Jadi, parameter utama grafik fungsi kuadrat ditunjukkan pada gambar:
Mempertimbangkan beberapa cara untuk membangun parabola kuadrat. Bergantung pada bagaimana fungsi kuadrat diberikan, Anda dapat memilih yang paling nyaman.
1 . Fungsi tersebut diberikan oleh rumus
Mempertimbangkan algoritma umum untuk memplot grafik parabola kuadrat pada contoh memplot grafik fungsi
1 . Arah cabang parabola.
Karena cabang parabola mengarah ke atas.
2 . Tentukan diskriminan dari suatu trinomial persegi
Diskriminan trinomial persegi lebih besar dari nol, sehingga parabola memiliki dua titik potong dengan sumbu OX.
Untuk mencari koordinatnya, kita selesaikan persamaan:
,
3 . Koordinat titik parabola:
4 . Titik potong parabola dengan sumbu OY: [0;-5], dan simetris terhadap sumbu simetri parabola.
Mari kita letakkan titik-titik ini pada bidang koordinat, dan hubungkan dengan kurva mulus:
Metode ini dapat disederhanakan.
1. Tentukan koordinat titik puncak parabola.
2. Tentukan koordinat titik-titik di sebelah kanan dan kiri titik tersebut.
Mari kita gunakan hasil memplot grafik fungsi
Titik sudut parabola
Titik-titik yang paling dekat dengan puncak, terletak di sebelah kiri atas, memiliki absis, masing-masing -1; -2; -3
Titik terdekat ke atas, terletak di sebelah kanan, memiliki absis, masing-masing, 0; 1; 2
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan fungsi, temukan koordinat titik-titik ini dan masukkan ke dalam tabel:
Mari kita letakkan titik-titik ini pada bidang koordinat dan hubungkan dengan garis halus:
2 . Persamaan fungsi kuadrat memiliki bentuk
atau dalam persamaan fungsi kuadrat
Sebagai contoh, mari kita buat grafik fungsi
Mari kita ingat transformasi linier grafik fungsi. Untuk memplot fungsi
pertama plot fungsi ,
kemudian kalikan semua titik grafik dengan 2,
lalu geser sepanjang sumbu OX sebanyak 1 satuan ke kanan,
dan kemudian sepanjang sumbu OY 4 unit ke atas:
Sekarang mari kita lihat memplot fungsi
Tugas Mencari Poin persimpangan setiap tokoh secara ideologis primitif. Kesulitan di dalamnya hanya karena aritmatika, karena di dalamnya terjadi berbagai kesalahan ketik dan kesalahan.
Petunjuk
1. tugas ini diselesaikan secara analitik, oleh karena itu diperbolehkan untuk tidak menggambar grafik sama sekali lurus dan parabola. Seringkali ini memberikan nilai tambah yang besar dalam memecahkan contoh, karena fungsi seperti itu dapat diberikan dalam masalah sehingga lebih mudah dan lebih cepat untuk tidak menggambarnya.
2. Menurut buku teks aljabar, parabola diberikan oleh fungsi dari bentuk f[x]=ax^2+bx+c, di mana a,b,c adalah bilangan real, dan eksponen a bagus di nol. Fungsi g[x]=kx+h, di mana k,h adalah bilangan real, mendefinisikan sebuah garis pada bidang.
3. Dot persimpangan lurus dan parabola adalah titik universal dari kedua kurva, maka fungsi di dalamnya akan mengambil nilai yang identik, yaitu f[x]=g[x]. Pernyataan ini memungkinkan Anda untuk menulis persamaan: ax^2+bx+c=kx+h, yang akan memberikan probabilitas untuk menemukan banyak poin persimpangan .
