Peserta didik dapat menentukan nilai pembuat nol fungsi dari fungsi f(x ax2 bx + c dengan a 1)

Fungsi Kuadrat – Hello para pembaca dosenpintar.com, Pada pembahasan kali ini kita akan membahas mengenai fungsi kuadrat. Dipertemuan sebelumnya kami telah membahas tentang bilangan asli dan contohnya. Kita simak langsung beserta ulasan lengkapnya di bawah ini.

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Hampir mirip seperti persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum, f[x] = ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh Fungsi Kuadrat

Contoh 1 :

• Diketahui : f[x] = x2 – 6x – 7
• Ditanya :
  • nilai pembuat nol fungsi f
  • nilai f untuk x = 0 , x = –2

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f[x] = 0
x2 – 6 x – 7 = 0

[x – 7] [x + 1] = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f[0] = –7
x = –2 maka f[–2] = [–2]2 – 6 [–2] – 7 = 9

Contoh 2 :

• Tentukan nilai p agar ruas kanan f[x] = 3 x2 + [p – 1] + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = [p – 1]2 – 4 . 3 . 3 = 0

p2 – 2p – 35 = 0

[p – 7] [p + 5] = 0

p = 7 atau p = –5

Jadi, agar ruas kanan f[x] merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi f[x] = ax2 + bx + c = 0 memiliki dua kemungkinan, yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Jika parabola terbuka ke atas, maka fungsi f[x] merupakan nilai minimum [Perhatikan gambar [a]]. Sementara apabila parabola terbuka ke bawah, maka fungsi f[x] merupakan nilai maksimum [Perhatikan gambar [b]].

Baca Juga :  Angka Penting

Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat tergantung pada koefisien [pengali]. Untuk dapat menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, mari perhatikan uraian berikut ini:

       = x2 – 2x + 1 – 4

       =[x – 1]2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka [x – 1]2 mempunyai nilai paling kecil [minimum] nol untuk x = 1. Dengan demikian [x – 1]2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f[x] = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil [minimum] –4 untuk x = 1.

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik kuadrat berbentuk parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.

a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas

b. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

• melalui tiga titik yang berlainan.
• memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
• melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
• menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

Demikianlah artikel dosenpintar.com mengenai Fungsi Kuadrat. Semoga artikel ini bisa bermanfaat bagi anda semua

FUNGSI KUADRAT

Persamaan kuadrat pada dasarnya merupakan bagian dari fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0, fungsi kuadrat berbentuk f[x] = ax2 + bx + c. Pada titik f[x] tertentu, maka fungsi kuadrat merupakan persamaan kuadrat atau menjadi ax2 + bx + c – f[x] = 0. Pemetaan dari fungsi kuadrat akan menghasilkan grafik berbentuk parabola. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, kita mesti memasukkan angka x tertentu ke dalam persamaan sehingga dapat memperoleh nilai y. Jika harus mem-plot angka x satu per satu, maka butuh waktu yang lama sekali untuk menyelesaikan grafik fungsi kuadrat dengan batas nilai x tertentu. Oleh karena itu, pembuatan grafik fungsi kuadrat biasanya memanfaatkan properti yang terdapat pada fungsi kuadrat. Berikut beberapa properti yang digunakan pada fungsi kuadrat dengan bentuk umum fungsi sebagai berikut.

f[x] = ax2 + bx + c

Koefisien Koefisien a digunakan untuk mengetahui arah terbukanya grafik parabola dan tingkat lengkungan dari grafik tersebut. Jika a > 0, maka grafik akan berbentuk parabola terbuka keatas. Jika a < 0, maka parabola akan berbentuk parabola terbuka ke bawah. Semakin besar nilai a, atau |a|, maka semakin lengkung grafik tersebut. Sebaliknya, nilai a yang semakin rendah akan membuat grafik semakin landai. Koefisien b digunakan untuk mengetahui tingkat kemiringan ketika grafik beririsan dengan garis y. Sedangkan koefisien c merupakan titik dimana parabola akan beririsan dengan garis y [ x=0 -> f[0] = c].

Titik Puncak [Maksimum/Minimum]

Titik puncak adalah titik dimana grafik parabola akan berubah arah. dengan menggunakan kalkulus, kita dapat menentukan maksimum atau minimum dari suatu fungsi seperti:

f[x] = ax2 + bx + c => f'[x] = 2 ax + b

pada kondisi dimana f'[x] = 0, maka kita akan memperoleh nilai x puncak yaitu:

x = -[b/2a]

Dengan memasukkan nilai x maksimum, maka nilai f[x] puncak menjadi:

f[-b/2a] = a [-b/2a]2 + b [-b/2a] + c

 f[-b/2a] = [b2/4a] + [-b2/2a] + c

f[-b/2a] = – [b2 – 4ac]/4a

Dari proses tersebut, kita memperoleh titik puncak dari fungsi kuadrat [x,y] yaitu

[ -[b/2a], – [b2 – 4ac]/4a ].

