Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0, 0) dan menyinggung garis x y 4 0 adalah

LINGKARAN

PENDAHULUAN

Lebih dari seribu tahun yang lalu, para ahli matematika Bangsa Yunani biasa memandang garis singgung sebuah lingkaran sebagai sebuah garis yang menyentuh lingkaran hanya di satu titik. Descartes bahkan mempunyai argument bahwa pasti ada dua titik potong ketika sebuah garis memotong lingkaran. Jika hanya ada satu titik potong, maka garis itu pastilah garis singgung lingkaran. Mereka hanya menenmpatkan lingkaran sebagai bangun yang stagnan.

Berlawanan dengan ide-ide tersebut, Issac Newton, orang Inggris yang menemukan Hukum Universal Gravitasi, mempunyai pendapat yang berbeda mengenai garis singgung. Ia memandang garis singgung pada sebuah titik sebagai limit posisi dari sebuah garis yang melalui titik itu dan titik lain yang bergerak semakin dekat ke titik tadi. Dengan demikian, lingkaran menurut Newton merupakan lintasan lengkung tertutup sederhana yang membolehkan gerakan dan oleh karena itu lingkaran disebut bangun yang dinamis.

STANDAR KOMPETENSI

3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya.

KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

KOMPETENSI DASAR	INDIKATOR
Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan	Merumuskan persamaan lingkaran berpusat di [0,0] dan [a,b]. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya diketahui. Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu. Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi	Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan menentukan sifat-sifatnya Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. Menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Merumuskan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

A. DEFINISI

Y

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama [ jari-jari linkaran ] terhadap sebuah titik tertentu [ pusat lingkaran ] yang digambarkan pada bidang kartesius. r = jari-jari lingkaran r = AP = BP = CP

O X

Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula jarak. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.

1. Jarak antara dua titik A[x1 , y1] dan B[x2 , y2], ditentukan oleh j =

2. Jarak titik A[x1 , y1] terhadap garis lurus ax + by + c = 0 dirumuskan

B. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O [ 0,0 ] dan Berjari-jari r

			Berdasarkan definisi lingkaran, maka akan diperoleh persamaan lingkaran yang berjari– jari r dan berpusat di titik pangkal O[0,0]. Titik A[x,y] pada Lingkaran. Jari-jari lingkaran r = . Dengan mengingat kembali rumus jarak antara dua titik, maka akan diperoleh rumus persamaan lingkaran: Jadi diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat O[0,0] dan berjari-jari r adalah :

Contoh 1

Tentukan persamaan lingkaran yang :

1. berpusat di O[0, 0] dan r = 3
2. berpusat di O[0, 0] dan melalui titik A[3, 4]
3. berpusat di O[0, 0] dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0

Jawab :

1. Pusat di O[0, 0] dan r = 3

x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9 atau x2 + y2 – 9 = 0

1. Pusat di O[0, 0] dan melalui titik A[3, 4]

Karena melalui titik A[3, 4] maka nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai

r2 = 32 + 42 r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.

1. Pusat di O[0, 0] dan meyinggung garis 12x – 5y – 39 = 0

			Karena menyinggung garis 12x – 5y – 39=0 maka r merupakan jarak titik pusat O[0, 0] dengan garis 12x – 5y – 39 = 0. Dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis diperoleh jar-jari :

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 9

1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P [ a, b ] dan Berjari-jari r

Titik A[x, y] pada lingkaran yang berpusat di P[a,b] dan jari-jari lingkaran r, sehingga = r. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, maka akan diperoleh rumus persamaan lingkaran: Merupakan persamaan baku lingkaran dengan pusat P[a, b] dan jari-jari r.

Y

X

O

Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang :

1. berpusat di P[4, 3] dan r = 6
2. berpusat di P[5, -1] dan melalui A[-1, 7]
3. berpusat di P[2, 3] dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0

Jawab :

1. berpusat di P[4, 3] dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3

[x – 4]2 + [y – 3]2 = 62

[x – 4]2 + [y – 3]2 = 36

1. berpusat di P[5, -1] dan melalui A[-1, 7], maka r = panjang PA =. Dengan menggunakan jarak dua titik diperoleh r = = 10

Persamaan Lingkaran :

[x – 5]2 + [y + 1]2 = 102

[x – 5]2 + [y + 1]2 = 100

1. berpusat di P[2, 3] dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0

Jari-jari lingkaran merupakan jarak P[2, 3] dengan garis 2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :

Persamaan lingkaran:

13[x – 2]2 + 13[y – 3]2 = 289

LATIHAN 1

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. 1. 1. 1. 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan mempunyai :

2. r = 4 b. r = c. r = d. r = 2 +

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan melalui titik :

1. [ - 3, 0 ] b. [ - 2, 3 ] c. [ 6, - 8 ] d. [ 0, 5 ]

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan menyinggung garis :

1. x = 2 b. x + 1 = 0 c. y = - 6 d. y – 7 = 0

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[ 2, - 3 ] dan mempunyai :
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[ 0, - 4 ] dan mempunyai :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[ - 3, 1 ] dan menyinggung :

1. sumbu x b. x = 1 c. y = 0 d. y + 3 = 0

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[2,0] dan melalui titik :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[ - 1, 4 ] dan melalui titik :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan titik :

1. A [ -2,3 ] dan B [ 6, 3 ] b. A [1,-2] dan B[-3,6]

10. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O[0,0] dan menyinggung garis :

a. 3x + 4y + 10 = 0 b. x – y =

11. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P[1, -2] dan menyinggung garis:

a. 6y – 8y = 10 b. 2x + y – 20 = 0

1. 1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 1 = 0, melalui titik pangkal O [0, 0] dan berjari-jari !