4. Dalam persamaan ax^2+bx+c=kx+h, Anda perlu memindahkan semua suku ke ruas kiri dan membawa suku yang serupa: ax^2+[b-k]x+c-h=0. Sekarang tinggal menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
5. Semua "x" yang terdeteksi belum merupakan hasil tugas, karena sebuah titik pada bidang dicirikan oleh dua bilangan real [x, y]. Untuk kesimpulan lengkap dari solusi, perlu untuk menghitung "permainan" yang sesuai. Untuk melakukan ini, perlu mensubstitusikan "xes" ke dalam fungsi f [x] atau ke dalam fungsi g [x], teh untuk titik persimpangan benar: y=f[x]=g[x]. Nanti Anda akan menemukan semua titik universal parabola dan lurus .
6. Untuk mengkonsolidasikan materi, sangat penting untuk melihat solusi dengan contoh. Biarkan parabola diberikan oleh fungsi f[x]=x^2-3x+3, dan garis lurus - g[x]=2x-3. Tulis persamaan f[x]=g[x], yaitu x^2-3x+3=2x-3. Memindahkan semua suku ke ruas kiri, dan membawa suku yang serupa, diperoleh: x^2-5x+6=0. Akar dari ini persamaan kuadrat: x1=2, x2=3. Sekarang temukan "pemain" yang sesuai: y1=g[x1]=1, y2=g[x2]=3. Dengan demikian, semua titik ditemukan persimpangan: [2,1] dan [3,3].
titik persimpangan garis lurus dapat kira-kira ditentukan dari grafik. Namun, koordinat yang tepat dari titik ini sering diperlukan, atau tidak perlu membuat grafik, maka dimungkinkan untuk menemukan titik tersebut. persimpangan hanya mengetahui persamaan garis.
Petunjuk
1. Biarkan dua garis diberikan oleh persamaan umum garis: A1*x + B1*y + C1 = 0 dan A2*x + B2*y + C2 = 0. Titik persimpangan milik satu garis lurus dan yang lain. Kami menyatakan dari persamaan pertama garis x, kami mendapatkan: x = -[B1*y + C1]/A1. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke persamaan kedua: -A2*[B1*y + C1]/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2]/[A1B2 – A2B1]. Substitusikan nilai yang terdeteksi ke dalam persamaan garis lurus pertama: A1*x + B1[A2C1 – A1C2]/[A1B2 – A2B1] + C1 = 0.A1[A1B2 – A2B1]*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1C1 = 0[A1B2 – A2B1]*x - B1C2 + B2C1 = 0 Kemudian x = [B1C2 - B2C1]/[A1B2 - A2B1].
2. PADA kursus sekolah matematikawan, garis lurus sering diberikan oleh persamaan dengan eksponen sudut, mari kita pertimbangkan kasus ini. Biarkan dua garis diberikan dengan cara ini: y1 = k1*x + b1 dan y2 = k2*x + b2. Rupanya, pada intinya persimpangan y1 = y2, maka k1*x + b1 = k2*x + b2. Kami mendapatkan bahwa ordinat titik persimpangan x = [b2 – b1]/[k1 – k2]. Substitusikan x ke dalam persamaan garis lurus apa pun dan dapatkan y = k1[b2 – b1]/[k1 – k2] + b1 = [k1b2 – b1k2]/[k1 – k2].
Video Terkait
persamaan parabola adalah fungsi kuadrat. Ada beberapa opsi untuk menyusun persamaan ini. Itu semua tergantung pada parameter apa yang disajikan dalam kondisi masalah.
Petunjuk
1. Parabola adalah kurva yang bentuknya menyerupai busur dan merupakan grafik fungsi daya. Terlepas dari susunan yang dimiliki parabola, fungsi ini genap. Fungsi genap adalah fungsi sedemikian rupa sehingga, untuk semua nilai argumen dari domain definisi, ketika tanda argumen berubah, nilainya tidak berubah: f [-x] \u003d f [x] Mulai dengan fungsi paling primitif: y \u003d x ^ 2. Dari penampilannya, dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa ia tumbuh baik untuk nilai benar dan negatif dari argumen x. Titik di mana x=0, dan pada saat yang sama, y = 0 dianggap sebagai titik minimum dari fungsi tersebut.
