Pecahan desimal 1 317 apabila dibulatkan ke satuan terdekat adalah

Soal Project Euler dalam Bahasa Indonesia

Berikut adalah soal2 Project Euler dalam bahasa Indonesia

Soal 1

Jika kita membuat daftar semua bilangan asli yang lebih kecil daripada 10 yang merupakan kelipatan 3 atau 5, maka kita akan mendapatkan 3, 5, 6, dan 9. Jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah 23.

Tentukanlah jumlah dari semua bilangan kelipatan 3 atau 5 yang lebih kecil daripada 1000.

Answer: e1edf9d1967ca96767dcc2b2d6df69f4

Soal 2

Setiap pola baru dalam barisan Fibonacci dibentuk dengan menjumlahkan dua buah bilangan sebelumnya. Jika kita memulai barisan dengan angka 1 dan 2, maka 10 bilangan pertama barisan Fibonacci adalah:

Tentukanlah hasil penjumlahan semua bilangan genap yang lebih kecil dari empat juta dalam barisan Fibonacci seperti di atas.

Answer: 4194eb91842c8e7e6df099ca73c38f28

Soal 3

Faktor prima dari 13195 adalah 5, 7, 13, dan 29.

Berapakah faktor prima terbesar dari bilangan 600851475143 ?

Answer: 94c4dd41f9dddce696557d3717d98d82

Soal 4

Sebuah bilangan disebut sebagai palindrom, bila kita membacanya baik dari depan maupun dari belakang, kita akan mendapatkan bilangan yang sama. Bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 2 digit adalah 9009 = 91 × 99.

Tentukan bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 3 digit.

Answer: d4cfc27d16ea72a96b83d9bdef6ce2ec

Soal 5

2520 adalah bilangan terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua angka dari 1 sampai 10.

Berapakah bilangan positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 20?

Answer: bc0d0a22a7a46212135ed0ba77d22f3a

Soal 6

Jumlah dari kuadrat sepuluh bilangan asli pertama adalah,

Kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah,

Selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah 3025 - 385 = 2640. Tentukan selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah seratus bilangan asli pertama.

Answer: 867380888952c39a131fe1d832246ecc

Soal 7

Bila kita membuat daftar enam bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, kita dapat melihat bahwa bilangan prima ke-6 adalah 13.

Berapakah bilangan prima ke-10 001?

Answer: 8c32ab09ec0210af60d392e9b2009560

Soal 8

Empat bilangan berurutan dari 1000 bilangan berikut yang memiliki hasil kali terbesar adalah 9 × 9 × 8 × 9 = 5832.

Temukanlah tiga belas bilangan berurutan dari 1000 bilangan di atas yang memiliki hasil kali terbesar. Berapakah hasil kali ketiga belas bilangan tersebut?

Answer: 0f53ea7949d32ef24f9186207600403c

Soal 9

Triplet Pythagoras adalah kumpulan tiga buah bilangan asli, a < b < c, yang memenuhi,

Sebagai contoh, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Dan hanya terdapat persis satu triplet Pythagoras yang bisa memenuhi a + b + c = 1000. Temukan triplet Pythagoras tersebut dan tentukanlah hasil a × b × c.

Answer: 24eaa9820350012ff678de47cb85b639

Soal 10

Jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil daripada 10 adalah 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Tentukanlah jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil dari dua juta [2 000 000].

Answer: d915b2a9ac8749a6b837404815f1ae25

Soal 11

Pada kisi berukuran 20×20 berikut, empat buah bilangan yang membentuk satu garis diagonal lurus telah ditandai dengan warna merah.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Hasil perkalian dari bilangan tersebut adalah 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696.

Berapakah hasil perkalian terbesar dari empat bilangan berurutan dalam satu garis lurus [atas, bawah, kiri, kanan, atau diagonal] pada kisi berukuran 20×20 di atas?

Answer: 678f5d2e1eaa42f04fa53411b4f441ac

Soal 12

Barisan bilangan segitiga dibuat dengan menjumlahkan bilangan asli. Maka bilangan segitiga ke-7 adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Sepuluh bilangan segitiga pertama adalah:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Jika kita membuat daftar faktor dari tujuh bilangan segitiga pertama:

1: 1
3: 1,3
6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Dapat terlihat bahwa 28 adalah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima faktor. Berapakah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima ratus faktor?

Answer: 8091de7d285989bbfa9a2f9f3bdcc7c0

Soal 13

Carilah sepuluh angka pertama dari hasil penjumlahan seratus buah bilangan 50 digit berikut ini.

Answer: 361113f19fd302adc31268f8283a4f2d

Soal 14

Sebuah barisan iteratif berikut didefinisikan untuk himpunan bilangan bulat positif dengan aturan:

n n/2 [n bilangan genap]
n 3n + 1 [n bilangan ganjil]

Menggunakan aturan di atas, dimulai dari 13, maka kita akan mendapatkan barisan:

Dapat terlihat bahwa barisan ini [yang dimulai dari 13 dan berakhir di 1] memiliki 10 suku. Meskipun belum ada bukti matematisnya, diperkirakan bahwa apapun bilangan awalnya, barisan seperti ini akan selalu berakhir di 1 [Masalah Collatz].
Bilangan awal manakah yang besarnya lebih kecil daripada satu juta yang akan menghasilkan barisan terpanjang?

Catatan : besar suku berikutnya [setelah bilangan awal] dalam barisan boleh melebihi satu juta.

Answer: 5052c3765262bb2c6be537abd60b305e

Soal 15

Jika kita mulai bergerak dari pojok kiri atas kisi berukuran 2×2, dan hanya boleh bergerak ke kanan atau ke bawah, maka akan ada persis 6 ruas rute menuju ke pojok kanan bawah.

Berapakah jumlah rute yang ada jika kisi berukuran 20×20?

Answer: 928f3957168ac592c4215dcd04e0b678

Soal 16

215 = 32768 dan jumlah semua digitnya adalah 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Berapakah jumlah digit dari angka 21000?

Answer: 6a5889bb0190d0211a991f47bb19a777

Soal 17

Angka 1 sampai 5 ditulis dalam kata bahasa Inggris sebagai : one, two, three, four, five, dan terdapat 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 jumlah huruf yang digunakan.

Bila semua angka dari 1 sampai 1000 [1 dan 1000 termasuk di dalamnya] ditulis dalam kata bahasa Inggris, berapakah jumlah huruf yang digunakan?

Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris. Masalah itu tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan dibutuhkan cara yang cerdik! ;o]

Answer: 6a979d4a9cf85135408529edc8a133d0

Soal 18

Dengan memulai dari puncak segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Berapakah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa dari atas ke bawah pada segitiga berikut:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan membutuhkan cara yang cerdas! ;o]

Answer: 708f3cf8100d5e71834b1db77dfa15d6

Soal 19

Anda diberikan informasi sebagai berikut, dan Anda diminta untuk melakukan penelitian.

• 1 Jan 1900 adalah hari Senin.
• Bulan yang panjangnya tiga puluh hari adalah September, April, Juni, dan November. Sisanya memiliki panjang tiga puluh satu hari, kecuali Februari yang panjangnya dua puluh delapan hari, dan pada tahun kabisat bisa menjadi dua puluh sembilan.
• Tahun kabisat adalah tahun yang dapat habis dibagi 4, namun tidak berlaku pada tahun akhir abad, kecuali tahun tersebut tersebut habis dibagi 400. [Contoh : Februari 1900, akhir abad ke-19, memiliki dua puluh delapan hari walaupun 1900 habis dibagi 4]

Berapakah banyak hari Minggu yang jatuh pada tanggal 1 pada abad ke-20 [1 Jan 1901 sampai 31 Des 2000]?

Answer: a4a042cf4fd6bfb47701cbc8a1653ada

Soal 20

n! [dibaca n faktorial] didefinisikan sebagai n × [n 1] × × 3 × 2 × 1.
Sebagai contoh, 10! = 10 × 9 × × 3 × 2 × 1 = 3628800.
Jumlah digit bilangan 10! adalah 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27.
Carilah jumlah digit dari bilangan 100!

Answer: 443cb001c138b2561a0d90720d6ce111

Soal 21

Misalkan d[n] adalah jumlah semua bilangan yang lebih kecil daripada n yang dapat membagi habis n.

Jika d[a]=b dan d[b]=a, dengan ab, maka a dan b adalah sebuah pasangan akrab, dan a serta b dapat disebut bilangan akrab.

Sebagai contoh, bilangan-bilangan yang dapat membagi habis 220 dan lebih kecil daripada 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110; maka d[220]=284. Bilangan yang dapat membagi habis 284 dan lebih kecil daripada 2784 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142; maka d[284]=220.

Hitunglah jumlah semua bilangan akrab yang lebih kecil daripada 10000.

Answer: 51e04cd4e55e7e415bf24de9e1b0f3ff

Soal 22

[names.txt][/projecteuler/files/names.txt] [klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'] , adalah 46K berkas teks yang berisi lebih dari lima ribu nama depan. Urutkanlah nama-nama tersebut berdasarkan abjad, lalu hitunglah nilai dari setiap nama dengan cara mengkonversikan setiap huruf menjadi angka sesuai dengan urutan alfabet. Setelah itu kalikan jumlah angka-angka tersebut dengan posisinya pada daftar nama names.txt yang telah diurutkan.

Sebagai contoh, saat daftar nama sudah diurutkan berdasarkan abjad, COLIN berada di posisi ke 938 pada daftar nama, dari huruf-hurufnya COLIN akan memiliki nilai 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53. Sehingga, COLIN akan memiliki nilai 938 × 53 = 49714.

Berapakah jumlah nilai dari semua nama pada names.txt?

Answer: f2c9c91cb025746f781fa4db8be3983f

Soal 23

Bilangan sempurna adalah sebuah bilangan yang jumlah semua pembagi habisnya sama dengan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, jumlah pembagi habis dari 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, dengan demikian 28 adalah bilangan sempurna.

Sebuah bilangan n disebut defisien jika jumlah pembagi habisnya kurang dari n, dan disebut limpahan jika jumlahnya melebihi n.

12 adalah bilangan limpahan terkecil, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, sedangkan bilangan terkecil yang dapat dibentuk dari hasil jumlah dua buah bilangan limpahan adalah 24. Dengan analisis matematis, dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat lebih dari 28123 dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan. Dan, batas ini tidak bisa diperkecil lagi oleh analisis lebih lanjut, sehingga bilangan terbesar yang tidak dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan adalah kurang dari batas ini [28123].

Carilah jumlah semua bilangan positif yang tidak bisa dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan.

Answer: 2c8258c0604152962f7787571511cf28

Soal 24

Permutasi adalah susunan terurut dari objek. Sebagai contoh, 3124 adalah salah satu permutasi yang mungkin dari digit 1, 2, 3, dan 4. Jika semua permutasi dituliskan sesuai dengan urutan angka atau alfabet, maka kita sebut itu sebagai susunan leksikografis. Susunan leksikografis dari permutasi 0, 1, dan 2 adalah:

Berapakah suku kesatu juta dari susunan leksikografis dari permutasi digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9?

Answer: 7f155b45cb3f0a6e518d59ec348bff84

Soal 25

Barisan Fibonacci dibentuk dari hubungan berulang:

Fn = Fn1 + Fn2, di mana F1 = 1 and F2 = 1.

Dari aturan tersebut didapatkan 12 suku pertamanya:

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144

Suku ke-12, yaitu F12, adalah suku pertama yang memiliki tiga digit.

Suku keberapakah pada barisan Fibonacci yang pertama kali memiliki 1000 digit?

Answer: a376802c0811f1b9088828288eb0d3f0

Soal 26

Unit pecahan adalah sebuah pecahan yang memiliki pembilang 1. Representasi desimal dari unit pecahan untuk penyebut dari 2 sampai 10 adalah sebagai berikut:

1/2=0.51/3=0.[3]1/4=0.251/5=0.21/6=0.1[6]1/7=0.[142857]1/8=0.1251/9=0.[1]1/10=0.1

Di sini 0.1[6] berarti 0.166666..., dan memiliki 1 digit yang berulang. Dapat kita lihat bahwa 1/7 memiliki 6 digit yang berulang.

Carilah berapa nilai dari d < 1000, bila 1/d memiliki paling banyak digit berulang dalam bentuk desimalnya.

Answer: 6aab1270668d8cac7cef2566a1c5f569

Soal 27

Euler menemukan sebuah rumus kuadrat yang luar biasa:

n² + n + 41

Ternyata rumus tersebut akan menciptakan 40 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 sampai 39. Tetapi, saat n = 40, 402 + 40 + 41 = 40[40 + 1] + 41 angka ini ternyata habis dibagi 41, dan saat n = 41, 41² + 41 + 41 angka ini juga habis dibagi 41.

Rumus luar biasa lainnya n² 79n + 1601 telah ditemukan, rumus tersebut akan menghasilkan 80 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 to 79. Hasil kali dari koefisien rumus tersebut, 79 dan 1601, adalah 126479.

Dengan bentuk kuadrat berikut ini:

n² + an + b, di mana |a| < 1000 dan |b| < 1000

di mana |n| adalah nilai mutlak/absolut dari n
sebagai contoh: |11| = 11 dan |4| = 4

Carilah hasil kali koefisien, a dan b, untuk rumus kuadrat di atas yang menghasilkan paling banyak bilangan prima untuk nilai n berurutan, dimulai dari n = 0.

Answer: 69d9e3218fd7abb6ff453ea96505183d

Soal 28

Dimulai dari angka 1 di tengah, lalu bergerak ke kanan searah jarum jam, maka dapat dibentuk spiral angka berukuran 5 x 5 sebagai berikut:

21 22 23 24 25
20 7 8 9 10
19 6 1 2 11
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13

Dapat terlihat bahwa jumlah angka-angka yang terletak pada diagonal spiral angka ini adalah 101.

Berapakah jumlah angka-angka pada diagonal, jika dibentuk spiral dengan cara yang sama, namun berukuran 1001 x 1001?

Answer: 0d53425bd7c5bf9919df3718c8e49fa6

Soal 29

Jika kita mencoba menghitung semua kombinasi dari ab untuk 2 a 5 dan 2 b 5 maka kita akan mendapatkan:

22=4, 23=8, 24=16, 25=32
32=9, 33=27, 34=81, 35=243
42=16, 43=64, 44=256, 45=1024
52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

Lalu jika kita urutkan angka-angka tersebut, dengan terlebih dahulu membuang angka yang berulang, maka kita akan mendapatkan barisan 15 buah bilangan berbeda sebagai berikut:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Berapakah banyak bilangan berbeda, pada barisan yang dibuat dari rumus ab untuk 2 a 100 dan 2 b 100?

Answer: 6f0ca67289d79eb35d19decbc0a08453

Soal 30

Hanya terdapat tiga buah bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan empat, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan angka yang sama:

1634 = 14 + 64 + 34 + 44
8208 = 84 + 24 + 04 + 84
9474 = 94 + 44 + 74 + 44

Tetapi 1 = 14 tidak ikut dimasukkan dalam bilangan-bilangan di atas, karena bukan merupakan hasil penjumlahan.

Jumlah dari semua bilangan tersebut adalah 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Carilah jumlah dari semua bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan lima, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan bilangan yang sama

Answer: 27a1779a8a8c323a307ac8a70bc4489d

Soal 31

Mata uang Inggris terdiri dari pecahan pound [£], dan pence [p], dan terdapat delapan macam koin yang beredar di sana:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 [100p] dan £2 [200p].

Kita dapat membentuk £2 salah satunya dengan cara berikut:

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

Berapa banyak cara untuk membentuk £2 menggunakan koin yang beredar?

Answer: 142dfe4a33d624d2b830a9257e96726d

Soal 32

Kita dapat menyebut bilangan dengan n digit sebagai bilangan pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n satu kali; sebagai contoh, bilangan 5 digit, 15234, adalah bilangan pandigital 1 sampai 5

7254 dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan 39 × 186 = 7254, dan jika identitas ini dilihat dengan seksama, kita dapat menemukan semua angka dari 1 sampai 9. Identitas seperti ini dapat juga disebut pandigital.

Carilah jumlah dari semua bilangan, yang jika ditulis sebagai hasil kali, identitasnya dapat ditulis sebagai pandigital 1 sampai 9.

Answer: 100f6e37d0b0564490a2ee27eff0660d

Soal 33

Pecahan 49/98 adalah pecahan yang menarik, karena seseorang yang tidak paham matematika mungkin akan mencoba untuk menyederhanakan pecahan tersebut dengan menghapus angka yang sama, yaitu angka 9 pada pembilang dan penyebut 49/98 = 4/8, dan kebetulan hasilnya benar.

Pecahan angka puluhan seperti, 30/50 = 3/5, dapat kita sebut sebagai kasus trivial, dan tidak kita ikut sertakan pada perhitungan ini.

Hanya terdapat empat buah pecahan seperti ini yang tidak trivial, yang nilai desimalnya kurang dari satu, dan memiliki dua digit baik pada pembilang maupun penyebut

Jika hasil kali dari keempat pecahan ini diberikan dalam sampai yang bentuk yang paling sederhana, carilah nilai dari penyebutnya.

Answer: f899139df5e1059396431415e770c6dd

Soal 34

145 adalah bilangan yang menarik, karena 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Carilah jumlah semua bilangan yang jika faktorial dari semua digitnya dijumlahkan, hasilnya adalah bilangan yang sama.

Catatan: walaupun 1! = 1 dan 2! = 2, namun mereka tidak diikutsertakan karena bukan merupakan hasil penjumlahan beberapa faktorial digit.

Answer: 60803ea798a0c0dfb7f36397d8d4d772

Soal 35

Bilangan 197 dapat disebut bilangan prima siklik karena semua perputaran digitnya: 197, 971, dan 719, merupakan bilangan prima.

Terdapat tiga belas buah bilangan prima siklik yang lebih kecil daripada 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, dan 97.

Berapa banyak bilangan prima siklik yang lebih kecil dari satu juta?

Answer: b53b3a3d6ab90ce0268229151c9bde11

Soal 36

Bilangan desimal 585 = 10010010012 [biner], adalah bilangan palindrom, baik dalam basis 10 [desimal] ataupun basis 2 [biner].

Carilah jumlah dari semua bilangan, yang lebih kecil daripada satu juta, yang merupakan bilangan palindrom dalam basis 10 [desimal] dan dalam basis 2 [biner].

[Harap diingat, bahwa bilangan palindrom, dalam basis berapapun, tidak boleh diawali oleh angka nol.]

Answer: 0e175dc2f28833885f62e7345addff03

Soal 37

Bilangan 3797 memiliki sifat yang unik. Bilangan tersebut adalah prima, dan jika kita menghapus satu per satu digitnya dari kiri ke kanan, semua bilangan barunya tetaplah bilangan prima: 3797, 797, 97, dan 7. Kita dapat juga membuang digit dengan cara yang sama dari kanan ke kiri: 3797, 379, 37, dan 3, dan semua bilangan barunya juga tetaplah bilangan prima.

Hanya ada sebelas buah bilangan prima yang jika digitnya dihapus satu per satu baik dari kiri ke kanan maupun kanan ke kiri, tetap merupakan bilangan prima. Carilah jumlah kesebelas bilangan prima tersebut.

Catatan: 2, 3, 5, dan 7 tidak termasuk dalam kesebelas bilangan tersebut.

Answer: cace46c61b00de1b60874936a093981d

Soal 38

Ambil bilangan 192 dan kalikan dengan 1, 2, dan 3, akan didapat:

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

Dengan menyatukan semua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, 192384576. Kita akan menyebut 192384576 sebagai hasil kali terangkaikan dari 192 dan [1,2,3]

Hasil yang serupa bisa didapatkan dengan angka 9 dan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan 5, yang memberikan bilangan pandigital, 918273645, di mana bilangan ini merupakan hasil kali terangkaikan dari 9 dan [1,2,3,4,5].

Berapakah bilangan terbesar pandigital 1 sampai 9 yang dapat kita bentuk dari hasil kali terangkai suatu bilangan bulat dan [1,2, ... , n] di mana n > 1?

Answer: f2a29ede8dc9fae7926dc7a4357ac25e

Soal 39

Misalkan p adalah keliling dari sebuah segitiga siku-siku yang memiliki sisi {a,b,c}, dan a,b,dan c adalah bilangan bulat. Maka akan ada tiga buah segitiga untuk p = 120.

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Berapakah nilai p 1000, yang akan menghasilkan jumlah segitiga siku-siku paling banyak?

Answer: fa83a11a198d5a7f0bf77a1987bcd006

Soal 40

Bentuk desimal dari sebuah pecahan irasional dibuat dengan merangkaikan barisan bilangan bulat positif:

0.123456789101112131415161718192021...

Dapat dilihat bahwa digit ke-12 di belakang koma adalah 1.

Jika dn melambangkan digit ke-n di belakang koma, carilah hasil dari bentuk berikut ini.

d1 × d10 × d100 × d1000 × d10000 × d100000 × d1000000

Answer: 6f3ef77ac0e3619e98159e9b6febf557

Soal 41

Kita dapat menyebut sebuah bilangan dengan n digit sebagai pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n persis satu kali. Sebagai contoh, 2143 adalah bilangan pandigital 4 digit yang kebetulan juga merupakan bilangan prima.

Berapakah bilangan pandigital prima terbesar yang ada di dunia ini?

Answer: d0a1bd6ab4229b2d0754be8923431404

Soal 42

Suku ke-n dari barisan bilangan segitiga dapat dihitung sebagai tn = ½n[n+1]; sehingga sepuluh bilangan segitiga pertama adalah:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Dengan mengubah setiap huruf menjadi angka yang sesuai dengan urutan pada alfabet, dan menjumlahkan semua angka yang didapat untuk tiap kata, kita bisa mendapatkan nilai kata tersebut. Sebagai contoh, nilai dari kata SKY adalah 19 + 11 + 25 = 55 = t10. Jika nilai kata yang didapat termasuk dalam barisan bilangan segitiga, maka kata tersebut akan kita sebut sebagai kata segitiga

Menggunakan [words.txt][/projecteuler/files/words.txt] [klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'], sebuah berkas berukuran 16K yang berisi kurang lebih dua ribu kata dalam bahasa Inggris, berapa banyak kata segitiga dalam berkas tersebut?

Answer: 82aa4b0af34c2313a562076992e50aa3

Soal 43

Bilangan 1406357289, adalah bilangan pandigital dari 0 sampai 9, karena bilangan ini memuat digit 0 sampai 9 tepat satu kali dengan urutan yang acak. Namun bilangan 1406357289 juga memiliki sifat lain yang cukup menarik, yaitu sifat habis dibaginya sub-string dari bilangan tersebut dengan bilangan prima.

Misalkan d1 adalah digit ke-1, d2 adalah digit ke-2, dan seterusnya. Dengan mengingat notasi ini, kita bisa menemukan bahwa:

• d2d3d4=406 habis dibagi 2
• d3d4d5=063 habis dibagi 3
• d4d5d6=635 habis dibagi 5
• d5d6d7=357 habis dibagi 7
• d6d7d8=572 habis dibagi 11
• d7d8d9=728 habis dibagi 13
• d8d9d10=289 habis dibagi 17

Carilah jumlah dari semua bilangan pandigital dari 0 sampai 9 yang memiliki sifat ini.

Answer: 115253b7721af0fdff25cd391dfc70cf

Soal 44

Bilangan segilima dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut, Pn=n[3n1]/2. Sepuluh bilangan segilima pertama adalah:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Dapat dilihat bahwa P4 + P7 = 22 + 70 = 92 = P8. Tetapi, selisih keduanya, 70 22 = 48, bukanlah bilangan segilima.

Carilah pasangan bilangan segilima, Pj dan Pk, di mana jumlah dan selisihnya juga merupakan bilangan segilima dengan nilai D = |Pk Pj| paling kecil; berapakah nilai dari D?

Answer: 2c2556cb85621309ca647465ffa62370

Soal 45

Bilangan segitiga, segilima, dan segienam dapat dibentuk dari rumus berikut ini:

Dapat dibuktikan bahwa T285 = P165 = H143 = 40755.

Carilah bilangan segitiga selanjutnya yang juga merupakan bilangan segilima dan segienam.

Answer: 30dfe3e3b286add9d12e493ca7be63fc

Soal 46

Christian Goldbach pernah mengajukan dugaan bahwa setiap bilangan ganjil yang bukan bilangan prima dapat dibentuk dari penjumlahan bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat.

9 = 7 + 2×12
15 = 7 + 2×22
21 = 3 + 2×32
25 = 7 + 2×32
27 = 19 + 2×22
33 = 31 + 2×12

Namun ternyata dugaan ia salah.

Berapakah bilangan ganjil komposit [bukan bilangan prima] terkecil yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil penjumlahan suatu bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat?

Answer: 89abe98de6071178edb1b28901a8f459

Soal 47

Dua bilangan berurutan paling kecil yang memiliki faktor prima berbeda adalah:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Tiga bilangan berurutan paling kecil yang memiliki tiga faktor prima berbeda adalah:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19.

Carilah empat bilangan berurutan paling kecil yang memiliki empat faktor prima berbeda. Berapakah bilangan pertama dari keempat bilangan berurutan tersebut?

Answer: 748f517ecdc29106e2738f88aa7530f4

Soal 48

Deret 11 + 22 + 33 + ... + 1010 = 10405071317.

Carilah 10 digit terakhir dari jumlahan deret 11 + 22 + 33 + ... + 10001000.

Answer: 0829124724747ae1c65da8cae5263346

Soal 49

Suatu barisan aritmatika, 1487, 4817, 8147, yang tiap sukunya memiliki beda 3330, memiliki dua buah keunikan: [i] ketiga-tiganya adalah merupakan bilangan prima, dan, [ii] keempat digit pada setiap suku merupakan perubahan posisi/permutasi dari suku yang lain.

Tidak ada barisan aritmatika yang suku-sukunya merupakan bilangan prima satu, dua, atau tiga digit yang memiliki sifat di atas, namun masih ada satu lagi kelompok barisan aritmatika empat digit yang bisa memenuhi sifat di atas.

Jika ketiga suku dari barisan aritmatika tersebut dirangkaikan, maka akan terbentuk satu bilangan yang terdiri atas 12 digit. Berapakah bilangan tersebut?

Answer: 0b99933d3e2a9addccbb663d46cbb592

Soal 50

Bilangan prima 41, dapat dibentuk dari penjumlahan enam bilangan prima berurutan:

Ini adalah penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang jumlahnya menghasilkan bilangan prima kurang dari seratus.

Penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang hasilnya adalah bilangan prima kurang dari seribu membutuhkan 21 suku, dan hasilnya adalah 953.

Berapakah bilangan prima di bawah satu juta yang dapat dibentuk dari penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan?

Answer: 73229bab6c5dc1c7cf7a4fa123caf6bc

Soal 51

Dengan mengganti digit ke-1 dari bilangan 2 digit dengan bentuk *3, terdapat enam buah bilangan prima dari sembilan bilangan yang ada: 13, 23, 43, 53, 73, dan 83.

Dengan menukarkan digit ke-3 dan ke-4 dari bentuk bilangan 56**3 dengan digit yang sama, maka akan didapatkan sekumpulan bilangan 5 digit, dengan tujuh buah bilangan prima dari sepuluh kemungkinan bilangan yang ada: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, dan 56993. Dan 56003, me rupakan bilangan prima yang paling kecil dari kelompok ini.

Carilah bilangan prima yang paling kecil dari suatu kelompok, dimana kelompok tersebut didapatkan dengan mengganti beberapa bagian dari bil angan [tidak harus berurutan] dengan digit yang sama, dan kelompok tersebut memiliki delapan buah bilangan prima.

Answer: e2a8daa5eb919905dadd795593084c22

Soal 52

Dapat dilihat bahwa bilangan 125874, dan kelipatan duanya, 251748, mengandung digit-digit yang sama, namun dengan urutan yang berbeda.

Carilah bilangan bulat terkecil x, sedemikian rupa sehingga 2x, 3x, 4x, 5x, dan 6x mengandung digit-digit yang sama.

Answer: a420384997c8a1a93d5a84046117c2aa

Soal 53

Terdapat persis sepuluh cara untuk memilih tiga angka dari bilangan 12345:

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, and 345

Dalam kombinatorika, kita menggunakan lambang, 5C3 = 10.

Secara umum,

Saat n = 23, nilai kombinasi yang ada akan melebihi satu juta: 23C10 = 1144066.

Berapa banyak kombinasi nCr yang akan menghasilkan nilai lebih dari satu juta, untuk n, 1 n 100? [Hasil kombinasi boleh sama]

Answer: e3b21256183cf7c2c7a66be163579d37

Soal 54

Dalam permainan kartu poker, seorang pemain bisa memegang lima kartu. Susunan kelima kartu tersebut dapat diperingkatkan, dari peringkat rendah ke peringkat tinggi dengan aturan sebagai berikut:

• High Card: Satu kartu yang memiliki nilai paling tinggi.
• One Pair: Satu pasang kartu yang memiliki nilai sama.
• Two Pairs: Terdapat dua One Pair berbeda.
• Three of a Kind: Tiga buah kartu yang memiliki nilai yang sama.
• Straight: Semua kartu memiliki nilai yang berurutan.
• Flush: Semua kartu memiliki suit [Spade, Heart, Diamond, Club] yang sama.
• Full House: Gabungan Three of a Kind dan One Pair.
• Four of a Kind: Empat kartu yang memiliki nilai yang sama.
• Straight Flush: Semua kartu memiliki nilai yang berurutan dan memiliki suit [Spade, Heart, Diamond, Club] yang sama.
• Royal Flush: Sepuluh, Jack, Queen, King, Ace, dalam suit [Spade, Heart, Diamond, Club] yang sama.

