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Table of Contents
- Função horária da posição no MUV
- Aceleração
- Posição no espaço
- Fórmula da função horária da posição
- Função horária da posição no movimento uniforme
- Quer aprender mais sobre função horária da posição?
- Veja também:
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Clique aqui para resolver exercícios sobre as principais equações da Cinemática, parte da Mecânica que faz a análise matemática dos movimentos.
Questão 1
[UNIFICADO-RJ] A nave espacial New Horizons foi lançada pela agência espacial NASA para estudar o planeta anão Plutão, em janeiro de 2006. Em julho de 2015, a nave chegou muito próximo a Plutão e conseguiu enviar imagens de sua superfície. A distância estimada entre a Terra e a nave, quando ela estava bem próxima a Plutão, é de 32 unidades astronômicas [1 unidade astronômica = 150 milhões de quilômetros]. Se a velocidade da luz é de 300 mil quilômetros por segundo, a imagem recebida pelos observatórios terrestres levou, da New Horizons até a Terra, aproximadamente
a] 0,1 micro segundo
b] 1 hora
c] 4 horas e meia
d] 2 dias
e] zero segundos
Questão 2
[UFLA] Em um experimento de cinemática, verificou-se que a resistência do ar reduzia a velocidade de um corpo à metade, a cada segundo de movimento. Sabendo-se que no instante t = 0s
a velocidade do corpo é de 10 m/s, a equação que melhor descreve a velocidade desse corpo em função do tempo é
a] v [t] = 10. 2t/2
b] v [t] = 10. t2
c] v [t] = 10. 2 -t
d] v [t] = 10 – 5t
Questão 3
[FGV] Na função horária S = B . t2 + A, em que S representa as posições ocupadas por um móvel sobre uma trajetória retilínea em função do tempo t, as constantes A e B têm, respectivamente, unidades de medida de
a] velocidade final e aceleração.
b] posição inicial e aceleração.
c] posição inicial e velocidade final.
d] aceleração e velocidade inicial.
e] posição e velocidade iniciais.
Questão 4
Um motorista trafega por uma avenida com velocidade de 108 km/h quando vê que a luz do semáforo tornou-se vermelha. Sabendo que, no momento em que o motorista acionou os freios, a distância entre ele e o semáforo era de 45 m, determine a desaceleração necessária para que o veículo pare no semáforo.
a] 2 m/s2
b] 5 m/s2
c] 8 m/s2
d] 10 m/s2
e] 12 m/s2
Questão 5
Um garoto gira uma corda fina que possui uma pedra amarrada em sua extremidade sobre a sua cabeça com velocidade de 5 m/s. Sabendo que a distância da mão do garoto até a pedra na extremidade da corda é de 40 cm, determine a velocidade angular da pedra em rad/s.
a] 5,5
b] 6,5
c] 17,0
d] 15,0
e] 12,5
Resposta - Questão 1
LETRA “C”
Sendo 1 unidade astronômica = 150.10 6 km e sabendo que a nave está a 32 unidades astronômicas da Terra, podemos escrever que a distância da Terra à nave é:
d = 32 x 150.10 6 km
d = 4800.10 6 km
Sabendo que o prefixo multiplicativo quilo [k] vale 103, temos:
d = 4800.10 6 . 103 m
d = 4800 . 10 9 m
d = 48 . 1011 m
Sabendo que a velocidade da luz é 3 . 108 m/s, temos:
v = d ÷ Δt
3 . 108 = 48 . 1011 ÷ Δt
Δt = 48 . 1011 ÷ 3 . 108
Δt = 1,6 . 104 s
Como 1 h = 3600 s, temos:
Δt = 1,6 . 104 ÷ 3600
Δt = 1,6 . 104 ÷ 3,6 . 103
Δt ≈ 4,5 h
Resposta - Questão 2
LETRA “C”
A única função em que a velocidade é reduzida pela metade a cada segundo é dada pela alternativa c].
Para 1s: v[1] = 10. 2 – 1 = 10 . 0,5 = 5 m/s
Para 2s: v[1] = 10. 2 – 2 = 10 . 0,25 = 2,5 m/s
Resposta - Questão 3
LETRA “B”
Segundo a função horária da posição para o movimento uniformemente variado, temos:
s = s0 + v0t + [a.t2]/2
Por comparação, podemos perceber que A corresponde à posição inicial e que B corresponde à aceleração.
Resposta - Questão 4
LETRA “D”
Primeiramente devemos transformar a velocidade do veículo para m/s:
108 km/h ÷ 3,6 = 30 m/s
Aplicando a equação de Torricelli, temos:
v2 = v02 + 2.a.Δs
Como o veículo está parando, temos que a sua velocidade final é nula e a aceleração deve ser negativa, uma vez que o veículo está desacelerando:
0 = 302 – 2.a.45
90 a = 900
a = 900 ÷ 90
a = 10 m/s2
Resposta - Questão 5
LETRA “E”
A distância da mão do garoto até a pedra corresponde ao raio da trajetória circular da pedra. Sendo assim, podemos escrever:
v = ω . R
5 = ω . 0,4
ω = 5 ÷ 0,4
ω = 12,5 rad/s
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Se um carro trafega com velocidade constante de 70 km/h por uma estrada retilínea, depois de duas horas ele terá percorrido uma trajetória de 140 km. Entretanto, se a velocidade do veículo for variável ao longo do tempo, os cálculos se tornam mais complexos e seguem a função horária da posição.
