i. Nilai Stasioner
Nomor 1
Nilai stasioner dari fungsi y = x3 - x2 - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3
Pembahasan :
Syarat fungsi stasioner adalah F1[x] = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y1 = 3x2 - 2x - 8 = 0 [faktorkan]
[3x + 4] [x - 2] = 0
x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban : A
Nomor 2
Jika x₁ dan x₂ merupakan akar persamaan x² - [a -1]x + a = 0.
Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1
Pembahasan :
x² - [a -1]x + a = 0
a = 1, b = -[a - 1], c = a
x₁ + x₂ = -b/a = [a - 1]
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
= [x₁ + x₂]³ - 3x₁.x₂[x₁ + x₂] + 3x₁.x₂
= [a - 1]³ - 3a[a - 1] + 3a
= [a - 1]³ - 3a² + 6a
Stasioner turunan pertama = 0
3[a - 1]² - 6a + 6 = 0
[a - 1]² - 2a + 2 = 0
a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
a² - 4a + 3 = 0
[a - 1][a - 3] = 0
a = 1 atau a = 3
Jawaban : B
Nomor 3
y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2 dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan -77
Pembahasan :
y = x³ -3x² -24x - 7Stasioner y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
x² - 2x - 8 = 0
[x - 4][x + 2] = 0
x = 4 atau x = -2
Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f[-2] = [-2]³ -3[-2]² -24[-2] - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f[4] = [4]³ -3[4]² -24[4] - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.
Jawaban : D
Nomor 4
Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
Pembahasan :
y = 4x³ - 18x² + 15x - 20Stasioner y' = 0
y' = 12x² - 36x + 15 = 0
3[4x² - 9x + 5] = 0
3[2x - 1][2x - 5] = 0
x = ½ atau x = 5/2
Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.
Jawaban : A
Nomor 5
Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah .....
A. [-2,3]
B. [-2,7]
C. [-2,5]
D. [2,5]
E. [2,10]
Pembahasan :
y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok y" = 0
6x + 12 = 0
6x = -12
x = -12/6
x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = [-2]³ + 6[-2]² + 9[-2] + 7
= -8 + 24 - 18 + 7
= 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah [-2,5]
ii. Fungsi Naik
Nomor 1
Ditentukan f[x] = 2x³ – 9x² – 24x. Fungsi f naik dalam interval …
A. –1 < x < 4 D. x < –4 atau x > 1
B. 1 < x < 4 E. x < –1 atau x > 4
C. –4 < x < –1
Pembahasan :
f[x] = 2x³ – 9x² – 24x, naik jika
f’[x] > 0
6x² – 18x – 24 > 0
6[x² – 3x – 4] > 0
6[x – 4][x + 1] > 0
x = 4 atau x = –1
Garis bilangan
+++++ [–1] ------ [4] ++++
karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:
x < –1 atau x > 4
Jawaban : E
Nomor 2
Fungsi f[x] = 2x³ – 9x² + 12x, naik pada interval ...
A. x < 1 atau x > 2 D. 1 ≤ x ≤ 2
B. x ≤ 1 atau x ≥ 2 E. –2 < x < –1
C. 1 < x < 2
Pembahasan :
f[x] = 2x³ – 9x² + 12x, naik jika
f’[x] > 0
6x² – 18x + 12 > 0
6[x² – 3x + 2] > 0
6[x – 2][x – 1] > 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan
++++ [1] ----- [2] ++++
karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:
x < 1 atau x > 2
Jawaban : A
Nomor 3
Interval-interval di mana fungsi f[x] = 2x³ – 9x² + 12 naik adalah …
A. x < 1 atau x > 2 D. x < –3 atau x > 0
B. 0 < x < 3 E. x < 0 atau x > 3
C. –3 < x < 0
f[x] = 2x³ – 9x² + 12, naik jika
f’[x] > 0
6x² – 18x > 0
6x[x – 3] > 0
x = 0 atau x = 3
Garis bilangan
++++ [0] ----- [3] ++++
karena lebih dari nol, maka ambil daerah yang positif yaitu:
x < 0 atau x > 3
Jawaban : E
Nomor 4
Grafik fungsi y = x2 + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2B. x > - 2C. x ≤ - 2D. x < - 2E. x > 2
Pembahasan :
Fungsi naik jika F1[x] > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x2 + 4x + 1
y1 = 2x + 4 > 02x > -4x > - 2
Jawaban : B
Fungsi y = 1/3 x3 - 3x2 + 8x + 5 akan naik pada interval...A. - 2 < x < 4B. 2 < x < 4C. x < 2 atau x > 4D. x < - 4 atau x < 2E. x < -2 atau x > 4
Pembahasan :
Syarat fungsi naik adalah F1[x] > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = x2 - 6x + 8 > 0 [karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan] [x - 4] [x - 2] > 0 x = 4 atau x = 2 > 0Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.
x = 4 [ ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4]
x = 4 maka y1 = 52 - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 [> 0] berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.
