Trigonometri merupakan fungsi yang periodik, karena itu penyelesaian persamaan trigonometri memiliki cara terendiri. Siswa SMA terkadang main hantam saja ketika menyelesaiakan persamaan trigonometri tanpa memperdulikan aturan yang ada.
Aturan-aturan dalam persamaan trigonometri
Untuk n bilangan bulat berlaku
Untuk 0o ≤ x ≤ 360o tentukan himpunan penyelesaian dari
sin 3x = 1/2
3x = 30o + n.360o x = 10o + n.120o untuk n = 0 maka x = 10o untuk n = 1 maka x =130o
untuk n = 2 maka x =250o
3x = 180o — 30o + n.360o x = 50o + n.120o untuk n = 0 maka x = 50o untuk n = 1 maka x = 170o
untuk n = 2 maka x = 290o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}
Untuk 0o ≤ x ≤ 180o tentukan himpunan penyelesaian dari
cos 5x = 1/2 √2
5x = 45o + n.360o x = 9o + n.72o untuk n = 0 maka x =9o untuk n = 1 maka x =81o
untuk n = 2 maka x =153o
5x = -45o + n.360o x = -9o + n.72o untuk n = 1 maka x = 63o
untuk n = 2 maka x = 135o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{9o, 63o, 81o, 135o, 153o}
Himpunan penyelesaian dari persamaan tan 4x = √3 0o ≤ x ≤ 360o
adalah ….
tan 4x = √3 tan 4x = tan 60o 4x = 60o + n.180o x = 15o + n.45o untuk n = 0 maka x = 15o untuk n = 1 maka x = 60o untuk n = 2 maka x = 105o untuk n = 3 maka x = 150o untuk n = 4 maka x = 195o untuk n = 5 maka x = 240o untuk n = 6 maka x = 285o
untuk n = 7 maka x = 330o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 60o, 105o, 150o, 195o, 240o, 285o, 330o}
Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = cos 2x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
sin 3x = cos 2x
sin 3x = sin [90o — 2x]
3x = 90o — 2x + n.360o 5x = 90o + n.360o x = 18o + n.72o untuk n = 0 maka x = 18o untuk n = 1 maka x = 90o untuk n = 2 maka x = 162o untuk n = 3 maka x = 234o
untuk n = 4 maka x = 306o
3x = 180o — [90o — 2x] + n.360o 3x = 90o + 2x + n.360o x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adakah
{18o, 90o, 162o, 234o, 306o}
Diketahui persamaan sin 5x + sin 3x = cos x
dengan 0o ≤ x ≤ 360o . Himpunan penyelesaiannya adalah …
sin 5x + sin 3x = √3 cos x 2 sin 1/2 [5x + 3x] cos 1/2 [5x — 3x] = √3 cos x 2 sin 4x cos x = √3 cos x 2 sin 4x cos x — √3 cos x = 0 cos x [ 2 sin 4x — √3] = 0
cos x = 0 atau sin 4x = 1/2 √3
cos x = 0
cos x = cos 90o
x = 90o + n.360o
untuk n = 0 maka x = 90o
x = -90o + n.360o
untuk n = 1 maka x = 270o
sin 4x = 1/2 √3
sin 4x = sin 60o
4x = 60o + n.360o x = 15o + n.90o untuk n = 0 maka x = 15o untuk n = 1 maka x = 105o untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
4x = 180o — 60o + n.360o 4x = 120o + n.360o x = 30o + n.90o untuk n = 0 maka x = 30o untuk n = 1 maka x = 120o untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 30o, 90o, 105o, 120o, 195o, 210o, 270o, 285o, 300o}
Himpunan penyelesaian dari persamaan √3 tan2 2x — 4tan 2x + √3 = 0
dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah …
√3 tan2 2x — 4tan 2x + √3 = 0
untuk lebih mudahnya kita gunakan rumus ABC
tan 2x = tan 60o 2x = 60o + n.180o x = 30o + n.90o untuk n = 0 maka x = 30o untuk n = 1 maka x = 120o untuk n = 2 maka x = 210o
untuk n = 3 maka x = 300o
tan 2x = tan 30o 2x = 30o + n.180o x = 15o + n.90o untuk n = 0 maka x = 15o untuk n = 1 maka x = 105o untuk n = 2 maka x = 195o
untuk n = 3 maka x = 285o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{15o, 30o, 105o, 120o, 195o, 210o, 285o, 300o}
Pembahasan soal Ujian Nasional [UN] tingkat SMA bidang studi Matematika IPA dengan pokok bahasan Persamaan Trigonometri, yaitu menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri pada suatu interval tertentu.
UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x = -cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/3, π, 5π/3} B. {2π/3, π, 4π/3} C. {0, 2π/3, 4π/3, 2π} D. {0, π/3, 5π/3, 2π} E. {0, π/3, 4π/3, 2π}Pembahasan :
cos 2x = -cos x cos 2x + cos x = 0[2cos2x - 1] + cos x = 0
2cos2x + cos x - 1 = 0 [2cos x - 1][cos x + 1] = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -1
cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Cosinus bernilai positif di Kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300°cos x = -1, 0 ≤ x ≤ 2π
→ x = 180° Jadi, HP = {60°, 180°, 300°} atau {π/3, π, 5π/3}Jawaban : A
Baca juga cara konversi satuan derajat ke satuan radian atau sebaliknya dalam materi Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian.
UN 2017
Himpunan penyelesaian persamaan 4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah ... A. {π/6, 5π/6} B. {π/6, 7π/6} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan :
4sin2x - 5sin x - 2 = 2cos2x 4sin2x - 5sin x - 2 = 2[1 - sin2x] 4sin2x - 5sin x - 2 = 2 - 2sin2x6sin2x - 5sin x - 4 = 0 [3sin x - 4][2sin x + 1] = 0 sin x = 4/3 atau sin x = -1/2
sin x = 4/3 → tidak mempunyai solusi
sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 2π
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330° Jadi, HP = {210°, 330°} atau {7π/6, 11π/6}Jawaban : E
UN 2016
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {60°, 120°, 150°} B. {60°, 150°, 300°} C. {90°, 210°, 300°} D. {90°, 210°, 330°} E. {120°, 250°, 330°}Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0 1 - 2sin²x + sin x = 0 2sin²x - sin x - 1 = 0 [2sin x + 1][sin x - 1] = 0 sin x = -1/2 atau sin x = 1sin x = -1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → x = 180° + 30° = 210° K.IV → x = 360° - 30° = 330°sin x = 1, 0 ≤ x ≤ 360°
→ x = 90° Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}Jawaban : D
UN 2015
Pembahasan :
cos 2x + 3cos x - 1 = 0[2cos2x - 1] + 3cos x - 1 = 0
2cos2x + 3cos x - 2 = 0 [2cos x - 1][cos x + 2] = 0 cos x = 1/2 atau cos x = -2
cos x = -2 → tidak mempunyai solusi
cos x = 1/2, 0 ≤ x ≤ 360°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → x = 60° K.IV → x = 360° - 60° = 300° Jadi, HP = {60°, 300°}
Jawaban : C
UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {0°, 20°, 60°} B. {0°, 20°, 100°} C. {20°, 60°, 100°} D. {20°, 100°, 140°} E. {100°, 140°, 180°}Pembahasan :
0° ≤ x ≤ 180° → 0° ≤ 3x ≤ 540° 2cos 3x = 1cos 3x = 1/2, 0° ≤ 3x ≤ 540°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. K.I → 3x = 60° atau 3x = 60° + 1[360°] = 420° K.IV → 3x = 360° - 60° = 300° 3x = 60° → x = 20° 3x = 420° → x = 140° 3x = 300° → x = 100° Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}Jawaban : D
UN 2014
Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos2x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {30°, 150°} B. {30°, 300°} C. {60°, 150°} D. {60°, 300°} E. {150°, 300°}
Pembahasan :
2cos2x + 5sin x - 4 = 0 2[1 - sin2x] + 5sin x - 4 = 0 2 - 2sin2x + 5sin x - 4 = 02sin2x - 5sin x + 2 = 0 [2sin x - 1][sin x - 2] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 2
sin x = 2 → tidak mempunyai solusi
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A
UN 2013
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {30°, 150°} B. {60°, 120°} C. {30°, 60°, 150°} D. {60°, 90°, 120°} E. {60°, 120°, 150°}Pembahasan :
