangan desimal berulang. Diketahui D(N) = N, jika M(N) adalah bilangan desimal berulang, dan D(N) = -N jika M(N) adalah bilangan desimal yang tidak berulang. Sebagai contoh, ΣD(N) untuk 5 N 100 adalah 2438. Carilah ΣD(N) untuk 5 N 10000. Answer: 438bc10af8f8eb366ec1371478ca3d3c Terdapat himpunan Ir yang berisi titik-titik (x,y) yang koordinatnya berupa bilangan bulat , yang titik-titiknya berada dalam lingkaran berjari-jari r, dan berpusat di pusat koordinat, yaitu lingkaran x2 + y2 < r2. Untuk jari-jari 2, I2 berisi sembilan titik, yaitu (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) dan (1,-1). Terdapat delapan segitiga yang titik-titik sudutnya merupakan anggota I2 yang sebelah dalam segitiganya terdapat pusat koordinat. Dua dari mereka ditunjukkan di gambar berikut, Segitiga lainnya bisa didapatkan dengan cara merotasikan kedua segitiga ini. Untuk jari-jari 3, terdapat 360 segitiga yang di dalam segitiganya terdapat pusat koordinat, dan titik-titik sudutnya merupakan anggota I3. Lalu untuk I5 banyaknya segitiga serupa adalah 10600. Berapakah banyaknya segitiga yang sebelah dalamnya terdapat pusat koordinat, dan ketiga sisinya merupakan anggota himpunan I105? Answer: aa80f8619ed594e5d7852564457dbca6 Number Mind adalah salah satu bagian dari permaian populer Master Mind. Anda diharuskan untuk menebak urutan angka-angka. Setiap kali melakukan tebakan, Anda hanya akan diberi tahu berapa buah angka yang benar Anda tebak. Sehingga, jika bilangan yang harus ditebak adalah 1234, dan Anda menebak 2036, Anda akan diberi tahu bahwa Anda berhasil menebak dengan benar satu angka; tetapi, Anda TIDAK AKAN diberi tahu apabila angka yang anda tebak hanya salah letaknya. Sebagai contoh, berikut ini adalah hasil tebakan dari bilangan rahasia 5-angka, 90342 ;2 benar Sedangkan bilangan rahasia yang benar adalah 39542. Bedasarkan tebakan berikut, 5616185650518293 ;2 benar Carilah bilangan rahasia dengan panjang 16-angka ini. Answer: 70f84864f21c4bf07ee53436580cd4bb Ini adalah catatan dari sistem jaringan telepon dengan satu juta pengguna: Nomor telepon dari penelepon (caller) dan penerima (called) ke-n adalah Caller(n) = S2n-1 dan Called(n) = S2n dimana S1,2,3,... dibuat dengan metode "Lagged Fibonacci Generator": Untuk 1 k 55, Sk = [100003 - 200003k + 300007k3] (modulo 1000000) Jika Caller(n) = Called(n), maka penelepon dianggap salah sambung, dan proses telepon tersebut dianggap gagal; sebaliknya, jika nomor penelepon dan penerima tidak sama, proses telepon dianggap sukses. Dari awal catatan, kita dapat mengatakan bahwa semua pasangan pengguna telepon X dan Y adalah saling berteman apabila X menelepon Y atau sebaliknya. Hal yang sama, X adalah teman dari Z jika X merupakan teman dari Y, dan Y merupakan teman dari Z; dan begitu seterusnya terbentuk rantai yang lebih panjang. Nomor telepon perdana menteri adalah 524287. Setelah beberapa telepon yang berhasil tersambung, telepon yang salah sambung tidak dihitung, apakah 99% dari pengguna telepon (termasuk sang perdana menteri) akan menjadi teman, atau temannya teman, dan seterusnya..., dari sang perdana menteri? Answer: b21d68f1871abf1d5bbcf1206b3f1643 Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki setidaknya dua faktor prima. Sebagai contoh, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 12 = 2 × 2 × 3. Terdapat sepuluh bilangan komposit kurang dari tiga puluh yang mempunyai persis dua buah faktor prima yang boleh sama ataupun berbeda: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26. Berapa banyak bilangan komposit n < 108, yang mempunyai persis dua buah faktor prima yang boleh sama ataupun berbeda? Answer: b3e6977523511d2cbbef8fccb1e394db Hasil hyperexponentiation atau tetration bilangan a dengan bilangan bulat positif b, dilambangkan dengan ab atau ba, dan dapat dihitung secara rekursif dengan: Sebagai contoh, 32 = 33 = 27, sehingga 33 = 327 = 7625597484987 dan 34 dihitung secara kasar adalah 103.6383346400240996*10^12. Carilah delapan angka terakhir dari 17771855. Answer: 62746b4d40a2b87c3dd6caee5d33e6a1 Perhatikan susunan 64 buah segitiga berikut: Kita akan mewarnai setiap segitiga dengan salah satu dari tiga warna: merah, hijau, atau biru, sehingga tidak ada dua buah segitiga bersebelahan yang mempunyai warna yang sama. Jika berhasil, maka hasil pewarnaan tersebut akan dianggap berhasil. Di soal ini, dua segitiga dikatakan bersebelahan apabila memiliki satu sisi yang sama. Contoh berikut ini adalah hasil pewarnaan yang sah pada segitiga di atas: Proses pewarnaan C' yang didapatkan dari hasil rotasi atau refelksi pewarnaan C akan dianggap berbeda dari C, keduali hasil pewarnaan keduanya identik. Berapakah banyaknya cara berbeda untuk mewarnai segitiga-segitiga di atas secara sah? Answer: d3dfdd37601678212b746c34699f1484 Soal 190Misalkan Sm = (x1, x2, ... , xm) adalah kumpulan m-buah bilangan real positif yang memenuhi x1 + x2 + ... + xm = m, dan memiliki nilai Pm = x1 * x22 * ... * xmm sebesar mungkin. Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa [P10] = 4112 ([ ] melambangkan bagian fungsi yang berupa bilangan bulat). Carilah Σ[Pm] untuk 2 m 15. Answer: 40cfcabd9b30d79ec81151fc756e9946 Soal 191Sebuah sekolah menawarkan hadiah uang tunai kepada anak yang memiliki tingkat kehadiran dan ketepatan waktu yang baik. Jika mereka absen selama tiga hari berturut-turut, atau terlambat lebih dari satu kali, maka mereka akan kehilangan hadiah mereka. Selama n-hari, sebuah tulisan tiga huruf dibentuk untuk setiap anak yang akan mempunyai arti L (late/terlambat), O (on time/tepat waktu), dan A (absen). Terdapat delapan puluh satu macam kehadiran berbeda untuk kegiatan belajar mengajar selama 4 hari yang dapat dibentuk, dan empat puluh tiga di antaranya akan mengarahkan anak kepada hadiah: OOOO OOOA OOOL OOAO OOAA OOAL OOLO OOLA OAOO OAOA Berapa banyak kombinasi tulisan seperti di atas yang ada, yang akan mengarahkan anak untuk mendapatkan hadiah, namun untuk kegiatan belajar mengajar yang dilaksanakan selama 30-hari? Answer: e04dfa598b22a87570f63063f3ff595d Soal 192Misalkan x adalah bilangan real. |p/q-x| < |r/s-x| q > d Sebagai contoh, pendekatan terbaik 13 untuk batas penyebut 20 adalah 18/5, dan pendekatan terbaik 13 untuk batas penyebut 30 adalah 101/28. Carilah jumlah semua penyebut yang merupakan pendekatan terbaik untuk n, untuk batas penyebut 1012, dimana n adalah bilangan yang bukan merupakan kuadrat sempurna, dan 1 < n 100000. Answer: e5ec7d4b094709b1fcebbd73b10e6264 Soal 193Sebuah bilangan bulat positif n disebut sebagai bilangan squarefree, jika tidak ada bilangan prima kuadrat yang dapat habis membagi n, sehingga 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 semuanya adalah bilangan squarefree, tapi tidak dengan 4, 8, 9, 12. Berapa banyak bilangan squarefree yang kurang dari 250? Answer: ea29fcf755b560777b0b6d8714234d18 Soal 194Terdapat gambar yang dibuat dengan unit A: dan unit B: , dimana setiap unit ditempelkan satu sama lain pada garis vertikalnya seperti pada gambar:Sebuah susunan dengan tipe (a,b,c) adalah gambar yang dibuat dengan a buah unit A dan b buah unit B, dimana titik-titik pada setiap gambar diwarnai menggunakan c buah warna, sehingga tidak ada dua titik bersebelahan yang mempunyai warna yang sama. N(a,b,c) adalah banyaknya konfigurasi tipe (a,b,c) yang bisa dibentuk. Carilah 8 angka terakhir dari N(25,75,1984). Answer: e070561d568a80a0e45d7835e3817ba4 Soal 195Terdapat suatu segitiga dengan panjang sisi yang merupakan bilangan bulat, dan persis satu buah sudut bernilai 60 derajat, segitiga ini akan kita sebut sebagai segitiga 60-derajat. Terdapat 1234 buah segitiga 60-derajat yang r 100. Carilah T(1053779). Answer: 0fe232937a6d9f2a40825b86f568a38c Soal 196Kita akan membuat sebuah segitigad dari bilangan bulat positif dengan aturan sebagai berikut: 1 Setiap bilangan pada segitiga tersebut bisa memiliki bilangan yang bersebelahan sampai delapan buah. Sebuah himpunan tiga bilangan prima akan disebut triplet prime apabila salah satu dari ketiga bilangan prima tersebut bersebelahan dengan kedua bilangan prima lainnya pada segitiga di atas. Sebagai contoh, pada baris kedua, bilangan prima 2 dan 3 adalah bagian dari suatu triplet prima. Jika kita memperhatikan baris 8, baris ini berisi dua bilangan prima yang merupakan bagian dari suatu triplet prima lain, yaitu 29 dan 31. Diketahui S(n) adalah jumlah semua bilangan prima yang merupakan anggota triplet prima pada baris ke-n. Diketahui S(10000)=950007619. Carilah S(5678027) + S(7208785). Answer: fb6b6b0a4b7b31ba429152bc0b6bd037 Soal 197Diberikan sebuah fungsi f(x) = 230.403243784-x2 × 10-9 ( adalah lambang yang berarti bilangan akan dibulatkan ke bawah), Carilah un + un+1 untuk n = 1012. Answer: c98cbf87636906f2465d481be815e454 Soal 198Cara pendekatan terbaik untuk suatu bilangan real x untuk batas penyebut d adalah bilangan rasional r/s (dalam bentuk paling sederhana) dengan s d, sehingga semua bilangan rasional p/q yang lebih dekat ke x daripada ke r/s akan mempunyai q > d. Biasanya, cara pendekatan terbaik untuk suatu bilangan real ditentukan oleh besarnya batasan penyebut. Tetapi, terdapat beberapa pengecualian, seperti 9/40, yang mempunyai dua hasil pendekatan terbaik 1/4 dan 1/5 untuk batas penyebut 6. Kita akan menyebut semua bilangan real x sebagai bilangan yang ambigu, apabila terdapat dua hasil pendekatan terbaik x untuk setidaknya satu batas penyebut. Jelas bahwa bilangan ambigu harus merupakan bilangan rasional. Berapakah banyaknya cara bilangan ambigu x = p/q, 0 < x < 1/100, yang penyebut qnya tidak melebihi 108? Answer: e59816f440fec9368c681314a127f3ee Soal 199Tiga lingkaran dengan jari-jari sama diletakan dalam suatu lingkaran besar, sehingga setiap lingkaran akan saling menyinggung satu sama lain, dan lingkaran yang ada di dalam tidak saling menumpuk satu sama lain. terdapat empat daerah yang masih belum ditutupi, yang akan di isi lagi secara berulang-ulang dengan lingkaran yang juga saling menyinggung lingkaran lainnya. Pada setiap iterasi, lubang akan di isi dengan sebuah lingkaran sebesar mungkin, dimana setelah lingkaran tersebut diletakkan, akan muncul lubang baru lagi untuk iterasi selanjutnya. Setelah 3 iterasi (seperti pada gambar), terdapat sebanyak 108 lubang dan perbandingan luas lubang dengan luas keseluruhan adalah 0.06790342, dibulatkan sampai delapan angka di belakang koma. Berapakah perbandingan luas lubang dengan luas keseluruhan setelah 10 kali iterasi? Answer: 0f8fd87159c28ae5fea6ac91a95d48dd Soal 200Sqube adalah sebuah bilangan dengan bentuk, p2q3, dimana p dan q adalah bilangan prima berbeda. Lima bilangan sqube pertama adalah 72, 108, 200, 392, dan 500. Menariknya, 200 juga merupakan bilangan pertama yang tidak bisa kita buat menjadi bilangan prima apabila salah satu angkanya diganti; bilangan seperti ini akan kita sebut bilangan kebal-prima. Bilangan kebal-prima selanjutnya yang juga merupakan bilangan sqube, dan memiliki angka "200" di dalamnya adalah 1992008. XCarilah bilangan ke-200 yang kebal-prima, yang juga merupakan bilangan sqube, yang berisi angka "200" di dalamnya. Answer: c911c8e346aa813da5f5ed4f8e9128d8 Soal 201Untuk setiap himpunan berisi A buah bilangan, sum(A) adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen A. sum({1,3,6}) = 10, Beberapa himpunan bagian menghasilkan jumlah yang sama, dan beberapa menghasilkan hasil yang unik. Sekarang misalkan terdapat himpunan S dengan 100-buah anggota S = {12, 22, ... , 1002}. Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan bulat, pada himpunan bagian dari S yang memiliki 50-buah anggota, atau dapat ditulis sum(U(S,50)). Answer: b7ad07c58c81a940b8ff067a13b2760d Soal 202Tiga cermin disusun untuk membentuk sebuah segitiga sama sisi, dengan sisi yang memantulkan cahanyanya diletakkan di sebelah dalam. Terdapat tak hingga buah celah kecil pada setiap titik sudut segitiga, yang memungkinkan sinar laser untuk masuk. Jika titik sudut diberi label A, B dan C. Terdapat 2 cara untuk sinar laser dapat memasuki titik C, memantul di dalam 11 kali, kemudian keluar ke titik y ang sama: salah satu caranya ditunjukkan pada gambar berikut; cara satunya lagi adalah kebalikan dari cara ini. Terdapat 80840 cara untuk sinar laser dapat memasuki titik C, memantul 1000001 kali, kemudian keluar melalui titik yang sama. Dengan berapa cara sinar laser dapat masuk melalui titik C, memantul 12017639147 kali, kemudian keluar melalui titik yang sama? Answer: e9774949b5efad0d40d60ede379c5321 Soal 203Koefisien binomial nCk dapat disusun dalam bentuk segitiga, dan hasilnya sama dengan segitiga Pascal, seperti ini: 111121133114641151010511615201561172135352171......... Dapat terlihat bahwa delapan baris pertama pada segitiga Pascal berisi dua belas buah angka berbeda: 1,2,3,4,5,6,7,10,15,20,21dan35. Sebuah bilangan bulat positif n disebut sebagai bilangan squarefree, jika tidak ada bilangan prima kuadrat yang dapat membagi habis n. Dari kedua belas bilangan berbeda pada delapan baris pertama segitiga Pascal, semua bilangan kecuali 4 dan 20 adalah bilangan squarefree. Jumlah dari semua bilangan squarefree berbeda pada delapan baris pertama adalah 105. Carilah jumlah semua bilangan squarefree berbeda pada 51 baris pertama segitiga Pascal. Answer: d7ec16d216c923d3c927f46cfc914e92 Soal 204Bilangan Hamming adalah sebuah bilangan positif, yang faktor primanya tidak ada yang lebih besar dari 5. Kita akan menyebut suatu bilangan positif sebagai bilangan Hamming tergeneralisasi dengan tipe n, apabila bilangan tersebut tidak mempunyai faktor prima lebih besar dari n. Berapa banyak bilangan Hamming tergeneralisasi dengan tipe 100, yang tidak melebihi 109? Answer: 4118ffb9edc56a033b5b27ca0bf34366 Soal 205Peter mempunyai sembilan buah dadu bersisi empat (berbentuk piramidal), setiap sisi dadu diberi angka 1, 2, 3, 4. Peter dan Colin memutar dadu mereka, dan membandingkan hasil penjumlahannya: yang memiliki jumlah lebih besar akan menang. Hasil akan dianggap seri apabila hasil penjumlahan dari keduanya sama. Berapakah peluang dadu piramidal milik Peter mengalahkan dadu kubus milik Colin? Berikan jawaban Anda sampai tujuh angka di belakang koma dengan format 0.abcdefg Answer: ba6c6c3888227a0799eca38191b587be Soal 206Carilah bilangan bulat positif unik, yang kuadratnya memiliki bentuk 12_3_4_5_6_7_8_9_0, Answer: 09f9d87cb4b1ebb34e1f607e55a351d8 Soal 207Untuk beberapa bilangan bulat positif k, terdapat sebuah partisi bilangan bulat dengan bentuk 4t = 2t + k, Contoh dua partisi pertama adalah 41 = 21 + 2 dan 41.5849625... = 21.5849625... + 6. Partisi dimana t nya juga merupakan bilangan bulat disebut sempurna. Pada tabel berikut ini akan didaftarkan beberapa kemungkinan untuk P(m) P(5) = 1/1 Carilah nilai m terkecil, dimana P(m) < 1/12345 Answer: 3f17b264ed1717fe5fbde1e399bd501f Soal 208Sebuah robot bergerak dengan jalur satu per lima busur lingkaran (72°), dengan bebas memilih arah putaran, apakah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam pada setiap langkahnya, namun tidak boleh berputar saat diam di tempat. Salah satu dari 70932 jalur tertutup yang dibentuk dari 25 busur dimulai dari utara adalah Diketahui bahwa robot mula-mula menghadap utara, berapa banyak jalur tertutup yang dapat dibuat, dengan 70 buah busur (70 kali berjalan), sehingga setelah langkah terakhir robot, robot tersebut akan kembali ke titik awalnya? Answer: 3010e33173f30e0aac79e84835b48823 Soal 209Sebuah tabel kebenaran biner dengan k-buah input, didapatkan dengan memetakan k-buah input biner (angka biner, 0 [salah] atau 1 [benar]) menjadi 1 buah output biner. Sebagai contoh, tabel kebenaran biner dengan 2-buah input, untuk operasi logika AND dan XOR adalah: xyx AND y000010100111xyx XOR y000011101110 Berapa banyak hasil dari tabel kebenaran biner dengan 6-buah input τ, yang memenuhi τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b AND c)) = 0 Untuk semua 6-buah input biner (a, b, c, d, e, f)? Answer: 954157aa4762df2ee29580ee5a351b13 Soal 210Terdapat himpunan S(r) berisi titik (x,y) dengan koordinat yang berupa bilangan bulat yang memenuhi |x| + |y| r. Berapakah N(1,000,000,000)? Answer: 0c808b02789c4db462322ab2ac070bbb Soal 211Untuk bilangan bulat positif n, σ2(n) adalah hasil penjumlahan dari kuadrat pembagi habisnya. Sebagai contoh, σ2(10) = 1 + 4 + 25 + 100 = 130. Carilah hasil penjumlahan untuk semua n, 0 < n < 64,000,000 yang σ2(n) adalah kuadrat sempurna. Answer: 5fe0ed146690e7bca448687a94353a73 Soal 212Sebuah kubus sejajar sumbu, memiliki parameter { (x0,y0,z0), (dx,dy,dz) }, untuk semua titik (X,Y,Z) yang memenuhi x0 X x0+dx, y0 Y y0+dy dan z0 Z z0+dz. Volume dari kubus bisa didapat dengan hasil perkalian, dx × dy × dz. Sedangkan volume gabungan dari sekumpulan kubus didapat dengan cara menggabungkan semua kubus, dan dapat bernilai lebih kecil dibandingkan dengan jika kita menghitung volume kubus satu per satu, karena bisa saja terdapat kubus yang saling tumpang tindih (overlap). Misalkan C1,...,C50000 adalah kumpulan 50000 buah kubus yang sejajar sumbu, sehingga Cn mempunyai parameter x0 = S6n-5 modulo 10000 dimana S1,...,S300000 muncul dari "Lagged Fibonacci Generator": Untuk 1 k 55, Sk = [100003 - 200003k + 300007k3] (modulo 1000000) Sehingga, C1 memiliki parameter {(7,53,183),(94,369,56)}, C2 memiliki parameter {(2383,3563,5079),(42,212,344)}, dan seterusnya. Volume gabungan dari 100 kubus pertama, C1,...,C100, adalah 723581599. Berapakah volume gabungan dari semua 50000 buah kubus tersebut, C1,...,C50000 ? Answer: 76650c9c077929e1ce5a80a1ac81fa96 Soal 213Sebuah kotak-kotak berukuran 30×30 berisi 900 kutu, pada mulanya, satu kutu di tiap kotak. Berapakah nilai harapan banyaknya kotak yang kosong setelah lonceng dibunyikan 50 kali? Berikan jawaban Anda yang telah dibulatkan hingga enam angka di belakang koma. Answer: f81ee7dd444a3d895a4a446f9d115bf8 Soal 214Misalkan φ adalah fungsi Totient Euler, sehingga untuk bilangan asli n, φ(n) adalah banyaknya bilangan k, 1 k n, dimana FPB(k,n) = 1. Dengan mengulang-ulang fungsi φ, semua bilangan bulat positif akan berkurang terus menerus hingga mencapai 1. 5,4,2,1 7,6,2,1 8,4,2,1 9,6,2,1 10,4,2,1 12,4,2,1 14,6,2,1 18,6,2,1 Hanya dua dari rantai-rantai tersebut yang dimulai oleh bilangan prima, hasil penjumlahan kedua bilangan prima tersebut adalah 12. Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan prima kurang dari 40000000, yang akan menghasilkan rantai seperti di atas dengan panjang 25? Answer: 1cefd865483c03552d5247ffb05685c7 Soal 215Kita akan mengamati masalah membangun dinding, jika disediakan batu bata berukuran 2×1 dan 3×1 (Ukuran horizontal×vertikal), untuk kekuatan ekstra, celah antara dua baris batu bata tidak pernah membentuk garis lurus, atau dapat juga disebut tidak pernah terbentuk "running crack". Sebagai contoh, tembok berukuran 9×3 berikut ini tidak diperbolehkan, karena adanya garis lurus (running crack) yang ditunjukkan dengan garis merah: Terdapat delapan cara untuk membangun dinding berukuran 9×3 yang bebas garis lurus (running crack), dan dapat dituliskan W(9,3) = 8. Hitunglah W(32,10). Answer: 60212c9ec4a6cd1d14277c32b6adf2d8 Soal 216Terdapat bilangan t(n) dengan bentuk t(n) = 2n2-1 dengan n > 1. Berapakah banyaknya bilangan t(n) yang prima, untuk n 50,000,000 ? Answer: e512153424a482deb9de401ac0465a72 Soal 217Sebuah bilangan bulat positif dengan k-angka, disebut seimbang apabila hasil penjumlahan k/2-angka pertama sama dengan hasil penjumlahan k/2-angka terakhir, dimana x, adalah hasil pembulatan ke atas dari x, sehingga π = 4 dan 5 = 5. Sebagai contoh, semua bilangan palindrom adalah bilangan seimbang, contoh lainnya adalah 13722. T(n) adalah jumlah semua bilangan seimbang yang kurang dari 10n. Carilah T(47) mod 315 Answer: 11bff97aac06892e1a07ebf7febfa8db Soal 218Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a=7, b=24 dan c=25. Luas segitiga ini adalah 84, yang habis dibagi dengan bilangan sempurna 6 dan 28. Kita akan menyebut suatu segitiga siku-siku sempurna apabila Kita akan menyebut sebuah segitiga siku-siku sangat sempurna apabila Berapa banyak segitiga siku-siku yang bukan merupakan segitiga siku-siku sangat sempurna, dengan c1016? Answer: cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da Soal 219A dan B merupakan string biner (hanya berisi angka 0 dan 1). Sebuah kode bebas prefix dengan ukuran n adalah kumpulan n buah string biner berbeda, sehingga tidak ada string yang merupakan prefix string lainnya. Sebagai contoh, ini adalah sebuah kode bebas prefix dengan ukuran 6: 0000, 0001, 001, 01, 10, 11 Sekarang misalkan kita perlu membayar satu penny untuk mengirimkan sebuah bit '0', namun perlu empat penny untuk mengirimkan sebuah bit '1'. Berapakah Cost(109) ? Answer: 578c22ef288b88c60fbcf4541351aff5 Soal 220D0 adalah string berisi dua karakter "Fa". Sedangkan untuk n1, kita harus menurunkan Dn dari Dn-1 dengan aturan penulisan string: "a" "aRbFR" Sehingga, D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", dan seterusnya. String tersebut dapat di artikan sebagai suatu perintah pada aplikasi pembuat gambar di komputer, dengan "F" berarti "gambar garis ke depan satu satuan", "L" berarti "berputar ke kiri 90 derajat", "R" berarti "berputar ke kanan 90 derajat", dan "a" serta "b" diabaikan. Posisi awal kursor komputer adalah (0,0), dan menghadap ke atas, ke arah (0,1). Lalu Dn akan membentuk suatu gambar menarik yang dikenal sebagai Heighway Dragon dengan orde n. Sebagai contoh, D10 ditunjukan pada gambar berikut; dengan menghitung setiap huruf "F" sebagai satu langkah, titik (18,16) yang di tandai tersebut bisa dicapai setelah berjalan 500 langkah. Dimanakan posisi kursor setelah 1012 langkah di D50 ? Answer: e2018d8efde8ea00319f1adc042f150b Soal 221Kita akan menyebut sebuah bilangan bulat positif A sebagai "bilangan bulat Alexandrian", apabila terdapat bilangan bulat p, q, r yang memenuhi: A = p · q · r dan1A=1p+1q+1rSebagai contoh, 630 adalah sebuah bilangan bulat Alexandrian (p=5, q=7, r=18). Kenyataannya, 630 adalah bilangan bulat Alexandrian ke-6, 6 bilangan bulat Alexandrian pertama adalah: 6, 42, 120, 156, 420 and 630. Carilah bilangan bulat Alexandrian ke-150000. Answer: cb000c24f653d9c8f78b74123e6515ab Soal 222Berapakah panjang pipa terpendek, yang memiliki jari-jari dalam 50mm, yang bisa menampung 21 buah bola dengan jari-jari 30mm, 31mm, ..., 50mm? Berikan jawaban anda dalam satuan mikrometer (10-6 m) dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Answer: 6984ba429b968467619ec98a8ee51abf Soal 223Terdapat segitiga yang memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat, dengan panjang sisi a b c, segitiga ini akan disebut segitiga hampir lancip, apabila sisi-sisinya memenuhi Berapa banyak segitiga hampir lancip yang memiliki keliling 25,000,000? Answer: cb875e59736a1967c8da8fc8062a6bc5 Soal 224Sebuah segitiga yang mempunyai panjang sisi a b c dapat disebut segitiga hampir tumpul, jika sisi-sisinya memenuhi Berapa banyak segitiga hampir tumpul yang memiliki keliling 75,000,000? Answer: c43cfb12750dee27b4b0d016261e831b Soal 225Barisan 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... Dapat terlihat bahwa 27 tidak dapat membagi suku manapun dalam barisan ini. Carilah bilangan ganjil ke-124, yang tidak dapat membagi suku manapun dalam barisan di atas. Answer: f1981e4bd8a0d6d8462016d2fc6276b3 Soal 226Kurva blancmange adalah kumpulan titik (x,y) yang memenuhi 0 x 1 dan ,dimana s(x) = adalah selisih antara x dengan bilangan bulat terdekat. Luas di bawah kurva blancmange sama dengan ½, yang ditunjukkan dengan warna pink pada diagram berikut. Misalkan C adalah sebuah lingkaran dengan pusat (¼,½) dan jari-jari ¼, yang ditunjukkan dengan warna hitam pada diagram di atas. Berapakah luas daerah di bawah kurva blancmange, yang dibatasi oleh C? Answer: ce6fd32d1d2fb58c4c0c1f7962c39f04 Soal 227The Chase adalah sebuah permainan yang menggunakan dua buah dadu, dan dimainkan oleh pemain yang berjumlah genap. Para pemain duduk di sekitar sebuah meja; permainan dimulai dengan dua pemain yang saling bersebrangan masing-masing memegang sebuah dadu. Pada setiap giliran, kedua pemain akan melempar dadu tersebut. Jika permainan dimainkan oleh 100 orang, berapakah perkiraan banyaknya giliran yang terjadi hingga permainan berakhir?? Berikan jawaban anda yang dibulatkan sebesar sepuluh angka. Answer: 7b87cd0a96f0f2f12f911cdc66608d95 Soal 228Sn adalah bangun berjumlah sisi n yang memiliki titik sudut vk (k = 1,2,,n) have coordinates: xk = cos( 2k-1/n ×180° )yk = sin( 2k-1/n ×180° )Setiap Sn akan dianggap memiliki bagian sebelah dalam keliling yang terisi penuh. Hasil penjumlahan Minkowski S+T, dari dua buah bangun S dan T bisa didapat dengan cara menjumlahkan setiap titik di S kepada setiap titik di T, sesuai dengan koordinat masing-masing: (u, v) + (x, y) = (u+x, v+y). Sebagai contoh, hasil penjumlahan dari S3 dan S4 adalah bangun dengan enam sisi bewarna pink berikut: Berapakah banyaknya sisi yang dimiliki oleh S1864 + S1865 + + S1909? Answer: 35d0195ddaf58e52e12400de1c9333d8 Soal 229Perhatikan bilangan 3600. Bilangan ini sangat istimewa, karena 3600 = 482 + 362 3600 = 202 + 2×402 3600 = 302 + 3×302 3600 = 452 + 7×152 Dengan cara yang sama, kita dapat menebukan bahwa 88201 = 992 + 2802 = 2872 + 2×542 = 2832 + 3×522 = 1972 + 7×842. Pada tahun 1747, Euler membuktikan bahwa terdapat bilangan yang dapat direpresentasikan dengan penjumlahan dua bilangan kuadrat. Kita akan memperhatikan bilangan n yang bisa memenuhi keempat tipe representasi berikut ini: n = a12 + b12 n = a22 + 2 b22 n = a32 + 3 b32 n = a72 + 7 b72, dimana ak dan bk adalah bilangan bulat positif. Terdapat 75373 buah bilangan seperti di atas yang tidak melebihi 107. Answer: d68b5ec8df4a56991901f67afbdef24f Soal 230Untuk dua buah string berisi angka-angka A dan B, kita akan menyatakan FA,B sebagai barisan (A,B,AB,BAB,ABBAB,...), setiap suku didapat dengan cara menggabungkan dua buah suku sebelumnya. lebih jauh lagi, kita nyatakan DA,B(n) sebagai angka ke-n pada suku pertama dari FA,B yang memiliki setidaknya n buah angka. Contoh: Misalkan A=1415926535, B=8979323846. Kita akan mencari DA,B(35). Beberapa suku pertama dari FA,B adalah: Maka DA,B(35) adalah angka ke-35 pada suku ke lima, yaitu 9. Sekarang kita akan mengganti A dengan 100 buah angka di belakang koma dari π: 14159265358979323846264338327950288419716939937510 dan B diganti dengan 100 buah angka setelahnya lagi: 82148086513282306647093844609550582231725359408128 Carilah n = 0,1,...,17 10n× DA,B((127+19n)×7n) . Answer: 040735038021ff4704bbd3a0964369ef Soal 231Koefisien binomial 10C3 = 120. Answer: ef8bc4d9a843e71126bd10b5065132a5 Soal 232Dua pemain akan menggunakan sebuah koin yang sama, dan menggunakannya secara bergantian untuk bermain "balapan". Pada giliran permain pertama, ia melempar koin sekali: jika muncul gambar kepala, ia mendapatkan satu nilai; jika muncul gambar ekor, ia tidak mendapatkan nilai. Pada giliran pemain kedua, ia harus terlebih dahulu memilih sebuah bilangan bulat positif T, dan kemudian melempar koin sebanyak T kali: Jika pada semua lemparan muncul gambar kepala, ia mendapatkan nilai 2T-1; selain itu, ia tidak mendaptkan nilai. Pemain pertama memulai giliran pertama kali. Pemenangnya adalah pemain yang terlebih dahulu mencapai nilai 100 atau lebih. Pada setiap giliran pemain kedua akan selalu memilih bilangan T, yang membuatnya mempunyai peluang sebesar mungkin untuk menang. Berapakah peluang pemain 2 menang? Berikan jawaban Anda dengan dibulatkan sampai delapan angka di belakang koma, dengan format 0.abcdefgh . Answer: c8d5b243aa6e6b507725766f7c197a1d Soal 233f(N) adalah banyaknya titik pada lingkaran yang koordinatnya adalah bilangan bulat, di lingkaran yang melalui (0,0), (N,0),(0,N), dan (N,N). Dapat dibuktikan bahwa\ f(10000) = 36. Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif N 1011 sehingga f(N) = 420 ? Answer: 7e80b27798170abb493e3b4671bd82ca Soal 234Untuk bilangan bulat n 4, kita akan menyebut akar kuadrat prima bawah dari n, yang dilambangkan dengan lps(n), sebagai bilangan prima terbesar n, dan akan menyebut akar kuadrat prima atas dari n, dengan lambang ups(n), sebagai bilangan prima terkecil n. Sebagai contoh, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37. Hasil penjumlahan dari bilangan semidivisible yang kurang dari 15 adalah 30, bilangan semidivisible lainnya adalah 8, 10 dan 12. Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan semidivisible yang kurang dari 999966663333 ? Answer: c24a5d60f8ce5d04dec7466987c84d68 Soal 235Diberikan barisan aritmatik-geometrik u(k) = (900-3k)rk-1. Carilah nilai dari r yang memenuhi s(5000) = -600,000,000,000. Berikan jawaban Anda dibulatkan 12 angka di belakang koma. Answer: 41b13508789be1001308e065d4f83ea2 Soal 236Supplier 'A' dan 'B' menyediakan sejumlah barang untuk keranjang parsel mewah: Produk'A''B'Beluga Caviar5248640Christmas Cake13121888Gammon Joint26243776Vintage Port57603776Champagne Truffles39365664Namun, para supplier mencoba sekuat tenaga untuk mengirimkan barang mereka dengan kondisi sempurna, tetapi selalu terdapat kerusakan yang terlihat. Para supplier membandingkan performa mereka menggunakan dua cara statistik:
Mengejutkannya, para supplier menemukan, bahwa semua hasil metode rata-rata kerusakan per lima produk lebih buruk (besar) untuk 'B' dibandingkan untuk 'A' dengan perbandingan nilai rata-rata m>1; namun jika menggunakan metode rata-rata kerusakan keseluruhan, perbandingan rata-ratanya akan bernilai lebih buruk untuk 'A' dibandingkan dengan 'B', juga dengan nilai perbandingan m. Terdapat tiga puluh lima m>1 dimana kejadian mengejutkan seperti ini terjadi, kejadian dengan nilai perbandingan paling kecil adalah 1476/1475. Berapakah kemungkinan terbesar dari m? Answer: 6e707fcffc510520d981ae16a29579bb Soal 237T(n) adalah banyaknya jalur pada papan permainan berukuran 4 × n yang memiliki aturan:
Diagram berikut ini menunjukkan salah satu jalur dari papan berukuran 4 × 10: T(10) adalah 2329. Berapakah T(1012) modulo 108? Answer: 0742988a3948491b15fb48e476c78a6a Soal 238Create a sequence of numbers using the Blum Blum Shub pseudo-random number generator: s[0] = 14025256
s[n+1] = s[n]^2 mod 20300713
Concatenate these numbers s[0]s[1]s[2] to create a string w of infinite length. Then, w = 14025256741014958470038053646 For a positive integer k, if no substring of w exists with a sum of digits equal to k, p(k) is defined to be zero. If at least one substring of w exists with a sum of digits equal to k, we define p(k) = z, where z is the starting position of the earliest such substring. For instance: The substrings 1, 14, 1402, with respective sums of digits equal to 1, 5, 7, start at position 1, hence p(1) = p(5) = p(7) = = 1. The substrings 4, 402, 4025, with respective sums of digits equal to 4, 6, 11, start at position 2, hence p(4) = p(6) = p(11) = = 2. The substrings 02, 0252, with respective sums of digits equal to 2, 9, start at position 3, hence p(2) = p(9) = = 3. Note that substring 025 starting at position 3, has a sum of digits equal to 7, but there was an earlier substring (starting at position 1) with a sum of digits equal to 7, so p(7) = 1, not 3. We can verify that, for 0 < k 10^3, p(k) = 4742. Find p(k), for 0 < k 2·10^15. Answer: 424ed6613a372ccb9a90dddb8961ca16 Soal 239Satu set disk diberi nomor dari 1 hingga 100, dan diletakkan pada suatu barisan dengan urutan acak. Berapakah peluang kita menemukan persis 22 buah disk dengan bilangan prima berpindah tempat dari posisi aslinya? Berikan jawaban Anda yang dibulatkan 12 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghijkl. Answer: 451fd2b8c19fbfec650a5c4699f6ef6e Soal 240Terdapat 1111 cara untuk membuat lima buah dadu ber sisi 6 (sisinya diberi angka 1 sampai 6), untuk dapat diputar sehingga tiga dadu dengan nilai terbesar berjumlah 15. Beberapa contohnya adalah: Answer: cb31a3106db3876e77cd160664cd683e Soal 241Untuk bilangan bulat positif n, σ(n) adalah jumlah semua pembagi habis dari n, sehingga σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Bilangan sempurna, seperti yang mungkin sudah Anda ketahui, adalah bilangan dengan σ(n) = 2n. Kita akan menyatakan hasil bagi sempurna dari suatu bilangan bulat positif sebagaip(n)=σ(n) .n Carilah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif n 1018, dimana p(n) memiliki bentuk k + 12, dan dimana k adalah bilangan bulat. Answer: 556bfef2cacd1eff8af9126c5c13dcbc Soal 242Diberikan himpunan {1,2,...,n}, kita nyatakan f(n,k) adalah banyaknya himpunan bagian dengan k-anggota, yang hasil penjumlahan anggota-anggotanya adalah bilangan ganjil. Sebagai contoh, f(5,3) = 4, semenjak himpunan {1,2,3,4,5} memiliki empat buah himpunan bagian dengan 3 anggota, dan yang memiliki hasil penjumlahan ganjil adalah: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} and {2,4,5}. Saat nilai n, k dan f(n,k) ketiga-tiganya adalah ganjil, dapat kita katakan bahwa mereka membuat Terdapat persis lima triplet ganjil dengan n 10, yaitu: Berapakah banyaknya triplet ganjil dengan n 1012 ? Answer: ba73cb75365ddca8f94a23e3fedfb6de Soal 243Sebuah pecahan positif yang pembilangnya kurang dari penyebutnya akan kita sebut sebagai pecahan layak. Kita akan menyebut pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi sebagai pecahan paling sederhana. Carilah bilangan penyebut d terkecil, yang memiliki nilai ketahanan R(d) < 15499/94744 . Answer: 531721a10786c5c2a444b474fcf039f9 Soal 244Anda mungkin telah mengetahui permainan Fifteen Puzzle. Disini, bukan menggunakan kotak bernomor, kita akan menggunakan tujuh kotak merah dan delapan kotak biru. Sebuah gerakan dilambangkan dengan huruf kapital dari arah yang di inginkan (Left/Kiri, Right/Kanan, Up/Atas, Down/Bawah), yang akan melambangkan arah kotak bergeser untuk mengisi kotak kosong, sebagai contoh, dimulai dari konfigurasi (S), dengan urutan LULUR kita akan mencapai konfigurasi (E): (S),(E) Untuk setiap jalan, nilai checksum dapat dihitung dengan: checksum = 0 Dimana mk adalah nilai ASCII dari huruf ke-k, pada urutan gerak, dan nilai ASCII untuk masing-masing gerakan adalah:checksum = (checksum × 243 + m1) mod 100 000 007 checksum = (checksum × 243 + m2) mod 100 000 007 checksum = (checksum × 243 + mn) mod 100 000 007 L76R82U85D68 Untuk urutan LULUR di atas, nilai chekcsum yang ada adalah 19761398. Sekarang, dimulai dengan konfigurasi (S), carilah semua jalur terpendek untuk mencapai konfigurasi (T). (S),(T) Berapakah hasil penjumlahan dari semua checksums untuk jalur yang memiliki jarak terpendek? Answer: f8fd502ec1d0084a79d43d9dc5bd3a3d Soal 245Kita akan menyebut pecahan yang sudah tidak bisa disederhanakan lagi sebagai pecahan resilient. φ(d) , dimana φ adalah fungsi totient Euler.Kemudian, kita akan menyatakan coresilience dari n > 1 sebagai C(n)=d 1 n φ(n) .Nilai coresilience dari bilangan prima p adalah C(p)=n 1 1 .p 1 Carilah hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat komposit 1 < n 2×1011, dimana C(n) adalah pecahan dengan pembilang 1. Answer: 0ebeb502fb0bd7157609835d27c266bc Soal 246Definisi dari elips adalah: Pembentukkan titik-titik pada elips ditunjukkan pada gambar berikut. Diketahui terdapat titik M(-2000,1500) dan G(8000,1500). Berapa banyak titik potong P memiliki sudut RPS lebih besar dari 45 derajat? Answer: 94c521ffeb906391d161b66fec433827 Soal 247Perhatikan daerah yang dibatasi oleh 1 x dan 0 y 1/x. S1 adalah persegi terbesar yang bisa muat di bawah kurva. Diagram di atas menunjukkan beberapa persegi sesuai dengan aturan di atas, yang diberi nomor. Berapakah nilai n terbesar, yang memiliki indeks persegi Sn bernilai (3,3)? Answer: 257956694e7665e3d512ad5b819ef79d Soal 248Bilangan n pertama yang menghasilkan φ(n)=13! adalah 6227180929. Carilah bilangan ke-150,000 yang juga seperti itu. Answer: b69a3ba674f6c7c5f2ce244f9e9cc873 Soal 249S = {2, 3, 5, ..., 4999} adalah himpunan bilangan prima kurang dari 5000. Carilah banyaknya himpunan bagian dari S, yang hasil penjumlahan dari elemen-elemennya adalah bilangan prima. Answer: a470ee3ca52f2b68d7034e48b39b8b26 Soal 250Carilah banyaknya himpunan bagian tidak kosong dari {11, 22, 33,..., 250250250250}, yang hasil penjumlahan elemen-elemennya habis dibagi 250. Masukkan 16 angka terakhir dari jawaban Anda. Answer: 4a5614f3700956273fe0d271f921d5f4 Soal 251Sebuah triplet bilangan bulat positif (a,b,c) akan disebut triplet Cardano apabila memenuhi kondisi: Sebagai contoh, (2,1,5) adalah triplet Cardano. Terdapat 149 triplet Cardano dimana a+b+c 1000. Carilah berapa banyak triplet Cardano yang ada, dimana a+b+c 110,000,000. Answer: 9690315a09a4d9f58dcc19ad96e6e889 Soal 252Diberikan himpunan titik-titk pada suatu bidang, kita akan menyatakan lubang konveks sebagai poligon konveks yang dibentuk dari titik apapun, dan tidak berisi titik lain di sebelah dalamnya (titik masih boleh berada di keliling poligon). Sebagai contoh, gambar di bawah ini menunjukkan himpunan dari dua puluh buah titik, dan beberapa lubang konveks seperti yang dijelaskan di atas. Lubang konveks ditunjukkan oleh segi tujuh berwarna merah memiliki luas 1049694.5 satuan luas, dimana luas ini adalah luas terbesar yang memungkinkan dibentuk oleh lubang konveks pada titik-titik yang diberikan. Pada contoh di atas, 20 titik pertama (T2k1, T2k), untuk k = 1,2,,20, dicari dengan alat pembuat bilangan acak: S0=290797Sn+1=Sn2 mod 50515093Tn=( Sn mod 2000 ) 1000sehingga didapat (527, 144), (488, 732), (454, 947), Berapakah luas lubang konveks terbesar, pada kumpulan 500 titik pertama yang dibentuk dengan alat pembuat bilangan acak di atas? Answer: 53b1ced82e1b588d756750c4d2f77e0d Soal 253Seorang anak kecil memiliki ulat nomor yang berisi empat puluh buah jigsaw puzzle, setiap potong puzzle memiliki sebuah nomor padanya, sehingga, saat semua puzzle digabung dalam satu garis, akan muncul nomor 1 sampai 40 secara berurutan. Setiap malam, ayah dari anak tersebut harus mengambil potongan puzzle ulat yang telah tersebar di ruang bermain. Ia mengambil potongan puzzle secara acak, lalu meletakannya di urutan yang benar. For example: Banyak Potongan PuzzleBanyak Segmen Tercipta Sejauh ini121422936434554354 M adalah banyak maksimal dari segmen ulat yang bisa terbentuk pada saat puzzle ulat dirapikan secara acak. MKemungkinan1512 2250912 31815264 41418112 5144000 sehingga nilai M yang paling sering muncul adalah 3 dan rata-ratanya adalah 385643113400 = 3.400732, dibulatkan hingga enam angka di belakang koma. nilai M yang paling sering muncul untuk puzzle ulat dengan empat puluh potong puzzle adalah 11; namun berapakah nilai rata-rata dari M? Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga enam angka di belakang koma. Answer: 228de0a37019fd7c7051029f3d126422 Soal 254Dinyatakan f(n) adalah hasil penjumlahan dari faktorial angka-angka n. Sebagai contoh, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32. Dinyatakan sf(n) adalah hasil penjumlahan dari angka-angka pada f(n). Sehingga sf(342) = 3 + 2 = 5. Dinyatakan g(i) adalah bilangan bulat positif n terkecil, yang memenuhi sf(n) = i. Sehingga walaupun sf(342) adalah 5, sf(25) juga 5, jadi dapat disimpulkan bahwa g(5) adalah 25. Dinyatakan sg(i) sebagai hasil penjumlahan angka-angka pada g(i). Sehingga sg(5) = 2 + 5 = 7. Lebih lanjut, dapat dibuktikan bahwa g(20) adalah 267 dan sg(i) untuk 1 i 20 adalah 156. Berapakah sg(i) untuk 1 i 150? Answer: 936014adf2de65d41979ad900325e485 Soal 255Kita akan menyatakan suatu akar-kuadrat-dibulatkan sebuah bilangan bulat positif n, sebagai akar kuadrat dari n yang dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Prosedur berikut ini (didasari dari metode Heron yang diadaptasikan dengan aritmatika bilangan bulat) akan menemukan akar-kuadrat-dibulatkan dari n: d adalah banyaknya angka (digit) dari bilangan n. sampai xk+1 = xk. Sebagai contoh, kita akan mencari akar-kuadrat-dibulatkan dari n = 4321.