Semua kartu memiliki urutan nilai:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King, Ace.

Jika dua pemain memegang susunan kartu yang memiliki peringkat yang sama, maka kartu kedua pemain tersebut akan dibandingkan nilainya, yang memiliki nilai lebih besar menang; sebagai contoh, sepasang [One Pair] kartu delapan mengalahkan sepasang [One Pair] kartu lima. Namun apabila tidak bisa ditemukan nilai yang lebih besar, sebagai contoh, kedua pemain memiliki sepasang [One Pair] kartu queen, maka akan dilihat kartu sisanya, dan kartu sisa tersebut akan dibandingkan [lihat contoh 4 di bawah]; Jika kartu dengan peringkat tertinggi dari kedua pemain ternyata seri, maka kartu peringkat selanjutnya yang akan dibandingkan, dan seterusnya.

Perhatikan kelima kartu yang dimiliki oleh dua pemain berikut:

File, [poker.txt][/projecteuler/files/poker.txt], berisi seribu permainan acak yang dimainkan oleh dua orang pemain. Setiap baris dalam berkas berisi sepuluh kartu [yang dipisah oleh sebuah spasi]: lima kartu pertama adalah milik pemain 1, dan lima kartu selanjutnya adalah milik pemain 2. Anda dapat mempercayai bahwa semua kartu yang ada sudah benar [tidak ada huruf yang salah diketik atau kartu ganda], Kartu pada setiap pemain dituliskan dengan urutan acak, dan dalam setiap permainan pasti ada pemenangnya.

Berapa kali pemain 1 menang?

Answer: 142949df56ea8ae0be8b5306971900a4

Soal 55

Jika kita memilih bilangan 47, lalu menjumlahkan dengan kebalikannya, 47 + 74 = 121, akan didapat hasil palindrom.

Namun cara ini tidak selalu langsung menghasilkan bilangan palindrom. Sebagai contoh,

349 + 943 = 1292,
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Seperti contoh di atas, 349 memerlukan tiga iterasi dari cara di atas untuk mendapatkan bilangan palindrom.

Meskipun belum ada seorangpun yang membuktikannya, diduga bahwa ada beberapa bilangan, seperti 196, yang tidak bisa menghasilkan bilangan palindrom dengan cara di atas. Bilangan yang tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom dengan cara menjumlahkan dengan kebalikannya disebut bilangan Lychrel.

Untuk keperluan penelitian ini, kita asumsikan bahwa semua bilangan adalah bilangan Lychrell, sampai bisa dibuktikan sebaliknya. Anggaplah bahwa untuk semua bilangan yang lebih kecil daripada sepuluh ribu, bilangan tersebut kemungkinan akan [i] menjadi bilangan palindrom setelah pengulangan proses [iterasi] kurang dari lima puluh kali, atau, [ii] kita tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom, walaupun kita menggunakan segala kemampuan atau alat yang ada. Sebagai informasi, 10677 adalah bilangan pertama yang membutuhkan lebih dari lima puluh kali pengulangan agar dapat menghasilkan bilangan palindrom : 4668731596684224866951378664 [53 pengulangan, 28 angka].

Menariknya, ada beberapa bilangan palindrom yang juga merupakan bilangan Lychrel; contohnya 4994.

Berapa banyak bilangan Lychrel yang besarnya kurang dari sepuluh ribu?

Answer: 077e29b11be80ab57e1a2ecabb7da330

Soal 56

Satu googol [10100] adalah bilangan yang sangat besar: angka satu diikuti oleh seratus buah angka nol; 100100 juga merupakan bilangan yang bahkan lebih besar: angka satu diikuti oleh dua ratus buah angka nol. Namun walaupun berukuran besar, jumlah dari semua angkanya hanya 1.

Misalkan ada sebuah bilangan asli yang memiliki bentuk ab, di mana a, b < 100, berapakah jumlah terbesar dari angka-angka dalam ab?

Answer: c22abfa379f38b5b0411bc11fa9bf92f

Soal 57

Kita dapat menunjukkan bahwa akar dua dapat dinyatakan sebagai penjumlahan suatu pecahan sebanyak tak hingga kali.

2 = 1 + 1/[2 + 1/[2 + 1/[2 + ]]] = 1.414213

Dengan menghitung empat iterasi pertama dari rumus di atas, kita akan mendapat:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/[2 + 1/2] = 7/5 = 1.4
1 + 1/[2 + 1/[2 + 1/2]] = 17/12 = 1.41666
1 + 1/[2 + 1/[2 + 1/[2 + 1/2]]] = 41/29 = 1.41379

Tiga iterasi selanjutnya akan menghasilkan 99/70, 239/169, dan 577/408, Namun pada iterasi ke delapan, 1393/985, untuk pertama kalinya kita dap at menemukan banyaknya digit pada pembilang lebih banyak daripada pada penyebut.

Dalam seribu iterasi pertama, berapa banyak pecahan yang pembilangnya memiliki banyak digit yang lebih banyak dibanding penyebutnya?

Answer: b3e3e393c77e35a4a3f3cbd1e429b5dc

Soal 58

Dengan memulai menuliskan angka 1 di tengah, lalu berputar berlawanan arah jarum jam seperti pada bentuk berikut, kita dapat membentuk suatu spiral angka persegi dengan ukuran sisi 7.

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18 5 4 3 12 29
40 19 6 1 2 11 28
41 20 7 8 9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Ada satu hal yang menarik, yaitu bilangan ganjil kuadrat tersusun di diagonal sebelah kanan bawah. Namun yang lebih menarik lagi, 8 dari 13 angka yang ada pada kedua diagonal adalah prima sehingga perbandingannya dapat dituliskan 8/13 62%.

Jika satu lapis spiral lagi dibuat di sekeliling spiral di atas, maka kita akan mendapatkan spiral angka persegi dengan ukuran sisi 9. Jika proses ini dilanjutkan, berapakah panjang sisi terkecil dari persegi spiral angka seperti di atas, sehingga spiral tersebut memiliki perbandingan bilangan prima terhadap semua angka pada diagonal yang nilainya jatuh bawah 10%?

Answer: b62fc92a2561538525c89be63f36bf7b

Soal 59

Setiap karakter pada komputer disimpan dengan kode unik, dan salah satu standar konversi karakter tersebut adalah ASCII [American Standard Code for Information Interchange]. Sebagai contoh, huruf A kapital memiliki kode A = 65, tanda bintang [*] = 42, dan huruf k kecil memiliki kode k = 107.

Proses enkripsi modern yang diterapkan pada suatu berkas, akan mengubah huruf ke kode ASCII-nya, lalu melakukan operasi XOR untuk setiap nilai yang didapat dengan nilai yang tertentu, yang diambil dari kunci rahasia. Keuntungan menggunakan metode XOR adalah kita dapat menggunakan kunci rahasia yang sama saat melakukan enkripsi untuk mengamankan teks, dan melakukan dekripsi kembali menjadi teks awal; sebagai contoh, 65 XOR 42 = 107, lalu 107 XOR 42 = 65.

Agar proses enkripsi tidak mudah ditembus, maka dibuatlah kunci rahasia yang sama panjang dengan teks awal, dan kunci ini dibentuk dari angka acak. Sang pengguna komputer akan menaruh pesan yang telah dienkripsi dan kunci rahasia tersebut di tempat yang berbeda, dan tanpa mengetahui keduanya, tidak memungkinkan untuk melakukan dekripsi pesan.

Sayangnya, metode ini tidak praktis untuk kebanyakan pengguna, sehingga metode ini disempurnakan dengan menggunakan kata sandi sebagai kunci rahasia. Jika kata sandi lebih pendek dari pesan yang ingin dikirim [dan sering kali terjadi demikian], maka kata sandi akan diulang terus menerus sampai sama panjang dengan pesan yang ingin dikirim. Keseimbangan dari metode ini adalah kita dapat menggunakan kata sandi yang cukup panjang, untuk berusaha mengamankan pesan yang ingin dikirim, namun yang masih memungkinkan untuk diingat.

Terdapat pesan rahasia yang ada di berkas cipher1.txt [klik kanan dan pilih Save Link/Target As], berkas tersebut berisi pesan rahasia dalam bentuk kode ASCII. Tugas Anda akan dipermudah, yaitu dengan mengetahui bahwa kata sandi yang digunakan untuk enkripsi pesan ini adalah hanya terdiri dari tiga huruf kecil, dan pesan rahasia ini adalah sebuah pesan yang berisi kata berbahasa Inggris. Dekripsilah pesan tersebut, dan cari jumlah dari semua nilai ASCII pada pesan tersebut.

CATATAN: Enkripsi adalah proses mengubah pesan asli menjadi kode rahasia, Dekripsi adalah proses mengubah kembali kode rahasia menjadi pesan asli.

Answer: 68f891fe214e2bfa07c998ad5d0a390f

Soal 60

Bilangan prima 3, 7, 109, dan 674, sangat patut diperhatikan. Dengan mengambil dua dari empat buah bilangan prima tersebut, lalu merangkaikannya dengan susunan apapun, kita akan mendapatkan bilangan baru yang selalu prima. Sebagai contoh, ambil bilangan 7 dan 109, lalu rangkaikan. Keduanya baik 7109 maupun 1097 adalah bilangan prima. Jumlah dari ke empat bilangan prima di atas adalah 792, dan ini merupakan jumlah terkecil dari himpunan empat bilangan prima yang memiliki sifat seperti yang dijelaskan di atas.

Carilah jumlah terkecil dari himpunan lima bilangan prima, yang memiliki sifat bahwa bila dua bilangan primanya dirangkaikan, kita akan selalu mendapatkan bilangan prima.

Answer: a4b5a70ca8cf24d0eb4330748d1e72e5

Soal 61

Bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan adalah bilangan yang menggunakan nama segi banyak, dan bilangan tersebut dapat dibuat dengan rumus:

Sebuah himpunan dari tiga buah bilangan dengan 4 digit: 8128, 2882, 8281, memiliki tiga sifat yang menarik.

1. Himpunan tersebut siklik, dua digit terakhir dari suatu bilangan adalah digit-digit awal dari bilangan selanjutnya [sifat ini juga berlaku untuk bilangan terakhir terhadap yang pertama].
2. Semua bilangan pada himpunan di atas merupakan bilangan segibanyak yang berbeda: segitiga [P3,127=8128], segiempat [P4,91=8281], dan segilima [P5,44=2882].
3. Himpunan ini adalah satu-satunya himpunan bilangan 4 angka yang memiliki kedua sifat di atas.

Carilah himpunan yang mirip seperti himpunan di atas, namun mengandung enam buah bilangan 4 angka, yang merupakan himpunan siklik, dan memiliki bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan yang berbeda.

Answer: caec17d84884addeec35c3610645ab63

Soal 62

Digit-digit pada bilangan kubik, 41063625 [3453], dapat diacak untuk membuat dua bilangan kubik lain: 56623104 [3843] dan 66430125 [4053]. Faktanya, 41063625 adalah bilangan kubik terkecil yang memiliki tiga buah bilangan kubik, hasil pengacakan semua digitnya .

Carilah bilangan kubik terkecil, yang apabila digit-digitnya diacak, bisa menghasilkan lima bilangan kubik termasuk dengan bilangan itu sendiri.

Answer: 8f46b522b5401b8b6df99a7410eea44b

Soal 63

Sebuah bilangan dengan 5 digit, 16807=75, juga merupakan hasil pangkat lima suatu bilangan lain. Hal yang serupa, bilangan 9 digit, 134217728=89, adalah hasil pangkat sembilan suatu bilangan lain.

Berapa banyak bilangan positif n-digit, yang juga merupakan hasil pangkat n suatu bilangan?

Answer: f457c545a9ded88f18ecee47145a72c0

Soal 64

Semua akar kuadrat adalah periodik [berulang] saat ditulis dalam pecahan kontinu seperti berikut ini:

Sebagai contoh, perhatikan 23:

Jika kita melanjutkannya, maka kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut:

Dan proses di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Kita dapat menemukan bahwa terdapat pola berulang. Untuk memudahkan, kita gunakan lambang 23 = [4;[1,3,1,8]], untuk memberitahu bahwa blok [1,3,1,8] berulang sampai tak hingga kali

Sepuluh representasi pecahan kontinu dari bilangan akar kuadrat [bilangan irasional] adalah:

2=[1;[2]], periode=1
3=[1;[1,2]], periode=2
5=[2;[4]], periode=1
6=[2;[2,4]], periode=2
7=[2;[1,1,1,4]], periode=4
8=[2;[1,4]], periode=2
10=[3;[6]], periode=1
11=[3;[3,6]], periode=2
12= [3;[2,6]], periode=2
13=[3;[1,1,1,1,6]], periode=5

Terdapat persis empat buah dari bentuk di atas, untuk N 13, yang memiliki periode ganjil.

Berapakah banyaknya bentuk di atas, untuk N 10000 yang memiliki periode ganjil?

Answer: dc960c46c38bd16e953d97cdeefdbc68

Soal 65

Akar kuadrat dari 2 dapat ditulis sebagai pecahan kontinu.

Pecahan kontinu tersebut dapat ditulis, 2 = [1;[2]], [2] menandakan bahwa 2 berulang secara ad infinitum [sampai tak hingga kali]. Dengan proses yang sama, 23 = [4;[1,3,1,8]].

Ternyata teknik perhitungan akar kuadrat ini memberikan hasil rasional yang sangat mendekati nilai aslinya. Sebagai contoh kita akan melihat 2.

Barisan dari sepuluh bilangan pertama yang konvergen ke 2 adalah:

Yang mengejutkan, sebuah konstanta penting dalam matematika dapat juga dinyatakan dalam blok berulang, yaitu
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Sepuluh bentuk pecahan pertama yang konvergen kek e adalah:

Jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-10 adalah 1+4+5+7=17.

Carilah jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-100, dari pecahan kontinu yang konvergen ke e.

Answer: 7a614fd06c325499f1680b9896beedeb

Soal 66

Perhatikan sebuah persamaan kuadrat Diophantine sebagai berikut:

x2 Dy2 = 1

Saat D=13, solusi minimal x adalah 6492 13×1802 = 1.

Kita dapat asumsikan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat positif ketika D merupakan bilangan kuadrat.

Dengan mencari solusi minimal x untuk D = {2, 3, 5, 6, 7}, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

32 2×22 = 1
22 3×12 = 1
92 5×42 = 1
52 6×22 = 1
82 7×32 = 1

Dapat kita lihat solusi minimal x di atas untuk D 7, hasil x terbesar kita dapatkan saat D=5.

Carilah nilai D 1000, yang solusi minimal x nya merupakan solusi x terbesar.

Answer: 3a066bda8c96b9478bb0512f0a43028c

Soal 67

Dengan dimulai dari sisi atas segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat bahwa jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Carilah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa di atas, dari atas ke bawah pada segitiga [triangle.txt][/projecteuler/files/triangle.txt] [Klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'], triangle.txt adalah sebuah berkas teks 15K yang memuat segitiga mirip seperti di atas sebanyak seratus baris.

NOTE: Ini adalah versi lebih sulit dari [Soal 18][#problem-18]. Kita tidak dapat menyelesaikan masalah ini dengan mencoba melakukan perhitungan pada jalur satu per satu, karena terdapat 299 kemungkinan jalur! Bahkan jika anda dapat memeriksa satu triliun [1012] rute per detik pun, anda memerlukan lebih dari dua puluh miliar tahun untuk memeriksa semuanya. Terdapat cara yang efisien untuk menyelesaikan masalah ini. ;o]

Answer: 9d702ffd99ad9c70ac37e506facc8c38

Soal 68

Perhatikan sebuah cincin 3-gon "ajaib" , berisi angka dari 1 sampai 6. Setiap angka pada satu garis lurus akan berjumlah sembilan.

Dengan melihat garis yang titik luar dengan angka terkecil [4,3,2 pada contoh ini], lalu melihat berputar searah jarum jam, setiap gambar akan menghasilkan solusi unik. sebagai contoh, solusi dari bentuk di atas dapat dideskripsikan oleh himpunan: 4,3,2; 6,2,1; 5,1,3.

Cincin di atas dapat dibuat dengan berbagai jumlah angka dalam satu garis lurus, yaitu: 9, 10, 11, and 12. Terdapat sebanyak delapan solusi untuk cincin di atas.

Dengan merangkaikan setiap himpunan, kita bisa mendapatkan bilangan dengan 9 angka; dan angka terbesar untuk cincin 3-gon adalah 432621513.

Dengan menggunakan angka dari 1 sampai 10, dan dengan mencoba berbagai macam susunan, kita dapat membuat bilangan dengan 16 atau 17 angka. Berapakah bilangan dengan 16 angka terbesar yang dapat dibentuk dari cincin 5-gon "ajaib"?

Answer: 26227442c6fed0292a528ac3790175be

Soal 69

Fungsi Totient Euler, φ[n] [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ[9]=6.

Dapat kita lihat, bahwa saat n=6 kita mendapatkan nilai n/φ[n] terbesar, untuk n 10.

Carilah nilai dari n 1,000,000 dimana nilai n/φ[n] merupakan yang terbesar.

Catatan: Dua bilangan a dan b disebut relatif prima jika FPB[a,b]=1

Answer: bf08b01ead83cbd62a9839ca1cf35ada

Soal 70

Fungsi Totient Euler, φ[n] [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ[9]=6.
Angka 1 dianggap relatif prima ke semua bilangan positif, sehingga φ[1]=1.

Yang menarik, φ[87109]=79180, dan dapat kita lihat bahwa bilangan 87109 merupakan permutasi dari 79180.

Carilah nilai dari n, 1 < n < 107, di mana φ[n] merupakan permutasi dari n dan rasionya n/φ[n] menghasilkan nilai terkecil.

Answer: 1884dde67ced589082c8b7043abce181

Soal 71

Misalkan suatu pecahan n/d, di mana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n S[C].

Sebagai contoh, {81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65} bukanlah himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, sebab dapat ditemukan 65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84, contoh lain {157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158} memenuhi kedua sifat di atas untuk semua kombinasi himpunan bagian yang mungkin, dan S[A] = 1286.

Menggunakan [sets.txt][/projecteuler/files/sets.txt] [klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."], sebuah berkas teks berukuran 4K yang berisi seratus himpunan yang memiliki tujuh sampai dua belas anggota [dua contoh di atas adalah dua himpunan pertama dalam berkas tersebut], carilah semua himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, A1, A2, ..., Ak, dan carilah nilai dari S[A1] + S[A2] + ... + S[Ak].

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 106.

Answer: c87d30e494eff438fe37b4c810167da0

Soal 106

Misalkan S[A] adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:

1. S[B] S[C]; sehingga, hasil penjumlahan dari semua himpunan bagian tidak boleh sama.
2. Jika B memiliki anggota yang lebih banyak dari C, maka S[B] > S[C].

Untuk soal ini, kita akan asumsikan bahwa himpunan dengan n anggota berisi bilangan yang terus membesar, dan pasti memenuhi sifat kedua.

Mengejutkan bahwa dari 25 pasangan himpunan bagian yang ada, yang bisa didapat dari himpunan dengan n = 4, hanya 1 dari pasangan tersebut yang perlu diuji untuk sifat pertama. Sementara itu, saat n = 7, hanya 70 dari 966 himpunan bagian yang ada yang perlu diuji.

Untuk n = 12, berapa banyak pasangan yang perlu diuji dengan sifat pertama, dari 261625 pasangan himpunan bagian yang ada?

NOTE: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 105.

Answer: c8fd9e36fdeb06bcc93a0732c667b6d8

Soal 107

Jaringan takberarah berikut ini memiliki dari tujuh verteks [titik] dan dua belas rusuk with a total bobot 243.

Jaringan di atas dapat dilambangkan pula sebagai matriks berikut ini.

Kita dapat menyederhanakan jaringan tersebut dengan membuang beberapa rusuk, dan semua verteks masih tetap terhubung. Jaringan yang paling sederhana ditunjukkan pada gambar di bawah. Jaringan ini memiliki bobot 93, dan dapat menghemat 243 93 = 150 bobot, dari jaringan mula-mula.

Menggunakan [network.txt][/projecteuler/files/network.txt] [klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'], sebuah berkas berukuran 6K berisi sebuah jaringan dengan empat puluh verteks, dan diberikan dalam bentuk matriks, carilah jumlah penghematan maksimum yang dapat dilakukan, dengan membuang beberapa ruas namun dengan memastikan bahwa semua verteks tetap terhubung.

Answer: b0db1202ec966e7855ca23626eb285b8

Soal 108

Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif.

Untuk n = 4 terdapat persis empat solusi berbeda:

Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi seribu buah?

CATATAN: Soal ini adalah versi lebih mudah dari Soal 110; dan sangat disarankan Anda menyelesaikan soal ini terlebih dahulu.

Answer: 765ba18edd2844db2db95fba25d2f3e7

Soal 109

Dalam permainan darts, seorang pemain akan melempar tiga batang dart [panah kecil] ke papan target yang dibagi menjadi dua puluh bagian yan g sama besar, diberi angka dari satu sampai dua puluh.

Nilai dari sebatang dart ditentukan dari angka yang dimiliki oleh daerah tempat dart tersebut mendarat. Jika dart mendarat di luar lingkaran merah/hijau, maka pemain akan mendapat nilai nol. Daerah berwarna hitam dan krim dalam lingkaran akan mengalikan nilai dengan satu. Tetapi, garis merah/hijau pada bagian luar dan bagian tengah lingkaran akan melipatgandakan nilai, masing-masing menjadi dua kali [double] dan tiga kali [treble].

Pada tengah-tengah papan, terdapat dua lingkaran sepusat yang disebut bull region, atau bulls-eye. Bagian luar bull bernilai 25 poin, dan bagian dalam bull adalah double bull dan bernilai dua kali lipatnya, yaitu 50 poin.

Terdapat berbagai variasi dari aturan yang ada, namun aturan yang paling sering digunakan adalah para pemain akan mulai dengan skor 301 atau 501, dan pemain pertama yang bisa mengurangi skornya sampai nol adalah pemenangnya. Tetapi, setiap pemain harus memperhatikan sistem "doubles out", di mana setiap pemain harus mendaratkan dart terakhir mereka di mana saja yang memiliki nilai double[termasuk double bulls-eye berwarna merah di tengah papan] untuk menang; setiap tiga dart yang membuat nilai total pemain menjadi satu atau kurang dari satu, akan mengakibatkan skor ketiga dart tersebut diabaikan ["bust"].

Saat seorang pemain dapat menyelesaikan permainannya, hal itu disebut "checkout" dan skor checkout tertinggi yang bisa didapat adalah 170: T20 T20 D25 [dua treble 20s dan double bull].

Terdapat sebelas cara berbeda untuk melakukan checkout pada nilai 6:

Perhatikan bahwa D1 D2 dianggap berbeda dengan D2 D1, karena mereka selesai di double yang berbeda. Tetapi, kombinasi S1 T1 D1 dianggap sama dengan T1 S1 D1.

Sebagai tambahan, kita tidak akan mengikut sertakan dart yang meleset dalam kombinasi; sebagai contoh, D3 adalah sama dengan 0 D3 dan 0 0 D3.

Luar biasanya, ternyata terdapat 42336 cara berbeda untuk melakukan checkout.

Berapa banyak cara pemain dapat melakukan checkout pada nilai kurang dari 100?

Answer: e6aebd5be1ba81557dbcc5f6f57bbe5c

Soal 110

Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif.

Dapat dibuktikan bahwa saat n = 1260 terdapat 113 buah solusi berbeda, dan ini adalah merupakan nilai n terkecil yang akan menghasilkan solusi berbeda sebanyak lebih dari seratus buah.

Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi empat juta?

CATATAN: Soal ini adalah versi yang lebih sulit dari Soal 108 dan tidak memungkinkan untuk diselesaikan dengan cara mencoba satu persatu, perlu cara yang cerdas untuk menyelesaikan soal ini.

Answer: 591a7a92f10322866e6a02f3b2386a1c

Soal 111

Apabila suatu bilangan prima 4-digit memiliki digit yang berulang, jelas bahwa tidak mungkin keempat digit tersebut semuanya sama: 1111 habis dibagi 11, 2222 habis dibagi 22, dan seterusnya. Namun terdapat sembilan buah bilangan prima 4-digit yang memiliki tiga buah digit satu:

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

Kita akan menyatakan bahwa M[n, d] melambangkan banyak maksimal dari digit yang berulang untuk bilangan prima digit-n, di mana d adalah digit yang akan berulang, N[n, d] melambangkan banyaknya bilangan prima tersebut, dan S[n, d] melambangkan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut.

Sehingga M[4, 1] = 3 adalah jumlah maksimal digit yang boleh berulang, untuk bilangan prima 4 digit, di mana digit berulangnya adalah satu, terdapat N[4, 1] = 9 buah bilangan prima yang memenuhi sifat sebelumnya, dan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut adalah S[4, 1] = 22275. Lalu untuk d = 0, digit tersebut hanya memungkinkan diulang M[4, 0] = 2 kali, namun terdapat N[4, 0] = 13 buah bilangan prima pada kasus tersebut.

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan hasil berikut untuk bilangan prima 4-digit.

Untuk d = 0 sampai 9, jumlah semua bilangan primanya S[4, d] adalah 273700.

Carilah jumlah dari semua S[10, d].

Answer: cdf4d134a3b0caa10a69e2771ac4fd36

Soal 112

Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468.

Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420.

Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan bouncy; sebagai contoh, 155349.

Jelas bahwa tidak mungkin ada bilangan bouncy yang lebih kecil dari seratus. Namun hampir separuh dari bilangan di bawah seribu adalah bilangan bouncy [525 buah]. Pada kenyataannya, pada bilangan 538 untuk pertama kalinya persentase bilangan bouncy di bawahnya menjadi 50%.

Cukup mengejutkan bahwa bilangan bouncy menjadi semakin sering ditemui saat kita sampai ke bilangan 21780. Pada titik tersebut, persentase banyaknya bilangan bouncy di bawahnya adalah 90%.

Carilah pada bilangan berapa, proporsi bilangan bouncy di bawahnya akan menjadi 99%?

Answer: e08c982713a1c2bd3637dd489199722e

Soal 113

Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468.

Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420.

Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan "bouncy" sebagai contoh, 155349.

Saat nilai n semakin meningkat, banyaknya bilangan bouncy yang lebih kecil dari n juga akan semakin meningkat, sebagai contoh, hanya ada 12951 buah bilangan yang lebih kecil dari satu juta yang bukan merupakan bilangan bouncy, dan hanya terdapat 277032 buah bilangan yang lebih kecil dari 1010 yang bukan merupakan bilangan bouncy.

Berapakah banyaknya bilangan yang lebih kecil dari 10100 yang bukan merupakan bilangan bouncy?

Answer: a9e504ee704c87f9bddad6d3ffe39532

Soal 114

Suatu barisan kotak dengan panjang tujuh satuan, yang memiliki kotak merah yang panjang minimalnya tiga satuan. Jika terdapat dua bagian ko tak berwarna merah [dimana kedua kotak merah boleh memiliki panjang berbeda], kedua bagian tersebut harus dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam. Terdapat persis tujuh belas kombinasi dari masalah ini.

Berapa banyak cara mengisi kotak merah pada sebuah barisan kotak dengan panjang lima puluh satuan dengan aturan di atas?

CATATAN: Belum terlihat pada contoh di atas, bahwa Anda diperbolehkan untuk menggunakan dua bagian kotak merah berbeda ukuran. Sebagai contoh, pada blok kotak berukuran delapan satuan panjang, anda dapat menggunakan susunan merah [3], hitam [1], dan merah [4].

Answer: de48ca72bf252a8be7e0aad762eadcf8

Soal 115

CATATAN: Ini adalah versi yang lebih menantang dari Soal 114.

Sebuah barisan kotak berukuran n satuan panjang berisi kotak merah dengan panjang minimal m satuan, dan barisan tersebut boleh memiliki dua bagian kotak merah yang wajib dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam [kedua bagian kotak merah boleh memiliki panjang berbeda].

Misalkan terdapat fungsi F[m, n], yang merupakan banyaknya cara barisan kotak berukuran n tersebut dapat diisi.

Sebagai contoh, F[3, 29] = 673135 dan F[3, 30] = 1089155.

Dari fungsi di atas terlihat, bahwa saat m = 3, nilai n = 30 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara.

Denagn cara yang sama, untuk m = 10, dapat dibuktikan bahwa F[10, 56] = 880711 dan F[10, 57] = 1148904, sehingga n = 57 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara.

Untuk m = 50, carilah nilai n terkecil, sehingga ada lebih dari satu juta cara untuk menyusun kotak merah.

Answer: 006f52e9102a8d3be2fe5614f42ba989

Soal 116

Kita akan mengganti tegel pada barisan berisi lima tegel hitam dengan tegel lain yang berbeda warna, yaitu merah [panjang dua satuan], hijau [panjang tiga satuan], atau biru [panjang empat satuan].

Jika tegel merah dipilih untuk mengisi barisan di atas, maka terdapat persis tujuh cara yang ada.

Jika kotak hijau yang dipilih, terdapat tiga cara untuk mengisi kotak hitam.

Dan jika kotak biru yang dipilih, terdapat dua cara untuk mengisi kotak hitam.

