Persamaan lingkaran yang melalui titik 3 16 dan memiliki titik pusat (3, 4 tentukan jari jarinya)

         Blog Koma - Persamaan Lingkaran merupakan materi yang ada kaitannya dengan irisan kerucut. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

. Dari gambar di atas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = $r$.

Persamaan lingkaran dengan pusat [0,0] dan jari-jari $ r$

       Misalkan ada titik A[$x,y$] terletak pada lingkaran yang berpusat di O[$0,0$] seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah OA [ $ OA = r $ ].

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik O[$0,0$] ke titik A[$x,y$], diperoleh : $\begin{align} |OA| & = \sqrt{[x_2-x_1]^2 + [y_2-y_1]^2} \\ r & = \sqrt{[x-0]^2 + [y-0]^2} \\ r & = \sqrt{x^2 + y^2} \\ r^2 & = x^2 + y^2 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkaran berpusat di O[$0,0$] dengan jari-jari $ r $ :

$\begin{align} x^2 + y^2 = r^2 \end{align} $

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O[$0,0$] dan jari-jarinya 5 ! Penyelesaian : *]. Pusatnya O[$0,0$] dan $ r = 5 $ $\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + y^2 & = 5^2 \\ x^2 + y^2 & = 25 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 = 25 $ .

Persamaan lingkaran dengan pusat A[$a,b$] dan jari-jari $ r$

       Misalkan ada titik B[$x,y$] terletak pada lingkaran yang berpusat di A[$a,b$] seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah AB [ $ AB = r $ ].

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik A[$a,b$] ke titik B[$x,y$], diperoleh : $\begin{align} |AB| & = \sqrt{[x_2-x_1]^2 + [y_2-y_1]^2} \\ r & = \sqrt{[x-a]^2 + [y-b]^2} \\ r^2 & = [x-a]^2 + [y-b]^2 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkaran berpusat di A[$a,b$] dengan jari-jari $ r $ :

$\begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 = r^2 \end{align} $

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di [-2,1] dengan jari-jari 3 ! Penyelesaian : *]. Pusat $[a,b]=[-2,1] \, $ dan $ r = 3 $ $\begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-[-2]]^2 + [y-1]^2 & = 3^2 \\ [x+2]^2 + [y-1]^2 & = 9 \\ [x^2 + 4x + 4] + [y^2 - 2y + 1] & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 & = 0 \end{align} $ Jadi, persamaan lingakarannya : $ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0 $

Bentuk Umum Persamaan lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} \, $ yang diperoleh dari persamaan lingkaran $\begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 = r^2 \end{align} $ . Menentukan pusat dan jari-jari liingkaran dari bentuk umumnya : $\begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x^2 - 2ax + a^2] + [y^2 - 2by + b^2] & = r^2 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + [a^2 + b^2 - r^2] & = 0 \\ \text{bentuk ini sama dengan } & \\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} $ Sehingga diperoleh : $\begin{align} A & = -2a \rightarrow a = -\frac{A}{2} \\ B & = -2b \rightarrow b = -\frac{B}{2} \\ C & = a^2 + b^2 - r^2 \rightarrow r^2 = a^2 + b^2 - C \\ r & = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{[-\frac{A}{2}]^2 + [-\frac{B}{2}]^2 - C} = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} \end{align} $ Jadi, Pusat lingkaran dan jari-jarinya : Pusat : $ A[a,b] = \left[ -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right] $

Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \, $ atau $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C $

Contoh : Dari persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $, tentukan pusat dan jari-jarinya ! Penyelesaian : *]. Persamaan bentuk umumnya : $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $ artinya nilai $ A = -4, \, B = 6, \, $ dan $ C = -3 $ *]. Menentukan pusat dan jari-jari lingkarannya. Pusat : $ A[a,b] = \left[ -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right] = \left[ -\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2} \right] = [2, -3] $ Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 2^2 + [-3]^2 - [-3] \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $ atau cara kedua : Jari-jari : $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C \rightarrow r^2 = \frac{[[-4]^2}{4} + \frac{6^2}{4} - [-3] \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 . $ Jadi, pusat lingkaran [$ 2,-3$] dan jari-jarinya $ r = 4 $.

