A raiz quadrada [√] de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado [x2]. Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo [y3].
Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência [z4] é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência [t5] é raiz quinta.
Como calcular a raiz quadrada?
Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários.
No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos.
Quanto é a raiz quadrada de √2704?
Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos.
No exemplo acima, temos
Portanto, a √2704 é 52.
Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
- Raiz quadrada exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números racionais, ou seja, podem ser números inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Por exemplo: .
- Raiz quadrada não exata: seu resultado faz parte do conjunto dos números irracionais, ou seja, podem ser números decimais, infinitos e não-periódicos. Por exemplo:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural.
Exemplos:
- 49 é o quadrado perfeito de 7, pois
- 144 é o quadrado perfeito de 12, pois
- 256 é o quadrado perfeito de 16, pois
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais.
Você sabia?
Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento.
Exemplos
Raiz Quadrada de 2
√2 = 1.41421356237... [raiz quadrada não-exata]
√3 = 1.73205080757... [raiz quadrada não-exata]
Raiz Quadrada de 5
√5 = 2.2360679775... [raiz quadrada não-exata]
Raiz Quadrada de 8
√8 = 2.82842712475... [raiz quadrada não-exata]
Raiz Quadrada de 9
√9 = 3 [pois 32 é igual a 9]
Raiz Quadrada de 25
√25 = 5 [pois 52 é igual a 25]
Raiz Quadrada de 36
√36 = 6 [pois 62 é igual a 36]
Raiz Quadrada de 49
√49 = 7 [pois 72 é igual a 49]
Raiz Quadrada de 64
√64 = 8 [pois 82 é igual a 64]
Raiz Quadrada de 100
√100 = 10 [pois 102 é igual a 100]
Raiz Quadrada de 144
√144 = 12 [pois 122 é igual a 144]
Raiz Quadrada de 196
√196 = 14 [pois 142 é igual a 196]
Raiz Quadrada de 400
√400 = 20 [pois 202 é igual a 400]
Saiba mais sobre Quadrado Perfeito.
Exercícios resolvidos com raiz quadrada
Questão 1
[UFPI] Desenvolvendo a expressão [2√27 + 2√3 – 1]2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é:
a] 59 b] 47 c] 41 d] 57
e] 1
Alternativa correta: c] 41.
Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32
Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é:
49 + [– 8] = 41
Portanto, a alternativa correta é c] 41.
[UTF - PR] Considere as seguintes expressões:
I.
II.
III.
É [são] verdadeira[s], somente:
a] I. b] II. c] III. d] I e II.
e] I e III.
Alternativa correta: b] II.
I. ERRADA. A resposta correta é .
II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração.
III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3
[UFRGS] A expressão
a] √2 + 3√3/4√2 b] 5√2 c] √3 d] 8√2
e] 1
Alternativa correta: e] 1.
1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão.
De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1.
Veja também: Fatoração de Polinômios
Símbolo da Raiz Quadrada
O símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x.
Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t.
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