cos 2x - sin x = 0[1 - 2sin2x] - sin x = 0
2sin2x + sin x - 1 = 0 [2sin x - 1][sin x + 1] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = -1
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 180°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150°sin x = -1, 0° ≤ x ≤ 180°
[tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°] Jadi, HP = {30°, 150°}Jawaban : A
UN 2012
Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3sin 2x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ... A. {120°, 150°} B. {150°, 165°} C. {30°, 150°} D. {30°, 165°} E. {15°, 105°}
Pembahasan :
[1 - 2sin22x] + 3sin 2x = -1
-2sin22x + 3sin 2x + 2 = 02sin22x - 3sin 2x - 2 = 0 [2sin 2x + 1][sin 2x - 2] = 0 sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2
sin 2x = 2 → tidak mempunyai solusi
sin 2x = -1/2 , 0° ≤ 2x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. K.III → 2x = 180° + 30° = 210° K.IV → 2x = 360° - 30° = 330° 2x = 210° → x = 105° 2x = 330° → x = 165° Jadi, HP = {105°, 165°}Jawaban : -
UN 2010
Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2cos x = 0 untuk 0 ≤ x < 2π adalah ... A. {0, π} B. {π/2, π} C. {3π/2, π} D. {π/2, 3π/2} E. {0, 3π/2}Pembahasan :
sin 2x + 2cos x = 0 2sin x cos x + 2cos x = 0 cos x [2sin x + 2] = 0 cos x = 0 atau sin x = -1cos x = 0, 0 ≤ x < 2π
→ x = 90°sin x = -1, 0 ≤ x < 2π
→ x = 270° Jadi, HP = {90°, 270°} atau {π/2, 3π/2}
Jawaban : D
UN 2009
Himpunan penyelesaian sin [2x + 110]° + sin [2x - 10]° = 1/2, 0° < x < 360° adalah ... A. {10, 50, 170, 230} B. {50, 70, 230} C. {50, 170, 230, 350} D. {20, 80, 100} E. {0, 50, 170, 230, 350}Pembahasan :
sin [2x + 110]° + sin [2x - 10]° = 1/2 Gunakan sifat : sin A + sin B = 2sin\[\mathrm{\left [ \frac{A+B}{2} \right ]}\] cos\[\mathrm{\left [ \frac{A-B}{2} \right ]}\] pada ruas kiri persamaan diatas, sehingga diperoleh 2sin [2x + 50]° cos 60° = 1/2 2sin [2x + 50]° [1/2] = 1/2 sin [2x + 50]° = 1/2 sin [2x + 50]° = sin 30° Solusi I : 2x + 50 = 30 + k.360 2x = -20 + k.360 x = -10 + k.180 Untuk k = 1 → x = 170 Untuk k = 2 → x = 350 Solusi II : 2x + 50 = [180 - 30] + k.360 2x = 100 + k.360 x = 50 + k.180 Untuk k = 0 → x = 50 Untuk k = 1 → x = 230 Jadi, HP = {50, 170, 230, 350}Jawaban : C
UN 2008
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 7sin x - 4 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {240°, 300°} B. {210°, 330°} C. {120°, 240°} D. {60°, 120°} E. {30°, 150°}Pembahasan :
cos 2x + 7sin x - 4 = 0[1 - 2sin2x] + 7sin x - 4 = 0
-2sin2x + 7sin x - 3 = 02sin2x - 7sin x + 3 = 0 [2sin x - 1][sin x - 3] = 0 sin x = 1/2 atau sin x = 3
sin x = 3 → tidak mempunyai solusi
sin x = 1/2, 0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II. K.I → x = 30° K.II → x = 180° - 30° = 150° Jadi, HP = {30°, 150°}
Jawaban : E
UN 2005
Nilai x yang memenuhi persamaan 2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {45°, 105°, 225°, 285°} B. {45°, 135°, 225°, 315°} C. {15°, 105°, 195°, 285°} D. {15°, 135°, 195°, 315°} E. {15°, 225°, 295°, 315°}
Pembahasan :
Acos x + Bsin x = k cos [x - θ] dengan k = \[\sqrt{\mathrm{A^{2}+B^{2}}}\] tan θ = \[\mathrm{\frac{B}{A}}\] atau θ = arctan\[\mathrm{\left [ \frac{B}{A} \right ]}\]Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik [A, B].