Jika warna-warna yang ada tidak boleh dicampur, maka akan terdapat 7 + 3 + 2 = 12 cara untuk mengganti tegel hitam yang memiliki panjang lima satuan.

Berapakah banyaknya cara tegel hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat diganti dengan cara seperti di atas, dan kita hanya diperbolehkan menggantinya dengan satu warna?

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 117.

Answer: c21ca0ec54e6d1646a953a480f68feb4

Soal 117

Dengan menggunakan kombinasi dari: kotak merah dengan panjang dua satuan, kotak hijau dengan panjang tiga satuan, dan kotak biru dengan panjang empat satuan, kita dapat mengisi kotak hitam dengan panjang lima satuan dengan berbagai cara.

Berapa banyak cara kotak hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat di isi?

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 116.

Answer: 542612809b3dd08cf518b85450fce8d6

Soal 118

Dengan menggunakan akanga 1 sampai 9, dan menyatukan mereka secara acak untuk membentuk suatu bilangan bulat, berbagai himpunan dapat dibentuk. Menariknya, himpunan {2,5,47,89,631}, memiliki anggota-anggota yang semuanya adalah bilangan prima.

Berapakah banyaknya himpunan berbeda, yang anggota-anggotanya dibentuk menggunakan angka 1 sampai 9 persis satu kali, yang semua anggotanya adalah bilangan prima?

Answer: 080cc5a4ec71a747e260e274bdb13b64

Soal 119

Bilangan 512 adalah bilangna yang menarik, karena bilangan ini dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan angka-angkanya, lalu memangkatkan hasil penjumlahan tersebut dengan angka tertentu: 5 + 1 + 2 = 8, dan 83 = 512. Contoh bilangan lain yang memiliki sifat seperti ini adalah 614656 = 284.

Kita akan menetapkan an sebagai suku ke n dari barisan bilangan seperti di atas, dan bilangan di atas harus memiliki setidaknya dua angka agar dapat dilakukan penjumlahan.

Diberikah a2 = 512 dan a10 = 614656.

Carilah a30.

Answer: 72fddfa6c52a120892ade628f3819da4

Soal 120

Misalkan r adalah sisa bagi saat [a1]n + [a+1]n dibagi oleh a2.

Sebagai contoh, jika a = 7 dan n = 3, maka r = 42: 63 + 83 = 728 42 mod 49. Dan karena ada bermacam nilai n, maka bermacam juga nilai r yang akan dihasilkan, tetapi untuk a = 7 kita dapat menemukan bahwa rmax = 42.

Untuk 3 a 1000, carilah rmax.

Answer: 0dd05ec40fe11279c2203b72e92a450a

Soal 121

Terdapat sebuah kantong berisi satu disk merah dan satu disk biru. Dalam suatu permainan, seorang pemain akan mengambil sebuah disk secara acak, dan warna disk yang diambil tersebut akan dicatat. Setelah satu putaran, disk akan dikembalikan ke kantong, kemudian ditambahkan satu buah disk merah, dan kembali diambil satu disk secara acak.

Pemain diharuskan membayar £1 untuk bermain, dan ia akan menang apabila ia dapat mengambil disk biru lebih banyak dibanding disk merah saat akhir permainan.

Jika permainan akan berakhir setelah empat putaran, peluang seorang pemain menang adalah 11/120, sehingga jumlah hadiah terbesar harus disediakan oleh bank dalam permainan ini adalah £10 sebelum pemain tersebut akan mengalami kekalahan. Perlu diingat bahwa segala bentuk pembayaran hadiah akan berupa bilangan bulat, dan pada pembayaran akan disertakan juga £1 yang digunakan pertama kali untuk ikut bermain, sehingga pada contoh ini, pemain sesungguhnya hanya memenangkan £9.

Carilah jumlah hadiah terbesar yang harus disediakan oleh bank, pada permainan serupa, namun dengan lima belas putaran.

Answer: 51de85ddd068f0bc787691d356176df9

Soal 122

Cara paling dasar untuk menghitung n15 membutuhkan empat belas kali perkalian:

n × n × ... × n = n15

Tapi dengan menggunakan metode "binary" kita dapat menghitung hal yang sama dengan enam kali perkalian:

n × n = n2
n2 × n2 = n4
n4 × n4 = n8
n8 × n4 = n12
n12 × n2 = n14
n14 × n = n15

Bahkan, memungkinkan untuk menghitung hal yang sama hanya dengan lima kali perkalian:

n × n = n2
n2 × n = n3
n3 × n3 = n6
n6 × n6 = n12
n12 × n3 = n15

Kita akan menyatakan m[k] adalah jumlah perkalian minimal yang dapat digunakan untuk menghitung nk; sebagai contoh m[15] = 5.

Untuk 1 k 200, carilah m[k].

Answer: b710915795b9e9c02cf10d6d2bdb688c

Soal 123

Misalkan pn adalah bilangan prima ke-n: 2, 3, 5, 7, 11, ..., dan misalkan r adalah sisa pembagian dari [pn1]n + [pn+1]n dibagi oleh pn2.

Sebagai contoh, saat n = 3, p3 = 5, dan 43 + 63 = 280 5 mod 25.

Nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 109 adalah 7037.

Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 1010.

Answer: 71497f728b86b55d965edbf1849cca8d

Soal 124

Radikal dari n, rad[n], adalah hasil kali dari faktor prima berbeda yang dimiliki oleh n. Sebagai contoh, 504 = 23 × 32 × 7, sehingga rad[504] = 2 × 3 × 7 = 42.

Jika kita menghitung rad[n] untuk 1 n 10, lalu mengurutkan bedasarkan rad[n], dan mengurutkan bedasarkan n jika hasil radikalnya sama, maka kita akan mendapatkan:

Misalkan E[k] adalah elemen ke-k pada kolom n yang telah terurut sesuai aturan di atas; sebagai contoh, E[4] = 8 dan E[6] = 9.

Jika rad[n] dihitung dari 1 n 100000, sesuai dengan cara di atas, carilah E[10000].

Answer: f228d2e6f9099153388e9470180c8302

Soal 125

Bilangan palindrom 595 memiliki hal yang menarik, karena bilangan ini dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan: 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122.

Terdapat persis sebelas bilangan palindrom di bawah seratus yang juga dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan, dan jumlah dari semua bilangan palindrom tersebut adalah 4164. Perlu diingat bahwa 1 = 02 + 12 tidak diikutsertakan dalam perhitungan ini, karena yang diikut sertakan hanya bilangan yang dapat dibuat dari penjumlahan bilangan kuadrat positif saja.

Carilah jumlah semua bilangan palindrom kurang dari 108, yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan.

Answer: 1b5635e8ab723e01570ca783129493dd

Soal 126

Jumlah kubus paling sedikit yang diperlukan untuk menutupi permukaan balok dengan ukuran 3x2x1 adalah dua puluh dua buah.

Jika kita akan menambahkan lapisan kedua, maka kita akan memerulukan empat puluh enam kubus, untuk menutupi semua permukaan, dan lapisan ketiga akan memerlukan tujuh puluh delapan kubus, lalu lapisan ke empat akan memerlukan seratus dan delapan belas kubus untuk menutupi semua permukaan.

Dan, lapisan pertama untuk menutupi balok dengan ukuran 5x1x1 juga memerlukan dua puluh dua kubus; sedangkan untuk balok berukuran 5x3x1, 7x2x1, dan 11x1x1 semua memerlukan empat puluh enam buah kubus.

Kita akan menyatakan C[n] untuk melambangkan banyaknya balok yang dapat ditutupi dengan n buah kubus pada salah satu lapisannya. Sehingga C[22] = 2, C[46] = 4, C[78] = 5, dan C[118] = 8.

Dapat ditemukan bahwa 154 adalah nilai n terkecil dimana C[n] = 10.

Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan C[n] = 1000.

Answer: 387d6ae83cbc6fa0b9192b56bf095c49

Soal 127

Nilai radikal dari n, rad[n], adalah hasil perkalian faktor prima berbeda dari n. Sebagai contoh, 504 = 23 × 32 × 7, sehingga rad[504] = 2 × 3 × 7 = 42.

Kita akan mendefinisikan tiga bilangan bulat positif [a, b, c] sebagai abc-hit jika:

1. FPB[a, b] = FPB[a, c] = FPB[b, c] = 1
2. a < b
3. a + b = c
4. rad[abc] < c

Sebagai contoh, [5, 27, 32] adalah sebuah abc-hit, karena:

1. GCD[5, 27] = GCD[5, 32] = GCD[27, 32] = 1
2. 5 < 27
3. 5 + 27 = 32
4. rad[4320] = 30 < 32

Dapat terlihat bahwa abc-hits akan cukup jarang untuk ditemui, hanya terdapat tiga puluh satu buah abc-hits untuk c < 1000, dengan cumlah c = 12523.

Carilah c untuk c < 120000.

Answer: c6b1ae935b33c90a2c320b5f6ef3e4ba

Soal 128

Sebuah ubin segienam dengan angka 1 dikelilingi oleh enam buah ubin segienam lainnya, dimulai dari arah "pukul 12" dan ubin di beri nomor 2 sampai 7 secara berlawanan arah jarum jam.

Lapisan baru ditambahkan dengan cara yang sama, dengan lapisan selanjutnya diberi nomor dari 8 sampai 19, 20 sampai 37, 38 sampai 61, dan seterusnya. Diagram berikut ini menunjukkan tiga lapisan pertama.

Dengan mencari selisih antara ubin n dengan ke enam buah ubin di sebelahnya, kita akan mendefinisikan PD[n] sebagai banyaknya selisih ubin-ubin tersebut yang merupakan bilangan prima.

Sebagai contoh, jika dihitung searah jarum jam, pada ubin 8, maka didapat selisih 12, 29, 11, 6, 1, dan 13. Sehingga PD[8] = 3.

Dengan cara yang sama, selisih di sekitar ubin 17 adalah 1, 17, 16, 1, 11, dan 10, sehingga PD[17] = 2.

Dapat ditunjukkan bahwa nilai PD[n] terbesar adalah 3.

Jika semua ubin yang memiliki nilai PD[n] = 3 didaftarkan secara berurutan dari kecil ke besar, dan dibentuk suatu barisan bilangan, maka ubin pada urutan ke-10 adalah 271.

Carilah suku ubin ke-2000 pada barisan ini.

Answer: 93a1925da4792b4fa5d2dbb6ebb7c4a2

Soal 129

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R[k] sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R[6] = 111111.

Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB[n, 10] = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R[k] habis dibagi oleh n, dan A[n] adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A[7] = 6 dan A[41] = 5.

Nilai n terkecil yang akan membuat A[n] melebihi sepuluh adalah 17.

Carilah nilai n terkecil yang akan membuat A[n] melebihi satu juta.

Answer: 82cd979a2b79600137aea54fa0bd944b

Soal 130

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R[k] sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R[6] = 111111.

Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB[n, 10] = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R[k] habis dibagi oleh n, dan A[n] adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A[7] = 6 dan A[41] = 5.

Diketahui bahwa untuk semua bilangan prima, p > 5, p 1 pasti habis dibagi A[p]. Sebagai contoh, saat p = 41, A[41] = 5, dan 40 adalah habis dibagi 5.

Tetapi, ternyata terdapat bilangan komposit langka, yang juga memenuhi sifat di atas; lima contoh pertama adalah 91, 259, 451, 481, dan 703.

Carilah jumlah dari dua puluh lima buah bilangan komposit n pertama, dimana
FPB[n, 10] = 1 dan n 1 habis dibagi A[n].

Answer: 20594ea0ef7a2f4cf40d19a9b82a0beb

Soal 131

TErdapat beberapa bilangan prima p, yang jika berpasangan sebuah bilangan bulat positif n, dengan bentuk n3 + n2p akan menghasilkan bilangan kubik sempurna.

Sebagai contoh, saat p = 19, 83 + 82×19 = 123.

Luar biasanya, untuk setiap bilangan prima dengan sifat ini, terdapat nilai n yang berbeda, dan hanya terdapat empat buah bilangan prima dengan sifat ini yang kurang dari seratus.

Berapa banyak bilangan prima kurang dari satu juta yang memiliki sifat istimewa ini?

Answer: f7e6c85504ce6e82442c770f7c8606f0

Soal 132

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R[k] sebagai repunit dengan panjang k.

Sebagai contoh, R[10] = 1111111111 = 11×41×271×9091, dan jumlah dari semua faktor primanya adalah 9414.

Carilah jumlah dari empat puluh faktor prima pertama dari R[109].

Answer: 5df3a36faa173a393a04a022b2d5d49d

Soal 133

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R[k] sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R[6] = 111111.

Misalkan terdapat repunit dengan bentuk R[10n].

Walaupun R[10], R[100], atau R[1000] tidak habis dibagi oleh 17, tetapi R[10000] habis dibagi oleh 17. Namun tidak ada nilai n dimana R[10n] akan habis dibagi 19. Pada kenyataannya, hanya terdapat empat buah bilangan prima kurang dari seratus 11, 17, 41, dan 73 yang dapat membagi habis R[10n].

Carilah jumlah semua bilangan prima kurang dari seratus ribu, yang tidak akan pernah dapat membagi habis bilangan R[10n].

Answer: c1d33d79d08cde65eaa78e4583ea0594

Soal 134

Misalkan terdapat bilangan prima berurutan p1 = 19 dan p2 = 23. Dapat dibuktikan bahwa 1219 adalah bilangan terkecil yang angka terakhirnya dibentuk dari p1, dan juga habis dibagi oleh p2.

Bahkan, dengan mengecualikan p1 = 3 dan p2 = 5, untuk semua pasangan bilangan prima p2 > p1, akan selalu ada sebuah bilangan n yang angka terakhirnya dibentuk darip1 dan n juga habis dibagi oleh p2. Misalkan S adalah nilai n terkecil.

Carilah S untuk semua pasangan bilangan prima dengan ketentuan 5 p1 1000000.

Answer: f12b07460d2586ea47b4d305ae0b0539

Soal 135

Diberikan bilangan bulat positif, x, y, dan z, yang membentuk suatu barisan aritmatika, bilangan bulat positif terkecil n, untuk persamaan x2 y2 z2 = n, yang mempunyai persis dua solusi adalah n = 27:

342 272 202 = 122 92 62 = 27

Dapat ditemukan bahwa n = 1155 adalah nilai n terkecil yang memiliki persis sepuluh solusi.

Berapakah nilai n kurang dari satu juta yang memiliki persis sepuluh solusi berbeda?

Answer: c457d7ae48d08a6b84bc0b1b9bd7d474

Soal 136

Bilangan bulat positif, x, y, dan z, akan membentuk sebuah barisan aritmatika. Diberikan n adalah sebuah bilangan bulat positif, persamaan x2 y2 z2 = n, akan mempunyai persis satu solusi saat n = 20:

132 102 72 = 20

Nyatanya, terdapat dua puluh lima buah nilai n kurang dari seratus, yang akan menghasilkan solusi unik pada persamaan di atas.

Berapa banyak nilai n kurang dari lima puluh juta yang mempunyai persis satu solusi?

Answer: 91db9e8e6cb2dbf9c07a6e0429697336

Soal 137

Misalkan terdapat suku banyak tak hingga AF[x] = xF1 + x2F2 + x3F3 + ..., dimana Fk adalah suku ke-kdari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; yang dibentuk dengan, Fk = Fk1 + Fk2, F1 = 1 dan F2 = 1.

Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai AF[x] berupa bilangan bulat positif.

Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut.

Kita akan menyebut AF[x] sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-10 adalah 74049690.

Carilah bilangan bongkah emas ke-15.

Answer: 44845aa0f47ec925a3b43e6460a55e27

Soal 138

Terdapat sebuah segitiga sama kaki dengan panjang alas b = 16, dan panjang kaki L = 17.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dapat terlihat bahwa tinggi segitiga tersebut adalahh = [172 82] = 15, dimana hanya berseleisih satu satuan dari alasnya.

Dengan b = 272 dan L = 305, kita bisa mendapatkan h = 273, dimana hanya berselisih satu satuan dari alasnya, dan ini adalah segitiga terkecil kedua yang memiliki sifat h = b ± 1.

Carilah L untuk dua belas segitiga sama kaki terkecil pertama, dimana h = b ± 1 dan b, L adalah bilangan bulat positif.

Answer: f7524f4d0d6d042c0f92a0d6469aff85

Soal 139

Misalkan [a, b, c] adalah ketiga sisi dari sebuah segitiga siku-siku, dengan panjang sisi yang diurutkan dari kecil ke besar. Kita dapat mengumpulkan empat buah segitiga tersebut bersama-sama untuk membentuk suatu persegi dengan panjang sisi c.

Sebagai contoh, segitiga [3, 4, 5] dapat diletakkan bersama-sama untuk membentuk persegi dengan ukuran 5 x 5, dengan sebuah lubang persegi berukuran 1 x 1 di tengahnya. Dan dapat terlihat bahwa persegi berukuran 5 x 5 tersebut dapat ditutup oleh dua puluh lima ubin persegi berukuran 1 x 1.

Tetapi, jika segitiga [5, 12, 13] digunakan, maka akan terdapat lubang berukuran 7 x 7, dan segitiga tersebut tidak bisa digunakan untuk membuat persegi dengan ukuran 13 x 13.

Diketahui keliling dari suatu segitiga siku-siku adalah kurang dari satu juta satuan panjang, berapa banyak segitiga siku-siku yang dapat digunakan untuk membentuk persegi besar seperti contoh di atas?

Answer: 1c343ba00e6d17d7239bf45869ffed0c

Soal 140

Misalkan terdapat suku banyak tak hingga AG[x] = xG1 + x2G2 + x3G3 + ..., dimana Gk adalah suku ke-k dari suatu barisan yang dibentuk dengan Gk = Gk1 + Gk2, G1 = 1 dan G2 = 4; barisan tersebut adalah, 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... .

Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai AF[x] berupa bilangan bulat positif.

Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut.

Kita akan menyebut AF[x] sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-20 adalah 211345365.

Carilah jumlah dari semua tiga puluh bilangan bongkah emas pertama.

Answer: e5d75f96929ba250b2732aad52f3028c

Soal 141

Sebuah bilangan bulat positif n, dibagi oleh d dan menghasilkan hasil bagi [quotient] dan sisa [remainder] masing-masing q dan r. Lalu d, q, dan r adalah bilangan bulat positif yang dapat membentuk barisan geometri, namun tidak harus dengan urutan demikian.

Sebagai contoh, 58 dibagi oleh 6 memiliki hasil 9 dan sisa 4. dapat terlihat bahwa 4, 6, 9 adalah suku berurutan dalam suatu barisan geometri [dengan rasio 3/2].
Kita akan menyebut bilangan n tersebut sebagai bilangan progresif.

Beberapa bilangan progresif, seperti 9 dan 10404 = 1022, terkadang juga merupakan bilangan kuadrat.
Jumlah dari semua bilangan progresif yang juga merupakan bilangan kuadrat kurang dari seratus ribu adalah 124657.

Carilah jumlah semua bilangan progresif yang juga merupakan bilangan kuadrat kurang dari satu triliun [1012].

Answer: 2aaefa1db80951be140183f9e8c0194e

Soal 142

Carilah nilai x + y + z terkecil, dengan syarat x > y > z > 0, dan x, y, dan z adalah bilangan bulat, sehingga x + y, x y, x + z, x z, y + z, y z semuanya adalah bilangan kuadrat sempurna.

Answer: d3de282705508407532aa20ca8928e3b

Soal 143

Misalkan terdapat sebuah segitiga ABC dengan besar semua sisi bagian dalamnya kurang dari 120 derajat. Misalkan X adalah titik yang terletak di dalam segitiga tersebut, dan misalkan XA = p, XC = q, dan XB = r.

Fermat pernah menantang Torricelli untuk mencari posisi X saat p + q + r memiliki nilai sekecil mungkin.

Torricelli dapat membuktikan, bahwa jika segitiga sama sisi AOB, BNC dan AMC digambarkan pada setiap sisi segitiga ABC, lingkaran luar dari segitiga AOB, BNC, dan AMC akan berpotongan di satu titik T, di dalam segitiga. Kemudian ia membuktikan bahwa T, yang disebut titik Torricelli/Fermat, mempunyai nilai p + q + r terkecil. Bahkan lebih luar biasanya lagi, dapat dibuktikan bahwa saat hasil penjumlahan dibuat sekecil mungkin, AN = BM = CO = p + q + r dan AN, BM serta CO juga saling berpotongan pada titik T.

Jika hasil penjumlahan telah dibuat sekecil mungkin dan a, b, c, p, q serta r semuanya adalah bilangan bulat positif, kita akan menyebut segitiga ABC sebagai segitiga Torricelli. Sebagai contoh, a = 399, b = 455, c = 511 adalah salah satu contoh dari segitiga Torricelli triangle, dengan p + q + r = 784.

Carilah jumlah semua hasil berbeda dari p + q + r 120000 untuk segitiga Torricelli.

Answer: ec2d4c1a0c204d1f06ea5e2d189034f6

Soal 144

Dalam ilmu fisika tentang laser, sebuah "white cell" adalah sebuah sistem cermin yang bertindak untuk menunda jalannya sinar laser. Saat sinar memasuki cell, sinar akan memantul di dalam cell, sampai sinar tersebut berhasil kembali keluar.

Sebuah white cell akan kita anggap memiliki bentuk elips dengan persamaan 4x2 + y2 = 100

Bagian pada interval 0.01 x +0.01 di sebelah atas adalah kosong, sehingga memungkinkan sinar untuk masuk dan keluar dari lubang tersebut.

Sinar pada soal ini mulai bergerak dari titik [0.0,10.1] di luar white cell, dan sinar pertama kali menabrak dinding cell di [1.4,-9.6].

Setiap kali sinar laser menabrak permukaan elips, sinar tersebut akan mengikuti hukum pemantulan pada fisika "sudut datang sama dengan sudut pandul." Sehingga, kedua sudut, baik sudut datang maupun sudut pantul akan memiliki besar sudut yang sama pada titik pemantulan cermin.

Pada gambar di sebelah kiri, garis merah menunjukkan dua titik kontak pertama antara sinar laser dengan dinding white cell; garis biru menunjukkan garis singgung pada sebuah titik di elips yang merupakan titik pemantulan pertama.

Kemiringan atau gradien m dari garis singgung pada titik [x,y] apapun yang menyinggung elips adalah: m = 4x/y

Garis normal yang ada adalah tegak lurus dengan garis singgung ini, dan berpotongan pada titik pantul.

Animasi di sebelah kanan akan menunjukkan 10 pemantulan pertama sinar laser.

Berapa kali sinar menabrak permukaan dalam white cell sampai akhirnya berhasil keluar?

Answer: 8dd48d6a2e2cad213179a3992c0be53c

Soal 145

Beberapa bilangan bulat positif n memiliki hasil penjumlahan [ n + kebalikan[n] ] yang berisi angka-angka ganjil. Sebagai contoh, 36 + 63 = 99 dan 409 + 904 = 1313. Kita akan menyebut bilangan tersebut sebagai bilangan reversible; sehingga 36, 63, 409, dan 904 adalah reversible. Angka nol di awal tidak diperbolehkan, baik pada n maupun pada kebalikan [n].

Terdapat 120 buah bilangan reversible kurang dari seribu.

Berapa banyak bilangan reversible kurang dari satu milliar [109]?

Answer: 705e8444ad9c92e9a7589fb97515a9b6

Soal 146

Bilangan bulat terkecil n yang dapat menghasilkan n2+1, n2+3, n2+7, n2+9, n2+13, dan n2+27 berupa bilangan prima berurutan adalah n=10. Jumlah semua bilangan n kurang dari satu juta adalah 1242490.

Berapakah jumlah semua bilangan bulat n yang memiliki sifat serupa yang kurang dari 150 juta?

Answer: 525bd2bf0e31b0f19b38a1d21f2f6a16

Soal 147

Pada kotak-kotak bersilang berukuran 3x2, terdapat sebanyak 37 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat mengikuti garis yang ada seperti terlihat pada gambar.

Terdapat 5 ukuran kotak-kotak bersilang lain yang lebih keci dari 3x2, yaitu 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 dan 2x2. Jika setiap kotak-kotak bersilang tersebut dicari jumlah persegi panjangnya, maka akan didapat jumlah persegi panjang sebagai berikut:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Dengan menambahkan angka di atas dengan 37 dari kotak-kotak ukuran 3x2, maka kita akan mendapatkan sebayak 72 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 3x2.

Berapa banyak persegi panjang yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 47x43?

Answer: d0fca7d85d4a4df043a2ae5772ea472e

Soal 148

Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa tidak ada satupun bilangan pada tujuh baris pertama segitiga pascal yang habis dibagi 7:

Tetapi, apabila kita memeriksa seratus baris pertama, kita akan menemukan bahwa hanya terdapat 2361 bilangan dari 5050 bilangan y ang ada yang tidak habis dibagi 7.

Carilah berapakah banyaknya bilangan yang tidak habis dibagi 7 pada satu miliar [109] baris pertama segitiga Pascal.

Answer: 8a631ab4e3d06baf88299bf4e501b837

Soal 149

Dengan melihat tabel berikut ini, dapat dengan mudah dibuktikan bahwa hasil penjumlahan terbesar dari bilangan-bilangan dalam satu garis lurus ke segala arah [horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal] adalah 16 [= 8 + 7 + 1].

Sekarang, mari kita mengulang proses pencarian, namun dalam skala yang lebih besar:

Pertama-tama, buatlah empat juta bilangan acak dengan sebuah teknik yang disebut sebagai "Lagged Fibonacci Generator":

Untuk 1 k 55, sk = [100003 200003k + 300007k3] [modulo 1000000] 500000.
Untuk 56 k 4000000, sk = [sk24 + sk55 + 1000000] [modulo 1000000] 500000.

Sehingga, s10 = 393027 dan s100 = 86613.

Bilangan-bilangan s tersebut kemudian disusun dalam tabel berukuran 2000×2000, menggunakan 2000 bilangan pertama untuk mengisi baris pertama [secara berurutan], lalu 2000 bilangan selanjutnya untuk mengisi baris kedua, dan seterusnya.

Akhirnya, carilah jumlah bilangan terbesar dalam satu garis lurus ke segalah arah [horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal].

Answer: 96affc386f4b786c2521a32944424982

Soal 150

Pada suatu barisan bilangan berbentuk segitiga, terdapat bilangan bulat positif dan negatif, kita akan mencari sebuah segitiga yang lebih kecil, yang akan memuat bilangan-bilangan yang memiliki hasil penjumlahan sekecil mungkin.

Pada contoh berikut ini, kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa segitiga yang ditandai memiliki hasil penjumlahan 42.

Kita akan membuat barisan bilangan berbentuk segitiga seperti di atas, namun dengan seratus buah baris, sehingga kita akan membuat 500500 buah angka acak sk pada rentang ±219, menggunakan sebuah alat pembentuk angka acak [yang dikenal sebagai Linear Congruential Generator] sebagai berikut:

t := 0
for k = 1 up to k = 500500:
t := [615949*t + 797807] modulo 220
sk := t219

Sehingga: s1 = 273519, s2 = 153582, s3 = 450905 etc

Kemudian kita akan membentuk barisan bilangan berbentuk segitiga, dengan bilangan-bilangan acak tersebut:

Segitiga kecil yang akan kita pilih boleh dimulai dari mana saja pada segitiga besar, dan boleh memiliki tinggi berapapun sesuka kita [pada puncak segitiga, kita dapat mengambil dua bilangan di bawahnya, lalu kemudian tiga bilangan di bawahnya, dan seterusnya].
"Hasil penjumlahan dari segitiga kecil" didapatkan dengan cara menjumlahkan semua anggota yang terdapat di dalam segitiga kecil tersebut.
Carilah hasil penjumlahan terkecil dari bilangan-bilangan yang terdapat dalam segitiga kecil.

Answer: 1802939e514020769701c59b422c0498

Soal 151

Sebuah tempat percetakan mengerjakan 16 pekerjaan setiap minggu, dan setiap pekerjaan memerlukan selembar kertas pemeriksa warna dengan ukuran A5.

Setiap Senin pagi, kepala tempat percetakan membuka amplop baru, yang berisi selembar kertas pemeriksa warna besar berukuran A1.

Ia memotong kertas itu menjadi dua bagian sama besar, sehingga terdapat dua lembar kertas berukuran A2. Kemudian dia memotong lagi salah satu dari kertas tersebut menjadi dua, sehingga didapat dua lembar kertas berukuran A3, dan begitu seterusnya sampai ia mendapat kertas berukuran A5 yang ia perlukan untuk mengerjakan pekerjaan pertama di awal minggu.

Semua kertas yang tidak terpakai dikembalikan ke dalam amplop.

Saat awal dari setiap pekerjaan, ia mengambil kertas dari amplop secara acak. Jika kertas tersebut sudah berukuran A5, maka langsung ia gunakan. Tetapi apabila ia mendapat kertas yang lebih besar, ia akan melakukan proses pemotongan kembali, sampai ia mendapatkan ukuran kertas yang diperlukan, dan kembali menaruh sisanya ke dalam amplop.

Dengan mengabaikan pekerjaan pertama dan terakhir dalam setiap minggu, carilah perkiraan berapa kali kepala tempat percetakan tersebut hanya menemukan selembar kertas di dalam amplop [untuk setiap minggunya].

Berikan jawaban anda yang dibulatkan enam angka di belakang koma dengan format x.xxxxxx.

Answer: fb84a530fa9a8199edfadd618727fb70

Soal 152

Terdapat beberapa cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat berbeda.