Banyaknya pengulangan (iterasi) yang diperlukan saat menggunakan metode ini cukup rendah. Dengan menggunakan prosedur seperti di atas, berapakah rata-rata banyaknya pengulangan (iterasi) yang diperlukan untuk mencari akar-kuadrat-dibulatkan dari bilangan 14 angka (digit) (1013 n < 1014)? Catatan: Lambang x dan x memiliki arti masing-masing dibulatkan ke bawah dan dibulatkan ke atas. Answer: 12be028b156b49faa1137febda940ab5 Soal 256Tatami adalah tikar berbentuk persegi panjang, yang digunakan untuk menutup seluruh lantai suatu ruangan, tanpa ada yang saling tumpang tindih satu sama lain. Diasumsikan bahwa hanya terdapat satu macam tatami dengan ukuran 1×2, maka akan terdapat beberapa batasan dari bentuk dan ukuran ruang yang lantainya bisa ditutupi. Untuk masalah ini, kita menganggap hanya ada ruangan berbentuk persegi panjang dengan ukuran berupa bilangan bulat a, b dan luas s genap, s = a·b. Terdapat satu aturan untuk menyusun tatami: tidak boleh ada titik yang menjadi tempat bertemu ujung empat tikar berbeda. Susunan di sebelah kiri dapat diterima, sedangkan yang di sebelah kanan tidak: tanda "X" bewarna merah di tengah-tengah, menandakan tempat dimana empat tatami bertemu. Karena aturan ini, beberapa ukuran dengan luas genap tertentu tidak bisa ditutupi oleh tatami: kita akan sebut mereka ruangan tanpa tatami. Ruangan tanpa tatami terkecil memiliki luas s = 70 dan berdimensi 7×10. Dengan cara yang sama, kita dapat buktikan bahwa T(1320) = 5, karena terdapat persis 5 buah ruangan tanpa tatami yang memiliki luas s = 1320: Carilah luas ruangan s terkecil, dimana T(s) = 200. Answer: ef8eb0c177d00a5b80e1723786a22698 Soal 257Diberikan sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi bilangan bulat a b c. (AB = c, BC = a and AC = b). Segmen garis EF, EG dan FG membagi segitiga ABC menjadi empat segitiga kecil: AEG, BFE, CGF dan EFG. Berapakah banyaknya segitiga ABC dengan panjang keliling100,000,000 yang memiliki nilai perbandingan luas(ABC)/luas(AEG) berupa bilangan bulat? Answer: 3ba58bde91c83c98904050d90e466ce2 Soal 258Sebuah barisan dinyatakan dengan:
Carilah gk mod 20092010 untuk k = 1018. Answer: 18eca0138f3acbde20dcc24ed06627ea Soal 259Sebuah bilangan bulat positif dikatakan dapat dicapai apabila bilangan tersebut dapat dibentuk dari operasi aritmatika yang memenuhi aturan berikut:
Sebagai contoh, 42 adalah bilangan yang dapat dicapai, karena (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42. Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif yang dapat dicapai? Answer: 771828a57c269d873335c9091af78f76 Soal 260Sebuah permainan dimainkan dengan tiga tumpuk batu dan dua pemain. Dengan kata lain, pemain memilih N>0 dan mengambil:
Sebuah susunan kemenangan adalah cara menyusun batu untuk membuat pemain pertama menjadi menang. Sebuah susunan kekalahan adalah cara menyusun batu untuk membuat pemain kedua menjadi pemenang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain pertama. Misalkan susunan kekalahan dinyatakan dengan (xi,yi,zi) dimana xi yi zi 100. Carilah Σ(xi+yi+zi) dimana (xi,yi,zi) adalah susunan kekalahan yang memenuhi Answer: cab69719e6968409ba167707a09875cb Soal 261Kita akan menyebut bilangan bulat positif k sebagai poros-kuadrat, jika terdapat sepasang bilangan bulat m > 0 dan n k, sehingga hasil penjumlahan dari (m+1) buah bilangan kuadrat berurutan sampai k sama dengan hasil penjumlahan dari m buah bilangan kuadrat berurutan dari (n+1): (k-m)2 + ... + k2 = (n+1)2 + ... + (n+m)2. Beberapa contoh poros-kuadrat kecil adalah
Carilah hasil penjumlahan dari semua poros-kuadrat berbeda 1010. Answer: d45ddf64010ed143228a6a6b84837de9 Soal 262Fungsi berikut ini akan menggambarkan topografi dari daerah kontinu suatu pegunungan, nilai ketinggian h di titik (x,y) manapun adalah: Seekor nyamuk akan terbang dari A(200,200) ke B(1400,1400), tanpa keluar dari daerah yang dibatasi 0x,y1600. Karena adanya halangan pada daerah pegunungan, nyamuk tersebut akan terbang ke atas pada titik A dengan ketinggian f. Lalu, dengan ketinggian f yang konstan, nyamuk tersebut akan terbang lurus melewati semua rintangan sampai tiba di titik B, persis di atas titik B. Pertama-tama, tentukan fmin, yaitu ketinggian minimum yang memungkinkan nyamuk melakukan perjalanan dari A ke B, pada batas yang telah ditentukan. Jarak terpendek tersebut adalah jawaban Anda, bulatkan hingga tiga angka di belakang koma. Catatan: Untuk memudahkan, fungsi ketinggian di atas diketik ulang di bawah, namun dalam bentuk yang cocok untuk sebagian besar bahasa pemrograman: Answer: a5921e175a44d31e7f82f7f9a61a36af Soal 263Perhatikan bilangan 6. Faktor dari 6 adalah: 1,2,3 dan 6. Sepasang bilangan prima berurutan dengan beda enam disebut pasangan seksi (karena kata "sex" adalah bahasa Latin untuk "enam"). Pasangan seksi pertama adalah (23, 29). Kita mungkin dapat menemukan pasangan seksi rangkap tiga, yang berarti terdapat tiga pasangan seksi berurutan, sehingga anggota ke dua dari setiap pasangan adalah anggota pertama dari pasangan selanjutnya. Kita akan menyebut bilangan n yang :
Carilah hasil penjumlahan empat buah bilangan surga insinyur pertama. Answer: 8fe3eb7196c69a080740e076cff9b4a1 Soal 264Diasumsikan semua segitiga memiliki sifat:
Terdapat sembilan buah segitiga seperti ini yang memiliki panjang keliling 50. A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3) A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4) A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4) A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5) A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7) A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7) A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7) A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) Hasil penjumlahan keliling-keliling segitiga tersebut, dibulatkan hingga empat angka di belakang koma adalah 291.0089. Carilah segitiga seperti di atas dengan panjang keliling 105. Answer: 287514a045a38be0a75a1786694c77ee Soal 2652N angka biner dapat diletakkan pada sebuah lingkaran, sehingga jika N-digit sub-barisan dibaca searah jarum jam semuanya berbeda. Untuk N=3, memungkinkan dibuat dua susunan melingkar yang memenuhi aturan di atas, hasil rotasi dapat diabaikan: Untuk lingkaran di sebelah kiri, hasil 3-digit sub-barisan yang ada, dibaca searah jarum jam, adalah: Setiap susunan melingkar dapat di terjemahkan menjadi bilangan dengan cara menyatukan semua digit biner, dimulai dari sub-barisan yang semua digitnya nol sebagai bit paling kiri, dan berlanjut searah jarum jam. Dua susunan untuk N=3 dapat diterjemahkan menjadi 23 dan 29: 00010111 2 = 23 00011101 2 = 29 S(N) adalah hasil penjumlahan dari bilangan-bilangan hasil terjemahan berbeda, kita dapat melihat bahwa S(3) = 23 + 29 = 52. Carilah S(5). Answer: c25cebbc8dce4bdcf96cb395a11afcc3 Soal 266Faktor dari 12 adalah: 1,2,3,4,6 dan 12. p adalah hasil kali bilangan prima kurang dari 190. Answer: 32da1d501e539ab509f104e2db68d57a Soal 267Anda diberikan kesempatan investasi unik. Dengan modal awal £1, Anda dapat memilih sebanyak f bagian, dari modal Anda untuk dipertaruhkan pada permainan lempar koin berulang-ulang sampai 1000 kali lemparan. Anda mendapat dua kali lipat dari taruhan Anda jika muncul sisi kepala pada koin, dan Anda harus menyerahkan taruhan Anda jika muncul sisi ekor pada koin. Sebagai contoh, jika f = 1/4, untuk lemparan koin pertama Anda mempertaruhkan £0.25, dan jika muncul sisi kepala, anda mendapatkan £0.5 sehingga Anda memiliki total £1.5. Lalu Anda kembali mempertaruhkan £0.375 dan jika hasil lemparan kedua Anda adalah ekor, maka sisa uang Anda menjadi £1.125. Dengan memilih nilai f terbaik, yang dapat memaksimalkan peluang Anda untuk memenangkan setidaknya £1,000,000,000 setelah 1,000 kali lemparan koin, berapakah peluang Anda menjadi seorang miliyarder? Segala perhitungan diasumsikan eksak (tidak ada pembulatan), namun berikan jawaban Anda dibulatkan 12 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghijkl. Answer: b8dd3306c2c64eacb0ac36b414892edb Soal 268Dapat dibuktikan bahwa terdapat 23 buah bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang habis dibagi oleh setidaknya empat buah bilangan prima berbeda kurang dari yang 100. Carilah berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 1016 yang habis dibagi oleh setidaknya empat buah bilangan prima kurang dari 100. Answer: 6f84b20c10311cb24a824416a3c3e0a4 Soal 269Akar dari sebuah polinom P(x) adalah nilai x yang akan membuat polinom memenuhi persamaan P(x) = 0. Dapat kita lihat bahwa:
Dinyatakan Z(k) sebagai banyaknya bilangan bulat positif n, yang tidak melebihi k, dimana polinom Pn memiliki setidaknya satu akar bilangan bulat. Dapat dibuktikan bawha Z(100 000) adalah 14696. Berapakah Z(1016)? Answer: f7ba868cb52a9b9c7e58b1b92e230be8 Soal 270Sebuah kertas berbentuk persegi dengan ukuran N×N, N adalah bilangan bulat, diletakkan dengan salah satu titik sudutnya terletak pada origin (0,0), dan dua titik sudut lainnya diletakkan sepanjang sumbu x dan y. Kemudian, kita potong kertas tersebut dengan mengikuti aturan berikut:
Dengan menganggap hasil refleksi atau rotasi sebagai hasil yang berbeda, C(N) adalah banyaknya cara untuk memotong persegi berukuran N×N. Sebagai contoh, C(1) = 2 dan C(2) = 30 (ditunjukkan pada gambar berikut). Berapakah C(30) mod 108 ? Answer: 2a592dfd1e9e3e9e38578affa7c72605 Soal 271Untuk bilangan positif n, dinyatakan S(n) sebagai hasil penjumlahan bilangan bulat x, dimana 1 Saat n=91, terdapat 8 kemungkinan nilai untuk x, yaitu : 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Carilah S(13082761331670030). Answer: c4157aab542bd0dfa465c890e1286cc5 Soal 272Untuk bilangan positif n, dinyatakan C(n) sebagai banyaknya bilangan bulat x, dimana 1 Saat n=91, terdapat 8 kemungkinan nilai untuk x, yaitu : 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Carilah hasil penjumlahan bilangan positif n1011 dimana C(n)=242. Answer: d84d2020055b3e8867dc359e739e0312 Soal 273Terdapat sebuah persamaan dengan bentuk: a2 + b2 = N, 0 a b, a, b dan N adalah bilangan bulat. Untuk N=65 terdapat dua solusi: a=1, b=8 dan a=4, b=7. Kita akan menyebut S(N) sebagai hasil penjumlahan semua nilai a dari semua solusi pada a2 + b2 = N, 0 a b, a, b dan N adalah bilangan bulat. Sehingga S(65) = 1 + 4 = 5. Carilah S(N), untuk semua bilangan bukan kuadrat N yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima dengan bentuk 4k+1, dengan 4k+1 < 150. Answer: 2b03731e58e9d60e559ee5fdce4f0d14 Soal 274Untuk setiap bilangan bulat p > 1 yang koprima dengan 10, selalu terdapat bilangan kelipatan faktor positif m < p yang menjaga suatu bilangan tetap habis dibagi oleh p untuk fungsi berikut ini untuk segala bilangan bulat positif, n: f(n) = (semua kecuali digit terakhir dari n) + (digit terakhir dari n) * m Sehingga, jika m adalah kelipatan faktor untuk p, maka f(n) habis dibagi oleh p jika dan hanya jika n habis dibagi oleh p. (Saat n jauh lebih besar dibanding p, f(n) akan kurang dari n dan proses berulang dari f akan menghasilkan bilangan yang habis dibagi p.) Sebagai contoh, kelipatan faktor untuk 113 adalah 34. f(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797 : 76275 dan 7797 keduanya habis dibagi 113 Hasil penjumlahan kelipatan faktor untuk bilangan prima yang koprima dengan 10 dan kurang dari 1000 adalah 39517. Berapakah hasil penjumlahan dari kelipatan faktor untuk bilangan prima yang koprima dengan 10 dan kurang dari 107? Answer: ffd68ca67b9c3ea2653d375051e70288 Soal 275Kita akan menyatakan sebuah patung seimbang dengan orde n sebagai berikut:
Saat menghitung patung, segala macam susunan yang merupakan refleksi terhadap sumbu y tidak dianggap berbeda. Sebagai contoh, terdapat 18 patung seimbang dengan orde 6 yang ditunjukkan pada gambar di bawah; perlu diingat bahwa setiap pasang patung hasil pencermina (terhadap sumbu y) dihitung sebagai satu patung: Terdapat 964 patung seimbang dengan orde 10 dan 360505 dengan orde 15. Answer: a2a192f9790dcbfe4b450a82c4461d4a Soal 276Terdapat segitiga dengan panjang sisi a, b dan c berupa bilangan bulat dengan a b c. Answer: 29ae64e74ebfdf459dac56786e95c5d5 Soal 277Sebuah barisan Collatz yang telah dimodifikasi berisi bilangan bulat yang dimulai dari a1 dan didapatkan dengan cara berikut: an+1 = an/3 jika an habis dibagi 3. Kita akan menyebut ini sebagai langkah turun besar (large downward step), "D". an+1 = (4an + 2)/3 jika an dibagi 3 menghasilkan sisa 1. Kita akan menyebut ini sebagai langkah naik (upward step), "U". an+1 = (2an - 1)/3 jika an dibagi 3 menghasilkan sisa 2. Kita akan menyebut ini sebagai langkah turun kecil (small downward step), "d". Barisan berhenti saat terdapat an = 1. Diberikan bilangan bulat sembarang, kita dapat mendaftarkan daftar langkah-langkahnya. Tentu saja, terdapat barisan lain yang dimulai dengan langkah-langkah yang sama "DdDddUUdDD....". Berapakah nilai a1 > 1015 terkecil yang dimulai dengan barisan "UDDDUdddDDUDDddDdDddDDUDDdUUDd"? Answer: 9508afff135320c18d82c93a8b70cd11 Soal 278Diketahui terdapat bilangan bulat 1 < a1 < a2 <... < an, maka terdapat kombinasi linear Perlu diingat bahwa untuk sekumpulan ak, tidak semua nilai b bisa digunakan. Carilah f(p*q,p*r,q*r), dimana p, q dan r adalah bilangan prima dan p < q < r < 5000. Answer: 7e680606b5e9890a19894dbdbbbd102a Soal 279Berapa banyak segitiga yang memiliki panjang sisi bilangan bulat, dan setidaknya satu buah sudut bilangan bulat (diukur dalam derajat), serta panjang kelilingnya tidak melebihi 108? Answer: 1f51455a8180fdeeb21285dfb6cba45f Soal 280Seekor semut pekerja berjalan secara acak pada kisi berukuran 5x5. Perjalanan dimulai dari kotak paling tengah. Pada setiap langkahnya, semut bergerak ke kotak di sebelahnya secara acak, tetapi tidak keluar dari kisi; sehingga terdapat 2, 3 atau 4 gerakan yang mungkin pada setiap langkah, tergantung dimana semut tersebut berada. Saat memulai perjalanan, sebuah biji diletakkan pada setiap kotak di barisan paling bawah. Saat semut tidak membawa biji semut akan bergerak ke kotak bagian bawah yang terdapat biji, semut tersebut akan mengambil biji dari kotak. Semut tersebut akan menjatuhkan biji ke kotak kosong pada baris di atasnya yang pertama kali dicapai. Berapakah banyaknya langkah sampai semua biji dijatuhkan hingga baris paling atas? Answer: 27f07f04d1908e5ce4fa6eac09881cc2 Soal 281Anda diberikan sebuah pizza (berbentuk lingkaran