As equações horárias do movimento uniformemente variado [MUV] são necessárias para encontrar a aceleração, velocidade e posição dos corpos. Além disso, são importantes para entender a importância dos freios e dos aceleradores nos automóveis.
Compreenda esse assunto com os exemplos abaixo e veja como as fórmulas podem ser aplicadas em situações cotidianas ou em provas de vestibulares. Vamos lá?
Função horária da posição no MUV
Para entender a função horária da posição no MUV, em primeira instância, é necessário notar que o movimento uniformemente variado é aquele em que os corpos alteram sua velocidade por meio de uma aceleração constante. Entenda melhor nos tópicos a seguir.
Aceleração
Simbolizada com “a”, a aceleração diz respeito à quantidade de velocidade adicionada ao movimento em um determinado intervalo de tempo, conforme a fórmula a = ΔV/Δt. No sistema internacional de unidades [SI], sua unidade padrão é m/s2.
Por ser uma grandeza vetorial, a direção e o sentido devem ser considerados:
- quando o vetor aceleração está no mesmo sentido que o vetor velocidade, a tendência é que a velocidade aumente — isso é o que chamamos de movimento acelerado; e
- se o sentido da aceleração for contrário ao sentido da velocidade, o corpo têm sua velocidade diminuída e tende a parar seu deslocamento — contexto denominado de movimento retardado.
Posição no espaço
Essa grandeza é medida conforme a trajetória definida— a distância do marco 0 é o referencial adotado. Ela é representada pela letra S0 [posição inicial] ou S’ [posição final].
Além do mais, por meio de fórmulas é possível encontrar o valor S[t] que indica a posição do objeto no tempo t do deslocamento.
Tempo
Como prenuncia o nome, diz
respeito ao tempo de deslocamento do corpo. O tempo inicial do movimento é marcado por “t0”, e o tempo final é simbolizado por “t’”.
Além disso, pode-se referir a um instante qualquer da trajetória com a letra t.
Velocidade
É a distância percorrida pelo corpo em uma unidade de tempo. No movimento uniformemente variado, ela ao longo da trajetória. Por isso, existe uma velocidade inicial [V0] e uma velocidade final [V’].
+ Veja também: Velocidade Relativa — conceitos e fórmulas
Fórmula da função horária da posição
A função horária da posição relaciona a posição do corpo no espaço com o tempo de deslocamento. Com isso, permitem encontrar diversas informações sobre a trajetória do corpo. Veja a fórmula.
S = S0 + V0.t + a.t2/2
Perceba que a equação fornecida anteriormente possui uma grandeza elevada à segunda potência, o que caracteriza uma função do segundo grau. Por isso, o gráfico que a representa é uma parábola.
Conforme os princípios matemáticos, quando o valor de a é positivo, a concavidade da parábola é para cima. Quando esse valor é negativo, o gráfico é côncavo para baixo.
Com essa equação, é possível prever:
- a posição do móvel em um determinado instante da trajetória,
- a velocidade do corpo no início do movimento,
- o tempo de deslocamento até uma posição determinada,
- a aceleração do objeto.
Veja um exemplo com essa questão sobre função horária da posição que apareceu no vestibular da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte [UERN], em 2013:
Seja o gráfico da velocidade em função do tempo de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado representado abaixo.
Considerando a posição inicial desse movimento igual a 46 m, então a posição do corpo no instante t = 8 s é
a] 54 mb] 62 mc] 66 m
d] 74 m
Considera-se que a fórmula da aceleração é a = ΔV/Δt. Conforme o gráfico, em um intervalo de 5s, a velocidade decaiu de 10m/s para 0 m/s, então;
a = ΔV/Δt
a = V – V0 / t – t0a = 0 – 10 / 5 – 0a = – 10 /5
a = -2 m/s2
Agora, nota-se que o S0 = 46 m e t=8s, como pede o enunciado. Com essa informação em mãos, pode-se aplicar a fórmula da função horária da posição para o MRU:
S = S0 + V0.t + a.t2/2
S = 46 + 10.8 + [-2].82/2
S = 46 + 80 – 82S = 126 – 64
S = 62 m, como diz
a alternativa B.
Função horária da posição no movimento uniforme
Quando um corpo admite uma velocidade constante na trajetória, admite-se que ele é um movimento retilíneo uniforme MRU. Para calcular a função horária da posição nesse caso, basta admitir bons referenciais e aplicar as fórmulas do MRU.
Se Vm = ΔS/Δt, em que ΔS = S – S0 e Δs = t -t0, então:
Vm = [S – S0] / [t -t0]
Vm.
[t -t0] = [S – S0]
Como, em geral t0 = 0 e a velocidade média Vm do movimento uniforme é igual a toda a velocidade V da trajetória admite-se que:
V.t – 0 = S – S0
V.t + S0 = S
S = S0 + V.t é a função horária da posição no movimento retilíneo uniforme.
Por exemplo, um automóvel parte de Ribeirão Preto no quilômetro 150 km da estrada A, com velocidade de 80 km/h, no sentido em que a quilometragem cresce na trajetória. Em qual quilômetro da estrada A ele se encontrará daqui 2 horas e meia?
Nota-se que:
S0 = 150 kmS = ?V = 80 km/h
t = 2,5 h
Assim:
S = S0 + V.tS = 150 + 80.2,5S = 150 + 200
S = 350 km o automóvel se encontra no quilômetro 350 km da estrada A.
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