Sebagai contoh, bilangan {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35} dapat digunakan dengan cara:

Kenyataannya, hanya dengan menggunakan bilangan bulat antara 2 sampai 45, terdapat tiga cara untuk melakukan hal yang sama seperti di atas, dua cara lainnya adalah: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} dan {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.

Berapa banyaknya cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat, dengan menggunakan bilangan bulat berbeda antara 2 dan 80?

Answer: 34ed066df378efacc9b924ec161e7639

Soal 153

Seperti yang kita ketahui, persamaan x2=-1 tidak mempunyai solusi untuk x bilangan real.
Namun apabila kita mengenalkan bilangan imajiner i, persamaan ini akan memiliki dua solusi: x=i dan x=-i.
Jika kita melangkah lebih jauh, persamaan [x-3]2=-4 memiliki dua solusi bilangan kompleks: x=3+2i dan x=3-2i.
x=3+2i dan x=3-2i keduanya akan disebut konjugat kompleks.
Semua bilangan yang berbentuk a+bi akan disebut sebagai bilangan kompleks.
Secara umum a+bi dan abi adalah pasangan konjugat kompleks.

Bilangan bulat Gaussian adalah sebuah bilangan kompleks a+bi yang nilai a dan b nya merupakan bilangan bulat.
Bilangan bulat yang biasa kita gunakan juga merupakan bilangan bulat Gaussian [dengan nilai b=0].
Untuk membedakannya, maka bilangan bulat Gaussian dengan b 0 akan kita sebut sebagai "bilangan bulat rasional."
Sebuah bilangan bulat Gaussian akan disebut pembagi dari bilangan bulat rasional n, apabila hasil pembagiannya juga merupakan bilangan bulat Gaussian.
Sebagai contoh, kita akan membagi 5 dengan 1+2i, kita dapat mengerjakan

Pada kenyataannya, 5 memiliki enam buah pembagi yang memiliki bagian real a positif: {1, 1 + 2i, 1 2i, 2 + i, 2 i, 5}.
Tabel berikut ini berisi semua pembagi dari lima bilangan bulat rasional positif pertama:

Untuk pembagi dengan bagian real a positif, kita bisa mendapatkan:

Untuk 1 n 105, s[n]=17924657155.

Berapakah s[n] untuk 1 n 108?

Answer: 08ec9d6e6c2275d37e7a227fb2d1f06f

Soal 154

Sebuah piramida/limas segitiga dibuat menggunakan bola-bola, sehingga setiap bola bersandar pada tiga buah bola di bawahnya.

Lalu kita akan menghitung banyaknya jalur dari puncak piramida ke setiap posisi:

Setiap jalur dimulai dari puncak piramida, dan turun salah satu dari tiga bolah yang ada di bawahnya.

Akibatnya, banyaknya jalur yang diperlukan untuk sampai ke posisi tertentu bisa didapatkan dengan menjumlahkan bilangan bola-bola di atas bola tersebut [tergantung posisi bola, kita mungkin bisa menjumlahkan bilangan maksimal sampai tiga buah bola di atasnya].

Hasilnya, akan terbentuk piramida Pascal, dan bilangan-bilangan pada setiap tingkat n merupakan koefisien dari penjabaran [x + y + z]n.

Berapa banyak koefisien pada penjabaran [x + y + z]200000 yang merupakan kelipatan 1012?

Answer: de866633fa075beb3897cbbc8abf2400

Soal 155

Sebuah rangkaian listrik menggunakan kapasitor yang sama, yang memiiki kapasitansi C.
Kapasitor dapat dihubungkan baik secara seri ataupun pararel untuk membentuk sub-rangkaian, sub-rangkaian dapat juga dihubungkan secara seri atau pararel dengan kapasitor lain atau dengan sub-rangkaian lain untuk membentuk sub-rangkaian yang lebih besar, dan seterusnya sampai membentuk rangkaian final.

Dengan menggunakan prosedur sederhana ini, dan jika tersedia sampai sebanyak n kapasitor identik, kita dapat membuat rangkaian yang memiliki nilai kapasitansi berbeda-beda. Sebagai contoh, dengan menggunakan maksimal sebanyak n=3 kapasitor dengan kapasitansi 60 μF pada tiap kapastiornya, kita bisa mendapatkan tujuh nilai kapasitansi berbeda:

Jika kita lambangkan D[n] sebagai banyaknya nilai kapasitansi berbeda yang bisa didapatkan saat disediakan sebanyak n buah kapasitor berkapasitansi sama, sesuai dengan prosedur di atas, kita akan mendapatkan: D[1]=1, D[2]=3, D[3]=7 ...

Carilah D[18].

Catatan : Saat menghubungkan kapastior C1, C2 dan seterusnya secara pararel, total kapasitansinya akan menjadi CT=C1+C2+...,
Sedangkan saat dihubungkan secara seri, nilai kapasitansi total akan mengikuti aturan:

Answer: da0a3fc900cc8ae42d514e280524ee39

Soal 156

Dimulai dari nol, bilangan asli dengan basis 10 dapat ditulis sebagai berikut:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Perhatikan angka d=1. Setelah kita menuliskan setiap angka n, kita akan memperhatikan banyaknya angka satu yang telah muncul, dan kita akan melambangkan hal ini dengan f[n,1]. Beberapa nilai pertama dari f[n,1], adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa f[n,1] tidak pernah bernilai 3.
Dua solusi pertama dari persamaan f[n,1]=n adalah n=0 dan n=1. Kemudian solusi selanjutnya adalah n=199981.

Dengan cara yang sama, fungsi f[n,d] memberikan banyaknya angka d yang telah muncul setelah bilangan n muncul.
Pada kenyataannya, untuk semua angka d 0, 0 selalu menjadi solusi pertama dari persamaan f[n,d]=n.

Misalkan s[d] adalah hasil penjumlahan dari semua solusi yang memenuhi f[n,d]=n.
Diketahui bahwa s[1]=22786974071.

Carilah s[d] untuk 1 d 9.

Catatan: Jika terdapat nilai n yang sama, yang memenuhi f[n,d]=n untuk nilai d yang berbeda, maka nilai n ini harus ikut dihitung kembali secara terpisah, untuk setiap nilai d yang ada.

Answer: ac0c6b67ed28cebb02b802e7a204aaee

Soal 157

Misalkan terdapat sebuah persamaan diophantine 1/a+1/b= p/10n dengan a, b, p, n merupakan bilangan bulat positif dan a b.
Untuk n=1 persamaan ini memiliki 20 solusi, yaitu sebagai berikut:

Berapakah banyaknya solusi yang dimiliki persamaan tersebut untuk 1 n 9?

Answer: c96fc71df4ef8f6420fda7958957538c

Soal 158

Dengan memilih tiga huruf acak dari 26 huruf yang ada di alfabet, kita dapat membentuk tulisan dengan panjang tiga karakter.
Contohnya adalah 'abc', 'hat' dan 'zyx'.
Saat kita mempelajari ketiga contoh ini, kita dapat melihat bahwa untuk 'abc' dua huruf yang ada muncul sesuai dengan urutan pada abjad bedasarkan huruf sebelah kirinya.
Sedangkan untuk 'hat' hanya terdapat satu huruf yang sesuai dengan urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya. Untuk 'zyx' tidak terdapat huruf yang sesuai dengan urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.
Pada semua kemungkinan yang ada, terdapat 10400 buah tulisan yang dibentuk oleh 3 huruf, yang memiliki persis satu buah huruf yang sesuai urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.

Misalkan terdapat tulisan dengan n 26 karakter berbeda dari alfabet.
Untuk setiap n, p[n] adalah banyaknya tulisan yang dibentuk oleh n huruf, dimana terdapat persis satu buah huruf yang sesuai urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.

Berapakah nilai terbesar dari p[n]?

Answer: 6070fa194890e52b2989af5b542aee90

Soal 159

Sebuah bilangan komposit dapat difaktorkan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, dengan mengabaikan perkalian dengan angka satu, bilangan 24 dapat dengan mudah difaktorkan dengan 7 cara berbeda:

Untuk mencari angka akar dari suatu bilangan, kita dapat menjumlahkan semua angka yang ada pada bilangan tersebut, kemudian mengulang proses tersebut sampai hasil penjumlahannya kurang dari 10. Sehingga angka akar dari 467 adalah 8.

Kita akan menyebut Angka Akar dari Penjumlahan/Digital Root Sum [DRS] sebagai hasil penjumlahan semua angka akar dari faktor-faktor suatu bilangan.
Diagram berikut akan menunjukkan semua nilai DRS untuk bilangan 24.

Nilai DRS terbesar dari 24 adalah 11.
Fungsi mdrs[n] akan memberikan nilai DRS terbesar untuk bilangan n. Sehingga mdrs[24]=11.
Carilah mdrs[n] untuk 1 < n < 1,000,000.

Answer: 2ab79df40adc1028d1fa83a6333db907

Soal 160

Untuk nilai N apapun, f[N] adalah lima angka terakhir sebelum mucnulnya angka nol berulang-ulang pada N!.
Sebagai contoh,

9! = 362880 sehingga f[9]=36288
10! = 3628800 sehingga f[10]=36288
20! = 2432902008176640000 sehingga f[20]=17664

Carilah f[1,000,000,000,000]

Answer: e51ada1e23f810eb1b51a18bb6825f85

Soal 161

Triomino adalah sebuah bentuk yang dibuat dari tiga persegi, yang disambungkan sisinya. Terdapat dua bentuk dasar:

Jika semua arah hadap diperhitungkan, maka terdapat enam macam kombinasi:

Semua persegi panjang berukuran n x m dimana nxm habis dibagi 3 dapat dibentuk oleh triominoes.
Jika hasil refleksi dan rotasi dari triomino dianggap sebagai pola yang berbeda, maka kita bisa mendapatkan 41 cara untuk membentuk persegi panjang berukuran 2 x 9 dengan triomino:

Berapakah banyaknya cara persegi panjang berukuran 9 x 12 bisa dibentuk oleh triomino?

Answer: 975ccc38bb5402c5b485f3de5928d919

Soal 162

Pada sistem bilangan heksadesimal, bilangan dituliskan dengan 16 angka berbeda:

Bilangan heksadesimal AF saat dituliskan dalam bentuk desimal sama dengan 10x16+15=175.

Pada bilangan heksadesimal 3 angka, bilangan 10A, 1A0, A10, dan A01 semuanya mempunyai angka 0,1 dan A.
Seperti bilangan yang ditulis di secara desimal, kita menulis bilangan heksadesimal tanpa angka nol di depan.

Berapa banyak bilangan heksadesimal yang dibentuk dari paling banyak enam belas angka, yang angka 0, 1, dan A nya muncul setidaknya satu kali?
Berikan jawaban Anda dalam bilangan heksadesimal.

[A,B,C,D,E dan F harus ditulis dengan huruf kapital, tanpa perlu ditandai bahwa bilangan tersebut adalah bilangan heksadesimal, dan tidak diawali dengan angka nol, sebagai contoh 1A3F adalah penulisan yang benar, dan bukan: 1a3f dan bukan 0x1a3f juga bukan $1A3F juga bukan #1A3F dan bukan 0000001A3F]

Answer: 049419b9fdad9af74d5888626fff56a3

Soal 163

Misalkan terdapat sebuah segitiga sama sisi, dan digambarkan sebuah garis lurus dari semua titik pada segitiga ke tengah-tengah sisi di seberangnya, seperti pada gambar size 1 berikut ini.

Sekarang enam belas segitiga berbeda ukuran, bentuk, arah hadap, dan tempat dapat ditemukan pada segitiga ini. Menggunakan segitiga size 1 sebagai segitiga pembangun, kita dapat membentuk segitiga yang lebih besar, salah satunya adalah segitiga size 2 pada gambar di atas. Sekarang kita dapat melihat bahwa terdapat seratus empat buah segitiga berbeda, jika kita mengamati segitiga size 2.

Dapat terlihat bahwa segitiga size 2 dibentuk dari 4 buah segitiga size 1. Sebuah segitiga size 3 nantinya akan berisi 9 buah segitiga size 1 dan segitiga dengan ukuran size n akan berisi n2 buah segitiga size 1.

Jika kita melambangkan T[n] sebagai banyaknya segitiga yang dapat diamati dari segitiga dengan ukuran size n, maka

T[1] = 16
T[2] = 104

Carilah T[36].

Answer: a4f66a42a5b5dc395d00463d77e0a0c6

Soal 164

Berapakah banyaknya bilangan 20-angka n [tidak diawali dengan angka nol] yang ada, sehingga tidak ada tiga angka berurutan pada n yang memiliki jumlah lebih dari 9?

Answer: 6e96debf3bfe7cc132401bafe5a5d6d6

Soal 165

Sebuah segmen garis ditentukan oleh dua titik ujungnya.
Apabila terdapat dua segmen garis dalam sebuah bidang geometri, maka terdapat tiga kemungkinan:
kedua segmen tidak bertemu di titik manapun, bertemu di satu titik, atau bertemu di tak hingga buah titik.

Selanjutnya, saat dua segmen garis bertemu di satu titik, ada kemungkinan titik temu tersebut merupakan ujung dari salah satu segmen, atau bahkan ujung dari kedua segmen. Jika titik temu kedua segmen garis bukan merupakan ujung dari kedua segmen, maka kita akan menyebut titik tersebut sebagai titik interior segmen.
Kita akan menyebut titik temu T antara dua segmen L1 dan L2 sebagai titik potong sejati dari L1 dan L2 apabila T merupakan salah satu titik yang terdapat pada L1 dan L2, dan T merupakan titik interior dari kedua segmen.

Misalkan terdapat tiga segmen garis L1, L2, dan L3:

L1: [27, 44] sampai [12, 32]
L2: [46, 53] sampai [17, 62]
L3: [46, 70] sampai [22, 40]

Dapat dibuktikan bahwa segmen garis L2 dan L3 mempunyai sebuah titik potong sejati. Perlu diingat bahwa walaupun titik ujung dari L3: [22,40] terdapat pada L1, tapi titik ini tidak dianggap sebagai titik potong sejati. Sedangkan L1 dan L2 tidak memiliki titik temu sama sekali. Sehingga antar ketiga segmen garis tersebut, kita bisa menemukan satu titik potong sejati.

Sekarang kita akan melakukan hal yang sama untuk 5000 segmen garis. Kita akan membuat 20000 bilangan menggunakan metode "Blum Blum Shub", sebuah metode untuk membentuk bilangan acak.

s0 = 290797

sn+1 = sn×sn [modulo 50515093]

tn = sn [modulo 500]

Untuk membuat sebuah segmen garis, kita akan menggunakan empat bilangan berurutan tn. Sehingga, segmen garis pertama yang ada adalah:

[t1, t2] to [t3, t4]

Empat bilangan pertama yang dibuat secara acak dengan cara di atas adalah: 27, 144, 12 dan 232. Sehingga segmen garis pertamanya akan menjadi [27,144] sampai [12,232].

Berapakah banyaknya titik potong sejati berbeda, yang terdapat pada 5000 segmen garis tersebut?

Answer: b87b096af5a545b4f7a45cfed4e67c87

Soal 166

Sebuah kotak-kotak berukuran 4x4 diisi dengan angka d, 0 d 9.

Dapat terlihat pada kotak-kotak

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

hasil penjumlahan dari setiap baris dan kolom mempunyai nilai 12. Selanjutnya, jumlah dari setiap diagonal juga 12.

Berapakah banyaknya cara kita bisa mengisi kotak-kotak berukuran 4x4, dengan angka d, 0 d 9 sehingga setiap baris, kolom, dan diagonal memiliki jumlah yang sama?

Answer: e4f39f61ee7f1bfe433a177c07f5512f

Soal 167

Untuk dua bilangan bulat positif a dan b, sebuah barisan Ulam U[a,b] dinyatakan oleh U[a,b]1 = a, U[a,b]2 = b dan untuk k > 2, U[a,b]k adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari U[a,b][k-1] yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dua anggota berbeda sebelumnya pada U[a,b].

Sebagai contoh, barisan U[1,2] dimulai dengan
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
5 tidak termasuk anggota barisan di atas karena 5 = 1 + 4 = 2 + 3 mempunyai dua cara untuk dibentuk dari anggota-anggota sebelumnya, sama juga seperti 7 = 1 + 6 = 3 + 4.

Carilah U[2,2n+1]k untuk 2 n 10, dimana k = 1011.

Answer: aa5b61f6f4d96cbaeb5944b8fcdf64a3

Soal 168

Misalkan terdapat bilangan 142857. Kita dapat melakukan rotasi-kanan bilangan ini dengan memindahkan angka terakhir [7] ke depan, dan akan memberikan kepada kita bilangan 714285.
Dapat dibuktikan bahwa 714285=5×142857.
Ini menunjukkan sifat tidak biasa dari 142857: yaitu merupakan pembagi dari rotasi-kanan nya.

Carilah 5 angka terakhir dari penjumlahan semua bilangan bulat n, 10 < n < 10100, yang memiliki sifat ini.

Answer: 39e7aab76650b018578830bc6dba007a

Soal 169

Dinyatakan f[0]=1 dan f[n] adalah banyaknya cara suatu bilangan n dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan bilangan bulat kuadrat yang masing-masing tidak lebih dari dua kali.

Sebagai contoh, f[10]=5 karena terdapat lima cara untuk menghasilkan 10:

1 + 1 + 8
1 + 1 + 4 + 4
1 + 1 + 2 + 2 + 4
2 + 4 + 4
2 + 8

Berapakah nilai f[1025]?

Answer: d149d4836703a8908becea56ddd3ed42

Soal 170

Kita ambil angka 6, lalu kita kalikan dengan 1273 dan 9854, maka akan didapat:

6 × 1273 = 7638
6 × 9854 = 59124

Dengan menyatukan kedua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, yaitu 763859124. Kita akan menyebut 763859124 sebagai Hasil penyatuan perkalian dari 6 dan [1273,9854]. Perlu diingat, bahwa hasil penggabungan dari bilangan-bilangan awalnya, yaitu 612739854, juga merupakan bilangan pandigital 1 sampai 9.

Hal yang sama bisa dilakukan untuk bilangan pandigital 0 sampai 9.

Berapakah bilangan pandigital 10-angka terbesar dari 0 sampai 9, yang dibentuk dengan cara menyatukan hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan dua atau lebih bilangan bulat lainnya, dan bilangan bulat awal yang digunakan juga merupakan bilangan pandigital 10-angka dari 0 sampai 9?

Answer: 6ffe65352f717c1731666a107ace96c1

Soal 171

Untuk bilangan bulat postif n, f[n] adalah hasil penjumlahan dari kuadrat angka-angka pada bilangan n, Sebagai contoh

f[3] = 32 = 9,
f[25] = 22 + 52 = 4 + 25 = 29,
f[442] = 42 + 42 + 22 = 16 + 16 + 4 = 36

Carilah sembilan angka terakhir dari penjumlahan semua n, 0 < n < 1020, yang f[n] nya adalah berupa bilangan kuadrat.

Answer: ff586db8c4a5699ec78c645fcb27db7b

Soal 172

Berapa banyak bilangan 18-angka n [yang tidak diawali dengan angka nol] yang semua angka-angkanya tidak ada yang muncul lebih dari tiga kali?

Answer: f5f260ee21ead7478403c2ccd18a1829

Soal 173

Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal. Sebagai contoh, menggunakan persis tiga puluh dua ubin persegi, kita bisa membentuk dua macam bidang yang berbeda:

Dengan seratus buah ubin, dan Anda tidak diharuskan untuk menggunakan semua ubin, Anda dapat membentuk empat puluh satu bidang berbeda.

Jika disediakan satu juta buah ubin, berapa banyak cara bidang persegi seperti di atas yang dapat dibentuk?

Answer: 177f825c89a68aefae37b8dec9bb8a9b

Soal 174

Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal.

Jika diberikan delapan buah ubin persegi, maka kita hanya dapat membentuk bidang dengan satu cara: yaitu bidang yang berukuran 3x3 dengan lubang berukuran 1x1 di tengahnya. Tetapi, menggunakan tiga puluh dua ubin, kita dapat membentuk dua bidang berbeda.

Jika t melambangkan banyaknya ubin yang digunakan, kita dapat mengatakan bahwa t = 8 adalah bidang tipe L[1] dan t = 32 adalah bidang tipe L[2].

Misalkan N[n] adalah banyaknya t 1000000, sehingga t akan membentuk bidang tipe L[n]; sebagai contoh, N[15] = 832.

Berapakah N[n] untuk 1 n 10?

Answer: 73166006522ed7f51ed3e2ca66353b66

Soal 175

Diketahui f[0]=1 dan f[n] adalah banyaknya cara untuk menulis bilangan n sebagai hasil dari penjumlahan bilangan 2x, dimana tidak ada bilangan 2x yang muncul lebih dari dua kali.

Sebagai contoh, f[10]=5 karena terdapat lima cara berbeda untuk menyatakan 10:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+2+2+1+1 = 4+4+1+1

Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap pecahan p/q [p>0, q>0] terdapat setidaknya satu buah bilangan bulat n, sehingga
f[n]/f[n-1]=p/q.

Sebagai contoh, bilangan n terkecil yang memenuhi f[n]/f[n-1]=13/17 adalah 241.
Bentuk biner dari 241 adalah 11110001.
Jika bilangan biner ini dibaca dari kiri ke kanan, dapat terlihat bahwa terdapat 4 buah angka satu, 3 buah angka nol, kemudian 1 buah angka satu. Kita akan menyebut 4,3,1 sebagai Shortened Binary Expansion of 241.

Carilah Shortened Binary Expansion untuk nilai n terkecil, dimana
f[n]/f[n-1]=123456789/987654321.

Berikan jawaban Anda dengan bilangan bulat yang dipisahkan dengan koma, tanpa ada spasi.

Answer: 796dddd004c3465229058072f5b4583e

Soal 176

Terdapat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi [9,12,15], [12,16,20], [5,12,13] dan [12,35,37]. Semua segitiga memiliki salah satu kaki [catheti] dengan panjang 12. Dapat terlihat bahwa tidak ada segitiga siku-siku lain yang panjang sisinya berupa bilangan bulat, yang panjang salah satu kakinya [catheti] sama dengan 12.

Carilah bilangan bulat terkecil yang bisa menjadi panjang kaki [catheti] dari 47547 buah segitiga siku-siku bersisi bilangan bulat.

Answer: c47c782ebaf8cdbb60eebfa86cd0003c

Soal 177

Misalkan ABCD adalah segiempat konveks, dengan diagonal AC dan BD. Pada setiap titik sudut, setiap diagonal akan membuat sebuah sudut dengan dua buah sisi lain, sehingga akan terbentuk delapan buah sudut pada pojok segi empat.

Sebagai contoh, pada titik A, terdapat dua buah sudut, yaitu CAD dan CAB.

Segi empat seperti ini, yang ke delapan sudut pada pojok segi empatnya merupakan bilangan bulat [diukur dalam derajat] akan kita sebut sebagai "Segi empat bersudut bilangan bulat". Salah satu contoh segi empat bersudut bilangan bulat adalah sebuah persegi, dimana kedelapan sudut pada pojok segiempatnya adalah 45°. Contoh lain adalah sebuah segi empat dengan sudut DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, dan ADB = 50°.

Berapakah banyaknya semua segi empat bersudut bilangan bulat?

Catatan: Dalam perhitungan Anda, Anda dapat menganggap sebuah sudut memiliki bilangan bulat, walaupun sudut tersebut masih memiliki penyimpangan sampai 10-9, atau sembilan angka di belakang koma.

Answer: d7a85236af930db0f7e84f2de8ee7ac2

Soal 178

Pada bilangan 45656.
Dapat terlihat bahwa setiap pasangan angka pada bilangan 45656 memiliki beda satu.
Sebuah bilangan yang setiap pasangan angka berurutannya memiliki beda satu disebut bilangan melangkah.
Sebuah bilangan disebut sebagai bilangan pandigital apabila bilangan tersebut memiliki semua angka dari 0 sampai 9 setidaknya sekali.

Berapa banyak bilangan melangkah pandigital kurang dari 1040 yang ada?

Answer: 2ffddfa898fa5df6321aebea84d4f33f

Soal 179

Carilah bilangan bulat 1 < n < 107, dimana n dan n + 1 memiliki banyak pembagi habis positif yang sama. Sebagai contoh, 14 memiliki pembagi habis positif empat buah, yaitu 1, 2, 7, 14 dan 15 juga memiliki pembagi positif empat buah, yaitu 1, 3, 5, dan 15.

Answer: bafa0132bc7fc422a8d53bebb9d003c9

Soal 180

Untuk bilangan bulat n, terdapat tiga buah fungsi

f1,n[x,y,z] = xn+1 + yn+1 zn+1
f2,n[x,y,z] = [xy + yz + zx]*[xn-1 + yn-1 zn-1]
f3,n[x,y,z] = xyz*[xn-2 + yn-2 zn-2]

dan kombinasi ketiganya

fn[x,y,z] = f1,n[x,y,z] + f2,n[x,y,z] f3,n[x,y,z]

Kita akan menyebut [x,y,z] sebagai bilangan triple emas dengan orde k jika x, y, dan z semuanya merupakan bilangan rasional dengan bentuk a / b dengan
0 < a < b k dan setidaknya terdapat satu bilangan bulat n, sehingga fn[x,y,z] = 0.

Misalkan s[x,y,z] = x + y + z.
Kita misalkan t = u / v sebagai hasil penjumlahan semua nilai berbeda dari s[x,y,z] untuk semua bilangan triple emas [x,y,z] dengan orde 35.
Semua s[x,y,z] dan t harus dalam bentuk paling sederhana.

Carilah u + v.

Answer: 6459f69d151314c59df404868f45fa96

Soal 181

Terdapat tiga buah benda berwarna black [hitam] B dan satu benda bewarna white [putih] W, benda-benda tersebut dapat dikelompokkan dengan 7 cara, cara-cara tersebut adalah sebagai berikut:

Berapakah banyaknya cara enam puluh benda black [hitam] B dan empat puluh benda white [putih] W dapat dikelompokkan?

Answer: 0e1233ecbc058dabf54a8602eac55d95

Soal 182

Prosedur untuk melakukan Enkripsi RSA adalah sebagai berikut:

Buatlah dua buah angka prima berbeda p dan q.
Lalu Hitung n=pq dan φ=[p-1][q-1].
Cari sebuah bilangan bulat e, 1n.

Barisan a[n] dinyatakan dengan:
a[1]=next_prime[1014] dan a[n]=next_prime[a[n-1]] untuk n>1.

Barisan fibonacci f[n] dinyatakan dengan: f[0]=0, f[1]=1 dan f[n]=f[n-1]+f[n-2] untuk n>1.

Barisan b[n] dinyatakan sebagai f[a[n]].

Carilah b[n] untuk 1n100 000. Berikan jawaban Anda yang telah di mod 1234567891011.

Answer: 499427a3e4bf9ad34a6df3056604b4c1

Soal 305

Kita akan menyebut S sebagai deretan [tak hingga] yang dibuat dengan menyatukan bilangan bulat positif berurutan [dimulai dari 1] yang ditulis dalam basis 10.
Sehingga, S = 1234567891011121314151617181920212223242...

Dapat dengan mudah terlihat bahwa semua bilangan akan muncul sebanyak tak hingga kali pada S.

Kita akan menyebut f[n] sebagai posisi mulai munculnya angka n yang ke n-kali di S.
Sebagai contoh, f[1]=1, f[5]=81, f[12]=271 dan f[7780]=111111365.

Carilah f[3k] untuk 1k13.

Answer: 9def85298f598867d361e4afca8cdd96

Soal 306

Permainan berikut ini adalah contoh klasik dari Teori Permainan Kombinatorial:

Dua pemain memulai permainan dengan sepotong kertas yang memiliki n buah persegi putih, dan mereka melakukan permainan secara bergiliran.
Pada setiap giliran, seorang pemain memilih dua persegi putih yang bersebelahan kemudian mewarnai kedua kotak tersebut menjadi hitam.
Pemain pertama yang tidak bisa melakukan gerakan lagi dianggap kalah.

• Jika n = 1, maka tidak ada gerakan yang valid, sehingga pemain pertama langsung kalah.
• Jika n = 2, maka hanya terdapat satu gerakan yang memungkinkan, setelah itu pemain kedua akan kalah.
• Jika n = 3, akan terdapat dua gerakan yang mungkin dilakukan, namun kedua gerakan tersebut akan menyebabkan pemain kedua kalah.
• Jika n = 4, terdapat tiga gerakan yang mungkin dilakukan oleh pemain pertama; ia dapat memenangkan permainan dengan mewarnai dua persegi di tengah.
• Jika n = 5, terdapat empat gerakan yang mungkin dilakukan oleh pemain pertama [ditunjukkan pada gambar berikut denagn warna merah]; namun tidak peduli apapun yang ia lakukan, pemain kedua [biru] akan selalu menang.

Sehingga, untuk 1 n 5, terdapat 3 buah nilai n yang akan membuat pemain pertama menjadi pemenang.
Hal yang sama, untuk 1 n 50, terdapat 40 buah nilai n yang akan membuat pemain pertama menjadi pemenang.

Untuk 1 n 1 000 000, berapa banyak nilai n yang ada, yang akan menyebabkan pemain pertama menang?