sempurna) yang telah dipotong menjadi m·n buah potongan dan Anda ingin memiliki persis satu macam topping pada setiap potongnya. f(m,n) menyatakan banyaknya cara meletakkan topping pada pizza dengan m macam topping berbeda (m 2), dengan menggunakan setiap topping persis pada n potong pizza (n 1). Sebagai contoh, f(2,1) = 1, f(2,2) = f(3,1) = 2 dan f(3,2) = 16. Carilah hasil penjumlahan dari semua f(m,n) yang memenuhi f(m,n) 1015. Answer: ceee6ced9d64aad844310c8ce2aae2b7 Soal 282Untuk bilangan bulat tidak negatif m, n, fungsi Ackermann A(m, n) dinyatakan sebagai berikut: Sebagai contoh A(1, 0) = 2, A(2, 2) = 7 dan A(3, 4) = 125. Carilah A(n, n) dan berikan jawaban Anda yang telah di modulo dengan 148.Answer: a1cc665e127af4e907e13087ee777bd5 Soal 283Terdapat segitiga dengan panjang sisi 6, 8 dan 10. Dapat dilihat bahwa panjang keliling dan luasnya sama-sama 24. Sehingga perbandingan luas/keliling-nya sama dengan 1. Carilah hasil penjumlahan keliling semua segitiga yang bersisi bilangan bulat, dimana segitiga tersebut memiliki perbandingan luas/keliling berupa bilangan bulat positif tidak melebihi 1000. Answer: 08afda4bc05c8f3ef71c9ffea1ddc0c8 Soal 284Bilangan 3-digit 376 dalam sistem bilangan desimal adalah salah satu contoh bilangan yang memiliki sifat spesial, yaitu digit akhir dari hasil kuadratnya juga sama dengan angka tersebut: 3762 = 141376. Kita akan menyebut bilangan dengan sifat ini sebagai bilangan kuadrat mantap. Bilangan kuadrat mantap juga dapat dilihat pada sistem bilangan lain. Pada sistem bilangan basis 14, bilangan 3-digit c37 juga merupakan bilangan kuadrat mantap: c372 = aa0c37, dan hasil penjumlahan digit-digitnya adalah c+3+7=18 di basis bilangan yang sama. Huruf a, b, c dan d digunakan untuk melambangkan 10, 11, 12 dan 13 secara berurutan, dengan cara perlakuan yang sama dengan sistem bilangan heksadesimal. Untuk 1 n 9, hasil penjumlahan dari semua digit-digit pada bilangan kuadrat mantap dengan n-buah digit pada sistem bilangan basis 14 adalah 2d8 (582 dalam desimal). Bilangan kuadrat mantap dengan angka 0 di depan tidak diperbolehkan. Carilah hasil penjumlahan semua digit-digit dari bilangan kuadrat mantap dengan n-buah digit dalam sistem bilangan basis 14 untuk Answer: aff724582e583649876f518f9b340a69 Soal 285Albert memilih sebuah bilangan bulat positif k, kemudian dua bilangan real a, b dipilih secara acak pada interval [0,1] dengan sebaran uniform. Sebagai contoh, jika k = 6, a = 0.2 dan b = 0.85, maka (k·a+1)2 + (k·b+1)2 = 42.05. Dapat dibuktikan apabila ia bermain 10 putaran dengan k = 1, k = 2, ..., k = 10, maka nilai harapan (expected value) dari total skor yang kemungkinan akan dicapai, dibulatkan hingga lima angka di belakang koma, adalah 10.20914. Jika ia bermain sebanyak 105 putaran dengan k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105, berapakah nilai harapan (expected value) dari total skornya, dibulatkan hingga lima angka di belakang koma? Answer: bbae95d0ce2999cae57782c3746aecb6 Soal 286Barbara adalah seorang ahli matematika dan juga seorang pemain basket. Ia menemukan bahwa kemungkinan untuk mencetak nilai saat melakukan shooting bola dari jarak x adalah (1 -x/q), dimana q adalah konstanta bilangan real lebih besar dari 50. Setiap latihan, ia mencoba melakukan shooting dari jarak x = 1, x = 2, ..., x = 50 dan, bedasarkan catatan dia, ia memiliki tepat 2 % peluang untuk mencetak skor dengan total nilai persis 20 poin. Carilah nilai q dan berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma. Answer: cc5a1ef0deabf698733bcef4f1149498 Soal 287Algoritma quadtree encoding memungkinkan kita untuk dapat menuliskan gambar hitam dan putih berukuran 2N×2N sebagai barisan bit (0 dan 1). Barisan tersebut dibaca dari kiri ke kanan seperti ini:
Perhatikan gambar berukuran 4×4 berikut (tanda berwarna menunjukkan tempat dimana proses pemisahan dapat berlangsung): Gambar ini dapat dituliskan dengan beberapa barisan, sebagai contoh :"001010101001011111011010101010", dengan panjang 30, atau Untuk bilangan bulat positif N, dinyatakan DN sebagai gambar berukuran 2N×2N dengan aturan pewarnaan:
Berapakah panjang barisan terpendek yang dapat menggambarkan gambar D24 ? Answer: 6c2beec8a6c0bc788d5e45c317b0d7ca Soal 288Untuk setiap bilangan prima p hasil N(p,q) dinyatakan dengan N(p,q) = n=0 sampai q Tn*pn S0 = 290797 Misal Nfac(p,q) adalah faktorial dari N(p,q). Diketahui NF(3,10000) mod 320=624955285. Carilah NF(61,107) mod 6110 Answer: 192bf4aa33ea85e922d583f60fe99955 Soal 289Misal C(x,y) adalah lingkaran yang melalui titik (x, y), (x, y+1), (x+1, y) dan (x+1, y+1). Untuk bilangan bulat m dan n, misal E(m,n) adalah konfigurasi yang dibentuk dari lingkaran m·n: Sebuah siklus Eulerian pada E(m,n) adalah lintasan tertutup yang melalui setiap busur persis satu kali. Gambar berikut ini menunjukkan E(3,3) dan juga merupakan sebuah contoh dari lintasan Eulerian yang tidak memotong dirinya sendiri. Misal L(m,n) adalah banyaknya lintasan Eulerian yang tidak memotong dirinya sendiri pada E(m,n). Carilah L(6,10) mod 1010. Answer: 9fa32696df356b3d41faa7dd278c88a9 Soal 290Berapa banyak bilangan bulat 0 n < 1018 yang memiliki sifat hasil penjumlahan digit-digit dari n sama dengan hasil penjumlahan digit-digit dari 137n? Answer: 8246684fec8ece9f0ee3c9898c8c9d6a Soal 291Sebuah bilangan prima p akan disebut sebagai prima Panaitopol jika untukx dan y bilangan bulat. Carilah berapa banyak prima Panaitopol yang kurang dari 5×1015. Answer: 15d4b4d97452ca7d219e3fa72f6b7aef Soal 292Kita akan menyatakan sebuah poligon pythagoras sebagai sebuah poligon konveks dengan sifat-sifat berikut:
Jika diberikan bilangan bulat n, dapat dinyatakan P(n) sebagai banyaknya poligon pythagoras berbeda yang memiliki keliling n. Diketahui P(4) = 1, P(30) = 3655 dan P(60) = 891045. Answer: 27f50f02ef10f170379b144435e0144b Soal 293Sebuah bilangan genap positif N dapat dikatakan admissible, jika angka tersebut merupakan bilangan 2x {x bilangan asli}, atau faktor primanya merupakan bilangan prima berbeda yang berurutan. Jika N admissible, maka dapat ditentukan bilangan bulat terkeci M > 1 yang memenuhi N+M prima, M akan disebut angka pseudo-Fortunate untuk N.. Sebagai contoh, N=630 adalah admissible, karena angka tersebut merupakan bilangan genap dan faktor primanya adalah berurutan, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Carilah jumlah dari semua bilangan pseudo-Fortunate berbeda untuk bilangan admissible N kurang dari 109. Answer: db116b39f7a3ac5366079b1d9fe249a5 Soal 294Untuk bilangan bulat k, dinyatakan d(k) sebagai hasil penjumlahan digit-digit dari k dalam representasi desimalnya seperti biasa. Sehingga d(42) = 4+2 = 6. Untuk bilangan bulat n, dinyatakan S(n) sebagai banyaknya bilangan bulat k < 10n yang memenuhi sifat berikut:
Diketahui S(9) = 263626 dan S(42) = 6377168878570056. Carilah S(1112) dan berikan jawaban Anda yang telah di mod 109. Answer: aefe049404a284c7d27fab3887c6c4a2 Soal 295Kita akan menyebut daerah konveks yang dibatasi oleh dua lingkaran sebagai sebuah lubang lentikular jika:
Perhatikan lingkaran: Lingkaran C0, C1 dan C2 digambarkan pada gambar berikut. C0 dan C1 membentuk lubang lentikular, hal yang sama juga terjadi pada lingkaran C0 dan C2. Kita akan menyebut pasangan berurutan dari bilangan real positif (r1, r2) sebagai sebuah pasangan lentikular jika terdapat dua lingkaran dengan panjang jari-jari r1 dan r2 yang membentuk lubang lentikular. Kita dapat membuktikan bahwa (1, 5) dan (5, 65) adalah pasangan lentikular pada contoh di atas. Misal L(N) adalah banyaknya pasangan lentikular berbeda (r1, r2) dimana 0 < r1 r2 N. Carilah L(100 000). Answer: 5beaace6425205fe879116ee07dae961 Soal 296Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi bilangan bulat dengan BC AC AB. Berapa banyak segitiga ABC dengan panjang keliling kurang dari 100 000 yang ada, yang memiliki panjang BE berupa bilangan bulat? Answer: 45986a4405b2dd6c163516319e0c4a1b Soal 297Setiap suku baru dalam barisan Fibonacci dibentuk dengan menjumlahkan dua suku sebelumnya. Setiap bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan suku-suku tidak berurutan pada barisan Fibonacci. Sebagai contoh, 100 = 3 + 8 + 89. Untuk setiap bilangan bulat n>0, dinyatakan z(n) adalah banyaknya suku pada representasi Zeckendorf untuk n. Carilah z(n) untuk 0 Answer: d3fd75f5447698748a826562750a1986 Larry dan Robin memainkan sebuah permainan ingatan yang melibatkan barisan bilangan acak antara 1 dan 10, yang disebutkan satu persatu. Setiap pemain dapat mengingat sampai 5 buah bilangan sebelumnya. Saat bilangan yang disebutkan ada pada ingatan salah satu pemain, pemain tersebut mendapatkan poin. Jika tidak, pemain tersebut menambahkan bilangan yang baru disebutkan tadi ke ingatannya, dan menghapus bilangan lain jika ingatannya sudah penuh. Kedua pemain memulai permainan dengan ingatan kosong. Kedua pemain selalu menambahkan bilangan baru ke ingatan mereka, namun mereka menggunakan strategi yang berbeda untuk memilih bilangan mana yang harus dihapus: Contoh permainan: Jika skor Larry dilambangkan dengan L dan skor Robin dilambangkan dengan R, berapakah nilai harapan (expected value) dari |L-R| setelah 50 kali putaran? Berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga delapan angka di belakang koma dengan format x.xxxxxxxx . Answer: d078fd564995aa2a813a29f44ad79611 Empat buah titik dengan koordinat bilangan bulat dipilih: Mudah untuk membuktikan bahwa tiga buah segitiga sebangun, namun hanya jika a=c. Sehingga, diketahui a=c, kita akan mencari triplet (a,b,d) sehingga setidaknya terdapat satu titik P (dengan koordinat bilangan bulat) yang ada pada garis AC, yang akan membuat tiga segitiga ABP, CDP dan BDP semuanya sebangun. Sebagai contoh, jika (a,b,d)=(2,3,4), dapat dengan mudah dibuktikan bahwa titik P(1,1) memenuhi kondisi di atas. Perlu diingat bahwa triplet (2,3,4) dan (2,4,3) dianggap berbeda, walaupun titik P(1,1) berlaku untuk keduanya. Jika b+d<100, maka akan terdapat 92 triplet berbeda (a,b,d) yang memiliki titik P. Jika b+d<100 000 000, berapa banyak triplets berbeda (a,b,d) yang memiliki titik P? Answer: fb8f093361a6db56c8a1d1661ab229cd Pada bentuk yang paling sederhana, kita dapat menganggap protein sebagai barisan yang terdiri dari unsur hidrofobik (H) dan polar (P), sebagai contoh HHPPHHHPHHPH. Saat protein bertemu dengan protein lainnya di alam, mereka selalu melipat dirinya sedemikian sehingga banyaknya titik temu H-H menjadi sebanyak mungkin, karena akan menguntungkan jika ditinjau dari energinya. Gambar berikut ini menunjukkan dua kemungkinan cara sebuah protein dapat dilipat (titik temu H-H ditunjukkan dengan titik berwarna merah). Lipatan sebelah kiri hanya memiliki enam buah titik temu H-H, sehingga lipatan ini tidak akan terjadi secara alamiah. Jika diasumsikan bahwa unsur H dan P memiliki peluang yang sama untuk muncul di posisi manapun pada barisan, jumlah rata-rata dari titik temu H-H pada pelipatan barisan protein acak yang sudah optimal dengan panjang barisan protein 8, adalah 850/28=3.3203125. Berapakah jumlah rata-rata titik temu H-H pada pelipatan optimal dari barisan protein acak dengan panjang barisan protein 15? Answer: 5a0d6315bc18279c46a1fb8cbd2f16b5 Soal 301Nim adalah sebuah permainan yang dimainkan menggunakan tumpukan batu, dimana dua pemain mengambil batu sebanyak yang diinginkannya dari tumpukan manapun, sampai tidak ada batu tersisa. Kita akan memainkan permainan Nim versi normal tiga tumpukan, yang memiliki aturan sebagai berikut: Jika (n1,n2,n3) melambangkan Nim dengan masing-masing tumpukan memiliki n1, n2 dan n3 buah batu, maka terdapat fungsi sederhana X(n1,n2,n3) yang bisa anda cari atau anda coba simpulkan sendiri yang akan menghasilkan:
Sebagai contoh X(1,2,3) = 0 karena, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain pertama, lawannya selalu akan dapat melakukan gerakan yang akan meninggalkan dua buah tumpukan dengan jumlah batu yang sama, yang dimana setiap gerakan pemain pertama akan selalu dapat diikuti oleh lawannya sampai tidak ada batu tersisa; sehingga pemain pertama akan kalah. Untuk mengambarkan: Untuk berapa banyak bilangan bulat n 230 yang menyebabkan X(n,2n,3n) = 0 ? Answer: f47b7d975a5ebd3b66af0968ef5e1cdb Soal 302Sebuah bilangan bulat n disebut kuat jika p2 dapat membagi habis n dan p adalah semua faktor prima dari n. Sebuah bilangan bulat positif n disebut sebagai sebuah pangkat sempurna jika n dapat dinyatakan sebagai hasil perpangkatan bilangan bulat positif lain. Sebuah bilangan bulat positif n disebutr sebagai sebuah bilangan Achilles jika n adalah bilangan kuat namun bukan merupakan bilangan pangkat sempurna. Sebagai contoh, 864 dan 1800 adalah bilangan Achilles: 864 = 25·33 dan 1800 = 23·32·52. Kita akan menyebut sebuah bilangan bulat positif S sebagai bilangan Achilles kuat jika S dan φ(S) keduanya adalah bilangan Achilles.1 Terdapat 7 buah bilangan Achilles kuat kurang dari 104 dan 656 buah yang kurang dari 108. Berapakah banyaknya bilangan Achilles kuat yang kurang dari 1018? 1 φ menyatakan fungsi totient Euler's. Answer: 1ea8b8d64cead5149721a128b0de378c Soal 303Untuk bilangan bulat n, dinyatakan f(n) sebagai bilangan positif kelipatan n terkecil, yang ditulis di basis 10, dan hanya menggunakan digit 2. Sehingga f(2)=2, f(3)=12, f(7)=21, f(42)=210, f(89)=1121222. Juga, .Carilah .Answer: b904a0b3d922e628a828e744ee7d3a60 Soal 304Untuk setiap bilangan bulat positif n fungsi next_prime(n) akan menghasilkan bilangan prima terkecil p Barisan a(n) dinyatakan dengan: Barisan fibonacci f(n) dinyatakan dengan: f(0)=0, f(1)=1 dan f(n)=f(n-1)+f(n-2) untuk n>1. Barisan b(n) dinyatakan sebagai f(a(n)). Carilah b(n) untuk 1n100 000. Berikan jawaban Anda yang telah di mod 1234567891011. Answer: 499427a3e4bf9ad34a6df3056604b4c1 Soal 305Kita akan menyebut S sebagai deretan (tak hingga) yang dibuat dengan menyatukan bilangan bulat positif berurutan (dimulai dari 1) yang ditulis dalam basis 10. Dapat dengan mudah terlihat bahwa semua bilangan akan muncul sebanyak tak hingga kali pada S. Kita akan menyebut f(n) sebagai posisi mulai munculnya angka n yang ke n-kali di S. Carilah f(3k) untuk 1k13. Answer: 9def85298f598867d361e4afca8cdd96 Soal 306Permainan berikut ini adalah contoh klasik dari Teori Permainan Kombinatorial: Dua pemain memulai permainan dengan sepotong kertas yang memiliki n buah persegi putih, dan mereka melakukan permainan secara bergiliran.
