Um dos primeiros assuntos que todo estudante aprende em Matemática no Ensino Médio é a função afim. E, como ela é a base para aprender os vários outros tipos de funções que vêm depois, é muito importante que você entenda bem esse tópico. Isso inclui entender a teoria e praticar com exercícios de fixação e problemas mais elaborados.
Se você nunca estudou a função afim, ou quer dar uma revisada nos conceitos, prepare-se. Nesse post, vamos retomar tudo o que você precisa saber sobre o assunto!
Função afim: definição
A função afim é toda função polinomial de primeiro grau, isto é, na qual o maior expoente é 1. Pode ser que você conheça a função afim simplesmente como função de primeiro grau.
Lei de formação da função afim
A lei de formação da função afim é expressa na seguinte fórmula:
Raiz da função afim
A raiz da função afim é o ponto em que ela atravessa o eixo x, isto é, o ponto em que y = 0. Isso quer dizer que, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir o y por 0 na fórmula. Ao fazer isso, você tem:
f[x] = ax + b
0 = ax + b
ax = -b
x = -b/a
Dessa maneira, a raiz da função afim é o ponto -b/a no eixo x. As funções de 1º grau têm apenas uma raiz.
Gráfico da função afim
O gráfico da função afim é uma reta crescente ou decrescente. A reta somente não pode ser perpendicular aos eixos x ou y.
Como encontrar dois pontos no gráfico
Como o gráfico da função afim é uma reta, você só precisa de dois pontos para traçá-lo. O primeiro é o ponto da raiz, que você já viu. O segundo é o ponto em que a reta atravessa o eixo y, isto é, em que o x = 0. Nesse ponto, y = b.
f[x] = ax + b
y = a . 0 + b
y = b
Portanto, os dois pontos que você precisa para traçar a reta do gráfico são [-b/a, 0] e [0, b].
Coeficientes da função afim
A função afim tem dois coeficientes: angular e linear.
O coeficiente angular corresponde, na função, ao a. No gráfico, é a tangente do ângulo α [alfa], formado pela intersecção entre a reta da função e o eixo x. Enquanto isso, o coeficiente linear corresponde, na função, ao b. No gráfico, é o ponto de interseção entre a reta da função e o eixo y.
Função afim crescente e decrescente
Você pode determinar a direção da reta do gráfico da função a partir do coeficiente angular, que também é chamado de taxa de crescimento. Quando o coeficiente é maior do que zero, temos uma função afim crescente; quando é menor do que zero, temos uma função afim decrescente.
Tipos de função afim
Existem alguns tipos específicos de função afim, que recebem nomes diferentes. Estamos falando da função linear, identidade e constante. Vamos ver quais são as características de cada uma?
Linear
A função afim é linear quando b = 0, sendo que a ≠ 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto [0,0]. A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:
Identidade
A função afim é identidade quando a = 1 e b = 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto [0,0], e o ângulo α é de 45º. A fórmula da função afim identidade também pode ser expressa assim:
Constante
A função afim é constante quando a = 0. Nesses casos, o gráfico é paralelo ao eixo x. A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:
Exercícios de função afim [com resolução]
Agora que você já conferiu os principais conceitos relacionados a função afim, teste seus conhecimentos com os exercícios abaixo!
Exercício 1
Se f[x] = 3x + 2, qual o valor de x para que f[x] = 5?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resposta: b
f[x] = 3x + 2
5 = 3x + 2
3x = 5 – 2
3x = 3
x = 1
Exercício 2
Uma função é dada por f[x] = 3x – 6. A raiz dessa função é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Resposta: c
f[x] = 3x – 6
0 = 3x – 6
3x = 6
x = 2
Exercício 3
Considere a função f[x] = -2x + 1. Os valores de f[0], f[2], f[-1] e f[5], são, respectivamente:
a. 1, -3, 3, -9
b. -1, 3, -3, -9
c. 1, 5, 3, 11
d. -1, -5, -3, -11
e. 1, 2, 1, 5
Resposta: a
f[x] = -2x + 1
Se x = 0,
f[x] = -2 . 0 + 1
f[x] = 0 + 1
f[x] = 1
Se x = 2,
f[x] = -2 . 2 + 1
f[x] = -4 + 1
f[x] = -3
Se x = -1,
f[x] = -2 . -1 + 1
f[x] = 2 + 1
f[x] = 3
Se x = 5,
f[x] = -2 . 5 + 1
f[x] = -10 + 1
f[x] = -9
Exercício 4
Uma função do 1º grau é dada por f[x] = ax + b. Sabe-se que f[1] = 5 e f[-3] = -7. Essa função é:
a. f[x] = x + 5
b. f[x] = -3x -7
c. f[x] = -3x + 2
d. f[x] = 3x + 2
e. f[x] = x + 4
Resposta: d
f[1] = 5
a . 1 + b = 5
a + b = 5
f[-3] = -7
a . -3 + b = -7
-3a + b = -7
Montando o sistema
a + b = 5
3a – b = 7 [invertendo -3a + b = -7]
4a = 12
a = 3
Se a + b = 5, e a = 3, então:
3 + b = 5
b = 5 – 3 = 2
Assim, a função é:
f[x] = 3x + 2
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Depois desses exercícios, você já está pronto para encarar os problemas mais elaborados sobre função afim, como os que são propostos no Enem e nos vestibulares.