2. Di bawah ini adalah semua opsi utama untuk membangun fungsi ini dan persamaannya. Sebagai contoh pertama, di bawah ini adalah fungsi dari bentuk: f[x]=x^2+a, di mana a adalah bilangan bulat Untuk memplot fungsi ini, Anda perlu menggeser grafik fungsi f[x] dengan sebuah unit. Contohnya adalah fungsi y=x^2+3, di mana sumbu y menggeser fungsi ke atas sebanyak dua unit. Diberikan fungsi dengan tanda yang berlawanan, misalkan y=x^2-3, maka grafiknya digeser ke bawah sumbu y.
3. Jenis fungsi lain yang dapat diberikan parabola adalah f[x]=[x + a]^2. Dalam kasus seperti itu, grafik, sebaliknya, digeser sepanjang absis [sumbu x] oleh satu unit. Misalnya, diperbolehkan untuk melihat fungsi: y=[x +4]^2 dan y=[x-4]^2. Dalam kasus pertama, di mana ada fungsi dengan tanda plus, grafik digeser sepanjang sumbu x ke kiri, dan dalam kasus kedua, ke kanan. Semua kasus ini ditunjukkan pada gambar.
4. Ada juga ketergantungan parabola dalam bentuk y=x^4. Dalam kasus seperti itu, x=const, dan y naik tajam. Namun, ini hanya berlaku untuk fungsi genap parabola sering hadir di tugas fisik, katakanlah, penerbangan tubuh menggambarkan garis yang mirip dengan parabola. Lihat juga parabola memiliki bagian memanjang dari reflektor lampu depan, lampu. Tidak seperti gelombang sinus, grafik ini tidak periodik dan progresif.
Tugas ini adalah untuk membangun sebuah titik persimpangan lurus dengan pesawat adalah klasik dalam grafik teknik dan dilakukan dengan menggunakan metode geometri deskriptif dan solusi grafisnya dalam gambar.
Petunjuk
1. Pertimbangkan definisi titik persimpangan lurus dengan bidang lokasi pribadi [Gambar 1] Garis lurus l memotong bidang proyeksi frontal?. Arahkan mereka persimpangan K milik dan lurus dan bidang, sehingga proyeksi umum K2 terletak pada?2 dan l2. Yaitu, K2= l2??2, dan proyeksi horizontalnya K1 ditentukan pada l1 menggunakan garis sambungan proyeksi.Dengan demikian, titik yang diinginkan persimpangan K[K2K1] dibangun secara bebas tanpa menggunakan bidang bantu.Titik didefinisikan dengan cara yang sama persimpangan lurus dengan segala macam pesawat pribadi.
2. Pertimbangkan definisi titik persimpangan lurus dengan pesawat umum. Pada Gambar 2, sebuah pesawat yang terletak sewenang-wenang diberikan dalam ruang? dan garis lurus l. Untuk menentukan titik persimpangan lurus dengan bidang lokasi umum, metode bidang pemotongan tambahan digunakan dalam urutan berikut:
3. Sebuah bidang potong bantu ditarik melalui garis lurus l?. Untuk memudahkan konstruksi, ini akan menjadi bidang proyeksi.
5. Titik K ditandai persimpangan lurus l dan garis yang dibangun persimpangan M N. Dia adalah titik yang diinginkan persimpangan lurus dan pesawat.
6. Mari kita terapkan aturan ini untuk memecahkan masalah tertentu dalam gambar kompleks.Contoh. Tentukan titik persimpangan lurus l dengan bidang lokasi umum, diberikan oleh segitiga ABC [Gambar 3].
7. Sebuah bidang potong bantu ditarik melalui garis l, tegak lurus bidang proyeksi?2. Proyeksinya?2 bertepatan dengan proyeksi lurus l2.
8. Jalur MN sedang dibangun. Pesawat terbang? memotong AB di titik M. Proyeksi umumnya M2= ?2?A2B2 dan horizontal M1 ke A1B1 ditandai sepanjang garis sambungan proyeksi. memotong sisi AC di titik N. Proyeksi umumnya adalah N2=?2?A2C2, proyeksi horizontal N1 ke A1C1. Garis MN milik kedua bidang pada saat yang sama, dan oleh karena itu, adalah garisnya persimpangan .