Sehingga, untuk 1 n 5, terdapat 3 buah nilai n yang akan membuat pemain pertama menjadi pemenang. Untuk 1 n 1 000 000, berapa banyak nilai n yang ada, yang akan menyebabkan pemain pertama menang? Answer: 394d602ba21e30693db90c9ecd4bd3a2 Soal 307k buah kecacatan tersebar secara acak pada n buah chip integrated-circuit yang diproduksi oleh sebuah pabrik (beberapa kecacatan dapat ditemui dalam satu chip, dan setiap kecacatan berbeda dengan kecacatan lainnya). p(k,n) adalah peluang terdapat sebuah chip yang memiliki setidaknya 3 kecacatan. Carilah p(20 000, 1 000 000) dan berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghij Answer: 0c49094fa750365e13bb20ec4a158b6d Soal 308Sebuah program ditulis dalam bahasa pemrograman Fractran yang terdiri dari daftar pecahan. Bagian dalam dari Fractran Virtual Machine mengandung bilangan bulat positif, yang di setel untuk mengeluarkan berbagai bilangan. Setiap hasil iterasi dari program Fractran didapatkan dengan mengalikan bilangan bulat di dalam dengan pecahan pertama pada daftar yang akan menghasilkan bilangan bulat juga setelah dikalikan. Sebagai contoh, salah satu program Fractran yang ditulis oleh John Horton Conway untuk membentuk bilangan prima terdiri dari 14 buah pecahan berikut: Dimulai dengan bilangan bulat 2, iterasi selanjutnya yang sesuai dengan aturan di atas akan menghasilkan barisan: Bilangan perpangkatan 2x yang muncul di barisan ini adalah 22, 23, 25, ... Jika seseorang mengguanakn program Fractran di atas untuk menyelesaikan Project Euler Soal 7 (mencari pilangan prima ke-10001), berapa banyak iterasi yang dibutuhkan sampai program menghasilkan 2bilangan prima ke-1000 ? Answer: 43e736dfc6478a52653814248a71771d Soal 309Dalam permasalhan "Tangga Menyilang" klasik, kita diberikan informasi panjang dari dua buah tangga sebagai x dan y, kedua tangga bersandar pada tembok di seberangnya dan ujung-ujungnya berada di tepi jalan sempit. Kita juga diberikan informasi tentang tinggi titik persilangan tangga h jika diukur dari jalan, dan kita diminta untuk mencari lebar jalan (w). Di soal ini, kita hanya akan melihat kondisi dimana ke empat variabel adalah bilangan bulat positif. Kenyataannya, untuk bilangan bulat x, y, h dan 0 < x < y < 200, hanya ada lima buah triplet (x,y,h) yang akan menghasilkan solusi bilangan bulat untuk w: Untuk bilangan bulat x, y, h dan 0 < x < y < 1 000 000, berapa banyak triplet (x,y,h) yang akan menghasilkan solusi bilangan bulat untuk w? Answer: 0875415a84bfe8bc237dcfc6b440d263 Soal 310Alice dan Bob memainkan permainan Nim Kuadrat. Carilah banyaknya posisi kalah untuk pemain kedua jika 0abc100 000. Answer: 6b94f848996393eef163add4d17360c7 Soal 311ABCD adalah bangun bersisi empat konveks, dengan panjang sisi berupa bilangan bulat yaitu 1 AB < BC < CD < AD. Sebagai contoh, bangun sisi empat berikut ini adalah bangun sisi-empat biclinic bilangan bulat: B(N) adalah banyaknya bangun sisi-empat biclinic bilangan bulat ABCD berbeda yang memenuhi AB2+BC2+CD2+AD2 N. Carilah B(10 000 000 000). Answer: 36115d4f7dc07eea106d78e8431868e6 Soal 312- Sebuah grafik Sierpiński dengan orde 1 (S1) adalah sebuah segitiga sama sisi. Misal C(n) adalah banyaknya siklus yang berputar persis satu kali dan melalui semua titik pada Sn. Juga dapat dibuktikan bahwa : Carilah C(C(C(10 000))) mod 138. Answer: 535113d1a81f421fe814d48205dac570 Soal 313Dalam permainan menggeser, sebuah potongan boleh bergeser secara horizontal ataupun vertikal ke tempat yang kosong. Sasaran dari permainan ini adalah untuk memindahkan potongan merah dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah; ruang kosong selalu berada pertama kali di pojok kanan bawah. Sebagai contoh, gambar-gambar berikut ini akan menunjukkan bahwa permainan dapat diselesaikan dalam lima langkah untuk kisi berukuran 2 x 2. S(m,n) menunjukkan jumlah gerakan minimal untuk menyelesaikan permaian pada kisi berukuran m x n. Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa S(5,4) = 25. Terdapat persis 5482 ukuran kisi dimana S(m,n) = p2, dimana p < 100 adalah bilangan prima. Berapakah banyaknya ukuran kisi yang memenuhi S(m,n) = p2, dimana p < 106 adalah bilangan prima? Answer: 2468d42fa1c7f61547ce71c9826218ea Soal 314Bulan telah dibuka untuk umum, dan kita dapat memiliki tanah di sana dengan gratis, namun ada satu permasalahan. Anda harus membuat tembok di sekeliling tanah yang Anda tempati, dan untuk membangun tembok di bulan memerlukan biaya yang besar. Setiap negara telah diberikan jatah tanah berukuran 500 m x 500 m, namun mereka hanya dapat menggunakan wilayah yang dibatasi oleh dinding. 251001 buah tiang telah diletakkan pada tanah membentuk petak-petak dengan jarak antar tiang 1 meter. Dinding harus dibentuk dari sambungan garis-garis lurus hingga tertutup, dan setiap garis dinding dapat dibentuk dari tiang ke tiang. Negara yang besar tentu saja akan membuat dinding sepanjang 2000 m menutup semua wilayah yang menjadi jatahnya dengan luas 250 000 m2. Adipati Grand Fenwick, memiliki dana yang terbatas, dan ia meminta anda (sebagai Programmer Kerajaan) untuk menghitung bentuk dinding seperti apa yang akan menghasilkan perbandingan terbaik antara luas yang ditutupi dinding/panjang dinding. Anda telah melakukan sedikit perhitungan pada selembar kertas. Untuk dinding dengan panjang 2000 yang menutupi wilayah seluas 250 000 m2, perbandingan luas yang ditutupi dinding/panjang dinding adalah 125. Tetapi, jika Anda memotong dari pinggiran persegi empat buah segitiga dengan panjang sisi 75 m, 75 m dan 752 m luas wilayah yang dibatasi dinding akan menjadi 238750 m2 dan kelilingnya menjadi 1400+3002 m. Sehingga bentuk ini akan memberikan perbandingan luas yang ditutupi dinding/panjang dinding sebesar 130.87, dimana hasil ini lebih baik. Carilah nilai perbandingan maksimum dari luas yang ditutupi dinding/panjang dinding. Answer: aa457cae6f67945d50683a85a9b70230 Soal 315Sam dan Max diminta untuk mengubah dua buah jam digital menjadi dua buah jam "akar kuadrat digital". Saat jam tersebut diberikan suatu bilangan, jam tersebut akan menunjukkan bilangan tersebut, dan kemudian akan mulai melakukan perhitungan, kemudian ia akan segera menunjukkan semua hasil perhitungan terus-menerus sampai selesai. Setiap angka digital dapat dibentuk dari beberapa segmen lampu: tiga buah segmen horizontal (atas, tengah, bawah) dan empat buah segmen vertikal (kiri atas, kanan atas, kiri bawah, kanan bawah). Jam tersebut hanya mengkonsumsi energi jika ada segmen lampu yang diubah kondisinya antara menyala/mati. Sam dan Max membuat dua jam berbeda. Jam buatan Sam saat diberikan sebuah bilangan, sebagai contoh bilangan 137: jam tersebut akan menunjukkan "137", kemudian semua lampu akan dimatikan, kemudian lampu untuk membentuk bilangan selanjutnya ("11") dihidupkan, kemudian semua lampu dimatikan lagi dan akhirnya lampu untuk membentuk bilangan terakhir ("2") dihidupkan dan, setelah beberapa saat, semua lampu dimatikan. Jam buatan Max bekerja dengan cara yang berbeda. Bukan dengan mematikan semua lampu, namun dengan cara yang cukup cerdas, yaitu dengan cara hanya mematikan lampu yang tidak diperlukan untuk bilangan selanjutnya. : 2 + 5 + 4 = 11 transisi ("137" hidup) 7 transisi (untuk mematikan segmen lampu yang tidak diperlukan pada bilangan "11")."11" : 0 transisi (bilangan "11" sudah menyala secara benar) 3 transisi (untuk mematikan angka "1" yang pertama dan bagian bawah dari angka "1" yang kedua; karena lampu atasnya diperlukan untuk angka "2")."2" : 4 transisi (untuk menghidupkan segmen lampu yang diperlukan untuk membentuk angka "2") 5 transisi (untuk mematikan angka "2").Denagn jumlah semuanya adalah 30 transisi. Tentu saja, jam buatan Max mengkonsumsi energi yang lebih sedikit dibandingkan dengan buatan Sam. Answer: 79b587f9c25a72dbe95428e283628421 Soal 316Misal p = p1 p2 p3 ... adalah sebuah barisan tak hingga dari digit-digit acak, yang dipilih dari {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dengan peluang yang sama. Untuk setiap bilangan bulat positif n dengan d buah digit desimal, k adalah indeks terkecil sehingga Sebagai contoh, jika n = 535, maka Diberikan , carilahCatatan: adalah fungsi pembulatan ke bawah.Answer: 2495e8f6e9d4cdadbf0411144e7180b9 Soal 317Sebuah petasan meledak pada ketinggian 100 m di atas tanah. Petasan tersebut pecah menjadi banyak sekali pecahan kecil, yang bergerak ke segeala arah; semua pecahan tersebut memiliki kecepatan awal yang sama, yaitu 20 m/s. Kita asumsikan tidak terdapat gesekan udara saat pecahan petasan bergerak, dan pecahan bergerak di medan gravitasi seragam dengan g=9.81 m/s2. Carilah volume (dalam m3) dari daerah yang dilalui oleh pecahan-pecahan petasan tersebut sebelum pecahan menyentuh tanah. Berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga empat angka di belakang koma. Answer: b0e2bec93bfe598ade5d3d1141f76bdd Soal 318Perhatikan bilangan real 2+3. Seperti terlihat bahwa bilangan yang dibentuk dari angka sembilan berurutan setelah tanda koma tidak berkurang. Perhatikan bahwa semua bilangan real dengan bentuk p+q dengan p dan q berupa bilangan bulat positif dan p Misal C(p,q,n) adalah banyaknya angka sembilan berurutan yang muncul setelah tanda koma dari bentuk desimal Dan misal N(p,q) adalah nilai n minimal sehingga C(p,q,n) 2011. Carilah N(p,q) untuk p+q 2011. Answer: de358f1c4d6e30c1a4f82c8bc5cedf2d Misal x1, x2,..., xn adalah barisan dengan panjang n dengan ketentuan: Hanya terdapat lima buah barisan dengan panjang 2, yaitu: {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7} dan {2,8}. Misal t(n) menyatakan banyaknya barisan dengan panjang n. Carilah t(1010) dan berikan jawaban Anda yang telah di modulo 109. Answer: d346ab7d128ee0402820edf5fe4aed30 Misal N(i) adalah bilangan bulat n terkecil, sehingga n! habis dibagi oleh (i!)1234567890 Misal S(u)=N(i) untuk 10 i u. S(1000)=614538266565663. Carilah S(1 000 000) mod 1018. Answer: 8426f939c3ee410a8c4d43886ef77ccb Sebuah barisan horizontal berisi 2n + 1 buah persegi memiliki n buah potongan merah diletakkan pada ujungnya, dan n buah potongan biru di ujung satunya lagi, dipisahkan oleh satu buah persegi kosong di tengah-tengahnya. Sebagai contoh, saat n = 3. Setiap potongan dapat berpindah dari satu persegi ke persegi di sebelahnya (bergeser) atau dapat melompati potongan lain (melompat) selama persegi di sebelah potongan yang ingin dilompati masih kosong. Misal M(n) menyatakan banyaknya gerakan minimum untuk membalik posisi dari potongan berwarna; yaitu, memindahkan semua potongan merah ke kanan dan semua potongan biru ke kiri. Dapat dibuktikan bahwa M(3) = 15, dimana bilangan ini juga merupakan bilangan segitiga. Jika kita membuat barisan bedasarkan nilai n dimana hasil dari M(n) adalah merupakan bilangan segitiga, maka lima suku pertamanya adalah: Carilah hasil penjumlahan empat puluh suku pertama dari barisan ini. Answer: 6d87412130312b01a999225a5fe689b1 Soal 322Misal T(m, n) adalah banyaknya koefisien penjabaran binomial iCn yang habis dibagi 10 untuk n i < m(i, m dan n adalah bilangan bulat positif). Carilah T(1018, 1012-10). Answer: a75af9d717fa592487fb45e7552204a8 Soal 323Misal y0, y1, y2,... adalah barisan bilangan bulat acak unsigned 32 bit Untuk barisan xi diberikan aturan rekursif berikut:
Dapat terlihat bahwa akhirnya akan terdapat sebuah indeks N sehingga xi = 232 -1 (yang memiliki bit-pattern semuanya digit satu) untuk semua i N. Carilah nilai harapan (expected value) dari N. Answer: c8f8a7ab17a87f1b17a1f4a86c984ea7 Soal 324Misal f(n) menyatakan banyaknya cara seseorang dapat mengisi sebuah menara berukuran 3×3×n dengan balok-balok berukuran 2×1×1. Sebagai contoh (dengan q = 100000007) : Carilah f(1010000) mod 100000007. Answer: b8d91b06d43a2ef98a6fcb0be4a6d617 Soal 325Sebuah permaian dimainkan dengan dua tumpuk batu dan dua orang pemain. Saat gilirannya, seorang pemain mengambil sejumlah batu dari tumpukan yang lebih besar. Banyaknya batu yang diambil harus merupakan bilangan positif dan sama dengan kelipatan jumlah batu di tumpukan yang lebih kecil. Sebagai contoh, misalkan pasangan bilangan(6,14) menyatakan susunan dengan 6 batu pada tumpukan yang lebih kecil dan 14 batu pada tumpukan yang lebih besar, maka pemain yang sedang mendapat gilirannya dapat mengambil 6 atau 12 buah batu dari tumpukan yang besar. Pemain yang mengambil semua batu dari tumpukan memenangkan permainan. Sebuah susunan kemenangan adalah susunan dimana pemain pertama pasti akan menang. Sebagai contoh, (1,5), (2,6) dan (3,12) adalah susunan kemenangan, karena pemain pertama dapat langsung mengambil semua batu pada tumpukan kedua. Sebuah susunan kekalahan adalah susunan dimana pemain kedua pasti akan menang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain pertama. Sebagai contoh, (2,3) dan (3,4) adalah susunan kekalahan: setiap gerakan yang sah dari pemain pertama pasti akan meninggalkan susunan kemenangan untuk pemain kedua. Dinyatakan S(N) sebagai hasil penjumlahan dari (xi+yi) untuk semua susunan kekalahan (xi,yi), 0 < xi < yi N. Dapat dibuktikan bahwa S(10) = 211 dan S(104) = 230312207313. Carilah S(1016) mod 710. Answer: 5b1ce9ac67e0ad6690c728ccba6f0070 Soal 326Misal an adalah barisan rekursif yang dinyatakan oleh: Sehingga 10 sukup ertama dari an adalah: 1,1,0,3,0,3,5,4,1,9. Misal f(N,M) menyatakan banyaknya pasangan (p,q) sehingga: Dapat terlihat bahwa f(10,10)=4 dengan pasangan-pasangan (3,3), (5,5), (7,9) dan (9,10). Anda juga diberikan informasi, yaitu f(104,103)=97158. Carilah f(1012,106). Answer: d95dff1a5ceee0064993d98defdd603e Soal 327Tiga buah ruangan dihubungkan satu sama lain dengan pintu otomatis. Setiap pintu dioperasikan dengan kartu keamanan. Sesaat setelah anda memasuki suatu ruangan, pintu akan secara otomatis tertutup, dan kartu keamanan tidak dapat digunakan lagi. Pada ruangan mulai (start), sebuah mesin akan mulai mengeluarkan banyak sekali kartu, namun setiap ruangan (termasuk ruangan start) memiliki alat pemindai, dan jika alat tersebut mendeteksi bahwa Anda