Answer: 394d602ba21e30693db90c9ecd4bd3a2

Soal 307

k buah kecacatan tersebar secara acak pada n buah chip integrated-circuit yang diproduksi oleh sebuah pabrik [beberapa kecacatan dapat ditemui dalam satu chip, dan setiap kecacatan berbeda dengan kecacatan lainnya].

p[k,n] adalah peluang terdapat sebuah chip yang memiliki setidaknya 3 kecacatan.
Sebagai contoh p[3,7] 0.0204081633.

Carilah p[20 000, 1 000 000] dan berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghij

Answer: 0c49094fa750365e13bb20ec4a158b6d

Soal 308

Sebuah program ditulis dalam bahasa pemrograman Fractran yang terdiri dari daftar pecahan.

Bagian dalam dari Fractran Virtual Machine mengandung bilangan bulat positif, yang di setel untuk mengeluarkan berbagai bilangan. Setiap hasil iterasi dari program Fractran didapatkan dengan mengalikan bilangan bulat di dalam dengan pecahan pertama pada daftar yang akan menghasilkan bilangan bulat juga setelah dikalikan.

Sebagai contoh, salah satu program Fractran yang ditulis oleh John Horton Conway untuk membentuk bilangan prima terdiri dari 14 buah pecahan berikut:

Dimulai dengan bilangan bulat 2, iterasi selanjutnya yang sesuai dengan aturan di atas akan menghasilkan barisan:
15, 825, 725, 1925, 2275, 425, ..., 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Bilangan perpangkatan 2x yang muncul di barisan ini adalah 22, 23, 25, ...
Dapat ditunjujkkan bahwa semua x dari barisan ini merupakan bilangan prima, dan semua x barisan ini, muncul secara berurutan!

Jika seseorang mengguanakn program Fractran di atas untuk menyelesaikan Project Euler Soal 7 [mencari pilangan prima ke-10001], berapa banyak iterasi yang dibutuhkan sampai program menghasilkan 2bilangan prima ke-1000 ?

Answer: 43e736dfc6478a52653814248a71771d

Soal 309

Dalam permasalhan "Tangga Menyilang" klasik, kita diberikan informasi panjang dari dua buah tangga sebagai x dan y, kedua tangga bersandar pada tembok di seberangnya dan ujung-ujungnya berada di tepi jalan sempit. Kita juga diberikan informasi tentang tinggi titik persilangan tangga h jika diukur dari jalan, dan kita diminta untuk mencari lebar jalan [w].

Di soal ini, kita hanya akan melihat kondisi dimana ke empat variabel adalah bilangan bulat positif.
Sebagai contoh, jika x = 70, y = 119 dan h = 30, kita dapat menghitung w = 56.

Kenyataannya, untuk bilangan bulat x, y, h dan 0 < x < y < 200, hanya ada lima buah triplet [x,y,h] yang akan menghasilkan solusi bilangan bulat untuk w:
[70, 119, 30], [74, 182, 21], [87, 105, 35], [100, 116, 35] and [119, 175, 40].

Untuk bilangan bulat x, y, h dan 0 < x < y < 1 000 000, berapa banyak triplet [x,y,h] yang akan menghasilkan solusi bilangan bulat untuk w?

Answer: 0875415a84bfe8bc237dcfc6b440d263

Soal 310

Alice dan Bob memainkan permainan Nim Kuadrat.
Nim Kuadrat sebenarnya hampir sama dengan permainan tiga tumpuk Nim biasa, namun kali ini para pemain hanya diperbolehkan untuk mengambil batu sebanyak bilangan kuadrat dari tumpukan.
Banyaknya batu pada ketiga tumpukan dituliskan secara berurutan dengan triplet [a,b,c].
Jika 0abc29 maka banyaknya posisi kalah untuk pemain kedua adalah 1160.

Carilah banyaknya posisi kalah untuk pemain kedua jika 0abc100 000.

Answer: 6b94f848996393eef163add4d17360c7

Soal 311

ABCD adalah bangun bersisi empat konveks, dengan panjang sisi berupa bilangan bulat yaitu 1 AB < BC < CD < AD.
BD juga mempunyai panjang berupa bilangan bulat. O adalah titik tengah dari BD. AO juga mempunyai panjang berupa bilangan bulat.
Kita akan menyebut ABCD sebagai sebuah bangun sisi-empat biclinic bilangan bulat jika AO = CO BO = DO.

Sebagai contoh, bangun sisi empat berikut ini adalah bangun sisi-empat biclinic bilangan bulat:
AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 dan AO = CO = 23.

B[N] adalah banyaknya bangun sisi-empat biclinic bilangan bulat ABCD berbeda yang memenuhi AB2+BC2+CD2+AD2 N.
Kita dapat membuktikan bahwa B[10 000] = 49 dan B[1 000 000] = 38239.

Carilah B[10 000 000 000].

Answer: 36115d4f7dc07eea106d78e8431868e6

Soal 312

- Sebuah grafik Sierpiński dengan orde 1 [S1] adalah sebuah segitiga sama sisi.
- Sn+1 didapatkan dari Sn dengan meletakan tiga buah salinan dari Sn sehingga setiap dua buah salinan memiliki satu titik pojok yang bertemu.

Misal C[n] adalah banyaknya siklus yang berputar persis satu kali dan melalui semua titik pada Sn.
Sebagai contoh, C[3] = 8 karena terdapat delapan buah jalur yang bisa digambar pada S3, seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Juga dapat dibuktikan bahwa :
C[1] = C[2] = 1
C[5] = 71328803586048
C[10 000] mod 108 = 37652224
C[10 000] mod 138 = 617720485

Carilah C[C[C[10 000]]] mod 138.

Answer: 535113d1a81f421fe814d48205dac570

Soal 313

Dalam permainan menggeser, sebuah potongan boleh bergeser secara horizontal ataupun vertikal ke tempat yang kosong. Sasaran dari permainan ini adalah untuk memindahkan potongan merah dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah; ruang kosong selalu berada pertama kali di pojok kanan bawah. Sebagai contoh, gambar-gambar berikut ini akan menunjukkan bahwa permainan dapat diselesaikan dalam lima langkah untuk kisi berukuran 2 x 2.

S[m,n] menunjukkan jumlah gerakan minimal untuk menyelesaikan permaian pada kisi berukuran m x n. Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa S[5,4] = 25.

Terdapat persis 5482 ukuran kisi dimana S[m,n] = p2, dimana p < 100 adalah bilangan prima.

Berapakah banyaknya ukuran kisi yang memenuhi S[m,n] = p2, dimana p < 106 adalah bilangan prima?

Answer: 2468d42fa1c7f61547ce71c9826218ea

Soal 314

Bulan telah dibuka untuk umum, dan kita dapat memiliki tanah di sana dengan gratis, namun ada satu permasalahan. Anda harus membuat tembok di sekeliling tanah yang Anda tempati, dan untuk membangun tembok di bulan memerlukan biaya yang besar. Setiap negara telah diberikan jatah tanah berukuran 500 m x 500 m, namun mereka hanya dapat menggunakan wilayah yang dibatasi oleh dinding. 251001 buah tiang telah diletakkan pada tanah membentuk petak-petak dengan jarak antar tiang 1 meter. Dinding harus dibentuk dari sambungan garis-garis lurus hingga tertutup, dan setiap garis dinding dapat dibentuk dari tiang ke tiang.

Negara yang besar tentu saja akan membuat dinding sepanjang 2000 m menutup semua wilayah yang menjadi jatahnya dengan luas 250 000 m2. Adipati Grand Fenwick, memiliki dana yang terbatas, dan ia meminta anda [sebagai Programmer Kerajaan] untuk menghitung bentuk dinding seperti apa yang akan menghasilkan perbandingan terbaik antara luas yang ditutupi dinding/panjang dinding.

Anda telah melakukan sedikit perhitungan pada selembar kertas. Untuk dinding dengan panjang 2000 yang menutupi wilayah seluas 250 000 m2, perbandingan luas yang ditutupi dinding/panjang dinding adalah 125.
Walaupun tidak diperbolehkan, namun terdapat ide untuk membuat hasil yang lebih baik: yaitu jika kita membangun dinding berbentuk lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi, luas wilayah yang dibatasi dinding akan menjadi π*2502 m2 dan keliilngnya akan menjadi π*500 m, sehingga perbandingan luas yang ditutupi dinding/panjang dinding juga 125.

Tetapi, jika Anda memotong dari pinggiran persegi empat buah segitiga dengan panjang sisi 75 m, 75 m dan 752 m luas wilayah yang dibatasi dinding akan menjadi 238750 m2 dan kelilingnya menjadi 1400+3002 m. Sehingga bentuk ini akan memberikan perbandingan luas yang ditutupi dinding/panjang dinding sebesar 130.87, dimana hasil ini lebih baik.

Carilah nilai perbandingan maksimum dari luas yang ditutupi dinding/panjang dinding.
Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 8 angka di belakang koma dengan format abc.defghijk.

Answer: aa457cae6f67945d50683a85a9b70230

Soal 315

Sam dan Max diminta untuk mengubah dua buah jam digital menjadi dua buah jam "akar kuadrat digital".
Jam akar kuadrat digital adalah sebuah jam yang menghitung akar kuadrat tahap demi tahap.

Saat jam tersebut diberikan suatu bilangan, jam tersebut akan menunjukkan bilangan tersebut, dan kemudian akan mulai melakukan perhitungan, kemudian ia akan segera menunjukkan semua hasil perhitungan terus-menerus sampai selesai.
Sebagai contoh, jika jam diberikan bilangan 137, maka jam tersebut akan menunjukkan: "137" "11" "2" dan kemudian jam tersebut akan mati, menunggu angka selanjutnya.

Setiap angka digital dapat dibentuk dari beberapa segmen lampu: tiga buah segmen horizontal [atas, tengah, bawah] dan empat buah segmen vertikal [kiri atas, kanan atas, kiri bawah, kanan bawah].
Angka "1" dapat dibentuk dengan menghidupkan lampu vertikal kanan atas dan kanan bawah, Angka "4" dapat dibentuk dengan menghidupkan lampu horizontal tengah dan vertikal kiri atas, kanan atas, dan kanan bawah. Angka "8" dibentuk dengan menghidupkan semua segmen lampu.

Jam tersebut hanya mengkonsumsi energi jika ada segmen lampu yang diubah kondisinya antara menyala/mati.
Untuk menyalakan lampu membentuk angka "2" akan memerlukan 5 transisi lampu, dimana angka "7" hanya memerlukan 4 transisi lampu.

Sam dan Max membuat dua jam berbeda.

Jam buatan Sam saat diberikan sebuah bilangan, sebagai contoh bilangan 137: jam tersebut akan menunjukkan "137", kemudian semua lampu akan dimatikan, kemudian lampu untuk membentuk bilangan selanjutnya ["11"] dihidupkan, kemudian semua lampu dimatikan lagi dan akhirnya lampu untuk membentuk bilangan terakhir ["2"] dihidupkan dan, setelah beberapa saat, semua lampu dimatikan.
Sebagai contoh, untuk bilangan 137, jam buatan Sam memerlukan:

Jam buatan Max bekerja dengan cara yang berbeda. Bukan dengan mematikan semua lampu, namun dengan cara yang cukup cerdas, yaitu dengan cara hanya mematikan lampu yang tidak diperlukan untuk bilangan selanjutnya.
Untuk bilangan 137, jam buatan Max memerlukan:

Tentu saja, jam buatan Max mengkonsumsi energi yang lebih sedikit dibandingkan dengan buatan Sam.
Kedua jam diberikan bilangan-bilangan prima antara A = 107 dan B = 2×107.
Carilah perbedaan jumlah transisi yang diperlukan oleh jam buatan Sam dengan jumlah transisi yang diperlukan oleh jam buatan Max.

Answer: 79b587f9c25a72dbe95428e283628421

Soal 316

Misal p = p1 p2 p3 ... adalah sebuah barisan tak hingga dari digit-digit acak, yang dipilih dari {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dengan peluang yang sama.
Dapat terlihat bahwa p mewakili sebuah bilangan real 0.p1 p2 p3 ....
Dapat juga terlihat bahwa apabila kita memilih sebuah bilangan real secara acak pada interval [0,1] sama dengan memilih barisan tak hingga dengan digit-digit acak yang dipilih dari {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dengan peluang yang sama.

Untuk setiap bilangan bulat positif n dengan d buah digit desimal, k adalah indeks terkecil sehingga
pk, pk+1, ...pk+d-1 adalah digit-digit desimal dari n, dengan urutan yang sama.
Juga, kita misalkan g[n] adalah nilai harapan [expected value] dari k; dapat dibuktikan bahwa g[n] selalu tertentu atau terhingga dan, menariknya, selalu merupakan bilangan bulat.

Sebagai contoh, jika n = 535, maka
untuk p = 31415926535897...., kita dapatkan k = 9
untuk p = 355287143650049560000490848764084685354..., kita dapatkan k = 36
dan sebagainya, dan kita dapat menemukan bahwa g[535] = 1008.

Diberikan

Catatan:

Answer: 2495e8f6e9d4cdadbf0411144e7180b9

Soal 317

Sebuah petasan meledak pada ketinggian 100 m di atas tanah. Petasan tersebut pecah menjadi banyak sekali pecahan kecil, yang bergerak ke segeala arah; semua pecahan tersebut memiliki kecepatan awal yang sama, yaitu 20 m/s.

Kita asumsikan tidak terdapat gesekan udara saat pecahan petasan bergerak, dan pecahan bergerak di medan gravitasi seragam dengan g=9.81 m/s2.

Carilah volume [dalam m3] dari daerah yang dilalui oleh pecahan-pecahan petasan tersebut sebelum pecahan menyentuh tanah. Berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga empat angka di belakang koma.

Answer: b0e2bec93bfe598ade5d3d1141f76bdd

Soal 318

Perhatikan bilangan real 2+3.
Saat kita menghitung hasil pemangangkatan genap dari 2+3 kita dapatkan:
[2+3]2 = 9.898979485566356...
[2+3]4 = 97.98979485566356...
[2+3]6 = 969.998969071069263...
[2+3]8 = 9601.99989585502907...
[2+3]10 = 95049.999989479221...
[2+3]12 = 940897.9999989371855...
[2+3]14 = 9313929.99999989263...
[2+3]16 = 92198401.99999998915...

Seperti terlihat bahwa bilangan yang dibentuk dari angka sembilan berurutan setelah tanda koma tidak berkurang.
Kenyataannya, dapat dibuktikan bahwa angka-angka di belakang koma dari [2+3]2n akan mendekati 1 untuk nilai n yang besar.

Perhatikan bahwa semua bilangan real dengan bentuk p+q dengan p dan q berupa bilangan bulat positif dan p 0. [ | adalah operasi bitwise-OR]

Dapat terlihat bahwa akhirnya akan terdapat sebuah indeks N sehingga xi = 232 -1 [yang memiliki bit-pattern semuanya digit satu] untuk semua i N.

Carilah nilai harapan [expected value] dari N.
Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma.

Answer: c8f8a7ab17a87f1b17a1f4a86c984ea7

Soal 324

Misal f[n] menyatakan banyaknya cara seseorang dapat mengisi sebuah menara berukuran 3×3×n dengan balok-balok berukuran 2×1×1.
Anda diperbolehkan untuk memutar posisi balok sesuka hati Anda; tetapi, rotasi, refleksi dari menara itu sendiri dianggap berbeda.

Sebagai contoh [dengan q = 100000007] :
f[2] = 229,
f[4] = 117805,
f[10] mod q = 96149360,
f[103] mod q = 24806056,
f[106] mod q = 30808124.

Carilah f[1010000] mod 100000007.

Answer: b8d91b06d43a2ef98a6fcb0be4a6d617

Soal 325

Sebuah permaian dimainkan dengan dua tumpuk batu dan dua orang pemain. Saat gilirannya, seorang pemain mengambil sejumlah batu dari tumpukan yang lebih besar. Banyaknya batu yang diambil harus merupakan bilangan positif dan sama dengan kelipatan jumlah batu di tumpukan yang lebih kecil.

Sebagai contoh, misalkan pasangan bilangan[6,14] menyatakan susunan dengan 6 batu pada tumpukan yang lebih kecil dan 14 batu pada tumpukan yang lebih besar, maka pemain yang sedang mendapat gilirannya dapat mengambil 6 atau 12 buah batu dari tumpukan yang besar.

Pemain yang mengambil semua batu dari tumpukan memenangkan permainan.

Sebuah susunan kemenangan adalah susunan dimana pemain pertama pasti akan menang. Sebagai contoh, [1,5], [2,6] dan [3,12] adalah susunan kemenangan, karena pemain pertama dapat langsung mengambil semua batu pada tumpukan kedua.

Sebuah susunan kekalahan adalah susunan dimana pemain kedua pasti akan menang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain pertama. Sebagai contoh, [2,3] dan [3,4] adalah susunan kekalahan: setiap gerakan yang sah dari pemain pertama pasti akan meninggalkan susunan kemenangan untuk pemain kedua.

Dinyatakan S[N] sebagai hasil penjumlahan dari [xi+yi] untuk semua susunan kekalahan [xi,yi], 0 < xi < yi N. Dapat dibuktikan bahwa S[10] = 211 dan S[104] = 230312207313.

Carilah S[1016] mod 710.

Answer: 5b1ce9ac67e0ad6690c728ccba6f0070

Soal 326

Misal an adalah barisan rekursif yang dinyatakan oleh:

Sehingga 10 sukup ertama dari an adalah: 1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Misal f[N,M] menyatakan banyaknya pasangan [p,q] sehingga:

Dapat terlihat bahwa f[10,10]=4 dengan pasangan-pasangan [3,3], [5,5], [7,9] dan [9,10].

Anda juga diberikan informasi, yaitu f[104,103]=97158.

Carilah f[1012,106].

Answer: d95dff1a5ceee0064993d98defdd603e

Soal 327

Tiga buah ruangan dihubungkan satu sama lain dengan pintu otomatis.

Setiap pintu dioperasikan dengan kartu keamanan. Sesaat setelah anda memasuki suatu ruangan, pintu akan secara otomatis tertutup, dan kartu keamanan tidak dapat digunakan lagi. Pada ruangan mulai [start], sebuah mesin akan mulai mengeluarkan banyak sekali kartu, namun setiap ruangan [termasuk ruangan start] memiliki alat pemindai, dan jika alat tersebut mendeteksi bahwa Anda memegang lebih dari tiga kartu keamanan, atau jika alat tersebut mendeteksi ada kartu keamanan yang tergeletak di lantai, maka semua pintu akan terkunci selamanya. Tetapi, setiap ruangan memiliki sebuah kotak yang dapat Anda gunakan untuk menyimpan kartu keamanan sebanyak apapun, yang dapat digunakan nanti.

Jika Anda mencoba memasuki ketiga ruangan langsung dalam sekali jalan, maka setelah Anda memasuki ruang ke 3, Anda telah menggunakan ketiga kartu di tangan Anda, dan Anda akan terjebak di ruangan tersebut selamanya!

Tetapi, jika Anda menggunakan kotak penyimpanan yang ada, maka terdapat kemungkinan untuk meloloskan diri. Sebagai contoh, Anda dapat memasuki ruangan 1 menggunakan kartu pertama di tangan Anda, meletakkan satu buah kartu di kotak penyimpanan, dan menggunakan kartu ketiga untuk kembali ke ruangan mulai [start]. Kemudain setelah mengambil tiga buah kartu lagi dari mesin kartu, Anda dapat menggunakan satu buah kartu untuk masuk ke ruangan 1, kemudian mengambil sebuah kartu di kotak penyimpanan beberapa saat yang lalu. Sekarang Anda memiliki tiga kartu lagi dan Anda dapat bergerak melalui tiga buah pintu yang tersisa. Metode ini memungkinkan Anda untuk dapat melalui ketiga ruangan menggunakan sebanyak 6 buah kartu.

Adalah memungkinkan untuk melalui enam buah ruangan menggunakan 123 buah kartu keamanan dengan syarat hanya diperbolehkan membawa maksimal 3 buah kartu.

Misal C adalah jumlah kartu maksimal yang boleh dibawa secara bersamaan.

Misal R adalah banyaknya ruangan yang ingin dilalui.

Misal M[C,R] adalah jumlah minimal kartu yang dibutuhkan dari mesin untuk melalui ruangan dengan banyak R buah ruangan membawa maksimal C buah kartu sekaligus.

Sebagai contoh, M[3,6]=123 dan M[4,6]=23.
Dan, ΣM[C,6]=146 untuk 3 C 4.

Diketahui ΣM[C,10]=10382 untuk 3 C 10.

Carilah ΣM[C,30] untuk 3 C 40.

Answer: 2cd4c0ad8a00c5be99802188ee2628fb

Soal 328

Kita akan mencoba untuk menebak bilangan tersembunyi yang dipilih dari himpunan bilangan bulat {1, 2, ..., n} dengan menanyakan pertanyaan. Setiap bilangan [pertanyaan] yang kita coba tebak, memiliki harga yang sama dengan nilai bilangan tersebut dan kita akan mendapatkan salah satu dari tiga kemungkinan jawaban :

• "Tebakan Anda lebih rendah dari bilangan yang tersembunyi", atau
• "Ya, itu dia!", atau
• "Tebakan Anda lebih tinggi dari bilangan yang tersembunyi".

Diberikan nilai n, sebuah strategi optimal akan meminimalisir total biaya yang diperlukan [yaitu jumlah semua bilangan yang ditanyakan] bahkan untuk kejadian paling buruk sekalipun.

Jika n=3, cara terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan menanyakan bilangan "2". Jawaban dari pertanyaan tersebut akan segera mengantarkan kita untuk menemukan bilangan tersembunyi [dengan total biaya = 2].

Jika n=8, kita dapat memilih untuk menggunakan strategi "binary search": Pertanyaan pertama kita adalah bilangan "4" dan jika bilangan tersembunyi yang ada lebih besar dari 4 kita akan memerlukan dua pertanyaan tambahan.
Misalkan pertanyaan kedua kita adalah "6". Jika bilangan tersembunyi tersebut masih lebih besar dari 6, maka kita perlu pertanyaan ketiga untuk menentukan jawaban antara 7 dan 8.
Kemudian, pertanyaan ketiga kita adalah bilangan "7" dan total biaya untuk kasus terburuk seperti ini akan menjadi 4+6+7=17.

Kita dapat memperbaiki biaya yang diperlukan pada kasus terburuk untuk n=8, dengan menanyakan bilangan "5" sebagai pertanyaan pertama kita.
Jika kita diberitahu bahwa bilangan tersembunyi yang ada adalah lebih besar dari 5, pertanyaan kedua kita akan menjadi "7", kemudian kita akan mengetahui berapakah bilangan tersembunyi yang ada [dengan total biaya sebesar 5+7=12].
Jika kita diberitahu bahwa bilangan tersembunyi yang ada kurang dari 5, maka pertanyaan kedua kita akan menjadi "3" dan jika bilangan tersembunyi yang ada kurang dari 3, pertanyaan ketiga kita akan menjadi "1", dan didapatkan total biaya sebesar 5+3+1=9.
Sejak 12>9, biaya yang diperlukan untuk kasus terburuk mengguanakan strategi ini adalah 12. Hasil ini lebih baik dibandingkan dengan metode sebelumnya, yaitu dengan strategi "binary search"; strategi ini juga lebih baik atau sama dengan strategi lain yang ada.
Sehingga, pada kenyataannya, kita baru saja mendeskripsikan strategi optimal untuk n=8.

Misal C[n] adalah biaya pada kasus terburuk yang diperoleh dengan strategi paling optimal untuk n, seperti yang dijelaskan di atas.
Sehingga C[1] = 0, C[2] = 1, C[3] = 2 dan C[8] = 12.
Dengan cara yang sama, C[100] = 400 dan

Carilah

Answer: 92a3220ad5b17a562c039e6e93d6df90

Soal 329

Susan memiliki seekor katak prima.
Kataknya melompat-lompat di atas 500 buah persegi yang diberi angka dari 1 sampai 500. Ia hanya dapat melompat satu kotak ke sebelah kiri atau ke sebelah kanan, dengan peluang yang sama, dan ia tidak dapat melompat di luar batasan [1;500].
[Jika katak tersebut mendarat di kedua ujungnya, katak tersebut secara otomatis melompat ke kotak yang masih tersedia pada gerakan selanjutnya.]

Saat katak tersebut berada di persegi yang tertulis bilangan prima, ia akan mengeluarkan bunyi P [PRIME/PRIMA] dengan peluang 2/3 atau N [NOT PRIME/TIDAK PRIMA] dengan peluang 1/3 sebelum ia melompat ke persegi selanjutnya.
Saat ia berada di persegi yang tertulis bilangan bukan prima, ia akan mengeluarkan bunyi P dengan peluang 1/3 atau N dengan peluang 2/3 sebelum melompat ke persegi selanjutnya.

Diketahui bahwa katak dapat mulai melompat dari persegi manapun dengan peluang yang sama untuk setiap persegi, dan diberikan informasi bahwa Susan akan mendengarkan 15 bunyi pertama dari kataknya, berapakah peluang bahwa Susan akan mendengar barisan PPPPNNPPPNPPNPN?

Berikan jawaban Anda dalam bentuk pecahan p/q yang paling sederhana.

Answer: e392a8b1b053c83e68663e08456bb392

Soal 330

Sebuah barisan tak hingga bilangan real a[n] dinyatakan untuk semua bilangan bulat n sebagai berikut:

Sebagai contoh,

Carilah A[109] + B[109] dan berikan jawaban Anda yang telah di mod 77 777 777.

Answer: d385d3fe0995b48a782a91477525b154

Soal 331

N×N buah disk diletakkan pada papan permainan berbentuk persegi. setiap disk memiliki sisi hitam dan sisi putih.

Pada setiap langkah, Anda dapat memilih sebuah disk dan membalik semua disk yang terletak pada kolom dan baris yang sama dengan disk ini: sehingga 2×N-1 buah disk telah dibalik. Permainan berakhir saat semua disk menunjukkan sisi berwarna putih. Contoh berikut ini menunjukkan proses permainan pada papan berukuran 5×5.

Dapat dibuktikan bahwa 3 adalah jumlah langkah minimal untuk menyelesaikan permainan ini.

Disk yang terletak di pojok kiri bawah papan berukuran N×N memiliki koordinat [0,0];
disk yang terletak di pojok kanan bawah memiliki koordinat [N-1,0] dan disk di pojok kiri atas memiliki koordinat [0,N-1].

Misal CN adalah susunan disk pada papan dengan N×N buah disk yang memenuhi aturan berikut:
Sebuah disk pada posisi [x,y] memenuhi

Misal T[N] adalah jumlah minimal langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan permaian dimulai dari susunan CN atau 0 jika susunan CN tidak dapat diselesaikan.
Kita telah melihat bahwa T[5]=3. Anda juga diberikan informasi bahwa T[10]=29 dan T[1 000]=395253.

Carilah

Answer: b609ccc578e71db9de0524fff94e1b70

Soal 332

Sebuah segitiga bola adalah gambar yang dibentuk pada permukaan sebuah bola dengan tiga buah busur lingkaran besar yang saling berpotongan membentuk tiga titik.

Misal C[r] adalah bola dengan pusat [0,0,0] dan panjang jari-jari r.
Misal Z[r] adalah himpunan titik-titik pada permukaan C[r] dengan koordinat bilangan bulat.
Misal T[r] adalah himpunan segitiga bola dengan titik-titik yang merupakan anggota Z[r]. Segitiga bola lain, hasil pembentukan dari tiga titik yang berasal dari tiga buah busur lingkaran besar yang sama, adalah tidak di ikut sertakan pada T[r].
Misal A[r] adalah luas wilayah dari segitiga bola terkecil pada T[r].

Sebagai contoh A[14] adalah 3.294040 dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.

Carilah

Answer: c2ae53ebfb15db373cfe5d71078ea1ca

Soal 333

Semua bilangan bulat positif dapat dipartisi dengan suatu cara, sehingga setiap suku dari hasil bagi tersebut dapat dinyatakan sebagai 2ix3j, dimana i,j 0.

Kita hanya akan memperhatikan hasil partisi dimana tidak ada sukunya yang dapat membagi habis suku lain .
Sebagai contoh, partisi dari 17 = 2 + 6 + 9 = [21x30 + 21x31 + 20x32] tidak valid, karena 2 dapat membagi habis 6. Begitu juga partisi 17 = 16 + 1 = [24x30 + 20x30] karena 1 dapat membagi habis 16. Satu-satunya hasil partisi yang sah dari 17 adalah 8 + 9 = [23x30 + 20x32].

Banyak bilangan bulat yang memiliki lebih dari satu partisi yang sah, salah satunya adalah 11 yang memiliki dua hasil partisi.
11 = 2 + 9 = [21x30 + 20x32]
11 = 8 + 3 = [23x30 + 20x31]

Mari kita nyatakan P[n] sebagai banyaknya partisi yang sah dari n. Sebagai contoh, P[11] = 2.

Kita hanya akan memperhatikan bilangan bulat prima q yang memiliki satu buah partisi yang sah, seperti P[17].

Hasil penjumlahan dari bilangan prima q 1.
Saat ai mencapai bilangan bulat n, barisan akan berhenti. [Yaitu, saat yi=1.]
Dinyatakan f[k] = n.
Sebagai contoh, untuk k = 20:

1/20 2/19 3/18 = 1/6 2/5 3/4 4/3 5/2 6/1 = 6

Sehingga f[20] = 6.

Juga f[1] = 1, f[2] = 2, f[3] = 1 dan Σf[k3] = 118937 untuk 1 k 100.

Carilah Σf[k3] untuk 1 k 2×106.

