Seis casais estão Numa festa uma pessoa e escolhida ao acaso qual e a probabilidade de ser mulher

Sabe-se que que 132 alunos acertaram o primeiro,´ 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso a] nao tenha acertado nenhum problema?~ b] tenha acertado apenas o segundo problema? 6] [Problema Classico dos aniversarios]´ ´ Determinar a probabilidade de n pessoas [n 365] escolhidas ao acaso completarem aniversario em n dias diferentes.´ 7] Se P[A] = 1/3 , P[B] = 1/4 , A e B podem ser disjuntos? _ [Sugestao: P[A] = P[A B] + P[A B] e [A B] B]~ _ _ _     8] Dois homens h e h , e tres mulheres m , m e m , estao num torneio de xadrez.^ ~     8 Os do mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes^ mais probabilidades de ganhar do que qualquer mulher. i] Encontre a probabilidade de que uma mulher venca o torneio.¸ ii] Se h e m , sao casados, encontre a probabilidade de que um deles venca.~ ¸  9] Seis casais estao numa sala.~ i] Se 2 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a]~ sejam casadas, b] uma seja do sexo masculino e outra do feminino. ii] Se 4 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a]~ 2 casais sejam escolhidos, b] nenhum casal seja escolhido, c] exatamente um casal seja escolhido. iii] Se as 12 pessoas estao divididas em 6 pares, encontre a probabilidade p de que~ a] cada par seja um casal, b] cada par contenha uma pessoa do sexo masculino e outra do feminino. 10] Em um congresso cientifico existem 15 matematicos e 12 estatisticos. Qual a´ ´´ probabilidade de se formar uma comissao com 5 membros, na qual figurem 3 matematicos e~ ´ 2 estatisticos?´ 11] A seguinte afirmacao trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B¸~ ocorra. Prove que: P [A B] [A B] = P[A] + P[B] -2.P[A B] _ _      12] a] Prove que, para dois eventos quaisquer A e B, P[A B] P[A] + P[B]  b] Generalize a] para n eventos quaisquer A , A , . . . , A :  n P[A A . . . A ] P[A ] + P[A ] + . . . + P[A ] Desigualdade de Boole      n n [Sugestao: Usar Inducao Finita]~ ~¸ 13] Uma secretaria ineficiente coloca ao acaso n cartas em n envelopes. Determine a´ probabilidade de ao menos uma carta chegar ao seu destino. 14] Em uma cidade onde se publicam tres jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000^ familias, assinam:´ A: 470 ; B: 420 ; C: 315 ; A e B: 110 ; A e C: 220 ; B e C: 140 e 75 assinam os tres. Escolhendo-se ao acaso uma familia, qual a probabilidade de que ela:^ ´ a] nao assine nenhum dos tres jornais?~ ^ b] assine apenas um dos tres jornais?^ c] assine pelo menos dois jornais? 9 Capítulo2 Probabilidade Condicional e Independência 2.1 Definicao¸~ A probabilidade de um evento A geralmente se modifica quando recebemos a informacao adicional da ocorrencia ou nao de um outro evento B relacionado com A. Esta¸~ ~^ probabilidade e definida como probabilidade condicional e e representada por P[A/B].´ ´ Sempre que calculamos P[A], dado B, estaremos essencialmente calculando P[A] em relacao ao espaco amostral reduzido a /B em lugar de faze-lo em relacao ao espaco¸ ¸ ¸ ¸~ ~^ amostral . Definic¸a~o: A Probabilidade Condicional de um evento A dado a ocorrencia de um evento B^ e definida por,´ P[A/B] = onde P[B] 0. P[A B]P[B]   Exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o 1o. ano de uma faculdade. Destes alunos 100 sao homens [H] e 150 sao mulheres [M], 110 cursam fisica [F] e 140 cursam quimica~ ~ ´ ´ [Q]. A distribuicao dos alunos e a seguinte:¸~ ´ ------------------------------------------------ F Q Total ----------------------------------------------- H 40 60 100 M 70 80 150 ----------------------------------------------- Total 110 140 250 Um aluno e sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando´ quimica, dado que e mulher?