Tentukan persamaan garis yang melalui titik [3, 1] dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 Pembahasan Dua buah garis saling tegak lurus jika memenuhi syarat sebagai berikut m1 ⋅ m2 = −1 y = 2x + 5 memiliki gradien m1 = 2, sehingga garis yang akan dicari persamaannya harus memiliki gradien m1 ⋅ m2 = −1 2 ⋅ m2 = −1 m2 = − 1/2 Tinggal disusun persamaan garisnya y − y1 = m[x − x1] y − 1 = 1/2[x − 3] y − 1 = 1/2 x − 3/2 y = 1/2 x − 3/2 + 1 y = 1/2 x − ½ Soal No. 3 Tentukan persamaan garis yang melalui titik [3, 1] dan sejajar dengan garis y = 2x + 5 Pembahasan Dua buah garis yang sejajar memiliki syarat gradiennya harus sama atau m1 = m2 Gradien garis y = 2x + 5 adalah 2, sehingga gradien garis yang akan dicari juga 2 karena mereka sejajar. Sehingga y − y1 = m[x − x1] y − 1 = 2 [x − 3] y − 1 = 2x − 6 y = 2x − 6 + 1 y = 2x − 5 Soal No. 4 Garis p memiliki persamaan : y = 2x + 5 Tentukan persamaan garis yang didapatkan dengan: a] menggeser garis p ke atas sebanyak 3 satuan b] menggeser garis p ke bawah sebanyak 3 satuan Pembahasan Pergeseran suatu garis ke atas dan ke bawah. y = 2x + 5 a] digeser ke atas sebanyak 3 satuan menjadi: y = 2x + 5 + 3 y = 2x + 8 b] digeser ke bawah sebanyak 3 satuan y = 2x + 5 − 3 y = 2x + 2 Soal No. 5 Garis m memiliki persamaan : y = 2x + 10 Tentukan persamaan garis yang didapatkan dengan: a] menggeser garis m ke kanan sebanyak 3 satuan b] menggeser garis m ke kiri sebanyak 3 satuan Pembahasan Pergeseran suatu garis ke kanan dan ke kiri. y = 2x + 10 a] digeser ke kanan sebanyak 3 satuan y = 2[x − 3] + 10 y = 2x − 6 + 10 y = 2x + 4 b] digeser ke kiri sebanyak 3 satuan y = 2[x + 3] + 10 y = 2x + 6 + 10 y = 2x + 16 Soal No. 6 Garis y = 1/2 x − 5 sejajar dengan garis yang melalui titik P [10, a + 4] dan titik Q [a, 8]. Tentukan koordinat dari titik P dan titik Q! Pembahasan Gradien garis y = 1/2 x − 5 adalah 1/2. Dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Sehingga gradien garis PQ juga 1/2. Koordinat titik P = [10, a + 4] = [10, 6 + 4] = [10, 10] Koordinat titik Q = [a, 8] = [6, 8] Soal No. 7 Tentukan persamaan garis berikut dengan cepat! Pembahasan Menentukan persamaan garis dengan diketahui titik potongnya pada sumbu x dan sumbu y: bx + ay = ab a itu angka disumbu x, yang memotong tentunya, b itu angka di sumbu y ab maksudnya a dikali b. dari gambar: a=3 b=2 Jadi persamaan garisnya: 2x + 3y = 6 Soal No. 8 Gradien garis x − 3y = − 6 adalah.... A. −3 B. − 1/3 C. 1/3 D. 3 [Gradien dan Persamaan Garis - un matematika smp 2012] Pembahasan Cara pertama Arahkan ke bentuk umum persamaan garis, dengan m adalah gradien y = mx + c x − 3y = − 6 x + 6 = 3y 3y = x + 6 y = x/3 + 6/3 y = 1/3 x + 2 Jadi m = 1/3 Cara kedua Satukan x dan y dalam satu ruas, boleh di kiri semua atau di kanan semua, pada soal di atas x dan y sudah dalam satu ruas. Kemudian Soal: x − 3y = − 6 koefisien x = 1 koefisien y = −3 Jadi m = − koefisien x / = − 1 / −3 = 1/3 koefisien y 1. Gradien - Gradien [m] disebut juga kemiringan garis. - Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m[gradien] - Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya : by = -ax – c y = -a/bx – c/b m[gradient] = -a/b contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0 4y = -2×-5 y = -2/4 x – 5/4 maka m = -2/4 = -1/2 cara cepat = -a/b = -2/4 Macam-macam gradien : a] Gradien bernilai positif Bila m [+] contoh : 6x – 2 y – 9 = 0 m = – [6/-2] = 3 [positif] b] Gradien bernilai negative Bila m [-] Contoh : 6x + 3y – 9 = 0 m = – [6/3] = -2 [negative] c] Gradien garis melalui pangkal koordinat Garis l melalui pangkal koordinat [0,0] maka : m = y/x contoh : Gradient Garis yang melalui titik [0,0] dan [2,-3] adalah : m = y/x = -3/2 d] Gradien garis melalui dua titik [x1,y1] dan [x2,y2] sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P [x1 y1] dan Q [x2 Y2] , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = [y2-y1]/[x2-x1] contoh : Gradien melalui titik [-4,5] dan [2,-3] m = [y2-y1]/[x2-x1] = [-3-5]/[2+4] = -8/6 = -4/3 Hubungan 2 garis lurus : Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien : 1] m1 = m2 jika garis k sejajar garis l contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8 a=3,b=6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2 2] m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8 a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2 2. Persamaan Garis Lurus a] Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik [x1,y1], adalah : y – y1 = m [x – x1] Contoh 1 : Tentukanlah persamaan garis melalui titik A[-3,4] dan bergradien -2. jawab : Titik A[-3,4], berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2 Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik [x1,y1] adalah : y – y1 = m [ x – x1 ] y – 4 = -2 {x – [-3]} y – 4 = -2 [x + 3 ] y – 4 = -2 x – 6 y = -2x – 6 + 4 y = -2x – 2 Contoh 2 : Tentukanlah persamaan garis melalui titik B[6,2] dan sejajar dengan garis yang melalui titik P[2,-5] dan Q[-6, 3] jawab : Garis yang melalui titik P[2,-5] dan [-6, 3] P[2,-5] berarti x1 = 2 , y1 = -5 Q[-6,3] berarti x2 = -6 , y2 = 3 Gradien yang melaui titik P[2,-5] dan Q[-6, 3] adalah m [PQ] Misal mPQ = [y2-y1]/[x2-x1] = [3+5]/[-6-2] = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 [ dua garis sejajar ] Titik B[6, 2], berarti x1 = 6 , y1 = 2 Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik [6, 2] adalah : y – y1 = m [ x – x1 ] y – 2 = -1 [x – 6] y – 2 = -x + 6 y = -x + 6 + 2 y = -x + 8 b] Persamaan garis yang melalui dua titik Gradien garis yang melalui titik [x1, y1] dan [x2, y2] yaitu : dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik [x1 , y1], yaitu y – y1 = m [ x – x1 ] dapat diperoleh rumus berikut : y – y1 = m [ x – x1 ] y – y1 = [[y2-y1]/[x2-x1]] [x – x1] [y – y1]/[y2-y1] = [x-x1]/[x2-x1] Kesimpulan : Persamaan garis yang melalui titik [x1, y1] dan [x2, y2] yaitu : [y – y1]/[y2-y1] = [x-x1]/[x2-x1] contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik A[3,4] dan titik B[5,8] jawab : Garis l melalui titik A[3,4] dan titik B[5,8]. A[3,4] berarti x1 = 3 , y1 = 4 B[5,8] berarti x2 = 5 , y2 = 8 Persamaan garis yang melalui titik A[3,4] dan titik B[5,8] adalah : [y – y1]/[y2-y1] = [x-x1]/[x2-x1] [y-4] / [8-4] = [x-3] / [5-3] [y-4] / 4 = [x-3] / 2 2[y – 4] = 4[x – 3] 2y – 8 = 4x – 12 2y – 4x = 8 – 12 2y – 4x = -4 y – 2x = -2 >> Hubungan 2 garis lurus 1] Persamaan garis yang saling sejajar 1] Tentukan persamaan garis yang melalui titik [2,3] dan sejajar dengan garis y = 2x – 5 jawab : y = 2x – 5 maka m = 2 m1 = m2 = 2 [karna sejajar] maka : y – y1 = m [x-x1] y – 3 = 2 [x-2] y = 2×-4+3 y = 2x -1 2] Persamaan garis yang tegak lurus 1] Tentukan persamaan garis yang melalui titik [2,3] dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5 jawab : y = 2x – 5 maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2 maka persamaan garisnya : y – y1 = m [x-x1] y – 3 = -1/2 [x-2] y = -1/2 x + 1 + 3 y = -1/2 x + 4 kali 2 2y = -x + 4 2y + x – 4 = 0 3] Persamaan garis yang berhimpit garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c.. >> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0 4] Persamaan garis yang berpotongan dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya. Contoh Soal : 1. Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius. a. P [–4,–2] c. R [0, –3] e. T [3, 3] b. Q [–2, 0] d. S [1, –2] Jawab : .2.Gambarkan garis lurus yang melalui titik P[3, –3] dan Q[–3, 3]. jawab : 3. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = 2x b. 2x + 3y = 0 c. x = 2y Jawab : a. Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 2. b. Persamaan garis 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga Image:garis lurus gbr 14.jpg Jadi, diperoleh m =–2/3. c. Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga Image:garis lurus gbr 13.jpg Jadi, diperoleh m =1/2. 4. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = 4x + 6 d. 3y = 6 + 9x b. 2 + 4y = 3x + 5 c. 2y = x + 12 Jawab : a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilai m = 4. b. Persamaan garis 2 + 4y = 3x +5 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 18.jpg c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 16.jpg d. Persamaan garis 3y = 6 + 9x diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 17.jpg 5. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. x + 2y + 6 = 0 d. 4x + 5y = 9 b. 2x – 3y – 8 = 0 c. x + y – 10 = 0 Jawab : a. Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 19.jpg b. Persamaan garis 2x – 3y – 8 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 20.jpg c. Persamaan garis x + y –10 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga x + y –10 = 0 y = –x + 10 Jadi, nilai m = –1. d. Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga Image:garis lurus gbr 21.jpg 6. Image:garis lurus gbr 39.jpg 7. Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O [0, 0] dan memiliki: a. gradien 2, Jawab : a. y = mx maka y = [2]x Þ y = 2x 8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P[3, 5] dan memiliki gradien –2. Jawab : Untuk titik P[3, 5] maka x1 = 3, y1 = 5. Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis: fi y – y1 = m [x – x1] y – 5 = –2 [x – 3] y – 5 = –2x + 6 y = –2x + 6 + 5 y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0 9. Tentukan persamaan garis yang melalui: a. titik K[–2, –4] dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0, b. titik R[1, –3] dan sejajar dengan garis yang melalui titik A[4, 1] dan B[–1, 2], c. titik L[5, 1] dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0. Jawab : a. • Langkah pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0. 3x + y – 5 = 0 y = –3x + 5 diperoleh m = –3. Garis h melalui K[–2, –4] maka x1 = –2, y1 = –4. • Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut y – y1 = m [x – x1] y – [–4] = –3[x – [–2]] y + 4 = –3x – 6 y = –3x – 6 – 4 y = –3x –10 Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0 b. • Langkah pertama, tentukan gradien garis yang melalui titik A[4, –1] dan B[–1, 2]. Untuk titik A[4, –1] maka x1 = 4, y1 = –1. Untuk titik B[–1, 2] maka x2 = –1, y2 = 2. Image:garis lurus gbr 45.jpg • Oleh karena garis h sejajar dengan garis yang melalui titik A dan B maka garis h yang melalui titik R [1, –3] memiliki gradien yang sama dengan garis AB yaitu Image:garis lurus gbr 46.jpg Untuk titik R[1, –3] maka x1 = 1, y1 = –3 • Langkah kedua, tentukan persamaan garis h dengan rumus Image:garis lurus gbr 47.jpg c. • Langkah pertama, tentukan gradien garis x – 2y + 3 = 0. Image:garis lurus gbr 48.jpg • Oleh karena h tegak lurus dengan garis x – 2y + 3 = 0 maka gradien garis h yang melalui titik L[5, 1] adalah Image:garis lurus gbr 49.jpg • Langkah kedua, tentukan persamaan garis mL = mh = gradien garis h melalui titik L[5, 1] dengan h melalui gradien m = –2. Untuk titik L[5, 1] maka x1 = 5, y1 = 1. Image:garis lurus gbr 50.jpg 10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut. a. A [3, 3] dan B [2, 1] Jawab : a. Untuk titik A [3, 3] maka x1 = 3 dan y1 = 3. Untuk titik B [2, 1] maka x2 = 2 dan y2 =1. Persamaan yang diperoleh: Image:garis lurus gbr 53.jpg –1 [y – 3] = –2 [x – 3] –y + 3 = –2x + 6 2x – y + 3 – 6 = 0 2x – y – 3 = 0 Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0. 