Answer: 0e10bd111425ad8e1343ac79dac7bb0e

Soal 344

Salah satu variasi dari permainan dolar perak N.G. de Bruijn memiliki penjelasan sebagai berikut:

Pada potongan kertas memiliki banyak persegi, beberapa buah koin diletakkan, satu buah koin untuk setiap persegi. Namun hanya ada satu koin, yang disebut sebagai dolar perak, yang mempunyai nilai tertentu. Dua pemain memainkan permainan secara bergiliran. Pada setiap giliran seorang pemain diwajibkan untuk melakukan gerakan reguler atau sebuah gerakan spesial.

Sebuah gerakan reguler dilakukan dengan memilih satu buah koin, dan memindahkannya ke satu atau lebih persegi di sebelah kiri. Koin tidak dapat keluar dari kertas atau melompati koin lainnya.

Alternatif lain, seorang pemain dapat memilih untuk melakukan gerakan spesial, yaitu mengambil koin yang ada di paling kiri. Jika tidak ada gerakan reguler lagi yang bisa dilakukan, pemain harus mengambil koin yang ada di paling kiri.

Pemenangnya adalah pemain yang mengambil dolar perak.

Sebuah susunan kemenangan adalah susunan dari koin-koin pada kertas dimana pemain pertama pasti akan menang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain kedua.

Misal W[n,c] adalah banyaknya susunan kemenangan untuk sepotong kertas dengan n buah persegi, c buah koin yang tidak berarti dan sebuah dolar perak.

Anda diberikan informasi bahwa W[10,2] = 324 dan W[100,10] = 1514704946113500.

Carilah W[1 000 000, 100] modulo bilangan semiprima 1000 036 000 099 [= 1 000 003 · 1 000 033].

Answer: 38e7b980b38fcac89b3e267e328cd292

Soal 345

Kita nyatakan Jumlah Matriks dari suatu matriks sebagai hasil penjumlahan terbesar dari elemen-elemen matriks, dengan syarat hanya terdapat satu elemen yang dipilih di setiap baris dan kolomnya. Sebagai contoh, Jumlah Matriks dari matriks berikut ini sama dengan 3315 [ = 863 + 383 + 343 + 959 + 767]:

7 53 183 439 863
497 383 563 79 973
287 63 343 169 583
627 343 773 959 943
767 473 103 699 303

Carilah Jumlah Matriks dari:

7 53 183 439 863 497 383 563 79 973 287 63 343 169 583
627 343 773 959 943 767 473 103 699 303 957 703 583 639 913
447 283 463 29 23 487 463 993 119 883 327 493 423 159 743
217 623 3 399 853 407 103 983 89 463 290 516 212 462 350
960 376 682 962 300 780 486 502 912 800 250 346 172 812 350
870 456 192 162 593 473 915 45 989 873 823 965 425 329 803
973 965 905 919 133 673 665 235 509 613 673 815 165 992 326
322 148 972 962 286 255 941 541 265 323 925 281 601 95 973
445 721 11 525 473 65 511 164 138 672 18 428 154 448 848
414 456 310 312 798 104 566 520 302 248 694 976 430 392 198
184 829 373 181 631 101 969 613 840 740 778 458 284 760 390
821 461 843 513 17 901 711 993 293 157 274 94 192 156 574
34 124 4 878 450 476 712 914 838 669 875 299 823 329 699
815 559 813 459 522 788 168 586 966 232 308 833 251 631 107
813 883 451 509 615 77 281 613 459 205 380 274 302 35 805

Answer: cf3b784c8593890043b17e24088125d4

Soal 346

Bilangan 7 adalah sebuah bilangan yang spesial, karena 7 adalah 111 jika di tulis di basis 2, dan 11 jika ditulis di basis 6
[i.e. 710 = 116 = 1112]. Atau dengan kata lain, 7 adalah sebuah bilangan berulang pada setidaknya dua buah basis b > 1.

Kita akan menyebut bilangan bulat positif yang memiliki sifat ini sebagai bilangan berulang kuat. Dapat dibuktikan bahwa terdapat 8 buah bilangan berulang kuat kurang dari 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}.
Lebih lanjut lagi, hasil penjumlahan dari semua bilangan berulang kuat kurang dari 1000 sama dengan 15864.

Carilah jumlah dari semua bilangan berulang kuat kurang dari 1012.

Answer: a17874b5a9ec9d7fc8c6489ab8ff29b9

Soal 347

Bilangan bulat terbesar 100 yang habis dibagi hanya oleh bilangan prima 2 dan 3 adalah 96, karena 96=32*3=25*3. Untuk dua bilangan prima berbeda p dan q, kita misalkan M[p,q,N] adalah bilangan bulat positif terbesar N yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima p dan q, dan M[p,q,N]=0 jika tidak ada bilangan bulat positif yang memenuhi sifat di atas.

Sebagai contoh M[2,3,100]=96.
M[3,5,100]=75 dan bukan 90, karena 90 habis dibagi oleh 2 ,3 dan 5.
Juga M[2,73,100]=0 karena tidak terdapat bilangan bulat positif 100 yang habis dibagi oleh 2 dan 73.

Misal S[N] adalah hasil penjumlahan semua hasil M[p,q,N] berbeda. S[100]=2262.

Carilah S[10 000 000].

Answer: 96ce0eabcbe7a2b2eb1197a1bcc5d37b

Soal 348

Banyak bilangan dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan dari sebuah bilangan kuadrat dan sebuah bilangan kubik. Beberapa dari mereka dapat dituliskan dengan leibh dari satu cara.

Perhatikan bahwa terdapat suatu bilangan palindrom yang juga dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan dari sebuah bilangan kuadrat dan sebuah bilangan kubik, yang kedua bilangan tersebut lebih besar dari 1, dengan persis 4 buah cara.
Sebagai contoh, 5229225 adalah sebuah bilangan palindrom, dan dapat dituliskan persis dengan 4 buah cara berbeda:

22852 + 203
22232 + 663
18102 + 1253
11972 + 1563

Carilah hasil penjumlahan dari lima buah bilangan palindrom terkecil yang memiliki sifat seperti di atas.

Answer: f286f9159fc20aeb97a8bf8396ba64de

Soal 349

Seekor semut bergerak di suatu kotak-kotak persegi yang diwarnai hitam atau putih.
Semut tersebutr selalu menghadap ke salah satu dari arah-arah utama [kiri, kanan, atas atau bawah] dan bergerak dari satu persegi ke persegi lain yang bersebelahan sesuai dengan aturan berikut:
- jika semut tersebut berada pada persegi hitam, maka ia akan mengganti warna persegi tersebut menjadi putih, berputar 90 derajat berlawanan arah jarum jam, dan bergerak maju satu kotak.
- jika semut tersebut berada pada persegi putih, maka ia akan mengganti warna persegi tersebut menjadi hitam, berputar 90 derajat searah jarum jam, dan bergerak maju satu langkah.

Dimulai dengan daerah kotak-kotak yang semuanya bewarna putih, berapa banyak persegi yang bewarna hitam setelah 1018 langkah dari semut tersebut?

Answer: 412b0faec10b3adb415363d2df26530d

Soal 350

Sebuah daftar dengan ukuran n adalah barisan n buah bilangan asli.
Contohnya adalah [2,4,6], [2,6,4], [10,6,15,6], dan [11].

Faktor persekutuan terbesar [greatest common divisor], atau gcd dari suatu daftar adalah bilangan asli terbesar yang dapat membagi semua bilangan pada daftar.
Examples: gcd[2,6,4] = 2, gcd[10,6,15,6] = 1 dan gcd[11] = 11.

Kelipatan persekutuan terkecil [least common multiple], atau lcm dari suatu daftar adalah bilangan asli terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua bilangan pada daftar.
Examples: lcm[2,6,4] = 12, lcm[10,6,15,6] = 30 dan lcm[11] = 11.

Misal f[G, L, N] adalah banyaknya daftar dengan ukuran N yang memiliki gcd G dan lcm L. Sebagai contoh:

f[10, 100, 1] = 91.
f[10, 100, 2] = 327.
f[10, 100, 3] = 1135.
f[10, 100, 1000] mod 1014 = 3286053.

Carilah f[106, 1012, 1018] mod 1014.

Answer: cad3ce6a252568bbcb41ca627d7e58ae

Soal 351

Sebuah taman segi enam dengan orde n dibentuk dari kumpulan titik-titik yang dapat membentuk segitiga-segitiga kecil yang berada di dalam segi enam dengan panjang sisi n. Berikut in adalah sebuah contoh dari taman segi enam dengan orde 5:

Titik yang diberi tanda hijau adalah titik yang tidak dapat terlihat dari titik tengah, karena terhalang oleh titik lain yang lebih dekat dengan titik tengah. Dapat kita lihat bahwa untuk taman segi enam denagn orde 5, 30 titik tidak dapat terlihat dari titik tengah.

Misalkan H[n] adalah banyaknya titik yang tersembunyi dari titik tengah taman segi enam dengan orde n.

H[5] = 30. H[10] = 138. H[1 000] = 1177848.

Carilah H[100 000 000].

Answer: 338481092e945257756075a8d03978fd

Soal 352

Setiap satu dari 25 domba pada suatu kawanan harus di uji dari suatu virus langka, yang diketahui menginfeksi 2% dari populasi domba. Sebuah metode test PCR yang akurat dan sangat sensitif dapat dilakukan kepada sampel darah, yang dapat mengeluarkan hasil tes positif / negatif dengan jelas, namun proses ini sangat memakan waktu dan mahal.

Karena harga yang tinggi, sang dokter hewan yang sedang bertugas menyarankan dibanding melakukan 25 tes terpisah, kita dapat menggunakan prosedur berikut:

Domba-domba dibagi menjadi 5 kelompok berisi 5 domba di setiap kelompok. Untuk setiap kelompok, 5 sampel darah dicampur bersama, kemudian sebuah tes dilakukan. Kemudian,

• Jika hasil tes adalah negatif, maka semua domba di kelompok tersebut dipastikan bebas virus.
• Jika hasil tes adalah positif, 5 tes tambahan akan dilakukan [tes terpisah untuk setiap ekor domba] untuk menentukan domba mana yang terkena virus.

Semenjak peluang seekor hewan terkena virus sangat spesifik, yaitu hanya 0.02, tes pertama [pada sampel darah yang dikumpulkan] pada setiap kelompoknya akan menjadi:

• Negatif [dan tidak ada lagi tes yang perlu dilakukan] dengan peluang 0.985 = 0.9039207968.
• Positif [5 tes tambahan perlu dilakukan] dengan peluang 1 - 0.9039207968 = 0.0960792032.

Sehingga, nilai perkiraan [expected number] dari hasil tes untuk setiap kelompok adalah 1 + 0.0960792032 × 5 = 1.480396016.
Dampaknya, kelima kelompok dapat diperiksa menggunakan rata-rata hanya 1.480396016 × 5 = 7.40198008 kali tes, dimana hasil tersebut menggambarkan penghematan besar, yaitu lebih dari 70% !

Walaupun metode yang baru saja dijelaskan terlihat sangat efisien, metode tersebut masih bisa sangat disempurnakan [selalu asumsikan bahwa hasil test cukup sensitif, dan tidak ada efek merugikan yang dihasilkan oleh pencampuran sampel darah]. Sebagai contoh:

• Kita dapat memulai dengan mencampurkan ke-25 sampel darah dan melakukan tes pada campuran tersebut. Dapat dibuktikan bahwa terdapat sekitar 60.35% kemungkinan tes ini akan mengeluarkan hasil negatif, sehingga tidak perlu lagi ada tes dibutuhkan. Tes selanjutnya hanya diperlukan oleh 39.65% kemungkinan lainnya.
• Jika kita mengetahui informasi setidaknya satu ekor hewan dalam setiap kelompok berisi 5 ekor hewan terinfeksi, dan hasil tes 4 ekor hewan pertama mengeluarkan hasil negatif, kita tidak lagi perlu melakukan tes untuk hewan ke lima [kita tahu bahwa hewan tersebut pasti terinfeksi].
• Kita dapat mencoba mengelompokkan domba dengan banyak kelompok yang berbeda / banyak hewan yang berbeda di setiap kelompoknya, menyesuaikan angka-angka tersebut pada setiap level tes sehingga jumlah nilai perkiraan percobaan [expected number] dari tes akan berkurang.

Untuk menyederhanakan berbagai macam kemungkinan yang ada, terdapat satu syarat yang harus kita ikuti saat menentukan skema tes yang paling efisien: Saat kita memulai dengan sampel darah campuran, semua domba yang darahnya ikut masuk dalam sampel tersebut harus sepenuhnya diperiksa [sehingga kesimpulan terinfeksi / bebas virus harus dimiliki oleh semua domba] sebelum kita meneliti hewan lainnya.

Menggunakan strategi optimal, misal T[s,p] menyatakan rata-rata jumlah tes yang diperlukan untuk mengetahui kondisi kawanan berisi s ekor domba, dengan kemungkinan terkena virus p untuk setiap ekor domba.
Sehingga, jika dibulatkan hingga enam angka di belakang koma, T[25, 0.02] = 4.155452 dan T[25, 0.10] = 12.702124.

Carilah ΣT[10000, p] untuk p=0.01, 0.02, 0.03, ... 0.50.
Berikan jawaban Anda yang dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.

Answer: 2e74b2fb574d6318cdbf2a41ad006de7

Soal 353

Sebuah bulan dapat digambarkan dengan bola C[r] yang berpusat di [0,0,0] dan memiliki panjang jari-jari r.

Terdapat stasiun di bulan pada suatu titik di permukaan C[r] yang memiliki koordinat berupa bilangan bulat. Stasiun pada [0,0,r] disebut sebagai stasiun Kutub Utara, stasiun pada [0,0,-r] disebut stasiun Kutub Selatan.

Semua stasiun dihubungkan satu sama lain melalui jalan terpendek pada permukaan bulan melalui stasiun-stasiun lain. Sebuah perjalanan antara dua stasiun adalah beresiko. Jika d adalah panjang jalan antara dua stasiun, [d/[π r]]2 adalah tingkat resiko dari perjalanan [mari kita sebut ini sebagai resiko perjalanan]. Jika perjalanan melibatkan lebih dari dua stasiun, resiko perjalanan didapat dari hasil penjumlahan resiko pada jalan-jalan yang digunakan.

Perjalanan langsung dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan memiliki jarak πr dan resiko 1. Perjalanan dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan melalui [0,r,0] memiliki panjang yang sama, namun resiko yang elbih kecil: [½πr/[πr]]2+[½πr/[πr]]2=0.5.

Resiko terkecil perjalanan dari stasiun Kutub Utara ke stasiun Kutub Selatan pada C[r] adalah M[r].

Anda diberikan informasi bahwa M[7]=0.1784943998 dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma.

Carilah M[2n-1] untuk 1n15.

Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma dengan format a.bcdefghijk.

Answer: 211b5626459be71baefc78478d18bdc3

Soal 354

Misalkan terdapat sarang madu dari lebah madu, dimana setiap sel adalah sebuah segi enam sempurna dengan panjang sisi 1.

Satu buah sel ditempati oleh ratu lebah.
Untuk bilangan real positif L, misal B[L] adalah banyaknya sel yang dilalui dengan jarak L dari sel yang ditempati ratu lebah [semua jarak diukur dari pusat ke pusat]; Anda dapat mengasumsikan sarang madu yang ada cukup besar untuk mengakomodasi jarak berapapun yang ingin kita hitung.
Sebagai contoh, B[3] = 6, B[21] = 12 dan B[111 111 111] = 54.

Carilah banyaknya L 5·1011 yang menghasilkan B[L] = 450.

Answer: e36240897614dc46e83405ae8cdf198c

Soal 355

Dinyatakan Co[n] sebagai hasil penjumlahan maksimal yang mungkin dari himpunan bagian yang elemen-elemennya saling koprima dari {1,2,...,n}.
Sebagai contoh Co[10] adalah 30 dan mencapai maksimum pada himpunan bagian {1,5,7,8,9}.

Anda diberikan informasi bahwa Co[30] = 193 dan Co[100] = 1356.

Carilah Co[200000].

Answer: 41cb97b6d02878d79f8b2e3b6c74920a

Soal 356

Misal an adalah akar real terbesar dari sebuah polinomial g[x] = x3 - 2n·x2 + n.
Sebagai contoh, a2 = 3.86619826...

Carilah delapan digit terakhir dari

Catatan:

Answer: ab2104e80fa7da630ce7fd835d8006ee

Soal 357

Perhatikan faktor-faktor dari 30: 1,2,3,5,6,10,15,30.
Dapat terlihat bahwa untuk setiap faktor d dari 30, d+30/d adalah bilangan prima.

Carilah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif n yang tidak melebihi 100 000 000
sehingga untuk setiap faktor d dari n, d+n/d adalah bilangan prima.

Answer: ed25b13b18a21c1077fed00ef42f503b

Soal 358

Sebuah bilangan siklik dengan n buah digit memiliki sifat yang menarik:
Saat bilangan tersebut dikalikan dengan 1, 2, 3, 4, ... n, semua hasil kalinya memiliki digit-digit yang sama, dengan urutan yang sama, namun perlu dirotasi memutar!

Bilangan siklik 6 digit terkecil 142857 :
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Bilangan siklik selanjutnya adalah 0588235294117647 dengan 16 buah digit :
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Perlu diingat bahwa untuk bilangan siklik, angka nol di depan adalah penting.

Hanya terdapat satu buah bilangan siklik, dimana sebelas digit paling kirinya adalah 00000000137 dan lima digit paling kanannya adalah 56789 [sehingga, bilangan ini mempunyai bentuk 00000000137...56789 dengan bilangan yang tidak diketahui di tengahnya]. Carilah hasil penjumlahan darn semua digit-digitnya.

Answer: 359e1ec8aeaa3932b54f2a5d20fa4f73

Soal 359

Sebanyak tak terhingga orang [diberi nomor 1, 2, 3, dst.] berbaris untuk mendapatkan kamar di hotel tak terhingga terbaru Hilbert. Hotel tersebut terdiri dari tak terhingga lantai [diberi nomor 1, 2, 3, dst.], dan pada setiap lantai terdapat tak terhingga buah kamar [diberi nomor 1, 2, 3, dst.].

Mula-mulanya hotel tersebut masih kosong. Hilbert menyatakan sebuah peraturan tentang bagaimana orang ke-n bisa mendapatkan sebuah kamar: orang ke-n akan mendapatkan kamar kosong pertama di lantai terbawah dengan memenuhi salah satu kondisi berikut ini:

• kamar di lantai tersebut kosong
• kamar di lantai tersebut tidak kosong, dan jika orang terakhir yang mengambil kamar di lantai tersebut adalah orang ke-m, maka m + n haruslah bilangan kuadrat sempurna

Orang ke-1 mendapatkan kamar 1 di lantai 1 karena lantai 1 masih kosong.
Orang ke-2 tidak mendapatkan kamar 2 di lantai 1 karena 1 + 2 = 3 bukanlah kuadrat sempurna.
Orang ke-2 malah mendapatkan kamar 1 di lantai 2 karena lantai 2 masih kosong.
Orang ke-3 mendapatkan kamar 2 di lantai 1 karena 1 + 3 = 4 adalah bilangan kuadrat.

Dan pada akhirnya, setiap orang di antrian akan mendapatkan sebuah kamar di hotel.

Dinyatakan P[f, r] adalah n apabila orang ke-n menempati ruang r pada lantai f, dan 0 jika tidak ada orang yang menempati ruangan tersebut. Berikut ini adalah beberapa contohnya:
P[1, 1] = 1
P[1, 2] = 3
P[2, 1] = 2
P[10, 20] = 440
P[25, 75] = 4863
P[99, 100] = 19454

Carilah hasil penjumlahan dari semua P[f, r] untuk semua bilangan positif f dan r sehingga f × r = 71328803586048 dan berikan 8 digit terakhir dari jawaban Anda.

Answer: 91525a22396940a99c496efcb75f2eee

Soal 360

Diberikan dua titik [x1,y1,z1] dan [x2,y2,z2] pada ruang tiga dimensi, jarak Manhattan antara kedua titik tersebut dinyatakan dengan
|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.

Misal C[r] adalah bola dengan panjang jari-jari r dan berpusat di titik origin O[0,0,0].
Misal I[r] adalah himpunan dari semua titik-titk yang memiliki koordinat bilangan bulat pada permukaan C[r].
Misal S[r] adalah hasil penjumlahan jarak Manhattan dari semua elemen dari I[r] dengan titik origin O.

Sehingga S[45]=34518.

Carilah S[1010].

Answer: 82ec91527315eafb7e3acc139eeeb8eb

Soal 361

Barisan Thue-Morse {Tn} adalah sebuah barisan biner yang memenuhi:

• T0 = 0
• T2n = Tn
• T2n+1 = 1 - Tn

Beberapa suku pertama dari {Tn} adalah sebagai berikut:
01101001100101101001011001101001....

Kita akan menyatakan {An} sebagai barisan bilangan bulat berurutan yang didapat dari ekspresi biner dari setiap elemen yang muncul dari sub barisan di {Tn}.
Sebagai contoh, bilangan desimal 18 dapat dinyatakan sebagai 10010 di dalam bilangan biner. 10010 muncul di {Tn} [T8 hingga T12], sehingga 18 adalah elemen dari {An}.
Bilangan desimal 14 dituliskan sebagai 1110 dalam biner. 1110 tidak pernah muncul di {Tn}, sehingga 14 bukanlah elemen dari {An}.

Beberapa suku pertama dari An adalah sebagai berikut:

Kita juga dapat membuktikan bahwa A100 = 3251 dan A1000 = 80852364498.

Carilah 9 digit terakhir dari

Answer: 6540278145900f1fa45b95cc2f9599f1

Soal 362

Perhatikan bilangan 54.
54 dapat difaktorkan dengan 7 cara berbeda menjadi satu atau lebih faktor yang lebih besar dari 1:
54, 2×27, 3×18, 6×9, 3×3×6, 2×3×9 dan 2×3×3×3.
Jika kita mengumpulkan faktor-faktor yang merupakan bilangan bukan kuadrat, maka hanya dua cara yang tersisa: 3×3×6 dan 2×3×3×3.

Kita akan menyebut Fsf[n] sebagai banyaknya cara bilangan n dapat difaktorkan menggunakan faktor-faktor bukan kuadrat yang lebih besar dari 1, sehingga Fsf[54]=2.

Misal S[n] adalah Fsf[k] untuk k=2 sampai n.

S[100]=193.

Carilah S[10 000 000 000].

Answer: b62f0d524bec8653ba7b8a2cab70260b

Soal 363

Sebuah kurva Bézier kubik dibentuk dengan empat titik: P0, P1, P2 dan P3.

Kurva dibangun dengan cara sebagai berikut:
Pada segmen garis P0P1, P1P2 dan P2P3 titik Q0,Q1 dan Q2 digambarkan sehingga
P0Q0 / P0P1 = P1Q1 / P1P2 = P2Q2 / P2P3 = t [t pada [0,1]].
Pada segmen garis Q0Q1 dan Q1Q2 titik R0 dan R1 digambarkan sehingga
Q0R0 / Q0Q1 = Q1R1 / Q1Q2 = t untuk nilai t yang sama.
Pada segmen garis R0R1 titik B digambarkan sehingga that R0B / R0R1 = t untuk nilai t yang sama.
Kurva Bézier yang dinyatakan oleh titik P0, P1, P2, P3 adalah tempat kedudukan [locus] dari titik B saat Q0 menempati semua posisi yang mungkin dari segmen P0P1.
[Mohon diingat bahwa untuk semua titik, nilai t adalah sama.]

Di alamat website [eksternal] ini Anda akan menemukan applet yang akan menggambarkan cara untuk menggambari titik P0, P1, P2 dan P3 untuk melihat bagaimana cara menggambarkan kurva Bézier [kurva hijau] yang dibentuk dari titik-titik tersebut. Anda juga dapat menggeser titik Q0 sepanjang segmen P0P1.

Dari hasil penggambaran tersebut jelas bahwa kurva Bézier adalah persinggungan segmen P0P1 di P0 dan P2P3 pada P3.

Sebuah kuva Bézier kubik dengan P0=[1,0], P1=[1,v], P2=[v,1] dan P3=[0,1] digunakan untuk memperkirakan seperempat lingkaran.
Nilai v > 0 dipilih sehingga luas yang dibatasi oleh garis OP0, OP3 dan kurva sama dengan π/4 [luas seperempat lingkaran].

Answer: 2bc63386b7cccc64c67f90e719936143

Soal 364

Terdapat N buah bangku pada satu baris. Kemudian akan ada N orang yang datang untuk mengisi bangku-bangku tersebut dengan aturan sebagai berikut:

1. Jika terdapat sebuah bangku yang kedua bangku di sebelahnya kosong, maka bangku tersebut akan ditempati.
2. Jika tidak terdapat bangku seperti itu, dan hanya terdapat bangku yang hanya salah satu sebelahnya yang diisi, maka bangku teresbut akan ditempati.
3. Jika tidak, hanya terdapat pilihan untuk menempati bangku yang masih tersisa.

Kita dapat membuktikan bahwa T[10] = 61632 dan T[1 000] mod 100 000 007 = 47255094.

Carilah T[1 000 000] mod 100 000 007.

Answer: d631977573d415a4766de9e6bd388cca

Soal 365

Koefisien binomial C[1018,109] adalah sebuah bilangan dengan lebih dari 9 milyar [9×109] digit.

Misal M[n,k,m] menyatakan koefisien binomial C[n,k] modulo m.

Hitunglah M[1018,109,p*q*r] untuk 1000 3.

Misal Un adalah himpunan {s1, s2, ..., sn}. Sebagai contoh, U10 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41}.
Misal f[n] adalah banyaknya himpunan bagian dari Un yang akan membentuk setidaknya satu buah poligon.
Sebagai contoh, f[5] = 7, f[10] = 501 dan f[25] = 18635853.

Carilah 9 digit terakhir dari f[1018].

Answer: 56a121bcf3bb674d0d3ce561b6b24ea5

Soal 383

Misal f5[n] adalah bilangan bulat terbesar x dimana 5x habis membagi n.
Sebagai contoh, f5[625000] = 7.

Misal T5[n] adalah banyaknya bilangan bulat i yang memenuhi f5[[2·i-1]!] < 2·f5[i!] dan 1 i n.
Dapat dibuktikan bahwa T5[103] = 68 dan T5[109] = 2408210.

Carilah T5[1018].

Answer: c1bc7c945344e1967bfaced9ade895a0

Soal 384

Dinyatakan barisan a[n] sebagai banyaknya pasangan dua buah angka satu yang bersebelahan, pada penjabaran biner dari n [setiap angka satu dapat digunakan berkali-kali].
Sebagai contoh: a[5] = a[1012] = 0, a[6] = a[1102] = 1, a[7] = a[1112] = 2

Dinyatakan barisan b[n] = [-1]a[n].
Barisan ini disebut sebagai barisan Rudin-Shapiro.

Perhatikan juga barisan dari hasil penjumlahan b[n]:

Beberapa pasangan pertama dari barisan ini adalah:
n   0   1   2   3   4   5   6   7
a[n]   0   0   0   1   0   0   1   2
b[n]   1   1   1   -1   1   1   -1   1
s[n]   1   2   3   2   3   4   3   4

Barisan s[n] memiliki sifat luar biasa, yaitu semua elemennya adalah bilangan positif, dan semua bilangan bulat positif k muncul persis k kali.

Dinyatakan g[t,c], dengan 1 c t, sebagai indeks pada s[n] dimana angka t muncul untuk ke c-kalinya pada s[n].
Sebagai contoh: g[3,3] = 6, g[4,2] = 7 dan g[54321,12345] = 1220847710.

Misal F[n] adalah barisan fibonacci yang dinyatakan oleh:
F[0]=F[1]=1 dan
F[n]=F[n-1]+F[n-2] untuk n>1.

Dinyatakan GF[t]=g[F[t],F[t-1]].

Carilah ΣGF[t] untuk 2t45.

Answer: ea0bb1fff1a51b48971762b93aeed103

Soal 385

Untuk setiap segitiga T pada suatu bidang datar, dapat ditunjukkan bahwa terdapat elips unik dengan luas terbesar yang semua bagian elipsnya berada di dalam T.

Untuk nilai n yang diketahui, segitiga T akan memiliki ketentuan:
- titik sudut dari T mempunyai koordinat berupa bilangan bulat dengan nilai absolut n, dan
- titik foci1 dari elips yang memiliki luas terbesar di dalam T adalah [13,0] dan [-13,0].
Misal A[n] adalah hasil penjumlahan dari luas semua segitiga seperti ini.

Sebagai contoh, jika n = 8, terdapat dua buah segitiga seperti ini. Titik-titik sudutnya adalah [-4,-3],[-4,3],[8,0] dan [4,3],[4,-3],[-8,0], dan luas dari setiap segitiga adalah 36. Sehingga A[8] = 36 + 36 = 72.

Dapat dibuktikan bahwa A[10] = 252, A[100] = 34632 dan A[1000] = 3529008.

Carilah A[1 000 000 000].

1Titik foci [atau dapat disebut titik fokus] dari sebuah elips adalah dua titik A dan B, sehingga setiap titik P pada keliling elips akan memiliki nilai AP + PB yang konstan.

Answer: a21c033d9e119c293e51966ea78c9950

Soal 386

Misal n adalah sebuah bilangan bulat dan S[n] adalah himpunan faktor dari n.