Lembre-se de que os conceitos que você viu aqui serão úteis para entender melhor as funções quadráticas [funções de 2º grau] e outros assuntos que estão relacionados. Por isso, não vale partir para o assunto seguinte sem, antes, tirar todas as suas dúvidas sobre função afim!
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Uma função do primeiro grau ou função afim é da seguinte forma:
Exemplos:
5] Se f [x ] = 5x -7, qual o valor de x para que f [x] = 43?
a] 10 b] -3 c] 8 d] 0 e] 1
Desta forma, a alternativa correta é a a.
6] Dada a função f[x] = -3x + 8, os valores de f [0], f[-1] e f[1] são, respectivamente:
a] 1, -2 e 4 b] 0,1 e 2 c] 8, 11 e 5 d] 5, 8 e 11 e] 11, 5 e 8.
Desta forma, a alternativa correta é a c.
7] [Fuvest - SP] A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
a] f[x] = x - 3 b] f[x ] = 0,97x c] f[x]=1,3x d] f[x] = -3x e] f[x]= 1,03x
Desta forma, a alternativa correta é a b.
8] [ PUC - RS ] Seja a função definida por f[x]= 2x-3/5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a] 0 b] 2/5 c] -3 d] 3/4 e] 4/3
Desta forma, a alternativa correta é a d.
A função constante sempre associa cada elemento x a um mesmo elemento:
Vejamos a caracteristica do gráfico de uma função constante:
Como podemos perceber, o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y em c.
Exemplo: Construa o gráfico da função y = -3.
Escolheremos pontos aleatórios para x e, para qualquer um deles, a imagem será igual a -3.
A função identidade sempre associa cada elemento x ao próprio x:
O gráfico de uma função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do primeiro e do terceiro quadrantes:
A função linear possui a seguinte característica:
,
Exemplo:
Para desenharmos o gráfico da função linear em questão, escolheremos alguns valores aleatórios para x e encontraremos os seus respectivos valores de y. Assim, determinaremos pares ordenados que são pontos da reta que representará a função.
Uma função afim sempre associa a cada elemento x o elemento ax+b:
,
Exemplos:
1] y = 4x + 5
2] y = x + 8
3] y = -3x
4] Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto [1,2] e tem coeficiente angular igual a -3.
A equação procurada possui a seguinte característica:
Pelos dados do enunciado, temos a = -3.
A partir do ponto [1,2], temos x = 1 e y = 2, e os substituiremos na equação:
Então temos a equação da reta:
5] Cefet - MG 2002 - Sabendo-se que f [x] = ax + b, que f [ -1 ] = 4 e que f [ 2 ] = 7, deduz-se que
f [ 8 ] vale:
a] 0 b] 3 c] 13 d] 23 e] 33
Temos os seguintes dados:
Desta forma, teremos um sistema:
Desta forma, a alternativa correta é a c.
6] Unifap - AP 2003 Um clube de mães decidiu confeccionar enfeites natalinos. O gasto com material foi de R$72,00 e pretendem vender cada enfeite por R$8,00.
a] Determine a lei que fornece o ganho ou a perda como função do número de enfeites vendidos.
b] Qual o menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar o valor gasto?
c] Faça um esboço do gráfico dessa função.
a] A lei de formação da função que fornece o ganho ou a perda de enfeites vendidos será dada por:
b]
O menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar o valor gasto é 9.
c] Esboço do gráfico da função
Para x = 0, temos :
Temos o primeiro ponto da reta que representa a função: [0; -72]
Para y = 0, temos:
Temos o segundo ponto da reta que representa a função: [9; 0]
Agora, esboçaremos o gráfico:
7] Fuvest - SP 2003 Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e
-x + 5. Assim, o valor máximo de f [ x ] é:
a] 1 b] 2 c] 4 d] 6 e] 7
Procuraremos o valor máximo de f[x], encontrando o ponto onde estas retas se interceptam:
Para x = 1, temos:
ou
Sendo assim, o valor máximo de f [x ] é 4.
Desta forma, a alternativa correta é a c.
8] Unicap - PE 2004 A função definida no conjunto dos reais, representada pelo gráfico na figura abaixo, é:
Pelo gráfico, temos que [0,2] e [-2,0] pertencem à função. Então, temos:
Desta forma, temos: .