Pola - pola dalam Menyusun Persamaan lingkaran

       Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya membutuhkan pusatnya [$a,b$] dan jari-jari $ r $ . Hanya saja tidak semua soal sudah lengkap ada kedua-duanya [pusat dan jari-jarinya]. Berikut beberapa pola yang biasanya berkaitan dengan menyusun persamaan lingkaran.

i]. Diketahui pusat lingkaran [$a,b$] dan lingkaran melalui sembarang titik [$p,q$]. Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita butuh jari-jarinya yaitu jarak titik pusat ke titik yang dilalui. Untuk jarak dua titik, silahkan baca materi "jarak dua titik".

Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \sqrt{[p-a]^2 + [q-b]^2} \end{align} $

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat [1,2] dan melalui titik [3, 5]! Penyelesaian : *]. Menentukan jari-jari lingkaran [jarak titik [1,2] dan [3,5]] : $ \begin{align} r & = \sqrt{[3-1]^2 + [5-2]^2} \\ r & = \sqrt{[2]^2 + [3]^2} \\ r & = \sqrt{13} \end{align} $ *]. Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $[a,b]=[1,2] $ dan $ r = \sqrt{13} $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-1]^2 + [y-2]^2 & = [\sqrt{13}]^2 \\ [x-1]^2 + [y-2]^2 & = 13 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x-1]^2 + [y-2]^2 = 13 $

ii]. Diketahui pusat lingkaran [$a,b$] dan lingkaran menyinggung garis $ mx + ny + c = 0 $ . Jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis. Untuk menghitung jaraknya, silahkan baca materi "jarak titik ke garis". Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \end{align} $

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik [-1,2] dan lingkaran menyinggung garis $ y = 2x + 9 $ ! Penyelesaian : *]. Menentukan jari-jari lingkaran [jarak titik [-1,2] ke garis] : garis : $ y = 2x + 9 \rightarrow 2x-y + 9 = 0 $ $ \begin{align} r & = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2x-y + 9}{\sqrt{2^2 + [-1]^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2.[-1]-2 + 9}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \left| \frac{5}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \end{align} $ *]. Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $[a,b]=[-1,2] $ dan $ r = \sqrt{5} $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-[-1]]^2 + [y-2]^2 & = [\sqrt{5}]^2 \\ [x+1]^2 + [y-2]^2 & = 5 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x+1]^2 + [y-2]^2 = 5 $

iii]. Diketahui pusat lingkaran [$a,b$] dan lingkaran menyinggung sumbu-sumbu. *]. Jika lingkaran Menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya $ r = b $ *]. Jika lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ *]. Jika lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka titik pusatnya [$p,p$], sehingga $ r = p $

Contoh : 1]. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat [2,5] dan lingkaran menyinggung sumbu X ! Penyelesaian : *]. Lingkaran menyinggung sumbu X, artinya jari-jari : $ r = b = 5 $ *]. Persamaan lingkarannya dengan pusat $[a,b] = [2,5] \, $ dan $ r = 5 $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-2]^2 + [y-5]^2 & = 5^2 \\ [x-2]^2 + [y-5]^2 & = 25 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x-2]^2 + [y-5]^2 = 25 $ 2]. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat [-3,1] dan lingkaran menyinggung sumbu Y ! Penyelesaian : *]. Lingkaran menyinggung sumbu Y, artinya jari-jari : $ r = a = -3 $ karena jari-jari selalu positif, maka $ r = |-3| = 3 $ *]. Persamaan lingkarannya dengan pusat $[a,b] = [-3,1] \, $ dan $ r = 3 $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-[-3]]^2 + [y-1]^2 & = 3^2 \\ [x+3]^2 + [y-1]^2 & = 9 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x+3]^2 + [y-1]^2 = 9 $ 3]. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat [6,6] dan lingkaran menyinggung kedua sumbu [sumbu X dan sumbu Y]! Penyelesaian : *]. Lingkaran menyinggung kedua sumbu, artinya jari-jari : $ r = a = b = 6 $ *]. Persamaan lingkarannya dengan pusat $[a,b] = [6,6] \, $ dan $ r = 6 $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-6]^2 + [y-6]^2 & = 6^2 \\ [x-6]^2 + [y-6]^2 & = 36 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x-6]^2 + [y-6]^2 = 36 $

