Suku ke-15 dari barisan 2 6 12 20 .... adalah

1. Barisan Bilangan Sederhana

Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.

Perhatikan barisan bilangan berikut ini : 1, 2, 4, 7, 11, … Artinya :

Suku pertama ditulis  U1 = 1


Suku ke-dua ditulis   U2 = 2
Suku ke-tiga ditulis  U3 = 4
Suku ke-empat ditulis U4 = 7
Dan seterusnya …

Suku ke-n ditulis Un

Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”

Perhatikan barisan bilangan berikut :

”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”.

Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-ndengan menggunakan rumus Un

Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :

  • Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, …

Rumus suku ke-n adalah Un = n
Suku ke-10 adalah U10 = 10

  • Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, …

Rumus suku ke-n adalah Un = 2n
Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40

  • Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, …

Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1
Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29

  • Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, …

Rumus suku ke-n adalah Un = n2
Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144

Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :

  • Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, …

Pola  

, …
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1)
Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72

  • Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, …

Pola  

, …
Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1)
Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55

  • Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal


Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 20 = 21-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 21 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 = 23-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1

2. Barisan Aritmetika dan Geometri

a. Barisan Aritmetika

Adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)

  • Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, …

Suku awal / suku pertama atau a = 2 Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3

Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik

  • Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, …

Suku awal / suku pertama atau a = 20 Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2

Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika U1 = a      = a + (1-1)b U2 = a + b  = a + (2-1)b U3 = a + 2b = a + (3-1)b U4 = a + 3b = a + (4-1)b … Un = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :

dengan Un = Suku ke-n a = suku awal / suku pertama

b = beda

Contoh :
Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , …

Jawab : a = 1 b = 4 – 1 = 7 – 4

= 3

Un = a + (n-1) b U15 = 1 + (15 – 1) x 3 = 1 + 14 x 3 = 1 + 42

= 43

U20 = 1 + (20 – 1) x 3 = 1 + 19 x 3 = 1 + 57

= 58

Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58

b. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio)

  • Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, …

Suku awal / suku pertama atau a = 2 Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3

Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik

  • Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , …

Suku awal / suku pertama atau a = 20 Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½

Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri
U1 = a      = a x r1-1
U2 = a x r  = a x r2-1
U3 = a x r2 = a x r3-1
U4 = a x r3 = a x r4-1 …

Un = a  x rn-1

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

dengan Un = suku ke-n a = suku awal / suku pertama

r = rasio

Contoh :
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , …

Jawab : a = 2 ,  r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2 Un = a x rn-1 U9 = 2 x 29-1 = 2 x 28 = 2 x 256 = 512

Jadi suku ke-9 adalah 512

3. Deret Aritmetika dan Geometri

a. Deret Aritmetika

Apabila barisan bilangan aritmetika dijumlahkan maka akan terbentuk deret Aritmetika

Contoh : Barisan Aritmetika : 2, 6 , 10 , 14 , … . Deret Aritmetika : 2 + 6 + 10 + 14 + … .

Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn 


Jadi S1 = U1 = 2
S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 10 = 18
S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 10 + 14 = 32 …..

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

Sn = U1 +    U2      +     U3     + … + Un Sn =  a + (a + b)  + (a + 2b) + … + Un Sn = Un + Un – b    + Un – 2b  + … + a ———————————————– + 2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + … + (a +Un) 2.Sn = n (a + Un)

,



dengan Sn = jumlah n suku pertama
a  = suku awal
b  = beda

Contoh :
Jumlah dari  100 + 95 + 90 + 85 + … + 5 = …

Jawaban : a = 100 b = 95 – 100 = 90 – 95 = -5 Un = a + (n-1)b 5 = 100 + (n-1)(-5) 95 = (n-1)(-5) 19 = (n-1) n = 20


Jadi jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + … + 5 = 1.050

b. Deret Geometri

Apabila barisan bilangan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deret geometri Contoh : Barisan geometri : 2, 6 , 18 , 54 , … . Deret geometri : 2 + 6 + 18 + 54 + … .

Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn


Jadi S1 = U1 = 2
S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 18 = 26
S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80 …

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
Sn = U1 +    U2 +     U3 + … + Un

Sn =  a +   (ar)    +    (ar2)   +  … + arn-1
r x Sn =          (ar)     +    (ar2)   + …. + arn-1 + arn

 –
Sn– r.Sn =  a   +    0       +     0      +       +   0    – arn
(1 – r)Sn = a                                             – arn
(1 – r)Sn = a (1 – rn)

 untuk nilai r < 1, 
 atau , untuk r > 1

dengan Sn = jumlah n suku pertama
a = suku awal
r = rasio

Contoh :
Jumlah dari  400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = …

Jawaban : a = 400 r = 200 : 400 = 100 : 200 = ½ n = 6


Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5