memegang lebih dari tiga kartu keamanan, atau jika alat tersebut mendeteksi ada kartu keamanan yang tergeletak di lantai, maka semua pintu akan terkunci selamanya. Tetapi, setiap ruangan memiliki sebuah kotak yang dapat Anda gunakan untuk menyimpan kartu keamanan sebanyak apapun, yang dapat digunakan nanti. Jika Anda mencoba memasuki ketiga ruangan langsung dalam sekali jalan, maka setelah Anda memasuki ruang ke 3, Anda telah menggunakan ketiga kartu di tangan Anda, dan Anda akan terjebak di ruangan tersebut selamanya! Tetapi, jika Anda menggunakan kotak penyimpanan yang ada, maka terdapat kemungkinan untuk meloloskan diri. Sebagai contoh, Anda dapat memasuki ruangan 1 menggunakan kartu pertama di tangan Anda, meletakkan satu buah kartu di kotak penyimpanan, dan menggunakan kartu ketiga untuk kembali ke ruangan mulai (start). Kemudain setelah mengambil tiga buah kartu lagi dari mesin kartu, Anda dapat menggunakan satu buah kartu untuk masuk ke ruangan 1, kemudian mengambil sebuah kartu di kotak penyimpanan beberapa saat yang lalu. Sekarang Anda memiliki tiga kartu lagi dan Anda dapat bergerak melalui tiga buah pintu yang tersisa. Metode ini memungkinkan Anda untuk dapat melalui ketiga ruangan menggunakan sebanyak 6 buah kartu. Adalah memungkinkan untuk melalui enam buah ruangan menggunakan 123 buah kartu keamanan dengan syarat hanya diperbolehkan membawa maksimal 3 buah kartu. Misal C adalah jumlah kartu maksimal yang boleh dibawa secara bersamaan. Misal R adalah banyaknya ruangan yang ingin dilalui. Misal M(C,R) adalah jumlah minimal kartu yang dibutuhkan dari mesin untuk melalui ruangan dengan banyak R buah ruangan membawa maksimal C buah kartu sekaligus. Sebagai contoh, M(3,6)=123 dan M(4,6)=23. Diketahui ΣM(C,10)=10382 untuk 3 C 10. Carilah ΣM(C,30) untuk 3 C 40. Answer: 2cd4c0ad8a00c5be99802188ee2628fb Soal 328Kita akan mencoba untuk menebak bilangan tersembunyi yang dipilih dari himpunan bilangan bulat {1, 2, ..., n} dengan menanyakan pertanyaan. Setiap bilangan (pertanyaan) yang kita coba tebak, memiliki harga yang sama dengan nilai bilangan tersebut dan kita akan mendapatkan salah satu dari tiga kemungkinan jawaban :
Diberikan nilai n, sebuah strategi optimal akan meminimalisir total biaya yang diperlukan (yaitu jumlah semua bilangan yang ditanyakan) bahkan untuk kejadian paling buruk sekalipun. Jika n=3, cara terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan menanyakan bilangan "2". Jawaban dari pertanyaan tersebut akan segera mengantarkan kita untuk menemukan bilangan tersembunyi (dengan total biaya = 2). Jika n=8, kita dapat memilih untuk menggunakan strategi "binary search": Pertanyaan pertama kita adalah bilangan "4" dan jika bilangan tersembunyi yang ada lebih besar dari 4 kita akan memerlukan dua pertanyaan tambahan. Kita dapat memperbaiki biaya yang diperlukan pada kasus terburuk untuk n=8, dengan menanyakan bilangan "5" sebagai pertanyaan pertama kita. Misal C(n) adalah biaya pada kasus terburuk yang diperoleh dengan strategi paling optimal untuk n, seperti yang dijelaskan di atas. Carilah C(n).Answer: 92a3220ad5b17a562c039e6e93d6df90 Soal 329Susan memiliki seekor katak prima. Saat katak tersebut berada di persegi yang tertulis bilangan prima, ia akan mengeluarkan bunyi P (PRIME/PRIMA) dengan peluang 2/3 atau N (NOT PRIME/TIDAK PRIMA) dengan peluang 1/3 sebelum ia melompat ke persegi selanjutnya. Diketahui bahwa katak dapat mulai melompat dari persegi manapun dengan peluang yang sama untuk setiap persegi, dan diberikan informasi bahwa Susan akan mendengarkan 15 bunyi pertama dari kataknya, berapakah peluang bahwa Susan akan mendengar barisan PPPPNNPPPNPPNPN? Berikan jawaban Anda dalam bentuk pecahan p/q yang paling sederhana. Answer: e392a8b1b053c83e68663e08456bb392 Soal 330Sebuah barisan tak hingga bilangan real a(n) dinyatakan untuk semua bilangan bulat n sebagai berikut: Sebagai contoh, Carilah A(109) + B(109) dan berikan jawaban Anda yang telah di mod 77 777 777. Answer: d385d3fe0995b48a782a91477525b154 Soal 331N×N buah disk diletakkan pada papan permainan berbentuk persegi. setiap disk memiliki sisi hitam dan sisi putih. Pada setiap langkah, Anda dapat memilih sebuah disk dan membalik semua disk yang terletak pada kolom dan baris yang sama dengan disk ini: sehingga 2×N-1 buah disk telah dibalik. Permainan berakhir saat semua disk menunjukkan sisi berwarna putih. Contoh berikut ini menunjukkan proses permainan pada papan berukuran 5×5. Dapat dibuktikan bahwa 3 adalah jumlah langkah minimal untuk menyelesaikan permainan ini. Disk yang terletak di pojok kiri bawah papan berukuran N×N memiliki koordinat (0,0); Misal CN adalah susunan disk pada papan dengan N×N buah disk yang memenuhi aturan berikut: Misal T(N) adalah jumlah minimal langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan permaian dimulai dari susunan CN atau 0 jika susunan CN tidak dapat diselesaikan. Carilah .Answer: b609ccc578e71db9de0524fff94e1b70 Soal 332Sebuah segitiga bola adalah gambar yang dibentuk pada permukaan sebuah bola dengan tiga buah busur lingkaran besar yang saling berpotongan membentuk tiga titik. Misal C(r) adalah bola dengan pusat (0,0,0) dan panjang jari-jari r. Sebagai contoh A(14) adalah 3.294040 dibulatkan hingga enam angka di belakang koma. Carilah A(r). Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.Answer: c2ae53ebfb15db373cfe5d71078ea1ca Soal 333Semua bilangan bulat positif dapat dipartisi dengan suatu cara, sehingga setiap suku dari hasil bagi tersebut dapat dinyatakan sebagai 2ix3j, dimana i,j 0. Kita hanya akan memperhatikan hasil partisi dimana tidak ada sukunya yang dapat membagi habis suku lain . Banyak bilangan bulat yang memiliki lebih dari satu partisi yang sah, salah satunya adalah 11 yang memiliki dua hasil partisi. Mari kita nyatakan P(n) sebagai banyaknya partisi yang sah dari n. Sebagai contoh, P(11) = 2. Kita hanya akan memperhatikan bilangan bulat prima q yang memiliki satu buah partisi yang sah, seperti P(17). Hasil penjumlahan dari bilangan prima q <100 yang memiliki P(q)=1 adalah 233. Carilah hasil penjumlahan bilangan prima q <1000000 yang memiliki P(q)=1. Answer: 8408ff3a470a94dbfca1819249eb547d Soal 334Di surga Plato, terdapat tak hingga buah mangkuk yang terletak pada satu garis lurus. Sebagai contoh, terdapat dua buah mangkuk bersebelahan berisi masing-masing 2 dan 3 butir kacang polong, mangkuk lainnya kosong. Delapan langkah berikut ini akan menyelesaikan permainan: Anda diberikan pola berikut: Dua buah suku pertama dari barisan di atas adalah b1 = 289 dan b2 = 145. Sekarang terdapat 1500 mangkuk bersebelahan yang masing-masing berisi b1, b2,..., b1500 buah kacang polong secara berurutan, mangkuk lainnya kosong. Carilah berapa banyak gerakan yang diperlukan supaya permainan dapat berakhir. Answer: 71851da3058acf6b74e90251bdf4aa8f Soal 335Saat Peter merasa bosan, ia meletakkan beberapa mangkuk, berisi satu buah kacang polong pada tiap mangkuknya, disusun membentuk suatu lingkaran. Setelah ini, ia mengambil semua kacang polong dari satu mangkuk, dan meletakkannya satu persatu pada mangkuk di sebelahnya searah jarum jam. Ia mengulang proses ini lagi, dimulai dari mangkuk dimana ia menjatuhkan kacang polong terakhir, sampai kondisi mula-mula muncuk kembali. Sebagai contoh, dengan 5 mangkuk, ia melakukan tindakan berikut: Sehingga dengan 5 buah mangkuk, Peter memerlukan 15 gerakan untuk mengembalikan kondisi mangkuk ke kondisi mula-mula. Misal M(x) menyatakan banyaknya gerakan yang diperlukan agar mangkuk-mangkuk dapat kembali ke kondisi awal, dimulai dengan x buah mangkuk. Maka, M(5) = 15. Dapat juga dibuktikan bahwa M(100) = 10920. Carilah M(2k+1). Berikan jawaban Anda yang telah di modulo 79.Answer: 9a519cfa0ebdd4d1dd318f14b5799eea Soal 336Sebuah kereta digunakan untuk mengantarkan empat gerbong dengan urutan: ABCD. Tetapi, terkadang saat kereta tiba untuk mengambil gerbon, gerbong-gerbong tersebut tidak diletakkan pada urutan yang benar. Tetapi, Simple Simon, seorang masinis kereta, tidak memahami prinsip efisiensi, sehingga ia selalu menyelesaikan permasalahan ini dengan menempatkan gerbong A pada posisi yang benar, kemudian gerbong B, dan seterusnya. Menggunakan empat buah gerbong, susunan gerbong terburuk yang mungkin dialami Simon, dimana kita akan menyebut susunan tersebut susunan maximix, adalah DACB dan DBAC; setiap gerbong memerlukan lima rotasi (bahkan walaupun menggunakan cara yang paling efisien, cara tersebut masih membutuhkan tiga rotasi). Proses yang Simon gunakan untuk memperbaiki posisi gerbong DACB ditunjukkan pada gambar berikut. Dapat dibuktikan bahwa terdapat 24 susunan maximix untuk enam buah gerbong, dimana susunan maximix ke sepuluh adalah DFAECB. Carilah susunan maximix ke 2011 untuk sebelas buah gerbong. Answer: 7968e48fc692ce25bf7f5494f4ab6814 Soal 337Misal {a1, a2,..., an} adalah barisan bilangan bulat dengan panjang n dengan aturan:
Misal S(N) adalah banyaknya barisan dengan an N. Carilah S(20 000 000) mod 108. 1 φ adalah fungsi totient Euler. Answer: a60bbbe1b90254043fb92820492a2f96 Soal 338Sebuah kertas kotak-kotak berbentuk persegi panjang dengan ukuran berupa bilangan bulat w × h diberikan. Ukuran kotak-kotaknya adalah 1. Sebagai contoh, dari kertas berukuran 9 × 4 , kita dapat membuat persegi panjang dengan ukuran 18 × 2, 12 × 3 dan 6 × 6 dengan memotong dan menyusun kertas dengan cara berikut: Dengan cara yang sama, dari kertas berukuran 9 × 8 , kita dapat membuat persegi panjang dengan ukuran 18 × 4 dan 12 × 6 . Untuk sepasang w dan h, kita misalkan F(w,h) adalah banyaknya persegi panjang berbeda yang dapat dibuat dari sebuah kertas dengan ukuran w × h . Untuk sebuah bilangan bulat N, misal G(N) adalah hasil penjumlahan dari semua F(w,h) untuk semua pasangan w dan h yang memenuhi 0 < h w N. Carilah G(1012). Berikan jawaban Anda yang telah di modulo 108. Answer: 99f4f702713f3422ced01dd7d3d79644 Soal 339"Dan ia (Peredur) kemudian datang menuju sebuah lembah, dimana di sana mengalir sebuah sungai; dan sekeliling lembah tersebut ditutupi pohon-pohon, dan di kedua sisi dari sungai terdapat padang rumput. Di salah satu sisi dari sungai ia melihat kawanan domba putih, dan pada sisi yang satunya lagi kawanan domba hitam. Dan apabila salah satu dari domba putih berteriak menangis, satu dari domba hitam akan menyebrang dan menjadi putih; dan apabila salah satu dari domba hitam berteriak menangis, satu dari domba putih akan menyebrang dan menjadi hitam." Pada mulanya, pada setiap kawanan terdapat n ekor domba. Setiap domba (apapun warnanya) memiliki peluang yang sama untuk menangis. Setelah seekor kambing menangis dan seekor kambing dari kawanan warna lain menyebrang, maka Peredur dapat mengambil beberapa ekor domba putih dengan tujuan untuk memaksimalkan nilai harapan (expected value) dari banyak akhir domba hitam. E(n) adalah nilai harapan (expected value) dari jumlah domba hitam terakhir apabila Peredur menggunakan strategi optimal. Anda diberikan informasi bahwa E(5) = 6.871346 dibulatkan hingga 6 angka di belakang koma. Answer: 0be02210b2d2212d37d026478093c457 Soal 340Untuk bilangan bulat tetap a, b, c, dinyatakan sebuah fungsi gila F(n) sebagai berikut: Juga, dinyatakan S(a, b, c) = .Sebagai contoh, jika a = 50, b = 2000 dan c = 40, maka F(0) = 3240 dan F(2000) = 2040. Carilah 9 digit terakhir dari S(217, 721, 127). Answer: fc838afe9ecde39bbe230923d7b50775 Soal 341Sebuah Barisan self-describing Golomb {G(n)} adalah satu-satunya barisan tidak turun yang berisi bilangan asli n yang muncul persis G(n) kali di barisan tersebut. Nilai dari G(n) untuk n bilangan pertama adalah n123456789101112131415G(n)122334445556666 Anda diberikan informasi bahwa G(103) = 86, G(106) = 6137. Carilah ΣG(n3) for 1 n < 106. Answer: 7c163c3b4886943667b5c89db0a6cd02 Soal 342Perhatikan bilangan 50. Carilah hasil penjumlahan dari semua bilangan n, 1 < n < 1010 sehingga φ(n2) adalah bilangan kubik. 