1. Temukan titik puncak dari grafik f[x] = 3x2 + 5x + 4.
Jawab
Titik puncak dari grafik dapat diketahui sesuai dengan penjelasan diatas yaitu [-b/2a, -[b2 – 4ac]/4a]. Dengan begitu, maka titik puncak dari fungsi diatas menjadi:

x = -[5] / [2.3] = -5/6

y = – [52 – 4.3.4] / 4[3] = 23/12

Titik maksimum dari fungsi diatas adalah [-5/6 , 23/12]. Fungsi ini tergambar pada grafik seperti berikut:

Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang,    maka lukislah  f [x] = -ax2-bx+c

Contoh 1:        

Ditentukan: f[x] = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f[x] = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

[x – 7] [x + 1] = 0

x = 7  atau  x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1]       f[x] = x2 – 2x – 3

= x2 – 2x + 1 – 4

=[x – 1]2 – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka [x – 1]2 mempunyai nilai paling kecil [minimum] nol untuk x = 1. Dengan demikian [x – 1]2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = -4.

Jadi, f[x] = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil [minimum] –4 untuk x = 1.

2]       f[x] = –x2 + 4x + 5

= –x2 + 4x – 4 + 9

= –[x2 – 4x + 4] + 9

= –[x – 2]2 + 9

Nilai terbesar dari – [x – 2]2 sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – [x – 2]2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f[x] = –[x – 2]2 + 9 atau f[x] = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar [maksimum] 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum  f[x] = ax2 + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f[x] = a x2 + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f[x] = 2x2 + 4x + 7

Jawab:

f[x] = 2x2 + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x2 + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1]       Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x2 + b x + c = 0. Karena a x2 + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D [diskriminan].

D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu [x1 , 0]  dan  [x2 , 0].

D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2]       Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya [0 , c].

3]       Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4]       Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x2 – 2x – 3  untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x2 – 2x – 3 = 0

[x – 3] [x + 1] = 0

x = 3   dan  x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A[3 , 0] dan B[–1 , 0]

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C[0 , –3]

Sumbu simetri, garis

Titik puncak  ® D[1 , –4]

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi

y = x3 – 2x – 3.

4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik [–1 , 0] , [ 1 , 8 ] dan [ 2, 6 ].

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah  y = a x2 + b x + c

Grafik melalui titik [–1 , 0]  ®  0 = a[–1]2 + b [–1] + c

0 = a – b + c ………………. [1]

Grafik melalui titik [1 , 8]  ®    8 =a [1]2 + b [1] + c

8 = a + b + c ………………. [2]

Grafik melalui titik [ 2 , 6 ]  ®  6 = a [2]2 + b [2] + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… [3]

Dari persamaan [1], [2], dan [3] dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

[1]   a – b + c = 0 [2]    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0

[2]   a + b + c = 8                                 [3]   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0

–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6

b = 4                                               – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x2 + 4x + 6.

b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya [p , 0] dan [q , 0].

[p , 0] dan [q , 0] memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga  0= ap2 + bp + c dan

0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a[p2 – q2] + b[p – q]

b[p – q] = –a[p2 – q2]

= –a[p + q] [p – q]

b = – a[p + q]

Substitusikan b = – a[p + q]   ke   ap2 + bp + c = 0

ap2 + [– a[p + q]] p + c = 0

ap2 – ap2 – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk  b = – a[p + q]  dan  c = pqa maka

y = a x2 + b x + c Û  y = ax2 – a[p + q]x + pqa

= a[x2 – [p + q]x + pq]

= a[x – p] [x – q]

Jadi, y = a[x – p] [x – q] adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di [p,0] dan [q,0].

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik [–5,0] dan [1,0], serta melalui titik [–3, –8] !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik [–5,0] dan [1,0], maka fungsi kuadratnya

y = a[x – [–5]] [x – 1]

= a[x + 5] [x – 1]

Grafik melalui titik [–3, –8], berarti

–8 = a[–3+5] [–3  – 1]

=  –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada  y = a[x + 5] [x – 1] sehingga diperoleh   y = x2 + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax2 + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di [p , q] adalah  y = a [x – p]2 + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi [1,3] dan melalui titik [0,0].

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di [1,3] adalah  y = [x – 1]2 + 3

Grafik melalui titik [0,0] berarti:

0 = a[0 – 1] + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada   y = a [x – 1]2 + 3 maka diperoleh

y = –3 [x – 1]2 + 3

y = –3 [x2 – 2x + 1] + 3

y = –3x2 + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.

d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah [,0].

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a[x – p]2

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik [2,0] dan melalui titik [0,4] !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di [2,0] adalah

y = a [x – 2]2

Grafik melalui titik [0,4] berarti :

4 = a[0 – 2]2 = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1[x – 2]2 atau  y = x2 – 4x + 4.

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum [parabola terbuka ke atas].

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum [parabola terbuka ke bawah].

1. Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f[x] = a x2 + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1]       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f[x] = a [x – x1] [x – x2]

f[x] > 0 untuk x < x1 dan x > x2

f[x] < 0  untuk  x1< x < x2

2]       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f[x] = a [x – x1]2

f[x] > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f[x] = 0

3]       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f[x] selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk  a < 0:

1]       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f[x] = a [x – x1] [x – x2]

f[x] < 0 untuk x < x1 dan x > x2

f[x] > 0  untuk  x1< x < x2

2]       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f[x] = a [x – x1]2

f[x] > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1 maka f[x] = 0

3]       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f[x] selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f[x] = x2 – 4 x – m + 2  definit positif.

Jawab:

f[x] = x2 – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = [–4]2 – 4 [1] [–m + 2] = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0  «  4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f[x] = x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2

Page 2