Periksa x = 2 [ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2] Jawaban :
y1 = [3]2 - 6 . [3] + 8 = - 1 [< 0], berarti fungsi naik sebelum x = 2.Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4
Diketahui fungsi f[x] = x³ + 3x² – 45x – 15. Fungsi f turun pada interval....
A. x < –5 atau x > 3 D. – 3 < x < 5
B. x < –3 atau x > 3 E. –5 < x < –3
C. –5 < x < 3
Pembahasan :
f[x] = x³ + 3x² – 45x – 15, turun jika
f’[x] < 0
3x² + 6x – 45 < 0
3[x² + 2x – 15] < 0
3[x + 5][x – 3] < 0
x = –5 atau x = 3
Garis bilangan
++++ [–5] ------- [3] +++++
Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu
–5 < x < 3
Jawaban : C
Nomor 2
Fungsi f[x] = x³ – 3x² – 15 turun untuk semua x yang memenuhi …
A. x > 0 D. –2 < x < 0
B. x < –2 E. 0 < x < 2
C. x < 0 atau x > 2
Pembahasan :
f[x] = x³ – 3x² – 15, turun jika
f’[x] < 0
3x² – 6x < 0
3x [x – 2] < 0
x = 0 atau x = 2
Garis bilangan
++++ [0] ------ [2] +++++
Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu
0 < x < 2
Jawaban : E
Fungsi f yang dirumuskan dengan f[x] = 5 + 3x + 4x² – x³ turun pada interval …
A. – ⅓ < x < 3 D. x < –⅓ atau x > 3
B. –3 < x < ⅓ E. x < ⅓ atau x > 3
C. x < –3 atau x > ⅓
Pembahasan :
f[x] = 5 + 3x + 4x² – x³, turun jika
f’[x] < 0
3 + 8x – 3x² < 0
[1 + 3x][3 – x] < 0
x = –⅓ atau x = 3
Garis bilangan
----- [–⅓] +++++ [3] ------
Karena kurang dari nol, maka ambil daerah yang negatif yaitu
x < –⅓ atau x > 3
Jawaban : D
Nomor 4
Grafik fungsi y = x3 + 3x2 - 45 x turun pada interval...A. - 5 < x < 3B. - 3 < x < 5C. x < - 5 atau x > 3D. x < - 3 atau x > 5E. x < 3 atau x > 5
Pembahasan :
Syarat fungsi turun adalah F1[x] < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = 3x2 + 6x - 45 < 0 atau 3[x2 + 2x - 15] [karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja] [x - 3] [x + 5] < 0 x = 3 atau x = - 5 < 0Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.
x = 3 [ ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3]
x = 2 maka y1 = 22 + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 [< 0] berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.
Periksa x = 5 [ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5]
y1 = [- 6]2 + 2 . [-6] - 15 = 9 [> 0], berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3
Jawaban : A
Nomor 5
Grafik fungsi y = 1 / [x2 + 1] akan turun pada interval...
A. x < 0B. x > 0C. x < 2D. x > 2E. x < - 2
Pembahasan :
Gunakan syaran fungsi turun F1[x] < 0, jadi kita turunkan fungsi y:Misal:
U = 1 maka U1 = 0
V = x2 + 1 maka V1 = 2x
Jadi y1 = [U1 V - U . V1] / V2
y1 = [0 . x2 + 1 - 1 . 2x] / [x2 + 1]2
y1 = - 2x / [x2 + 1]2 < 0 [penyebut diabaikan saja]- 2x < 0x < 0
Jawaban : A
iv. Daftar Pustaka
//aseprespati.blogspot.com/2016/04/pembahasan-contoh-soal-fungsi-naik.html?m=1
//ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-menentukan-titik.html?m=1
//brainly.co.id/tugas/15306486