Perhatikan gambar berikut!
Misalkan sudut antara bidang ABCD dengan AT adalah . Diketahui pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua rusuknya sama panjang, misalkan pajang rusuk adalah . Karena AC adalah diagonal bidang maka:
Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O, dengan menggunakan definisi sinus :
Nilai tan yang hasilnya 1 adalah , sehingga besar sudut yang terbentuk antar garis TA dan bidang ABCD adalah
Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.
Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dengan bidang ABCD adalah 45°. Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah sisi yang berbentuk persegi dengan ukuran yang sama. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = s cm, memiliki:
- Panjang diagonal sisi = s√2
- Panjang diagonal ruang = s√3
Pembahasan
1. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dengan bidang ABCD adalah …
Jawab
Misal panjang rusuk limas tersebut adalah a cm
Perhatikan gambar pada lampiran,
sudut antara TA dengan bidang ABCD = sudut antara TA dengan AC = sudut antara TA dengan AO [O adalah titik tengah AC] = sudut A
Perhatikan segitiga TAC
AC = √[AB² + BC²]
AC = √[a² + a²]
AC = √[2a²]
AC = a√2
sehingga AO = ½ AC = ½ a√2
Perhatikan segitiga siku-siku TAO
- AO = sisi samping sudut A [sa] = ½ a√2
- AT = sisi miring [mi] = a
Sehingga
cos A =
cos A =
cos A =
cos A = cos 45°
A = 45°
Jadi besar sudut antara TA dengan ABCD adalah 45°
2. Bidang empat ABCD dengan alas segitiga BCD siku-siku sama kaki, BC = DB = 6 √2 cm, AB tegak lurus bidang BCD dan AB = 8 cm. Jarak A ke CD adalah ….
Jawab
Karena AB tegak lurus bidang BCD, maka AB tegak lurus BC dan AB tegak lurus BD
Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
Panjang CD
CD = √[BC² + BD²]
CD = √[[6 √2]² + [6 √2]²]
CD = √[72 + 72]
CD = √[144]
CD = 12
Panjang AC = panjang AD
AC = √[AB² + BC²]
AC = √[8² + [6 √2]²]
AC = √[64 + 72]
AC = √[136]
AC = √[4 . 34]
AC = 2 √34
AD = AC = 2 √34
Karena segitiga ACD adalah segitiga sama kaki, maka jarak A ke CD = AO dengan O titik tengah CD sehingga CO = OD = ½ CD = 6 cm
Jadi jarak A ke CD adalah
AO = √[AD² – OD²]
AO = √[[2 √34]² – 6²]
AO = √[136 – 36]
AO = √[100]
AO = 10 cm
3. Pada kubus ABCD.EFGH, AB = 6 cm. Jika titik S dan R berturut-turut adalah pusat bidang EFGH dan ABCD, maka jarak garis RF ke DS adalah ...
Jawab
Perhatikan gambar pada lampiran
Jarak RF ke DS sama dengan jarak titik R ke garis DS atau jarak titik S ke garis RF
Perhatikan segitiga DRS siku-siku di D
- SR = 6 cm [rusuk]
- DR = 3√2 cm [DR = ½ DB, DB adalah diagonal sisi]
DS = √[SR² + DR²]
DS = √[6² + [3√2]²]
DS = √[36 + 18]
DS = √[54]
DS = √[9 . 6]
DS = 3√6
Dengan perbandingan luas segitiga [L = ½ . alas . tinggi] diperoleh:
½ . DS . x = ½ . SR . DR
x =
x =
x =
x =
x =
x =
Jadi jarak garis RF ke garis DS adalah 2√3 cm
4. Pada limas beraturan T.ABCD diketahui TA = √3, AB = 2, sudut antar rusuk tegak TA dengan bidang ABCD adalah α. Nilai tan α = ....
Jawab
sudut antara TA dengan bidang ABCD = sudut antara TA dengan AC = sudut antara TA dengan AO [O adalah titik tengah AC] = sudut A = α
Perhatikan segitiga TAC
AC = √[AB² + BC²]
AC = √[2² + 2²]
AC = √[4 + 4]
AC = √[8]
AC = √[4 . 2]
AC = 2√2
Sehingga AO = ½ AC = √2
Perhatikan segitiga siku-siku TAO
- AO = sisi samping sudut A [sa] = √2
- AT = sisi miring [mi] = √3
- TO = sisi depan sudut A [de]
dengan panjang TO adalah
TO = √[AT² – AO²]
TO = √[[√3]² – [√2]²]
TO = √[3 – 2]
TO = √[1]
TO = 1
Jadi
tan A =
tan α =
tan α =
tan α =
tan α =
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm. Nilai cos ∠[AG, BDG] adalah ...
Jawab
Perhatikan gambar pada lampiran
Sudut antara AG dengan bidang BDG adalah sudut antara garis AG dengan garis GO sama dengan sudut G pada segitiga AGO
Ukuran segitiga AGO
- AG = 4√3 cm [diagonal ruang]
- AO = ½ AC = 2√2 cm [AC = diagonal sisi = 4√2]
Panjang OG diperoleh dengan rumus pythagoras
OG = √[GC² + OC²]
OG = √[4² + [2√2]²]
OG = √[16 + 8]
OG = √[24]
OG = √[4 . 6]
OG = 2√6
Dengan aturan kosinus diperoleh
AO² = AG² + OG² – 2 . AG . OG . cos G
[2√2]² = [4√3]² + [2√6]² – 2 . 4√3 . 2√6 . cos G
8 = 48 + 24 – 16 √18 cos G
16 √18 cos G = 48 + 24 – 8
16 . 3√2 cos G = 64
48√2 cos G = 64
cos G =
cos G =
cos G =
cos G =
Pelajari lebih lanjut
Contoh soal lain tentang jarak pada bangun ruang
------------------------------------------------
Detil Jawaban
Kelas : 12
Mapel : Matematika
Kategori : Geometri Bangun Ruang
Kode : 12.2.2
Kata Kunci : kubus, jarak, sudut, limas