2√3 cos2x - 2sin x cos x - 1 - √3 = 0
⇔ 2√3 cos2x - √3 - 2sin x cos x = 1⇔ √3 [2cos2x - 1] - 2sin x cos x = 1 ⇔ √3 cos 2x - sin 2x = 1 ............................[1] Misalkan : √3 cos 2x - sin 2x = k cos [2x - θ] A = √3 dan B = -1 k = \[\sqrt{[\sqrt{3}]^{2}+[-1]^{2}}\] = 2 Karena [A, B] = [√3, -1] berada di kuadran IV maka θ berada di kuadran IV. tan θ = \[\frac{-1}{\sqrt{3}}\] = \[-\frac{\sqrt{3}}{3}\] → θ = 330° Diperoleh persamaan √3 cos 2x - sin 2x = 2cos [2x - 330°] .........[2] Dari persamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2cos [2x - 330°] = 1 cos [2x - 330°] = 1/2 cos [2x - 330°] = cos 60° Solusi I : 2x - 330° = 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° Untuk k = -1 → x = 15° Untuk k = 0 → x = 195° Solusi II : 2x - 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° Untuk k = 0 → x = 135° Untuk k = 1 → x = 315° Jadi, HP = {15°, 135°, 195°, 315°}
Jawaban : D
UN 2004
Himpunan penyelesaian persamaan √6 sin x + √2 cos x = 2, untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ... A. {15°, 105°} B. {15°, 195°} C. {75°, 105°} D. {75°, 345°} E. {105°, 345°}Pembahasan :
√6 sin x + √2 cos x = 2 ⇔ √2 cos x + √6 sin x = 2 .........................[1] Misalkan : √2 cos x + √6 sin x = k cos [x - θ] A = √2 dan B = √6 k = \[\sqrt{\left [ \sqrt{2} \right ]^{2}+\left [ \sqrt{6} \right ]^{2}}\] = 2√2 Karena [A, B] = [√2, √6] berada di kuadran I, maka θ berada di kuadran I. tan θ = \[\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\] = √3 → θ = 60° Diperoleh persamaan √2 cos x + √6 sin x = 2√2 cos [x - 60°] ......[2] Dari persaamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2√2 cos [x - 60°] = 2 cos [x - 60°] = \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] cos [x - 60°] = cos 45° Solusi I : x - 60° = 45° + k.360° x = 105° + k.360° Untuk k = 0 → x = 105° Solusi II : x - 60° = -45° + k.360° x = 15° + k.360° Untuk k = 0 → x = 15° Jadi, HP = {15°, 105°}Jawaban : A
UN 2003
Untuk 0° ≤ x < 360°, himpunan penyelesaian dari sin x - √3 cos x - √3 = 0 adalah ... A. {120°, 180°} B. {90°, 210°} C. {30°, 270°} D. {0°, 300°} E. {0°, 300°, 360°}Pembahasan :
sin x - √3 cos x - √3 = 0 ⇔ -√3 cos x + sin x = √3 ..........................[1] Misalkan : -√3 cos x + sin x = k cos [x - θ] A = -√3 dan B = 1 k = \[\sqrt{\left [ -\sqrt{3} \right ]^{2}+\left [ 1 \right ]^{2}}\] = 2 Karena [A, B] = [-√3, 1] berada di kuadran II, maka θ berada di kuadran II. tan θ = \[\frac{1}{-\sqrt{3}}\] = \[-\frac{\sqrt{3}}{3}\] → θ = 150° Diperoleh persamaan -√3 cos x + sin x = 2cos [x - 150°] .............[2] Dari persamaan [1] dan [2] diperoleh hubungan 2cos [x - 150°] = √3 cos [x - 150°] = \[\frac{\sqrt{3}}{2}\] cos [x - 150°] = cos 30° Solusi I : x - 150° = 30° + k.360° x = 180° + k.360° Untuk k = 0 → x = 180° Solusi II : x - 150° = -30° + k.360° x = 120° + k.360° Untuk k = 0 → x = 120° Jadi, HP = {120°, 180°}Jawaban : A