Persamaan lingkaran yang berpusat di o(0,0) dan memiliki jari-jari 3 adalah …

Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O[0,0] atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M[a,b]. Lingkaran dengan titik pusat O[0,0] dan M[a,b] mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Dalam kehidupan sehari-hari, tentu banyak Anda temui pemanfaatan bentuk lingkaran, misalnya ban sepeda. Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap. Titik tetap itu disebut pusat lingkaran dan jarak titik tetap itu ke titik tertentu disebut jari-jari lingkaran.

Lingkaran dapat dibuat pada bidang Cartesius, yang terdiri dari sumbu x dan sumbu y. Lingkaran dapat dibuat dengan titik pusat O[0,0] atau titik pusat pada koordinat-koordinat lainnya, yaitu M[a,b]. Lingkaran dengan titik pusat O[0,0] dan M[a,b] mempunyai persamaan lingkaran yang berbeda.

Perhatikan Gambar 1 di mana lingkaran berpusat pada O[0,0] dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P[x,y] terletak pada lingkaran. Menurut definisi:

Gambar 1. Lingkaran berpusat di O[0,0] dan jari-jari r

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan mempunyai jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan [i] berjari-jari 4; [ii] melalui titik [3,-2].

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada [i] adalah \[x^2+y^2=16\] [r=4]

Pada [ii], persamaan lingkaran \[x^2+y^2=r^2\] melalui titik [3,-2] sehingga x = 3 dan y = -2. Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu, yaitu:

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan melalui titik [3,-2] adalah \[x^2+y^2=13\].

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di M[a,b] dan Jari-jari r.

Amati Gambar 2 di mana Lingkaran berpusat pada M[a,b] dan mempunyai jari-jari r. Misalkan P[x,y] terletak pada lingkaran.

Gambar 2. Lingkaran berpusat di M[a,b] dan jari-jari r

Menurut definisi:

Jadi, persamaan garis lingkaran yang berpusat di M[a,b] dan jari-jari r adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di [4,-3] dan [i] berjari-jari 5; [ii] melalui titik [2,1].

Pembahasan:

Persamaan lingkaran pada [i] adalah

Persamaan lingkaran pada [ii] melalui titik [2,1] sehingga \[x = 2\] dan \[y = 1\]. Untuk mencari persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari nilai r terlebih dahulu yakni

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di [4,-3] dan melalui titik [2,1] adalah

\[ [x-4]^2+[y+3]^2=20 \]

Persamaan Umum Lingkaran

Lingkaran mempunyai persamaan umum, yaitu:

Titik pusatnya adalah [-A, -B] dan jari-jarinya adalah r yakni

Bukti:

Jika bentuk umum persamaan lingkaran yang digunakan adalah \[ x^2+y^2+Ax+By+C=0 \] maka pusat lingkarannya adalah

dan jari-jarinya adalah

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 3:

Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan:

Pembahasan:

Persamaan lingkaran \[x^2+y^2-4x+6y-12=0\] merupakan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu \[x^2+y^2+2Ax+2By+C=0\]. Dengan membandingkan letak nilai yang bersesuaian diperoleh:

Sehingga pusat lingkaran [-A,-B] = [2,-3] dan jari-jari lingkaran [r] adalah

Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran yang mempunyai persamaan: \[x^2+y^2-4x+6y-12=0\] adalah [2,-3] dan 5.

Contoh 4:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik [3,2], [-1,6] dan [-1,2].

Gambar 3. Lingkaran yang melalui titik [3,2], [-1,6] dan [-1,2].

Pembahasan:

Misalkan persamaan lingkaran:

Jika melalui titik [3,2], maka

Jika melalui titik [-1,6], maka

Jika melalui titik [-1,2] maka

Dari persamaan [1] dan [2], diperoleh

Dari persamaan [2] dan [3], diperoleh

Substitusi persamaan [5] ke persamaan [4], diperoleh

Nilai A dan B yang diperoleh dari perhitungan di atas disubstitusi ke persamaan [1] sehingga diperoleh:

Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah:

Cukup sekian penjelasan mengenai cara menentukan persamaan lingkaran dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Dengan menerapkan rumus persamaan lingkaran yang berpusat di  dan berjari-jari , diperoleh perhitungan sebagai berikut.

 

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di  dan berjari-jari 3 adalah .