´ ´ Sol: Sejam os eventos Q: o aluno cursa quimica e M: o aluno e mulher´ ´ Desejamos saber P[Q/M] = ? Pelo quadro vemos que esta probabilidade e P[Q/M] = .´ 80150 Pela definicao, P[Q/M] = ¸~ P[Q M]P[M]  Dai,´ P[Q/M] = = . 80 250 150 250 80 150 10 NOTA: Note que a probabilidade condicional definida acima satisfaz os axiomas da definicao de probabilidade, i.e,¸~ ´ i'] 0 P[B/A] 1  ii'] P[ /A] = 1 iii'] P[ E /A] = P[E /A] se E , E , . . . forem eventos mutuamente exclusivos. i=1   i i i=1     2.2 Propriedades 1- P[ /A] = 0 2- P[B/A] = 1 - P[B/A] _ 3- i] P[E E /A] = P[E /A] + P[E /A] - P[E E /A]       ii] se E E = entao P[E E /A] = P[E /A] + P[E /A]~        4- Tambem podemos generalizar a propriedade 3] de probabilidade condicional para n´ eventos E , E , . . ., E .  n 2.3 Teoremas LEI DA MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P[A B] = P[B].P[A/B]  Tambem, de P[B/A] = entao P[A B] = P[A].P[B/A]´ ~P[A B]P[A]   Exemplo: Em um lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas. Duas pecas sao retiradas uma apos a¸ ¸~ ~ ´ outra sem reposicao. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?¸~ Sol: Sejam os eventos A: a 1a. peca e boa e B: a 2a. peca e boa¸ ¸´ ´ P[A B] = P[A].P[B/A] = . =  8 7 1412 11 33 NOTA: Com 3 eventos A, B e C temos, i] P[A/B C] =  P[A B C]P[B C]    ii] P[A B C]=P[A].P[B/A].P[C/A B]   11 GENERALIZAC¸A~O DA LEI DE MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P[ A ] = P[A ].P[A /A ].P[A /A A ] . . . P[A /A A . . . A ] n i=1     i n n-1        TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao do espaco amostral. Seja¸~  n B um evento desse espaco. Entao¸ ~ P[B] = P[A ].P[B/A ] n i=1 i i prova: Os eventos [B A ] e [B A ] , i j , i=1, . . , n e j=1, . . . , n sao mutuamente~  i j exclusivos, pois [B A ] [B A ] = B [A A ] = B =        i j i j Alem disso, B = [B A ] [B A ] . . . [B A ] ´        n Dai,´ P[B] = P [B A ] [B A ] . . . [B A ] = P[B A ] =            n i n n i=1 i=1 P[A ].P[B/A ]i i Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contem 4´ ´ bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambem ao´ acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca? Sol: Sejam os eventos: I = {a bola provem da urna I}´ II = {a bola provem da urna II}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem o evento B = {a bola selecionada e branca}´ ´ 12 Queremos P[B] = ? Sabemos que P[I] = P[B/I] = 1 3 2 5 P[II] = P[B/II] = 1 4 2 6 Pelo Teorema da Probabilidade Total, P[B] = P[I].P[B/I] + P[II].P[B/II] Logo, P[B] = . + . = 1 3 1 2 19 2 5 2 3 30 TEOREMA DE BAYES: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao de .¸~  n  Seja B um evento . Suponhamos conhecidas P[A ] e P[B/A ], i=1, 2, . . .,n. i i Entao~ P[A /B] = , j=1, . . .,nj P[A ].P[B/A ] P[A ].P[B/A ] j j n i=1 i i prova: Por definicao P[A /B] = j=1, . . . , n¸~ j P[A B] P[B] j Mas, P[A B] = P[B/A ].P[A ]j j j Pelo Teorema da Probabilidade Total: P[B] = P[A ].P[B/A ] n i=1 i i Dai,´ P[A /B] = , j=1, . . .,nj P[A ].P[B/A ] P[A ].P[B/A ] j j n i=1 i i 13 Exemplo: Uma urna A contem 3 moedas de ouro e 2 de pratas. Uma segunda urna B´ contem 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se´ uma moeda. Dado que a moeda e de ouro, qual a probabilidade que a urna A tenha sido a´ escolhida? Sol: Sejam os eventos A = {a moeda provem da urna A}´ B = {a moeda provem da urna B}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem, o evento O = {a moeda selecionada