11. Dengan cara substitusi, a.]tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan garis 2x – 3y = 7. Jawab : Ikuti langkah-langkah berikut. • Ambil salah satu persamaan garis, misalnya 3x + y = 5. • Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y. 3x + y = 5 maka y = 5 – 3x. • Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain. 2x – 3y = 7 2x – 3[5 – 3x] = 7 2x – 15 + 9x = 7 2x + 9x = 7 + 15 11x = 22 x=2 • Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis. 3x + y = 5 3 [2] + y = 5 6+y=5 y=5–6 y = –1 • Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah [2, –1] b.]Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp800,00. Adapun harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp1.100,00. Tentukan: a. harga sebuah permen, b. harga sebuah cokelat, c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat. Jawab : 1. Untuk menjawab soal ini, ikuti langkah-langkah berikut. • Gunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x cokelat = y • Terjemahkan ke dalam model matematika. 2 permen + 3 cokelat = Rp800,00 berarti 2x + 3y = 800 1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100 • Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya. x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y. • Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain 2x + 3y = 800 2 [1.100 – 5y] + 3y = 800 2.200 – 10y + 3y = 800 2.200 – 7y = 800 –7y = 800 – 2.200 –7y = –1.400 y = 200 • Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan. x + 5y = 1.100 x + 5 [200] = 1.100 x + 1.000 = 1.100 x = 1.100 – 1.000 x = 100 Dengan demikian, diperoleh: a. harga sebuah permen = x = Rp100,00 b. harga sebuah cokelat = y = Rp200,00 c. harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y = 4 [Rp100,00] + [Rp200,00] = Rp600,00 LINGKARAN Contoh 1: Persamaan Garis Singgung Lingkaran Tentukan persamaan garis singgung di titik [2, 4] pada lingkaran [x + 4]2 + [y – 5]2 = 37. Pembahasan Lingkaran yang memiliki persamaan [x + 4]2 + [y – 5]2 = 37 memiliki titik pusat di [a, b] = [–4, 5] dan kuadrat jari-jarinya, r2 = 37. Sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik [x1, y1] = [2, 4] pada lingkaran tersebut adalah Sehingga, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 6x – y – 8 = 0. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y – 3 = 0 di titik yang berabsis 5. Pembahasan Pertama, kita ubah persamaan x2 + y2 – 6x + 2y – 3 = 0 menjadi bentuk [x – a]2 + [y – b]2 = r2. Sehingga, lingkaran tersebut memiliki titik pusat di [a, b] = [3, –1] dan kudrat dari jari-jarinya r2 = 13. Selanjutnya kita tentukan titik pada lingkaran tersebut yang berabsis 5. Untuk x = 5, kita memperoleh Sehingga, titik-titik pada lingkaran tersebut yang berabsis 5 adalah [5, –4] dan [5, 2]. Diperoleh, persamaan garis singgung yang melalui titik [5, –3] adalah Sedangkan persamaan garis singgung yang melalui titik [5, 2] adalah Jadi, persamaan garis-garis singgungnya adalah 2x – 3y – 22 = 0 dan 2x + 3y – 16 = 0. Perhatikan gambar dari dua garis singgung tersebut. Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui titik A[7,1] Jawaban: Gradien garis singgung pada lingkaran berpusat di [0,0] dengan jari-jari 5 dan melului titik [7,1] adalah m = m = m1 = atau m2= - Karena 72 + 12 = 50 > r2 maka titik A diluar lingkaran Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 melalui titik A[7,1] adalah : Persamaan garis singgung 1 yang melalui m1= adalah y= [x-7]+1 3y=4x-28+3 4x-3y=25 Persamaan garis singgung 2 yang melalui m2=- adalah y= - [x-7]+1 4y=-3x+21+4 3x+4y=25 Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 [satu] adalah garis melalui A[x1,y1] dan persamaan 2 [dua] adalah persamaan garis singgung bergradien m. Contoh: Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik A[7,1] Jawaban: Persamaan 1 y-y1 = m[x-x1] ........... i] y-1 = m [x-7] y= mx –7m +1 Persamaan 2 y= mx r y= mx 5 ........... ii] Dari persamaan 1 dan 2 disamakan