   2. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – 2y + 6 = 0, melalui titik pangkal O [0,0] dan menyinggung garis 4x – 3y – 6 = 0 !
   3. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran berikut :

1. 1. x2 + y2 = 25 c. [x – 2]2 + [y + 5]2 = 12
   2. 2x2 + 2y2 = 3 d. 3[x + 4]2 + 3[y – 1]2 = 27

1. 1. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y dengan titik pusat pada kuadran III dan berjari-jari 3 !

1. BENTUK UMUM PERS. LINGKARAN

Persamaan lingkaran dengan pusat P[a, b] dan berjari-jari r mempunyai persamaan baku , jika bentuk ini dijabarkan maka diperoleh :

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, misalkan A = – 2a, B = – 2b dan C = a2 + b2 – r2 maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran :

Dengan Pusat dan jar-jari

Contoh 3

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 !

Jawab :

a. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24

Contoh 4

Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik [1, 7], tentukan pusat lingkaran tersebut !

Jawab :

Subtitusi [1, 7] ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :

12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0

7b = – 42 b = – 6

Pusat : = [– 2, 3]

LATIHAN 2

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. 1. 1. 1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut !
            1. x 2 + y 2 + 4x – 2y + 1 = 0 c. x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0
            2. x 2 + y 2 – 4y – 5 = 0 d. 2x 2 + 2y 2 – 4x + 3y = 0
         2. Tentukan pusat dan jari-jarinya, lingkaran yang melalui titik:
2. [2 , 3], [0, -1] dan [3 , 0] b. [1 , 3], [6, -2] dan [-3 , -5]
   1. 1. 1. Lingkaran x 2 + y 2 – 4x + 2y + c = 0 melalui titik [0, -1]. Tentukan jari-jarinya !
         2. Lingkaran x 2 + y 2 – 4x + 6y + m = 0 berjari-jari 5. Tentukan nilai m !
         3. Lingkaran x 2 + y 2 + 2px + 6y + 4 = 0 mempunyai jari-jari 3 dan menyinggung sumbu X. Tentukan pusat Lingkaran !
         4. Lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, tentukan nilai c !
         5. Titik [a, b] adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0, tent. Nilai 2a + b !
         6. Diketahui Lingk x2 + y2 – 2px + q = 0 berjari-jari 2. Garis x – y = 0 menyinggung lingkaran tersebut. Tent. Nilai p yang positif !

1. 1. 1. 1. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis x = 2 dan menyinggung sumbu Y di titik [0, 3] !
         2. Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya terletak pada garis y = – 3 dan menyinggung sumbu X di titik [– 1, 0] !
         3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A[6, 3] dan menyinggung sumbu X di titik B[2, 0] !
         4. Tentukan persamaan lingkaran yang konsentris [sepusat] dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 12y – 2 = 0 dan melalui titik A[– 1, 5] !

         5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X positif dan menyinggung garis serta melalui titik !

         6. Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 2 satuan dan menyinggung garis 3x + 3y – 7 = 0 di titik !

         7. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis – 2x + y + 1 = 0, berjari-jari 5 dan menyinggung sumbu X !
         8. Tentukan nilai p yang positif agar lingkaran x2 + y2 – 2px + q = 0 dengan jari-jari 2 menyinggung garis y = x !
         9. Tunjukkan bahwa garis 3x + 4y = 0 meyinggung lingkaran yang berjar-jari 3 dan berpusat di titik [5, 0] !
         10. Lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, tentukan nilai c !

1. POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

Ada tiga kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran:

1. 1. 1. 1. Titik terletak pada lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat:

a. atau

b. atau

c.

1. 1. 1. 1. Titik terletak di dalam lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat:

c.

1. 1. 1. 1. Titik terletak di luar lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat:

c.

Contoh 5

Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A[1, 2] terhadap lingkaran :

1. 1. 1. 1. 1. x2 + y2 = 9
            2. [x – 2]2 + [y + 1]2 = 10
            3. x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

Jawab :

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Titik A[1, 2] dan L x2 + y2 = 9

Subtitusi A[1, 2] ke L x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9. Jadi A[1, 2] terletak di dalam L x2 + y2 = 9.

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Titik A[1, 2] dan L [x – 2]2 + [y + 1]2 = 10

Subtitusi A[1, 2] ke L [x – 2]2 + [y + 1]2 = 10 diperoleh [1 – 2]2 + [2 + 1]2 = 10 = 10. Jadi titik A[1, 2] terletak pada L [x – 2]2 + [y + 1]2 = 10.

Video liên quan