9. Titik K1 ditentukan persimpangan l1 dan M1N1, setelah itu titik K2 dibangun dengan dukungan jalur komunikasi. Ternyata K1 dan K2 adalah proyeksi dari titik yang diinginkan persimpangan K lurus l dan pesawat? ABC:K[K1K2]=l[l1l2]? ? ABC[A1B1C1, A2B2C2] Dengan menggunakan titik bersaing M,1 dan 2,3, jarak pandang ditentukan lurus l tentang pesawat yang diberikan? ABC.
Video Terkait
Catatan!
Gunakan pesawat bantu saat memecahkan masalah.
Saran yang bermanfaat
Melakukan perhitungan dengan menggunakan gambar detail yang sesuai dengan kebutuhan soal. Ini akan membantu Anda dengan cepat menavigasi solusi.
Dua garis, jika tidak sejajar dan tidak bertepatan, berpotongan ketat di satu titik. Menemukan koordinat tempat ini berarti menghitung poin persimpangan langsung. Dua garis yang berpotongan selalu terletak pada bidang yang sama, sehingga cukup untuk melihatnya pada bidang Cartesian. Mari kita lihat contoh bagaimana menemukan titik universal garis.
Petunjuk
1. Ambil persamaan 2 garis, mengingat bahwa persamaan garis dalam sistem koordinat Cartesian, persamaan garis terlihat seperti ax + wu + c \u003d 0, dan a, b, c - bilangan biasa, dan x dan y adalah koordinat titik-titik. Misalnya, temukan poin persimpangan garis lurus 4x+3y-6=0 dan 2x+y-4=0. Untuk melakukan ini, temukan solusi untuk sistem 2 persamaan ini.
2. Untuk menyelesaikan sistem persamaan, ubah salah satu persamaan sehingga y didahului oleh eksponen yang identik. Karena dalam satu persamaan, eksponen di depan y adalah 1, maka secara primitif kalikan persamaan ini dengan angka 3 [eksponen di depan y dalam persamaan lain]. Untuk melakukan ini, kalikan setiap elemen persamaan dengan 3: [2x * 3] + [y * 3] - [4 * 3] \u003d [0 * 3] dan dapatkan persamaan biasa 6x+3y-12=0. Jika eksponen di depan y luar biasa dari kesatuan di kedua persamaan, kedua persamaan harus dikalikan.
3. Kurangi yang lain dari satu persamaan. Untuk melakukan ini, kurangi dari sisi kiri satu sisi kiri sisi kiri yang lain dan lakukan hal yang sama dengan sisi kanan. Dapatkan ekspresi ini: [4x + 3y-6] - [6x + 3y-12] \u003d 0-0. Karena ada tanda “-” di depan tanda kurung, ubah semua tanda dalam tanda kurung menjadi kebalikannya. Dapatkan ekspresi ini: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Sederhanakan ekspresi dan Anda akan melihat bahwa variabel y telah menghilang. Persamaan baru terlihat seperti ini: -2x+6=0. Pindahkan angka 6 ke bagian lain dari persamaan, dan dari persamaan yang dihasilkan -2x \u003d -6, nyatakan x: x \u003d [-6] / [-2]. Jadi didapat x=3.
4. Substitusikan nilai x=3 dalam persamaan apa pun, katakanlah, dalam persamaan kedua dan dapatkan ekspresi berikut: [2 * 3] + y-4 = 0. Sederhanakan dan nyatakan y: y=4-6=-2.
5. Tulis nilai x dan y yang dihasilkan sebagai koordinat poin[3;-2]. Ini akan menjadi solusi untuk masalah ini. Periksa nilai yang diperoleh dengan mensubstitusi kedua persamaan.