Sebuah himpunan bagian A dari S[n] disebut sebagi sebuah anti rantai dari S[n] jika A berisi hanya satu elemen, atau jika tidak ada elemen dari A yang dapat membagi habis elemen lainnya di A.

Sebagai contoh: S[30] = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
{2, 5, 6} bukanlah anti rantai dari S[30].
{2, 3, 5} adalah anti rantai dari S[30].

Misal N[n] adalah banyaknya anggota maksimum dari anti rantai S[n].

Carilah ΣN[n] untuk 1 n 108

Answer: d1d893f7c50910aa10daec5e9352e86d

Soal 387

Sebuah bilangan Harshad atau bilangan Niven adalah sebuah bilangan yang habis dibagi oleh hasil penjumlahan digit-digitnya.
201 adalah sebuah bilangan Harshad, karena bilangan ini habis dibagi 3 [yang merupakan hasil penjumlahan digit-digitnya.]
Saat kita memotong digit terakhir dari 201, kita dapatkan 20, yang juga merupakan bilangan Harshad.
Saat kita memotong digit terakhir dari 20, kita dapatkan 2, yang juga merupakan bilangan Harshad.
Mari kita sebut bilangan Harshad, yang saat digit terakhirnya terus menerus dipotong, masih selalu menghasilkan sebuah bilangan Harshad sebagai bilangan Harshad yang dapat dipotong sebelah kanan.

Juga:
201/3=67 dimana bilangan ini merupakan bilangan prima.
Mari kita sebut bilangan Harshad, yang saat dibagi oleh hasil penjumlahan digit-digitnya, akan menghasilkan bilangan prima sebagai bilangan Harshad kuat.

Sekarang perhatikan bilangan 2011 yang merupakan sebuah bilangan prima.
Saat kita memotong digit terakhir darinya kita akan mendapatkan 201, sebuah bilangan Harshad kuat dan juga bilangan Harshad yang dapat dipotong di sebelah kanan.
Mari kita sebut bilangan prima seperti ini sebagai bilangan prima Harshad kuat dan dapat dipotong sebelah kanan.

Diketahui hasil penjumlahan dari semua bilangan prima Harshad kuat dan dapat dipotong sebelah kanan kurang dari 10000 adalah 90619.

Carilah hasil penjumlahan dari semua bilangan prima Harshad kuat dan dapat dipotong sebelah kanan kurang dari 1014.

Answer: a20cbd8639767decfa2c2c9955eb6be3

Soal 388

Perhatikan semua titik dengan koordinat bilangan bulat[a,b,c] dengan 0 a,b,c N.

Dari titik origin O[0,0,0], semua garis digambarkan menuju titik lain.
Misal D[N] adalah banyaknya garis berbeda yang digambarkan.

Diketahui bahwa D[1 000 000] = 831909254469114121.

Carilah D[1010]. Berikan sembilan digit pertama dari jawaban Anda diikuti dengan 9 digit terakhir dari jawaban Anda.

Answer: 2bab886c7d98d802d9249c9e12d72c25

Soal 389

Sebuah dadu bersisi 4 dilemparkan dan mengeluarkan angka T, kemudian angka tersebut dicatat.
T buah dadu bersisi 6 dilemparkan dan nilai dari semua hasil lemparan ini dijumlahkan. Hasil penjumlahannya C kemudian dicatat.
C buah dadu bersisi 8 dilemparkan dan nilai dari semua hasil lemparan ini dijumlahkan. Hasil penjumlahannya O kemudian dicatat.
O buah dadu bersisi 12 dilemparkan dan nilai dari semua hasil lemparan ini dijumlahkan. Hasil penjumlahannya D kemudian dicatat.
D buah dadu bersisi 20 dilemparkan dan nilai dari semua hasil lemparan ini dijumlahkan. Hasil penjumlahannya I kemudian dicatat.
Carilah variance atau ragam dari I, dan berikan jawaban Anda yang telah dibulatkan hingga 4 angka di belakang koma.

Answer: 79a080d38b837547b975c97b44764dfb

Soal 390

Perhatikan segitiga dengan panjang sisi 5, 65 dan 68. Dapat ditunjukkan bahwa segitiga ini memiliki luas 9.

S[n] adalah hasil penjumlahan dari luas semua segitiga dengan panjang sisi [1+b2], [1+c2] dan [b2+c2] [untuk bilangan bulat positif b dan c ], yang memiliki luas berupa bilangan bulat dan tidak melebihi n.

Salah satu contoh segitiga yang memenuhi sifat di atas memiliki b=2 dan c=8.

S[106]=18018206.

Carilah S[1010].

Answer: ed7f2fbc05a2fd2033d80de671f35ea3

Soal 391

Misal sk adalah banyaknya angka 1 saat menulis bilangan-bilangan dari 0 sampai k dalam bentuk biner.
Sebagai contoh, jika kita menulis 0 sampai 5 dalam biner, maka kita dapatkan 0, 1, 10, 11, 100, 101. Terdapat tujuh buah angka 1, sehingga s5 = 7.
Barisan S = {sk : k 0} berisi {0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, ...}.

Sebuah permainan dimainkan oleh dua orang. Sebelum permainan dimulai, sebuah bilangan n dipilih. Sebuah penghitung [counter] c dimulai dari 0. Pada setiap giliran, pemain memilih sebuah angka antara 1 sampai n [1 dan n juga termasuk ke dalam pilihan] dan menambahkan c dengan angka tersebut. Hasil dari nilai c yang baru haruslah merupakan anggota S. Jika tidak ada lagi angka yang bisa dipilih yang memenuhi aturan ini, maka pemain tersebut kalah.

Sebagai contoh:
Misal n = 5. c dimulai dari 0.
Pemain 1 memilih angka 4, sehingga c menjadi 0 + 4 = 4.
Pemain 2 memilih angka 5, sehingga c menjadi 4 + 5 = 9.
Pemain 1 memilih angka 3, sehingga c menjadi 9 + 3 = 12.
dan seterusnya.
Perlu diingat bahwa nilai c harus selalu terdapat di S, dan setiap pemain dapat menambahkan nilai c paling banyak sebesar n.

Misal M[n] adalah bilangan tertinggi yang bisa dipilih oleh pemain pertama pada giliran pertama untuk memastikan kemenangan, dan M[n] = 0 jika tidak ada bilangan yang memungkinkan pemain pertama untuk menang. Sebagai contoh, M[2] = 2, M[7] = 1 dan M[20] = 4.

Diberikan Σ[M[n]]3 = 8150 untuk 1 n 20.

Carilah Σ[M[n]]3 untuk 1 n 1000.

Answer: b2947548d4f5c4878c5f788f9849e750

Soal 392

Sebuah kisi rectilinear adalah sebuah kisi ortogonal, dimana jarak antara dua buah garis kisinya tidak harus sama satu dengan yang lain.
Salah satu contoh kisi seperti ini adalah kertas grafik logaritmik [logarithmic graph paper].

Perhatikan kisi rectilinear pada sistem koordinat Kartesius, dengan sifat-sifat berikut:

• Garis-garis kisinya adalah sejajar dengan sumbu pada sistem koordinat Kartesius.
• Terdapat N+2 garis kisi vertikal dan N+2 garis kisi horizontal. Sehingga akan terdapat [N+1] x [N+1] buah sel persegi panjang.
• Persamaan dari dua garis kisi vertikal terluar adalah x = -1 dan x = 1.
• Persamaan dari garis kisi horizontal terluar adalah y = -1 dan y = 1.
• Sel persegi panjang akan diberi warna merah apabila ia bertumpukan dengan sebuah lingkaran satuan, selain itu sel persegi panjang akan diberi warna hitam.

Sebagai contoh, berikut ini adalah gambar solusi untuk N = 10:

Luas daerah yang dimiliki oleh sel bewarna merah untuk N = 10 dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma adalah 3.3469640797.

Carilah posisi garis-garis kisi untuk N = 400.
Sebagai jawaban Anda, berikan luas daerah yang dimiliki oleh sel bewarna merah dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma.

Answer: 3268b0bc489187db3d234c097040d909

Soal 393

Pada sebuah kisi berukuran n×n terdapat n2 ekor semut, satu semut pada setiap persegi di kisi tersebut.
Semua semut memutuskan untuk berpindah secara bersamaan ke persegi di sebelahnya [biasanya terdapat 4 kemungkinan arah, kecuali untuk semut yang berada di persegi-persegi pojok].
Kita nyatakan f[n] sebagai banyaknya cara hal ini dapat terjadi tanpa ada satu semutpun yang masih berada di kotak yang sama, dan tanpa ada dua semut yang melintasi sisi persegi yang sama.

Diketahui f[4] = 88.
Carilah f[10].

Answer: 58e4990838fb3d1725872da30f9db748

Soal 394

Jeff memakan sebuah kue pai dengan cara yang tidak biasa.
Kue pai tersebut berbetuk lingkaran. Ia memulai dengan membuat sebuah potongan pertama pada kue pai sepanjang jari-jari lingkaran.
Saat terdapat F bagian dari kue pai yang masih tersisa, ia melakukan prosedur berikut ini:
- Ia membuat dua buah potongan dari pusat kue pai ke titik manapun di pinggir kue pai yang masih tersisa, semua titik pada keliling kue pai memiliki peluang yang sama untuk dipilih. Dan potongan ini akan membagi kue pai yang masih tersisa menjadi tiga bagian.
- Berlawanan arah jarum jam dari potongan pertama, ia mengambil dua potongan kue pai pertama dan memakannya.
Saat terdapat sisa kue pai kurang dari F bagian, ia tidak melakukan prosedur di atas lagi. Melainkan, ia akan memakan semua kue pai yang masih tersisa.

Untuk x 1, misal E[x] adalah nilai harapan [expected number] dari banyaknya prosedur di atas diulang oleh Jeff dengan F = 1/x.
Dapat dibuktikan bahwa E[1] = 1, E[2] 1.2676536759, dan E[7.5] 2.1215732071.

Carilah E[40] dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma.

Answer: f8ad575e1a03365a60b6429c3b7a64df

Soal 395

Pohon Pythagoras adalah sebuah fractal yang dibuat dengan prosedur sebagai berikut:

Dimulai dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1. Kemudian, kemudian salah satu sisi akan disebut sebagai alas [pada animasi, sisi sebelah bawah persegi adalah alasnya]:

1. Tempelkan sebuah segitiga siku-siku ke sisi yang ada di seberang alas, dengan hipotenusa segitiga berhimpit dengan sisi tersebut, dan dengan perbandingan sisi segitiga 3-4-5. Perlu diingat bahwa sisi yang lebih pendek dari segitiga harus ada di bagian 'kanan' dari alas persegi [perhatikan animasi].
2. Tempelkan sebuah persegi ke setiap kaki-kaki dari segitiga siku-siku, dengan satu dari sisi persegi tersebut berhimpit dengan kaki segitiga tersebut.
3. Ulangi prosedur ini untuk kedua buah persegi, yang dianggap sebagai alas kedua persegi yang baru adalah sisi yang menempel dengan segitiga.

Dapat ditunjukkan bahwa terdapat setidaknya satu buah persegi, yang sisinya sejajar dengan persegi paling besar pada pohon Pythagoras, dimana persegi tersebut akan menutup pohon Pythagoras dengan sempurna.

Carilah kemungkinan luas terkecil untuk persegi penutup tersebut, dan berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma.

Answer: 505048b0c619161d05b9b3e492f3edc3

Soal 396

Untuk setiap bilangan bulat positif n, barisan Goodstein lemah ke-n {g1, g2, g3, ...} dinyatakan dengan:

• g1 = n
• untuk k > 1, gk didapatkan dengan cara menuliskan gk-1 dalam basis k, kemudian mengubahnya menjadi bilangan basis k + 1, dan menguranginya dengan 1.

Sebagai contoh, barisan Goodstein lemah ke-6 adalah {6, 11, 17, 25, ...}:

• g1 = 6.
• g2 = 11 karena 6 = 1102, 1103 = 12, dan 12 - 1 = 11.
• g3 = 17 karena 11 = 1023, 1024 = 18, dan 18 - 1 = 17.
• g4 = 25 karena 17 = 1014, 1015 = 26, dan 26 - 1 = 25.

Dapat ditunjukkan bahwa semua barisan Goodstein lemah pasti akan berhenti.

Misal G[n] adalah banyaknya elemen tidak nol pada barisan Goodstein lemah ke-n.
Dapat dibuktikan bahwa G[2] = 3, G[4] = 21 dan G[6] = 381.
Dapat juga dibuktikan bahwa ΣG[n] = 2517 untuk 1 n < 8.

Carilah 9 digit terakhir dari ΣG[n] untuk 1 n < 16.

Answer: 4665c73fdca473ccc0643fc982f24e06

Soal 397

Pada parabola y = x2/k, dipilih tiga buah titik A[a, a2/k], B[b, b2/k] dan C[c, c2/k].

Misal F[K, X] adalah banyaknya pasangan bilangan bulat [k, a, b, c], sehingga setidaknya salah satu sudut dari segitiga ABC adalah 45-derajat, dengan 1 k K dan -X a < b < c X.

Sebagai contoh, F[1, 10] = 41 and F[10, 100] = 12492.
Carilah F[106, 109].

Answer: 07f769df9543bc05e6318878c34d074d

Soal 398

Pada sebuah tali dengan panjang n, n-1 buah titik diletakkan dengan jarak 1 antar titik dimulai dari ujung tali. Antara titik-titik tersebut, kita akan memilih m-1 buah titik secara acak, dan memotong tali tersebut pada titik=titik yang ada untuk membuat m buah potongan tali.

Misal E[n, m] adalah panjang perkiraan [expected length] dari potongan tali yang kedua terpendek.
Sebagai contoh, E[3, 2] = 2 dan E[8, 3] = 16/7.
Perlu diingat bahwa jika terdapat lebih dari satu buah potongan tali yang memiliki panjang yang sama dengan tali terpendek, maka panjang tali yang terpendek kedua adalah panjang tali yang terpendek.

Carilah E[107, 100].
berikah jawaban Anda dibulatkan hingga 5 angka di belakang koma.

Answer: fa0a25d62fa225e05fd8736713a9bfc0

Soal 399

15 bilangan fibonacci pertama adalah:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610.
Dapat terlihat bahwa 8 dan 144 bukanlah bilangan squarefree: 8 habis dibagi oleh 4 dan 144 habis dibagi oleh 4 dan oleh 9.
Sehingga 13 bilangan fibonacci squarefree pertama adalah:
1,1,2,3,5,13,21,34,55,89,233,377 and 610.

Bilangan fibonacci squarefree ke-200 adalah: 971183874599339129547649988289594072811608739584170445.
Enam belas digit terakhir dari bilangan ini adalah: 1608739584170445 dan dalam notasi ilmiah, bilangan ini dapat ditulis sebagai 9.7e53.

Carilah bilangan fibonacci squarefree ke-100 000 000.
Berikan jawaban Anda berupa enam belas digit terakhirnya, diikuti oleh sebuah tanda koma, diikuti oleh bilangan tersebut yang ditulis dalam notasi ilmiah [dibulatkan hingga satu angka di belakang koma].
Untuk bilangan fibonacci squarefree ke-200, jawabannya akan menjadi: 1608739584170445,9.7e53

Catatan:
Untuk permasalahan ini, asumsikan untuk setiap bilangan prima p, bilangan fibonacci pertama yang habis dibagi oleh p tidak habis dibagi oleh p2 [ini merupakan bagian dari dugaan Wall]. Dugaan ini telah dibuktikan untuk bilangan prima 3·1015, namun belum dapat dibuktikan secara umum.
Jika ternyata dugaan tersebut adalah salah, maka jawaban yang diterima oleh soal ini tidak dijamin sebagai bilangan fibonacci squarefree ke-100 000 000, tetapi jawaban soal ini hanya menyatakan batas bawah dari bilangan tersebut.

Answer: a0819cfe3be6a04645b8d4fe2345e184

Soal 400

Sebuah pohon Fibonacci adalah sebuah pohon biner yang secara rekursif dinyatakan dengan:

• T[0] adalah pohon kosong.
• T[1] adalah pohon biner [binary tree] yang hanya memiliki satu simpul [node].
• T[k] terdiri dari sebuah simpul akar [root node] yang mempunyai T[k-1] dan T[k-2] sebagai anaknya.

Pada pohon seperti ini, dua orang pemain memainkan sebuah permainan mengambil. Pada setiap giliran, seorang pemain memilih sebuah simpul dan mengambil simpul tersebut juga mengambil pohon yang berakar kepada simpul tersebut.
Pemain yang terpaksa harus mengambil simpul akar dari semua pohon adalah yang kalah.

Ini adalah gerakan kemenangan untuk pemain pertama pada giliran pertama untuk T[k] dari k=1 sampai k=6.

Misal f[k] adalah banyaknya gerakan kemenangan dari pemain pertama [yaitu gerakan yang menyebabkan pemain kedua tidak memungkinkan untuk menang] pada giliran pertama dari permainan, saat permainan dimainkan dengan T[k].

Sebagai contoh, f[5] = 1 dan f[10] = 17.

Carilah f[10000]. Berikan 18 digit terakhir dari jawaban Anda.

Answer: 60aa790c07af1446c1e2deba72543a1f

Soal 401

Faktor dari 6 adalah 1,2,3 dan 6.
Hasil penjumlahan dari kuadrat bilangan-bilangan tersebut adalah 1+4+9+36=50.

Misal sigma2[n] menyatakan hasil penjumlahan kuadrat faktor-faktor dari n. Sehingga sigma2[6]=50.

Misal SIGMA2 menyatakan fungsi penjumlahan dari sigma2, sehingga SIGMA2[n]=sigma2[i] untuk i=1 sampai n.
6 nilai pertama untuk SIGMA2 adalah: 1,6,16,37,63 dan 113.

Carilah SIGMA2[1015] modulo 109.

Answer: 982a249d8b45ef10c98c32dabac00751

Soal 402

Dapat ditunjukkan bahwa polinom n4 + 4n3 + 2n2 + 5n adalah kelipatan 6 untuk setiap bilangan bulat n. Dapat juga ditunjukkan bahwa 6 adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat ini.

Dinyatakan M[a, b, c] sebagai nilai m maksimum sehingga n4 + an3 + bn2 + cn adalah merupakan kelipatan dari m untuk setiap bilangan bulat n. Sebagai contoh, M[4, 2, 5] = 6.

Juga, dinyatakan S[N] sebagai hasil penjumlahan dari M[a, b, c] untuk semua 0 < a, b, c N.

Dapat kita buktikan bahwa S[10] = 1972 dan S[10000] = 2024258331114.

Misal Fk adalah barisan Fibonacci:
F0 = 0, F1 = 1 dan
Fk = Fk-1 + Fk-2 untuk k 2.

Carilah 9 digit terakhir dari Σ S[Fk] untuk 2 k 1234567890123.

Answer: fa7ae8e9243f01b0eac10ec5aaff1f42

Soal 403

Untuk bilangan bulat a dan b, kita nyatakan D[a, b] sebagai domain yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis y = a·x + b:
D[a, b] = { [x, y] | x2 y a·x + b }.

L[a, b] dinyatakan sebagai banyaknya koordinat bilangan bulat yang terdapat di D[a, b].
Sebagi contoh, L[1, 2] = 8 dan L[2, -1] = 1.

Kita juga nyatakan S[N] sebagai hasil penjumlahan dari L[a, b] untuk semua pasangan [a, b] sehingga luas wilayah dari D[a, b] adalah merupakan bilangan rasional dan |a|,|b| N.
Dapat dibuktikan bahwa S[5] = 344 dan S[100] = 26709528.

Carilah S[1012]. Berikan jawaban Anda yang telah di mod 108.

Answer: 31c018e3781a3e170366f01e30f09602

Soal 404

Ea adalah sebuah elips dengan persamaan x2 + 4y2 = 4a2.
Ea' adalah bayangan hasil rotasi dari Ea sejauh θ derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi origin O[0, 0] untuk 0° < θ < 90°.

b adalah jarak antara titik origin dengan dua titik potong yang terdekat ke origin, dan c adalah jarak serupa dengan dua titik potong lainnya.
Kita akan menyebut kumpulan bilangan [a, b, c] sebagai sebuah canonical ellipsoidal triplet jika a, b dan c adalah merupakan bilangan bulat positif.
Sebagai contoh, [209, 247, 286] adalah sebuah canonical ellipsoidal triplet.

Misal C[N] adalah banyaknya canonical ellipsoidal triplets [a, b, c] berbeda, dimana a N.
Dapat dibuktikan bahwa C[103] = 7, C[104] = 106 dan C[106] = 11845.

Carilah C[1017].

Answer: 2d1bc4b93bbc19d9e70c5b04338dea2e

Soal 405

Kita akan memasang ubin pada sebuah daerah berbentuk persegi panjang yang panjangnya dua kali lipat lebarnya.
Misal T[0] adalah sebuah persegi panjang.
Untuk n > 0, misal T[n] didaptkan dari T[n-1] dengan menggantikan semua persegi panjang dengan aturan berikut:

Animasi berikut ini mendemonstrasikan proses pemasangan ubin persegi panjang T[n] untuk n dari 0 sampai 5:

Misal f[n] adalah banyaknya titik dimana empat buah ubin bertemu pada T[n].
Sebagai contoh, f[1] = 0, f[4] = 82 dan f[109] mod 177 = 126897180.

Carilah f[10k] untuk k = 1018, berikan jawaban Anda yang telah di modulo 177.

Answer: 93b712426b768586f88d0bfe597842e6

Soal 406

Kita akan mencoba untuk mencari bilangan tersembunyi yang dipilih dari himpunan bilangan bulat {1, 2, ..., n} dengan memberikan pertanyaan. Setiap bilangan [pertanyaan] yang kita tanyakan, akan memiliki satu dari tiga kemungkinan jawaban:

• "Tebakan Anda lebih rendah dari bilangan tersembunyi" [dan Anda harus mengeluarkan biaya sebesar a], atau
• "Tebakan Anda lebih tinggi dari bilangan tersembunyi" [dan Anda harus mengeluarkan biaya sebesar b], atau
• "Ya, itu jawabannya!" [dan permainan berakhir].

Diberikan nilai dari n, a, dan b, sebagai sebuah strategi optimal sehingga dapat meminimalisir total biaya untuk kasus terburuk.

Sebagai contoh, jika n = 5, a = 2, dan b = 3, maka kita dapat memulai dengan menanyakan "2" sebagai pertanyaan pertama kita.

Jika kita diberi tahu bahwa 2 lebih tinggi dari bilangan tersembunyi [dengan biaya sebesar b=3], maka dapat dipastikan oleh kita bahwa "1" adalah bilangan tersembunyi [untuk total biaya sebesar 3].
Jika kita diberi tahu bahwa 2 lebih rendah dari bilangan tersembunyi [dengan biaya sebesar a=2], maka pertanyaan kita selanjutnya akan menjadi "4".
Jika kita diberi tahu bahwa 4 lebih tinggi dari bilangan tersembunyi [dengan biaya sebesar b=3], maka dapat dipastikan oleh kita bahwa "3" adalah bilangan tersembunyi [untuk total biaya sebesar 2+3=5].
Jika kita diberi tahu bahwa 4 lebih rendah dari bilangan tersembunyi [dengan biaya sebesar a=2], maka dapat dipastikan oleh kita bahwa "5" adalah bilangan tersembunyi [untuk total biaya sebesar 2+2=4].
Sehingga, pada kasus terburuk, biayayang dikeluarkan oleh strategi ini adalah 5. Dan dapat dibuktikan bahwa ini merupakan kasus terburuk dengan biaya terkecil yang bisa didapatkan. Bahkan, pada kenyataannya, kita baru saja menjelaskan sebuah strategi optimal untuk nilai n, a, dan b.

Misal C[n, a, b] adalah biaya yang didapatkan pada kasus terburuk, oleh sebuah strategi optimal jika diberikan nilai n, a, and b.

Berikut ini adalah beberapa contohnya:
C[5, 2, 3] = 5
C[500, 2, 3] = 13.22073197...
C[20000, 5, 7] = 82
C[2000000, 5, 7] = 49.63755955...

Misal Fk adalah bilangan Fibonacci: Fk = Fk-1 + Fk-2 dengan F1 = F2 = 1.
Carilah 1k30C[1012, k, Fk], dan berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 8 angka di belakang koma.

Answer: 0766b1ee975f5674d30fd6c3c934c6e0

Soal 407

Jika kita menghitung a2 mod 6 untuk 0 a 5 kita dapatkan: 0,1,4,3,4,1.

Bilangan a terbesar sehingga a2 a mod 6 adalah 4.
Mari kita sebut M[n] sebagai nilai terbesar dari a < n sehingga a2 a [mod n].
Sehingga M[6] = 4.

Carilah M[n] untuk 1 n 107.

Answer: f4da34a4b357123cb142739a52e010f2

Soal 408

Mari kita sebut titik koordinat bilangan bulat [x, y] sebagai tidak bisa diterima jika x, y dan x+y semuanya adalah bilangan bulat kuadrat.
Sebagai contoh, [9, 16] adalah tidak bisa diterima, dimana [0, 4], [3, 1] dan [9, 4] adalah bukan.

Perhatikan jalur yang dibentuk dari titik [x1, y1] ke titik [x2, y2] hanya menggunakan satu langkah ke utara atau timur.
Mari kita sebut jalur seperti ini sebagai jalur yang dapat diterima jika tidak terdapat titik di ataranya yang tidak bisa diterima.

Misal P[n] adalah banyaknya jalur yang dapat diterima dari [0, 0] ke [n, n].
Dapat dibuktikan bahwa P[5] = 252, P[16] = 596994440 dan P[1000] mod 1000000007 = 341920854.

Carilah P[10000000] mod 1000000007.

Answer: 2c09e247c6144c16cae2358d316affd9

Soal 409

Misal n adalah sebuah bilangan bulat positif. Perhatikan posisi pada permainan nim dimana:

• Terdapat n buah tumpukan tidak kosong.
• Setiap tumpukan memiliki banyak batu dari 2n.
• Tidak ada dua tumpukan yang memiliki banyak batu yang sama.

Misal W[n] adalah banyaknya posisi nim kemenangan yang memenuhi kondisi di atas [sebuah posisi dimana pemain pertama akan menang]. Sebagai contoh, W[1] = 1, W[2] = 6, W[3] = 168, W[5] = 19764360 dan W[100] mod 1000000007 = 384777056.

Carilah W[10000000] mod 1000000007.

Answer: 56c32e75a2656ec08ce177089bda2f53

Soal 410

Misal C adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari r, x2 + y2 = r2. Kita akan memilih dua buah titik P[a, b] dan Q[-a, c] sehingga garis yang melalui titik P dan Q merupakan garis singgung C.

Sebagai contoh, pasangan bilangan [r, a, b, c] = [2, 6, 2, -7] memenuhi sifat ini.

Misal F[R, X] adalah banyaknya pasangan bilangan bulat [r, a, b, c] yang memiliki sifat ini, dan dengan 0 < r R dan 0 < a X.

Dapat dibuktikan bahwa F[1, 5] = 10, F[2, 10] = 52 dan F[10, 100] = 3384.
Carilah F[108, 109] + F[109, 108].

Answer: 45826f3a23aa321f97acb1d2a8f2170b

Soal 411

Misal n adalah sebuah bilangan bulat positif. Akan terdapat stasiun pada koordinat [x, y] = [2i mod n, 3i mod n] untuk 0 i 2n. Kita akan menganggap stasiun yang memiliki koordinat yang sama sebagai stasiun yang sama.

Kita akan membentuk jalur dari [0, 0] ke [n, n] sehingga koordinat x dan y tidak pernah berkurang.
Misal S[n] adalah banyaknya stasiun maksimal yang dapat dilewati.

Sebagai contoh, jika n = 22, terdapat 11 buah stasiun berbeda, dan jalur yang sah sesuai dengan aturan di atas hanya dapat melewati paling banyak 5 stasiun. Sehingga, S[22] = 5. Contoh ini diilustrasikan dengan gambar berikut, dengan sebuah contoh jalur optimal:

Dapat juga dibuktikan bahwa S[123] = 14 dan S[10000] = 48.

Carilah S[k5] untuk 1 k 30.

Answer: e351762bf2220ca1396e6a9ee3f6c84f

Soal 412

Untuk bilangan bulat m, n [0n 1.
Untuk bilangan bulat positif n dan m misal s[n,m] dinyatakan sebagai hasil penjumlahan dari faktor prima berbeda dari n15+1 yang tidak melebihi m.

Sebagai contoh 215+1 = 3×3×11×331.
Sehingga s[2,10] = 3 dan s[2,1000] = 3+11+331 = 345.

Juga 1015+1 = 7×11×13×211×241×2161×9091.
Sehingga s[10,100] = 31 dan s[10,1000] = 483.

Carilah s[n,108] untuk 1 n 1011.

Answer: 481fcc5ff16ccf1645fb136c123ed660

Soal 422

Misal H adalah hiperbola yang dinyatakan dengan persamaan 12x2 + 7xy - 12y2 = 625.

Kemudian, dinyatakan X sebagai titik [7, 1]. Dapat terlihat bahwa X berada pada H.

Sekarang kita akan menyatakan sebuah barisan dari titik-titik di H, {Pi : i 1}, sebagai:

• P1 = [13, 61/4].
• P2 = [-43/6, -4].
• Untuk i > 2, Pi adalah titik unik pada H yang berbeda dari Pi-1 dan garis PiPi-1 adalah sejajar dengan garis Pi-2X. Dapat ditunjukkan bahwa Pi selalu dapat terdefinisi, dan koordinatnya selalu rasional.