diperoleh : Persamaan 1 = Persamaan 2 mx 5 = mx –7m +1 5 = –7m +1 2 25 [ 1+m ]= 49m2- 14m +1 25+ 25m2= 49m2- 14m +1 24 m2 –14m-24 =0 [4m+3][3m-4]=0 m1= - atau m2 = Persamaan garis singgung 1 dengan m1= adalah y= [x-7]+1 3y=4x-28+3 4x-3y=25 Persamaan garis singgung 2 dengan m2=- adalah y= - [x-7]+1 4y=-3x+21+4 3x+4y=25 Menggunakan persamaan garis polar Teknik ini menggunakan rumus garis polar xx1 + yy1 = r2 Langkah-langkah : tentukan persamaan garis polar xx1 + yy1 = r2 tentukan titik potong garis polar dengan lingkaran [T1 dan T2] subtitusikan dua titik potong tersebut ke persamaan garis singgung xx1 + yy1 = r2 Contoh: Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x2 + y2 = 25 yang melalui [7,1] Jawaban: Persamaan garis polar adalah : xx1 + yy1 = r2 7x + y = 25 y= 25-7x Titik potong garis polar dengan lingkaran adalah : x2 + [25-7x]2 = 25 x2 + 625-350x +49 x2 = 25 50x2 -350x +600 = 0 x2 –7 x +12 = 0 [x-3][x-4]=0 x=3 atau x=4 Untuk x=3 diperoleh y= 25-7.3 Untuk x=4 diperoleh y= 25-7.4 y= 4, sehingga titik potongnya [ 3,4] y= -3, sehingga titik potongnya [ 4,-3] Persamaan garis singgung 1 melalui titik singgung [ 3,4 ] adalah : xx1 + yy1 = 25 3x + 4y = 25 Persamaan garis singgung 2 melalui titik singgung [ 4,-3 ] adalah : xx1 + yy1 = 25 4x - 3y = 25 Contoh : Persamaan Lingkaran 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan melalui titik A [-3,5] Penyelesaian : Lingkaran berpusat di O[0,0] dan melalui titik A[-3,5], maka jari-jari r adalah r = √[-3]2 + 52 = √34 r2 = 34 Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 34 Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan melalui titik A[-3,5] adalah L ≡ x2 + y2 = 34 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan melalui titik A [-3,5] Penyelesaian : Pusat di [2,-4] dan r = 5 jadi r2 = 25 Persamaan lingkarannya : [x – 2]2 + [y – 4]2 = 25
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 Penyelesaian : L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 L ≡ [x + 4x]2 + [y2 – 10y] = - 13 L ≡ [x2 + 4x + 4] – 4 + [y2 + 4x – 10y + 25] – 25 = - 13 L ≡ [x + 2]2 + [y – 5]2 = 16 Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat [-2,5] dan jari-jari r = 4 Persamaan Garis Singgung Lingkaran 4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik [-3,2] Penyelesaian : Titik [-3,2]; x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13 Persamaan garis singgungnya : [-3]x + [2]y = 13 -3x + 2y = 13 5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ [x – 3]2 + [y + 1]2 = 25 yang melalui titik [7,2] Penyelesaian : Titik [7,2]; x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ [x – 3]2 + [y + 1]2 = 25 Persamaan garis singgungnya : [7 – 3][x – 3] + [2 + 1][y +1] = 25 4x – 12 + 3y – 34 = 25 4x + 3y – 34 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ [x – 3]2 + [y + 1]2 = 25 yang melalui titik [7,2] adalah 4x + 3y – 34 = 0 6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3. Penyelesaian : Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O[0,0] dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3. Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + [3]2 y = 3x ± 4√10 y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10 Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalah y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10 7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ [x – 1]2 + [y + 2]2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 Penyelesaian : Persamaan garis singgungnya : [y + 2] =5/12[x – 1] ± 3√[1 + [5/12]2 [y + 2] = 5/12[x – 1] ± 39/12 12y + 24 = 5x – 5 ± 39 5x – 12y – 29 ± 39 = 0 5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ [x – 1]2 + [y + 2]2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah 5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0