Desta forma, a alternativa correta é a d.
9] FGV - SP Seja a função f de R em R, definida por f [x] = mx + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:A partir do gráfico, temos que os pontos [-1;0] e [0;-2] pertencem à função:
Desta forma, a alternativa correta é a d.
10] [ Vunesp - SP ] Uma pessoa obesa, pesando em certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a] Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que uma pessoa poderá atingir após n semanas.
b] Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120kg de lá com menos de 120 kg de peso.
Desta forma, a pessoa deverá permancer no spa por, pelo menos, 15 semanas.
11] [ Vunesp - SP ] Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C.
Baseado nos dados do gráfico, determine:
a] A lei da função apresentada no gráfico;
Pelo gráfico, temos:
Para x = 0 e y = 0 , x = 40 e y = 50 :
b] A massa [ em gramas ] de 30 cm3 de álcool.
12] [ U.F. Viçosa - MG ] uma função é dada por f[x]= ax+b, em que a e b são números reais. Se f[-1]=3 e f[1]=-1, determine o valor de f[3].
Temos :
13] [ENEM - 2018] Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y [vertical] e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x [ horizontal ].
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é:
a] y = -10x + 500 b] y = -x/10+50 c] y =-x/10+500
d] y = x/10+50 e] y = x/10+500
Pelo gráfico, temos:
Como o gráfico é uma reta, temos:
Desta forma, a alternativa correta é a b.
14] [ Unicamp - 2016 ] Considere a função afim f[x] = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f[4] = 2, podemos afirmar que f[f[3]+f[5]] é igual a :
a] 5 b] 4 c] 3 d] 2
Desta forma, a alternativa correta é a d.
15] [ UCSal] Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por
f[x]=2x-3 e f[g[x]] = 4x +1. Nestas condições, g[-1] é igual a:
a] -5 b] -4 c] 0 d] 4 e] 5
Desta forma, a alternativa correta é a c.
Zero ou raiz de uma função afim é o número cuja imagem da função é nula:
Exemplos:
1] Qual é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos [1,2] e [3,4]?
Como o enunciado nos diz, trata-se de uma função afim:
A partir dos pontos [1,2] e [3,4], temos:
Agora podemos encontrar o zero da função:
2] Uma função é dada por f [ x ] = x/2 - 8. A raiz dessa função é:
a] 0 b] 4 c] 16 d] -3 e] 4
A função afim é crescente quando o seu coeficiente angular a é positivo [ a > 0 ].
Exemplos:
a] f [x] = 3x - 7 [ a = 3 > 0 ]
b] y = x + 9 [ a = 1 > 0 ]
A função afim é decrescente quando o seu coeficiente angular a é positivo [ a < 0 ].
Exemplos:
a] f [x ] = 6 - 2x [ a = -2 < 0 ]
b] y = -9x [ a = -9 < 0 ]
Exemplos:
1] Dadas as funções f [ x ] = -2x + 1 e g [ x ] = x/2, responda:
a] Em que pontos a reta que representa cada uma delas corta os eixos x e y?
b] A função f é crescente ou decrescente? E a função g?
c] Construa os gráficos das funções e confira neles as respostas anteriores.
a] Primeiramente vamos encontrar os pontos em que a reta de f corta os eixos x e y:
Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.
A função f corta o eixo x no ponto [1/2;0].
Corte no eixo y: para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.
A função f corta o eixo y no ponto [0;1].
Agora vamos encontrar os pontos em que a reta de g corta os eixos x e y:
Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.
A função g corta o eixo x no ponto [0;0].
Corte no eixo y: para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.
A função g corta o eixo y no ponto [0;0].
b] A função f é decrescente, pois temos :
A função g é crescente, pois temos:
c] Agora vamos esboçar os gráficos das funções:
O gráfico de uma função afim é uma reta.
O gráfico de uma função afim é uma reta crescente [ a > 0 ] ou uma reta decrescente [ a < 0 ].
Para desenharmos o gráfico de uma função, podemos seguir alguns passos:
1] verificar se a função é uma reta crescente [ a > 0 ] ou decrescente [ a 0], negativa [ f[x] < 0 ] ou nula [ f [x] = 0 ].
Para tal, temos que, primeiramente, encontrar a raiz da função. Depois devemos verificar o crescimento da função.
Consideraremos dois casos:
Função crescente [ a > 0]:
Função decrescente [ a < 0]:
Exemplos:
1] Faça o estudo do sinal das funções abaixo:
Primeiramente, encontraremos a raiz da função:
Agora, verificaremos se a função é crescente ou decrescente:
Assim, temos:
f [x ] = 0 para x =- 4
f[x] > 0 para
f[x] 0 para
f[x]