1 φ menyatakan Fungsi Totient Euler. Answer: 0e9add0383d4116c7c5cb3dc73fc0536 Soal 343Untuk setiap bilangan bulat positif k, sebuah barisan terhingga ai yang berisi pecahan xi/yi dinyatakan dengan: 1/20 2/19 3/18 = 1/6 2/5 3/4 4/3 5/2 6/1 = 6 Sehingga f(20) = 6. Juga f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 1 dan Σf(k3) = 118937 untuk 1 k 100. Carilah Σf(k3) untuk 1 k 2×106. Answer: 0e10bd111425ad8e1343ac79dac7bb0e Soal 344Salah satu variasi dari permainan dolar perak N.G. de Bruijn memiliki penjelasan sebagai berikut: Pada potongan kertas memiliki banyak persegi, beberapa buah koin diletakkan, satu buah koin untuk setiap persegi. Namun hanya ada satu koin, yang disebut sebagai dolar perak, yang mempunyai nilai tertentu. Dua pemain memainkan permainan secara bergiliran. Pada setiap giliran seorang pemain diwajibkan untuk melakukan gerakan reguler atau sebuah gerakan spesial. Sebuah gerakan reguler dilakukan dengan memilih satu buah koin, dan memindahkannya ke satu atau lebih persegi di sebelah kiri. Koin tidak dapat keluar dari kertas atau melompati koin lainnya. Alternatif lain, seorang pemain dapat memilih untuk melakukan gerakan spesial, yaitu mengambil koin yang ada di paling kiri. Jika tidak ada gerakan reguler lagi yang bisa dilakukan, pemain harus mengambil koin yang ada di paling kiri. Pemenangnya adalah pemain yang mengambil dolar perak. Sebuah susunan kemenangan adalah susunan dari koin-koin pada kertas dimana pemain pertama pasti akan menang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain kedua. Misal W(n,c) adalah banyaknya susunan kemenangan untuk sepotong kertas dengan n buah persegi, c buah koin yang tidak berarti dan sebuah dolar perak. Anda diberikan informasi bahwa W(10,2) = 324 dan W(100,10) = 1514704946113500. Carilah W(1 000 000, 100) modulo bilangan semiprima 1000 036 000 099 (= 1 000 003 · 1 000 033). Answer: 38e7b980b38fcac89b3e267e328cd292 Soal 345Kita nyatakan Jumlah Matriks dari suatu matriks sebagai hasil penjumlahan terbesar dari elemen-elemen matriks, dengan syarat hanya terdapat satu elemen yang dipilih di setiap baris dan kolomnya. Sebagai contoh, Jumlah Matriks dari matriks berikut ini sama dengan 3315 ( = 863 + 383 + 343 + 959 + 767): 7 53 183 439 863 Carilah Jumlah Matriks dari: 7 53 183 439 863 497 383 563 79 973 287 63 343 169 583 Answer: cf3b784c8593890043b17e24088125d4 Soal 346Bilangan 7 adalah sebuah bilangan yang spesial, karena 7 adalah 111 jika di tulis di basis 2, dan 11 jika ditulis di basis 6 Kita akan menyebut bilangan bulat positif yang memiliki sifat ini sebagai bilangan berulang kuat. Dapat dibuktikan bahwa terdapat 8 buah bilangan berulang kuat kurang dari 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}. Carilah jumlah dari semua bilangan berulang kuat kurang dari 1012. Answer: a17874b5a9ec9d7fc8c6489ab8ff29b9 Soal 347Bilangan bulat terbesar 100 yang habis dibagi hanya oleh bilangan prima 2 dan 3 adalah 96, karena 96=32*3=25*3. Untuk dua bilangan prima berbeda p dan q, kita misalkan M(p,q,N) adalah bilangan bulat positif terbesar N yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima p dan q, dan M(p,q,N)=0 jika tidak ada bilangan bulat positif yang memenuhi sifat di atas. Sebagai contoh M(2,3,100)=96. Misal S(N) adalah hasil penjumlahan semua hasil M(p,q,N) berbeda. S(100)=2262. Carilah S(10 000 000). Answer: 96ce0eabcbe7a2b2eb1197a1bcc5d37b Soal 348Banyak bilangan dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan dari sebuah bilangan kuadrat dan sebuah bilangan kubik. Beberapa dari mereka dapat dituliskan dengan leibh dari satu cara. Perhatikan bahwa terdapat suatu bilangan palindrom yang juga dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan dari sebuah bilangan kuadrat dan sebuah bilangan kubik, yang kedua bilangan tersebut lebih besar dari 1, dengan persis 4 buah cara. 22852 + 203 Carilah hasil penjumlahan dari lima buah bilangan palindrom terkecil yang memiliki sifat seperti di atas. Answer: f286f9159fc20aeb97a8bf8396ba64de Soal 349Seekor semut bergerak di suatu kotak-kotak persegi yang diwarnai hitam atau putih. Dimulai dengan daerah kotak-kotak yang semuanya bewarna putih, berapa banyak persegi yang bewarna hitam setelah 1018 langkah dari semut tersebut? Answer: 412b0faec10b3adb415363d2df26530d Soal 350Sebuah daftar dengan ukuran n adalah barisan n buah bilangan asli. Faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor), atau gcd dari suatu daftar adalah bilangan asli terbesar yang dapat membagi semua bilangan pada daftar. Kelipatan persekutuan terkecil (least common multiple), atau lcm dari suatu daftar adalah bilangan asli terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua bilangan pada daftar. Misal f(G, L, N) adalah banyaknya daftar dengan ukuran N yang memiliki gcd G dan lcm L. Sebagai contoh: f(10, 100, 1) = 91. Carilah f(106, 1012, 1018) mod 1014. Answer: cad3ce6a252568bbcb41ca627d7e58ae Soal 351Sebuah taman segi enam dengan orde n dibentuk dari kumpulan titik-titik yang dapat membentuk segitiga-segitiga kecil yang berada di dalam segi enam dengan panjang sisi n. Berikut in adalah sebuah contoh dari taman segi enam dengan orde 5: Titik yang diberi tanda hijau adalah titik yang tidak dapat terlihat dari titik tengah, karena terhalang oleh titik lain yang lebih dekat dengan titik tengah. Dapat kita lihat bahwa untuk taman segi enam denagn orde 5, 30 titik tidak dapat terlihat dari titik tengah. Misalkan H(n) adalah banyaknya titik yang tersembunyi dari titik tengah taman segi enam dengan orde n. H(5) = 30. H(10) = 138. H(1 000) = 1177848. Carilah H(100 000 000). Answer: 338481092e945257756075a8d03978fd Soal 352Setiap satu dari 25 domba pada suatu kawanan harus di uji dari suatu virus langka, yang diketahui menginfeksi 2% dari populasi domba. Sebuah metode test PCR yang akurat dan sangat sensitif dapat dilakukan kepada sampel darah, yang dapat mengeluarkan hasil tes positif / negatif dengan jelas, namun proses ini sangat memakan waktu dan mahal. Karena harga yang tinggi, sang dokter hewan yang sedang bertugas menyarankan dibanding melakukan 25 tes terpisah, kita dapat menggunakan prosedur berikut:
Semenjak peluang seekor hewan terkena virus sangat spesifik, yaitu hanya 0.02, tes pertama (pada sampel darah yang dikumpulkan) pada setiap kelompoknya akan menjadi:
Sehingga, nilai perkiraan (expected number) dari hasil tes untuk setiap kelompok adalah 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016. Walaupun metode yang baru saja dijelaskan terlihat sangat efisien, metode tersebut masih bisa sangat disempurnakan (selalu asumsikan bahwa hasil test cukup sensitif, dan tidak ada efek merugikan yang dihasilkan oleh pencampuran sampel darah). Sebagai contoh:
Untuk menyederhanakan berbagai macam kemungkinan yang ada, terdapat satu syarat yang harus kita ikuti saat menentukan skema tes yang paling efisien: Saat kita memulai dengan sampel darah campuran, semua domba yang darahnya ikut masuk dalam sampel tersebut harus sepenuhnya diperiksa (sehingga kesimpulan terinfeksi / bebas virus harus dimiliki oleh semua domba) sebelum kita meneliti hewan lainnya. Untuk contoh ini, terlihat bahwa skema tes yang biayanya paling efisien (kita akan menyebut ini sebagai strategi optimal) membutuhkan rata-rata hanya 4.155452 kali tes!Menggunakan strategi optimal, misal T(s,p) menyatakan rata-rata jumlah tes yang diperlukan untuk mengetahui kondisi kawanan berisi s ekor domba, dengan kemungkinan terkena virus p untuk setiap ekor domba. Carilah ΣT(10000, p) untuk p=0.01, 0.02, 0.03, ... 0.50. Answer: 2e74b2fb574d6318cdbf2a41ad006de7 Soal 353Sebuah bulan dapat digambarkan dengan bola C(r) yang berpusat di (0,0,0) dan memiliki panjang jari-jari r. Terdapat stasiun di bulan pada suatu titik di permukaan C(r) yang memiliki koordinat berupa bilangan bulat. Stasiun pada (0,0,r) disebut sebagai stasiun Kutub Utara, stasiun pada (0,0,-r) disebut stasiun Kutub Selatan. Semua stasiun dihubungkan satu sama lain melalui jalan terpendek pada permukaan bulan melalui stasiun-stasiun lain. Sebuah perjalanan antara dua stasiun adalah beresiko. Jika d adalah panjang jalan antara dua stasiun, (d/(π r))2 adalah tingkat resiko dari perjalanan (mari kita sebut ini sebagai resiko perjalanan). Jika perjalanan melibatkan lebih dari dua stasiun, resiko perjalanan didapat dari hasil penjumlahan resiko pada jalan-jalan yang digunakan. Perjalanan langsung dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan memiliki jarak πr dan resiko 1. Perjalanan dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan melalui (0,r,0) memiliki panjang yang sama, namun resiko yang elbih kecil: (½πr/(πr))2+(½πr/(πr))2=0.5. Resiko terkecil perjalanan dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan pada C(r) adalah M(r). Anda diberikan informasi bahwa M(7)=0.1784943998 dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma. Carilah M(2n-1) untuk 1n15. Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma dengan format a.bcdefghijk. Answer: 211b5626459be71baefc78478d18bdc3 Soal 354Misalkan terdapat sarang madu dari lebah madu, dimana setiap sel adalah sebuah segi enam sempurna dengan panjang sisi 1. Satu buah sel ditempati oleh ratu lebah. Carilah banyaknya L 5·1011 yang menghasilkan B(L) = 450. Answer: e36240897614dc46e83405ae8cdf198c Soal 355Dinyatakan Co(n) sebagai hasil penjumlahan maksimal yang mungkin dari himpunan bagian yang elemen-elemennya saling koprima dari {1,2,...,n}. Anda diberikan informasi bahwa Co(30) = 193 dan Co(100) = 1356. Carilah Co(200000). Answer: 41cb97b6d02878d79f8b2e3b6c74920a Soal 356Misal an adalah akar real terbesar dari sebuah polinomial g(x) = x3 - 2n·x2 + n. Carilah delapan digit terakhir dari .Catatan: menyatakan fungsi pembulatan ke bawah.Answer: ab2104e80fa7da630ce7fd835d8006ee Soal 357Perhatikan faktor-faktor dari 30: 1,2,3,5,6,10,15,30. Carilah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif n yang tidak melebihi 100 000 000 Answer: ed25b13b18a21c1077fed00ef42f503b Soal 358Sebuah bilangan siklik dengan n buah digit memiliki sifat yang menarik: Bilangan siklik 6 digit terkecil 142857 : Bilangan siklik selanjutnya adalah 0588235294117647 dengan 16 buah digit : Perlu diingat bahwa untuk bilangan siklik, angka nol di depan adalah penting. Hanya terdapat satu buah bilangan siklik, dimana sebelas digit paling kirinya adalah 00000000137 dan lima digit paling kanannya adalah 56789 (sehingga, bilangan ini mempunyai bentuk 00000000137...56789 dengan bilangan yang tidak diketahui di tengahnya). Carilah hasil penjumlahan darn semua digit-digitnya. Answer: 359e1ec8aeaa3932b54f2a5d20fa4f73 Soal 359Sebanyak tak terhingga orang (diberi nomor 1, 2, 3, dst.) berbaris untuk mendapatkan kamar di hotel tak terhingga terbaru Hilbert. Hotel tersebut terdiri dari tak terhingga lantai (diberi nomor 1, 2, 3, dst.), dan pada setiap lantai terdapat tak terhingga buah kamar (diberi nomor 1, 2, 3, dst.). Mula-mulanya hotel tersebut masih kosong. Hilbert menyatakan sebuah peraturan tentang bagaimana orang ke-n bisa mendapatkan sebuah kamar: orang ke-n akan mendapatkan kamar kosong pertama di lantai terbawah dengan memenuhi salah satu kondisi berikut ini:
Orang ke-1 mendapatkan kamar 1 di lantai 1 karena lantai 1 masih kosong. Dan pada akhirnya, setiap orang di antrian akan mendapatkan sebuah kamar di hotel. Dinyatakan P(f, r) adalah n apabila orang ke-n menempati ruang r pada lantai f, dan 0 jika tidak ada orang yang menempati ruangan tersebut. Berikut ini adalah beberapa contohnya: Carilah hasil penjumlahan dari semua P(f, r) untuk semua bilangan positif f dan r sehingga f × r = 71328803586048 dan berikan 8 digit terakhir dari jawaban Anda. Answer: 91525a22396940a99c496efcb75f2eee Soal 360Diberikan dua titik (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) pada ruang tiga dimensi, jarak Manhattan antara kedua titik tersebut dinyatakan dengan Misal C(r) adalah bola dengan panjang jari-jari r dan berpusat di titik origin O(0,0,0). Sehingga S(45)=34518. Carilah S(1010). Answer: 82ec91527315eafb7e3acc139eeeb8eb Soal 361Barisan Thue-Morse {Tn} adalah sebuah barisan biner yang memenuhi:
Beberapa suku pertama dari {Tn} adalah sebagai berikut: Kita akan menyatakan {An} sebagai barisan bilangan bulat berurutan yang didapat dari ekspresi biner dari setiap elemen yang muncul dari sub barisan di {Tn}. Beberapa suku pertama dari An adalah sebagai berikut: n0123456789101112An012345691011121318 Kita juga dapat membuktikan bahwa A100 = 3251 dan A1000 = 80852364498. Carilah 9 digit terakhir dari .Answer: 6540278145900f1fa45b95cc2f9599f1 Soal 362Perhatikan bilangan 54. Kita akan menyebut Fsf(n) sebagai banyaknya cara bilangan n dapat difaktorkan menggunakan faktor-faktor bukan kuadrat yang lebih besar dari 1, sehingga Fsf(54)=2. Misal S(n) adalah Fsf(k) untuk k=2 sampai n. S(100)=193. Carilah S(10 000 000 000). Answer: b62f0d524bec8653ba7b8a2cab70260b Soal 363Sebuah kurva Bézier kubik dibentuk dengan empat titik: P0, P1, P2 dan P3. Kurva dibangun dengan cara sebagai berikut: Di alamat website (eksternal) ini Anda akan menemukan applet yang akan menggambarkan cara untuk menggambari titik P0, P1, P2 dan P3 untuk melihat bagaimana cara menggambarkan kurva Bézier (kurva hijau) yang dibentuk dari titik-titik tersebut. Anda juga dapat menggeser titik Q0 sepanjang segmen P0P1. Dari hasil penggambaran tersebut jelas bahwa kurva Bézier adalah persinggungan segmen P0P1 di P0 dan P2P3 pada P3. Sebuah kuva Bézier kubik dengan P0=(1,0), P1=(1,v), P2=(v,1) dan P3=(0,1) digunakan untuk memperkirakan seperempat lingkaran. Berapa persen panjang kurfa bergeser dari panjang seperempat lingkaran? Yaitu, jika L adalah panjang kurva, hitunglah 100 ×L π/2 π/2Berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma. Answer: 2bc63386b7cccc64c67f90e719936143 Soal 364Terdapat N buah bangku pada satu baris. Kemudian akan ada N orang yang datang untuk mengisi bangku-bangku tersebut dengan aturan sebagai berikut:
Gambar berikut ini menunjukkan T(4)=8. Kita dapat membuktikan bahwa T(10) = 61632 dan T(1 000) mod 100 000 007 = 47255094. Carilah T(1 000 000) mod 100 000 007. Answer: d631977573d415a4766de9e6bd388cca Soal 365Koefisien binomial C(1018,109) adalah sebuah bilangan dengan lebih dari 9 milyar (9×109) digit. Misal M(n,k,m) menyatakan koefisien binomial C(n,k) modulo m. Hitunglah M(1018,109,p*q*r) untuk 1000 Answer: 53addf69042b0cefbeb94f3bd3224918 Soal 366Dua orang pemain, Anton dan Bernhard, sedang memainkan permainan berikut. Sebagai contoh, saat n=5 Misal M(n) adalah banyaknya batu yang dapat diambil oleh pemain pertama pada jumlah batu yang menghasilkan kemenangan pada giliran pertama dan M(n)=0 untuk banyak batu lainnya. M(n) untuk n100 is 728. Carilah M(n) untuk n1018. Berikan jawaban Anda yang telah di modulo 108. Answer: 8a080de12c5163d903b6212dd8086570 Soal 367Sortiran Bozo, bedakan dengan metode sortiran bogo yang kurang efisien, dilakukan dengan cara memeriksa apakah barisan input yang ada telah disortir, jika belum maka dilakukan penukaran dua elemen secara acak. Penukaran ini dilakukan terus menerus sampai barisan sudah berurutan. Jika kita menggunakan semua permutasi dari 4 bilangan asli pertama sebagai input, rata-rata banyaknya proses penukaran yang terjadi, dari semua 4! permutasi yang mungkin dari input adalah 24.75. Pada permasalahan ini, kita akan menggunakan variasi sortiran bozo berikut ini. Berikan jawaban Anda yang dibulatkan ke bilangan bulat terdekat. Answer: 0589f090524e0eea1544b50eefd0ebd8 Soal 368Sebuah barisan harmonik 1+12+13+14+ ... diketahui adalah merupakan barisan divergen.Tetapi jika kita menghilangkan dari barisan ini setiap suku yang pada penyebutnya terdapat angka 9, maka barisan ini kira-kira akan konvergen ke 22.9206766193. Sekarang mari kita memperhatikan hasil modifikasi lain dari barisan harmonik, dengan menghilangkan setiap suku yang pada penyebutnya terdapat 3 buah atau lebih digit yang sama secara berurutan. Dapat dibuktikan bahwa dari 1200 suku pertama barisan harmonik, hanya terdapat 20 suku yang akan dihilangkan. |