Anda diberikan informasi bahwa P3 = [-19/2, -229/24], P4 = [1267/144, -37/12] dan P7 = [17194218091/143327232, 274748766781/1719926784].

Carilah Pn untuk n = 1114 dalam format berikut ini:
If Pn = [a/b, c/d] dimana pecahan yang ada sudah dalam bentuk paling sederhana, dan penyebutnya adalah positif, maka jawaban yang diberikan adalah [a + b + c + d] mod 1000000007.

Untuk n = 7, jawabannya akan menjadi: 806236837.

Answer: 7034610688a8851f742f912143c1becf

Soal 423

Misal n adalah bilangan bulat positif.
Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sebanyak n kali. Misal c adalah banyaknya pasangan dua lemparan berurutan yang mengeluarkan angka dadu yang sama.

Sebagai contoh, jika n = 7 dan hasil lemparan dadunya adalah [1,1,5,6,6,6,3], maka pasangan-pasangan berikut ini memiliki angka dadu yang sama:
[1,1,5,6,6,6,3]
[1,1,5,6,6,6,3]
[1,1,5,6,6,6,3]
Sehingga, c = 3 untuk [1,1,5,6,6,6,3].

Dinyatakan C[n] sebagai banyaknya hasil yang mungkin saat melempar dadu bersisi 6 sebanyak n kali, sehingga c tidak melebihi π[n].1
Sebagai contoh, C[3] = 216, C[4] = 1290, C[11] = 361912500 dan C[24] = 4727547363281250000.

Dinyatakan S[L] sebagai C[n] untuk 1 n L.
Sebagai contoh, S[50] mod 1000000007 = 832833871.

Carilah S[50000000] mod 1000000007.

1 π melambangkan fungsi menghitung banyaknya prima, sehingga π[n] adalah banyaknya bilangan prima n.

Answer: e2add9d46ebd8ba59a07dca791cd629b

Soal 424

Gambar di atas adalah sebuah contoh dari teka-teki kakuro rahasia [juga dikenal sebagai penjumlahan menyilang, atau penyilangan jumlah genap], dengan solusi akhirnya ada di sebelah kanan. [Aturan yang biasa digunakan pada teka-teki kakuro dapat dengan mudah ditemukan di banyak situs internet. Informasi lainnya yang berhubungan saat ini juga dapat ditemukan di krazydad.com dimana penulisnya telah memberikan data teka-teki untuk tantangan ini.]

Sebuah text file yang dapat di download [[kakuro200.txt][/projecteuler/files/kakuro200.txt]] berisi deskripsi dari 200 teka-teki seperti ini, gabungan dari tipe 5x5 dan 6x6. Teka-teki pertama pada file ini adalah contoh di atas, yang dituliskan sebagai berikut:

6,X,X,[vCC],[vI],X,X,X,[hH],B,O,[vCA],[vJE],X,[hFE,vD],O,O,O,O,[hA],O,I,[hJC,vB],O,O,[hJC],H,O,O,O,X,X,X,[hJE],O,O,X

Karakter pertama adalah digit numerik yang menandakan ukuran dari kotak-kotak. Digit ini dapat memiliki nilai 6 [untuk sebuah teka-teki kakuro 5x5] atau nilai 7 [untuk teka-teki 6x6] diikuti oleh tanda koma [,]. Kelebihan satu baris di atas dan di kiri diperlukan untuk memasukkan informasi.

Isi dari setiap sel kemudian dijelaskan dan diikuti oleh tanda koma, dari kiri ke kanan dan dimulai dari baris atas.
X = Sel abu-abu, tidak perlu diisi oleh digit.
O [huruf kapital]= Sel putih kosong yang akan diisi oleh digit.
A = Atau sel lain yang terdapat huruf kapital dari A sampai J harus diganti dengan digit yang ekuivalen untuk mendapatkan jawaban teka-teki.
[ ] = Lokasi dari hasil penjumlahan rahasia. Penjumlahan horizontal di diawali dengan huruf "h" kecil, dan penjumlahan vertikal diawali dengan huruf "v" kecil. Kemudian huruf tersebut diikuti oleh satu atau dua huruf kapital tergantuk dari hasil penjumlahannya, apakah satu digit atau dua gitig. Untuk hasil penjumlahan dua digit, huruf pertama merupakan "puluhan" dan huruf kedua merupakan "satuan". Saat sel harus berisi informasi baik untuk penjumlahan horizontal maupun vertikal, maka bagian yang pertama selalu merupakan penjumlahan untuk horizontal, dan keduanya dipisahkan dengan sebuah tanda koma di dalam kurung yang sama, contoh: [hFE,vD]. Setiap set tanda kurung juga langsung diikuti oleh tanda koma.

Deskripsi dari sel terakhir tidak diikuti oleh tanda koma, melainkan akan diikuti oleh Carriage Return/Line Feed [CRLF].

Jawaban yang diperlukan untuk setiap teka-teki didasarkan pada nilai dari setiap huruf yang diperlukan untuk sampai kepada solusi, dan bedasarkan urutan abjad. Seperti yang ditunjukkan pada contoh teka-teki, jawabannya adalah 8426039571. Setidaknya 9 dari 10 huruf rahasia akan selalu menjadi bagian dari deskripsi masalah. Saat hanya 9 yang diberikan, satu yang masih belum ditemukan harus diberikan digit yang masih tersisa.

Anda diberikan informasi bahwa hasil penjumlahan dari jawaban untuk 10 teka-teki pertama pada file adalah 64414157580.

Carilah hasil penjumlahan untuk ke 200 buah teka-teki.

Answer: c412afe5b5d76dbfbb77443ed5836d89

Soal 425

Dua bilangan positif A dan B dapat dikatakan terkoneksi [dilambangkan dengan "A B"] jika satu dari kondisi-kondisi ini terpenuhi:
[1] A dan B memiliki panjang bilangan yang sama dan hanya memiliki perbedaan satu digit; sebagai contoh, 123 173.
[2] Menambahkan satu digit di sebelah kiri A [atau B] akan menghasilkan bilangan yang sama dengan B [atau A]; sebagai contoh, 23 223 and 123 23.

Kita menyebut sebuah bilangan prima P sebagai relatif ke-2 jika terdapat sebuah rantai dari bilangan-bilangan prima yang terkoneksi antara 2 dan P, dan tidak ada bilangan prima pada rantai yang melebihi P.

Sebagai contoh, 127 adalah relatif ke-2. Satu dari kemungkinan rantai yang ada ditunjukkan sebagai berikut:
2 3 13 113 103 107 127
Tetapi, 11 dan 103 bukanlah bilangan relatif ke-2.

Misal F[N] adalah hasil penjumlahan dari bilangan prima N yang bukan merupakan bilangan relatif ke-2.
Dapat dibuktikan bahwa F[103] = 431 dan F[104] = 78728.

Carilah F[107].

Answer: 3d229894ba4c585138125e802af2d06e

Soal 426

Terdapat sebanyak tak hingga baris peti. Beberapa dari peti berisi bola. Sebagai contoh, sebuah konfigurasi awal dari 2 peti berurutan yang telah terisi diikuti oleh 2 peti kosong, 2 peti terisi, 1 peti kosong, dan 2 peti terisi, dapat dituliskan dalam barisan [2, 2, 2, 1, 2], dimana banyaknya peti yang terisi dan kosong muncul secara bergantian.

Sebuah perubahan dilakukan dengan cara memindahkan setiap bola persis sekali bedasarkan aturan berikut: Pindahkan bola yang ada di paling kiri yang belum dipindahkan ke peti kosong terdekat di sebelah kanannya.

Setelah satu kali perubahan, barisan [2, 2, 2, 1, 2] berubah menjadi [2, 2, 1, 2, 3] seperti dapat dilihat pada gambar berikut; perlu diingat bahwa awal dari barisan selalu dimulai dari banyaknya peti yang telah terisi.

Sistem seperti ini disebut sebagai sebuah Sistem Bola Peti [Box-Ball System] atau dapat disingkat BBS.

Dapat ditunjukkan bahwa setelah dilakukan beberapa kali perubahan, sistem akan ada pada satu kondisi dimana banyaknya peti yang ditempati tidak akan berubah lagi pada putaran selanjutnya. Pada contoh berikut ini, bilangan berurutan yang menyatakan banyaknya peti yang ditempati adalah [1, 2, 3]; kita akan menyebut ini sebagai kondisi akhir.

Kita nyatakan barisan {ti}:

• s0 = 290797
• sk+1 = sk2 mod 50515093
• tk = [sk mod 64] + 1

Dimulai dari konfigurasi awal [t0, t1, , t10], kondisi akhirnya akan menjadi [1, 3, 10, 24, 51, 75].
Dimulai dari kondisi awal [t0, t1, , t10 000 000], carilah kondisi akhirnya.
Berikan jawaban Anda dalam bentuk penjumlahan hasil kuadrat elemen-elemen pada kondisi akhir. Sebagai contoh, jika kondisi akhirnya adalah [1, 2, 3] maka 14 [ = 12 + 22 + 32] adalah jawaban Anda.

Answer: b5d8157a351482da47da0512ca374007

Soal 427

Sebuah barisan bilangan bulat S = {si} disebut sebagai sebuah barisan-n jika barisan ini mempunyai n buah elemen, dan setiap elemen si memenuhi 1 si n. Sehingga terdapat sebanyak nn buah barisan-n berbeda. Sebagai contoh, barisan S = {1, 5, 5, 10, 7, 7, 7, 2, 3, 7} adalah sebuah barisan-10.

Untuk setiap barisan S, misal L[S] adalah panjang dari sub-barisan terpanjang dari S yang memiliki nilai yang sama. Sebagai contoh, untuk barisan S di atas, L[S] = 3, karena terdapat tiga buah angka 7 yang berurutan.

Misal f[n] = L[S] untuk semua barisan-n S.

Sebagai contoh, f[3] = 45, f[7] = 1403689 dan f[11] = 481496895121.

Carilah f[7500000] mod 1000000009.

Answer: ecb4da2c940b517c63d8d256814dd511

Soal 428

Misal a, b dan c adalah bilangan positif.
Misal W, X, Y, Z adalah empat buah titik kolinear dimana |WX| = a, |XY| = b, |YZ| = c dan |WZ| = a + b + c.
Misal Cin adalah lingkaran yang memiliki panjang diameter XY.
Misal Cout adalah lingkaran yang memiliki panjang diameter WZ.

Kumpulan bilangan [a, b, c] akan disebut sebagai sebuah tripel kalung jika Anda dapat meletakkan k 3 lingkaran berbeda C1, C2, ..., Ck sehingga:

• Ci tidak memiliki titik dalam lingkaran yang sama dengan lingkaran Cj untuk 1 i, j k dan i j,
• Ci menyinggung lingkaran Cin dan Cout untuk 1 i k,
• Ci menyinggung lingkaran Ci+1 untuk 1 i < k, dan
• Ck menyinggung lingkaran C1.

Sebagai contoh, [5, 5, 5] dan [4, 3, 21] adalah tripel kalung, sementara dapat ditunjukkan bahwa [2, 2, 5] adalah bukan tripel kalung.

Misal T[n] adalah banyaknya tripel kalung [a, b, c] sehingga a, b dan c adalah bilangan bulat positif, dan b n. Sebagai contoh, T[1]=9, T[20]=732 dan T[3000]=438106.

Carilah T[1000000000].

Answer: c6010c109b66b34bf3594e63eb58b446

Soal 429

Sebuah kesatuan faktor d dari suatu bilangan n adalah sebuah faktor dari n yang mempunyai sifat FPB[d, n/d] = 1.
Kesatuan faktor dari 4! = 24 adalah 1, 3, 8 dan 24.
Hasil penjumlahan dari kuadrat bilangan-bilangan tersebut adalah 12 + 32 + 82 + 242 = 650.

Misal S[n] melambangkan hasil penjumlahan dari kuadrat bilangan-bilangan kesatuan faktor dari n. Maka S[4!]=650.

Carilah S[100 000 000!] modulo 1 000 000 009.

Answer: ec4f87b0c01680e951326d9e85d2c03f

Soal 430

N buah disk diletakkan pada suatu baris, dan diberi nomor dari 1 hingga N dari kiri ke kanan.
Setiap disk memiliki sisi bewarna hitam dan sisi bewarna putih. Mula-mulanya, semua disk menunjukkan sisi mereka yang bewarna putih.

Pada setiap giliran, two buah bilangan bulat A dan B yang tidak harus berbeda antara 1 dan N [1 dan N juga termasuk] dipilih secara acak.
Semua disk dengan nomor dari A sampai B [A dan B juga termasuk] dibalik.

Contoh berikut ini menunjukkan kasus N = 8. Pada giliran pertama A = 5 dan B = 2, dan pada giliran ke dua A = dan and B = 6.

Misal E[N, M] adalah nilai harapan [expected number] dari disk yang akan menunjukkan sisi bewarna putih setelah M kali giliran.
Dapat dibuktikan bahwa E[3, 1] = 10/9, E[3, 2] = 5/3, E[10, 4] 5.157 dan E[100, 10] 51.893.

Carilah E[1010, 4000].
Berikan jawaban Anda yang telah dibulatkan hingga 2 angka di belakang koma.

Answer: 32b0825d7a110a1a220e80629c413411

Soal 431

Fred adalah seorang petani, dan ia sedang mengatur silo baru yang akan dipasang di ladangnya, ia memiliki obsesi untuk mempunyai semua benda yang berbentuk persegi, ia akan sangat marah apabila ia melihat sesuatu yang berbentuk melingkar. Quentin sebagai perwakilan dari perusahaan yang akan memasang silo menjelaskan bahwa mereka hanya membuat silo berbentuk silinder, namun ia mengatakan bahwa silo ini dapat diletakkan pada alas berbentuk persegi. Fred tidak puas dan memaksa silo ini disingkirkan dari ladangnya.

Dengan berpikir cepat Quentin menjelaskan bahwa saat butiran beras/gandum dimasukkan dari atas, akan terbentuk bentuk landai seperti kerucut, dan akan terbentuk sudut alami dengan bidang horizontal yang disebut sebagai sudut repose. Sebagai contoh, jika sudut repose, $\alpha = 30$ derajat, dan butiran beras/gandum dimasukkan dari tengah silo, maka akan terbentuk kerucut sempurna yang mengarah ke sebelah atas silinder. Jika pada silo ini, yang memiliki panjang diameter 6m, banyaknya ruang yang tidak dapat digunakan diperkirakan sekitar 32.648388556 m3. Tetapi, apabila butiran beras/gandum dimasukkan pada satu titik di bagian atas, yang memiliki jarak horizontal $x$ meter dari pusat, maka kerucut yang ada dengan aneh akan membentuk kurva dan akan terbentuk daerah miring. Ia menunjukkan kepada fred sebuah gambar.

Kita akan menentukan banyaknya bagian yang tidak terpakai dalam meter kubik yang diberikan oleh $V[x]$. Jika $x = 1.114785284$, dimana merupakan bilangan tiga kuadrat angka di belakang koma, maka banyaknya ruang yang tidak terpakai, $V[1.114785284] \approx 36$. Masih terdapat persis satu buah solusi lain untuk permasalahan ini: $V[2.511167869] \approx 49$. Ini akan seperti mengetahui bahwa bilangan persegi/kuadrat merupakan raja dari silo, duduk dengan kejayaannya di atas butiran beras/gandum anda.

Mata Fred berbinar-binar saat mendengar resolusi elegan ini, namun dengan mengamati secara teliti dari gambar Quentin dan hasil perhitungannya, kebahagiaannya berubah menjadi kemurungan sekali lagi. Fred mengemukakan kepada Quentin bahwa panajng jari-jari silo yang seharusnya 6 meter, bukan diameternya, dan sudut kemiringan dari butiran beras/gandumnya adalah 40 derajat. Tetapi, apabila Quentin dapat menemukan suatu set solusi untuk silo seperti ini, maka ia akan menjadi lebih senang untuk tetap mempertahankan silo ini dari ladangnya.

Jika pemikiran cepat Quentin dapat memuaskan seorang yang frustasi dan rewel, yaitu Fred sang petani yang ingin segala sesuatunya persegi, maka carilah nilai dari $x$ untuk semua kemungkinan banyaknya volume silo yang tidak dapat digunakan dalam bentuk bilangan persegi/kuadrat dan hitunglah $\sum x$ dibulatkan hingga 9 angka di belakang koma.

Answer: 5e5d81aa8bfaf92f68cdef0154c5c238

Soal 432

Misal S[n,m] = φ[n × i] untuk 1 i m. [φ adalah fungsi totient Euler]
Diketahui S[510510,106 ]= 45480596821125120.

Carilah S[510510,1011].
Berikan 9 digit terakhir dari jawaban Anda.

Answer: e171c2872d650e47589842faa80f5707

Soal 433

Misal E[x0, y0] adalah banyaknya langkah yang diperlukan untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari x0 dan y0 dengan algoritma Euclid. Atau secara lebih formal:
x1 = y0, y1 = x0 mod y0
xn = yn-1, yn = xn-1 mod yn-1
E[x0, y0] adalah nilai n terkecil sehingga yn = 0.

Kita dapatkan E[1,1] = 1, E[10,6] = 3 dan E[6,10] = 4.

Dinyatakan S[N] sebagai hasil penjumlahan dari E[x,y] untuk 1 x,y N.
Kita dapatkan S[1] = 1, S[10] = 221 dan S[100] = 39826.

Carilah S[5·106].

Answer: 0eeca9fa5cf25a2bfae01f1f04d6cd35

Soal 434

Grafik adalah kumpulan dari beberapa titik dan garis penghubung, dan dua buah titik yang dihubungkan oleh sebuah garis disebut bersebelahan.
Grafik dapat digambarkan pada ruang Euclidean dengan menghubungkan setiap titik pada grafik dengan titik pada ruang euclidean.
Sebuah grafik fleksibel adalah proses penggambaran sebuah grafik, dimana memungkinkan untuk menggeser satu atau lebih titik secara terus menerus, sehingga jarak antara dua titik yang tidak bersebelahan dapat berubah, sementara jarak antara dua titik yang bersebelahan dijaga tetap konstan.
Sebuah grafik kaku adalah proses penggambaran sebuah grafik yang tidak fleksibel.
Atau secara tidak formal, sebuah grafik disebut kaku jika titik-titik pada grafik diganti dengan sebuah engsel yang dapat berputar, dan garis-garis pada grafik diganti dengan tiang yang tidak dapat bengkok dan tidak elastis, tidak ada bagian pada grafik yang dapat bergerak sendiri tanpa mengubah bagian lain dari grafik.

Grafik kotak-kotak yang digambar pada ruang Euclidean adalah tidak kaku, seperti yang dicontohkan oleh animasi berikut:

Tetapi, salah satu cara untuk dapat menjadikan grafik tersebut kaku adalah dengan menambahkan garis diagonal pada setiap kotak. Sebagai contoh, untuk grafik kotak-kotak berukuran 2x3, terdapat 19 cara untuk menjadikan grafik kaku:

Perlu di ingat tujuan dari permasalahan ini, kita tidak menganggap perubahan arah dari garis diagonal atau menambahkan dua buah diagonal pada satu kotak sebagai cara yang berbeda untuk membuat grafik menjadi kaku.

Misal R[m,n] adalah banyaknya cara untuk membuat grafik kotak-kotak berukuran m × n menjadi kaku.
Sebagai contoh, R[2,3] = 19 dan R[5,5] = 23679901

Dinyatakan S[N] sebagai R[i,j] untuk 1 i, j N.
Sehingga S[5] = 25021721.
Carilah S[100], berikan jawaban Anda yang telah di modulo 1000000033

Answer: f51d9fd41a8ce217682321a020be6fec

Soal 435

Bilangan Fibonacci {fn, n 0} dinyatakan secara rekursif sebagai fn = fn-1 + fn-2 dengan basis f0 = 0 dan f1 = 1.

Dinyatakan polinomial {Fn, n 0} sebagai Fn[x] = fixi untuk 0 i n.

Sebagai contoh, F7[x] = x + x2 + 2x3 + 3x4 + 5x5 + 8x6 + 13x7, dan F7[11] = 268357683.

Misal n = 1015. Carilah hasil penjumlahan [0x100 Fn[x]] mod 1307674368000 [= 15!].

Answer: 0f08231a97e872f565a085de75743a1c

Soal 436

Julie menawarkan taruhan berikut ini ke adiknya Louise.
Ia menawarkan sebuah permainan peluang untuk menentukan siapa yang akan mencuci piring.
Untuk permainan ini, mereka harus menggunakan pembuat bilangan acak yang memiliki sebaran uniform antara 0 dan 1.
Permainan dimulai dengan S = 0.
Pemain pertama, yaitu Louise, menambahkkan ke S angka acak berbeda dari pembuat bilangan acak sampai S > 1 dan ia mencatat angka acak terakhir 'x'.
Pemain kedua, yaitu Julie, melanjutkan menambahkan ke S angka acak berbeda dari pembuat bilangan acak sampai S > 2 dan mencatat angka acak terakhir 'y'.
Pemain yang memiliki angka tertinggi adalah pemenangnya dan yang kalah akan mencuci piring, sehingga apabila y > x pemain kedua akan menang.

Sebagai contoh, jika pemain pertama mendapatkan angka 0.62 dan 0.44, maka giliran pemain pertama akan selesai, karena 0.62+0.44 > 1 dan x = 0.44.
Kemudian jika pemain kedua mendapatkan angka 0.1, 0.27 dan 0.91, giliran pemain kedua akan berakhir, karena 0.62+0.44+0.1+0.27+0.91 > 2 dan y = 0.91. Karena y > x, paka pemain kedua akan menang.

Louise memikirkan permainan ini sejenak, dan mengatakan: "Itu tidak adil".
Berapakah peluang pemain kedua akan menang?
Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga 10 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghij

Answer: d797ed72189f045e8ea48aa960fec1f3

Soal 437

Saat kita menghitung 8n modulo 11 untuk n=0 sampai 9, kita dapatkan: 1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7.
Seperti yang kita lihat, semua angka dari 1 sampai 10 muncul. Sehingga 8 adalah akar primitif dari 11.
Tetapi terdapat satu hal lagi:
Jika kita mengamati dengan lebih teliti, kita dapat melihat bahwa:
1+8=9
8+9=176 mod 11
9+6=154 mod 11
6+4=10
4+10=143 mod 11
10+3=132 mod 11
3+2=5
2+5=7
5+7=121 mod 11.

Sehingga bilangan pangkat 8 mod 11 adalah bilangan siklik dengan periode 10, dan 8n + 8n+1 8n+2 [mod 11].
8 sekarang akan disebut sebagai akar primitif Fibonacci dari 11.
Tidak semua bilangan prima memiliki akar primitif Fibonacci.
Terdapat 323 buah bilangan prima kurang dari 10000 yang memiliki satu atau lebih akar primitif Fibonacci, dan hasil penjumlahan dari bilangan prima tersebut adalah 1480491.
Carilah hasil penjumlahan bilangan prima kurang dari 100,000,000 yang memiliki setidaknya satu buah akar primitif Fibonacci.

Answer: 98bb66462d635d8225416a644e4637b0

Soal 438

Untuk n-buah bilangan bulat t = [a1, ..., an], misal [x1, ..., xn] adalah solusi dari persamaan polinomial xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0.

Terdapat dua buah kondisi:

• x1, ..., xn semuanya adalah bilangan real.
• Jika x1, ..., xn adalah berurutan, xi = i untuk 1 i n. [·: fungsi pembulatan ke bawah.]

Pada kasus n = 4, terdapat 12 buah kumpulan n-buah bilangan bulat yang memenuhi kedua kondisi tersebut.
Kita nyatakan S[t] sebagai hasil penjumlahan dari nilai mutlak bilangan bulat pada t.
Untuk n = 4 dapat dibuktikan bahwa S[t] = 2087 untuk semua n-buah bilangan t yang memenuhi kedua kondisi tersebut.

Carilah S[t] untuk n = 7.

Answer: ff0c265a14c2c0bb56f10dbff1768338

Soal 439

Misal d[k] adalah hasil penjumlahan semua faktor dari k.
Kita nyatakan fungsi S[N] = 1iN 1jN d[i·j].
Sebagai contoh, S[3] = d[1] + d[2] + d[3] + d[2] + d[4] + d[6] + d[3] + d[6] + d[9] = 59.

Diketahui S[103] = 563576517282 dan S[105] mod 109 = 215766508.
Carilah S[1011] mod 109.

Answer: da937ac1432c8ccd4de6f68df36e7980

Soal 440

Kita akan memasang ubin pada sebuah papan dengan panjang n dan tinggi 1 sampai semua bagian tertutupi, dengan blok ubin berukuran 1 × 2 atau 1 × 1, yang memiliki satu digit desimal di atasnya:

Sebagai contoh, berikut ini adalah beberapa cara untuk memasang ubin pada papan dengan panjang n = 8:

Misal T[n] adalah banyaknya cara untuk memasang ubin pada papan dengan panjang n seperti dijelaskan di atas.

Sebagai contoh, T[1] = 10 dan T[2] = 101.

Misal S[L] adalah hasil penjumlahan a,b,c fpb[T[ca], T[cb]] untuk 1 a, b, c L.
Sebagai contoh:
S[2] = 10444
S[3] = 1292115238446807016106539989
S[4] mod 987898789 = 670616280.

Carilah S[2000] mod 987898789.

Answer: 214573d310bf2f02e066e4a9c193cc23

Soal 441

Untuk sebuah bilangan bulat M, dinyatakan R[M] sebagai hasil penjumlahan dari 1/[p·q] untuk semua pasangan bilangan bulat p dan q yang memenuhi semua kondisi berikut ini:

• 1 p < q M
• p + q M
• p dan q adalah koprima.

Kita juga akan menyatakan S[N] sebagai hasil penjumlahan dari R[i] untuk 2 i N.
Dapat juga dibuktikan bahwa S[2] = R[2] = 1/2, S[10] 6.9147 dan S[100] 58.2962.

Carilah S[107]. Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga empat angka di belakang koma.

Answer: 152cc265f5461c5055db95a122280416

Soal 442

Sebuah bilangan bulat dikatakan sebagai bebas sebelas apabila pada angka-angkanya tidak terdapat bilangan yang merupakan hasil 11 pangkat suatu angka kecuali angka 1 [110].

Sebagai contoh, 2404 dan 13431 adalah bilangan bebas sebelas, sedangkan 911 dan 4121331 adalah bukan.

Misal E[n] adalah bilangan bulat positif bebas sebelas pada urutan ke-n. Sebagai contoh, E[3] = 3, E[200] = 213 dan E[500000] = 531563.

Carilah E[1018].

Answer: c31bb13db787bce9a169dce600aec863

Soal 443

Misal g[n] adalah barisan yang dinyatakan sebagai berikut:
g[4] = 13,
g[n] = g[n-1] + fpb[n, g[n-1]] untuk n > 4.

Beberapa nilai pertamanya adalah:

Diketahui g[1000] = 2524 dan g[1000000] = 2624152.

Carilah g[1015].

Answer: 28f9d9a9bf8fb3d606e0b711b59f42aa

Soal 444

Sebuah kelompok berisi p orang memutuskan untuk duduk pada sebuah meja bundar dan memainkan sebuah permainan pertukaran tiket lotere. Setiap orang memulai dengan tiket lotere yang masih mulus yang diberikan secara acak. Setiap tiket, saat digosok, akan menunjukkan hadiah uang antara £1 sampai £p, dan tidak terdapat dua tiket yang memiliki hadiah yang sama. Tujuan dari permainan ini untuk setiap orang adalah untuk mendapatkan tiket dengan hadiah terbesar begitu permainan berakhir.

Satu orang ditunjuk secara acak untuk menjadi pemain pertama. Dengan memutari sekeliling meja, setiap orang hanya dapat memilih satu dari dua pilihan:

1. Pemain dapat menggosok tiketnya dan memberitahukan besar hadiah yang didapatkan kepada semua orang di meja.
2. Pemain dapat menukarkan tiketnya yang masih mulus dengan tiket pemain sebelumnya yang telah digosok, dan kemudian pergi dengan membawa tiket tersebut. Pemain sebelumnya yang mendapatkan tiket baru kemudian menggosok tiketnya dan memberitahukan besar hadiah yang didapatkan kepada semua orang yang ada di meja.

Permainan berakhir saat semua tiket telah digosok. Semua pemain yang masih ada di meja harus pergi dengan membawa tiket yang ada di tangannya.

Asumsikan setiap pemain menggunakan strategi optimal untuk mendapatkan nilai harapan [expected value] terbesar dari hadiah yang didapatkan oleh tiketnya.

Misal E[p] menyatakan dugaan banyaknya [expected number] pemain yang meninggalkan meja saat permainan berakhir, pada permainan yang dimainkan oleh p orang [Sebagai contoh E[111]=5.2912 saat dibulatkan hingga 5 angka].

Misal S1[N] =

Carilah S20[1014] dan tuliskan jawaban Anda sesuai dengan aturan notasi ilmiah, dibulatkan hingga 10 angka. Gunakan huruf kecil untuk memisahkan mantissa dan eksponen [Sebagai contoh S3[100] = 5.983679014e5].

Answer: e6745c386ba3c0de1bf56897e453c7c8

Soal 445

Untuk setiap bilangan bulat n>1, dinyatakan sebuah fungsi fn,a,b dengan fn,a,b[x]ax+b mod n untuk a,b,x bilangan bulat dan 0