iv]. Diketahui titik A[$x_1,y_1$] dan titik B[$x_2,y_2$] merupakan diameter suatu lingkaran. Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita harus menentukan titik pusat dan jari-jarinya. Titik pusat lingkaran adalah titik tengah dari titik A dan B, serta jari-jarinya adalah setengah dari panjang AB [diameter]. Silahkan baca materi "menentukan titik tengah antara dua titik". Titik Pusat : $ \begin{align} [a,b] = \left[ \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right] \end{align} $ Jari-jari : $ \begin{align} r = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{[x_2-x_1]^2 + [y_2-y_1]^2} \end{align} $

Contoh : Jika titik A[1,3] dan titik B[5,7] merupakan diameter suatu lingkaran, tentukan persamaan lingkaran tersebut! Penyelesaian : *].Menentukan titik pusat lingkaran [$a,b$] : $ \begin{align} [a,b] & = \left[ \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right] \\ & = \left[ \frac{1 + 5}{2} , \frac{3 + 7}{2} \right] \\ & = [3,5] \end{align} $ *]. Menentukan jari-jari lingkaran : $ \begin{align} r & = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{[x_2-x_1]^2 + [y_2-y_1]^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{[5-1]^2 + [7-3]^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{4^2 + 4^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{32} \\ & = \frac{1}{2}. [ 4 \sqrt{2} ] \\ r & = 2 \sqrt{2} \end{align} $ *]. Persamaan lingkarannya dengan pusat $[a,b] = [3,5] \, $ dan $ r = 2\sqrt{2} $ $ \begin{align} [x-a]^2 + [y-b]^2 & = r^2 \\ [x-3]^2 + [y-5]^2 & = [2\sqrt{2}]^2 \\ [x-3]^2 + [y-5]^2 & = 8 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ [x-3]^2 + [y-5]^2 = 8 $

v]. Lingkaran melalui tiga sebarang titik. Untuk menentukan persamaan Lingkarannya, cukup substitusi ketiga titik yang dilalui ke persamaan umum lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \, $ sehingga terbentuk tiga persamaan. Dari ketiga persamaan tersebut, lakukan eliminasi dan substitusi untuk menentukan nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ , lalu substitusi kembali nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ ke bentuk umum persamaan lingkarannya.

Contoh : Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik [3, -1], [5, 3], dan [6, 2] kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran. ! Penyelesaian : *]. Bentuk Umum persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ *]. Substitusi ketiga titik yang dilalui ke bentuk umum. $ \begin{align} [x,y] = [3,-1] \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 3^2 + [-1]^2 + A.3 + B.[-1] + C & = 0 \\ 9 + 1 + 3A - B + C & = 0 \\ 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs[i]} \\ [x,y] = [5,3] \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 5^2 + 3^2 + A.5 + B.3 + C & = 0 \\ 25 + 9 + 5A + 3B + C & = 0 \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs[ii]} \\ [x,y] = [6,2] \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 6^2 + 2^2 + A.6 + B.2 + C & = 0 \\ 36 + 4 + 6A + 2B + C & = 0 \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs[iii]} \end{align} $ Terbentuklah 3 persamaan yaitu $ \begin{align} 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs[i]} \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs[ii]} \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs[iii]} \end{align} $ *]. Selesaikan ketiga persamaan tersebut dengan eliminasi dan substitusi, diperoleh nilai $ A = -8, \, B = -2, \, $ dan $ C = 12 $ Sehingga persamaan lingkarannya : $ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 = 0 $