6. Jika garis tidak diberikan sebagai persamaan, tetapi diberikan secara primitif pada bidang, temukan koordinatnya poin persimpangan secara grafis. Untuk melakukan ini, perpanjang garis sehingga berpotongan, lalu turunkan garis tegak lurus pada sumbu x dan y. Perpotongan garis tegak lurus dengan sumbu x dan y akan menjadi koordinat ini poin, lihat gambar dan Anda akan melihat koordinatnya poin persimpangan x \u003d 3 dan y \u003d -2, yaitu, titik [3; -2] adalah solusi untuk masalah tersebut.
Video Terkait
Parabola adalah kurva bidang orde dua persamaan kanonik yang dalam sistem koordinat kartesius memiliki bentuk y?=2px. Dimana p adalah parameter fokus parabola, sama dengan jarak dari titik tetap F, yang disebut fokus, ke garis tetap D pada bidang yang sama, yang disebut direktriks. Titik puncak parabola semacam itu melewati bagian depan koordinat, dan kurva itu sendiri simetris terhadap sumbu absis Ox. Dalam kursus aljabar sekolah, merupakan kebiasaan untuk mempertimbangkan parabola, sumbu simetri yang bertepatan dengan sumbu ordinat Oy: x?=2py. Dan persamaannya ditulis agak berlawanan: y=ax?+bx+c, a=1/[2p]. Dimungkinkan untuk menggambar parabola dengan beberapa metode, secara kondisional yang dapat disebut aljabar dan geometris.
Petunjuk
1. Konstruksi aljabar parabola Cari tahu koordinat titik puncak parabola. Hitung koordinat sepanjang sumbu Ox menggunakan rumus: x0=-b/[2a], dan sepanjang sumbu Oy: y0=-[b?-4ac]/4a atau substitusikan nilai x0 yang dihasilkan ke dalam persamaan parabola y0 =ax0?+bx0+c dan hitung nilainya.
2. Pada bidang koordinat, buat sumbu simetri parabola. Rumusnya bertepatan dengan rumus untuk koordinat x0 dari titik parabola: x=-b/[2a]. Tentukan di mana cabang-cabang titik parabola. Jika a>0, maka sumbu-sumbunya mengarah ke atas, jika a
3. Ambil sewenang-wenang 2-3 nilai untuk parameter x sehingga: x0
4. Tempatkan titik 1', 2', dan 3' sehingga simetris dengan titik 1, 2, 3 terhadap sumbu simetri.
5. Satukan titik 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 dengan garis miring halus. Lanjutkan garis ke atas atau ke bawah, tergantung pada arah parabola. Parabola dibangun.
6. Konstruksi geometris parabola. Metode ini didasarkan pada definisi parabola sebagai komunitas titik-titik yang berjarak sama dari fokus F dan direktriks D. Oleh karena itu, pertama-tama temukan parameter fokus parabola yang diberikan p=1/[2a].
7. Bangun sumbu simetri parabola seperti yang dijelaskan pada langkah 2. Di atasnya, letakkan titik F dengan koordinat di sepanjang sumbu Oy sama dengan y \u003d p / 2 dan titik D dengan koordinat y \u003d -p / 2.
8. Dengan menggunakan bujur sangkar, buatlah sebuah garis yang melalui titik D, tegak lurus terhadap sumbu simetri parabola. Garis ini adalah direktriks parabola.
9. Ambil benang sepanjang panjangnya sama dengan salah satu kaki persegi. Kencangkan salah satu ujung utas dengan kancing di bagian atas bujur sangkar tempat kaki ini berdampingan, dan ujung ke-2 pada fokus parabola di titik F. Letakkan penggaris sehingga tepi atasnya bertepatan dengan directrix D. Tempatkan penggaris persegi pada penggaris, bebas dari tombol dengan kaki .
10. Atur pensil sehingga dengan ujungnya menekan benang ke kaki persegi. Pindahkan kotak di sepanjang penggaris. Pensil akan menggambar parabola yang Anda butuhkan.
Video Terkait
Catatan!
Jangan menggambar bagian atas parabola sebagai sudut. Cabang-cabangnya bertemu satu sama lain, membulat dengan mulus.
Saran yang bermanfaat
Saat membuat parabola dengan metode geometris, pastikan bahwa utasnya selalu kencang.
Sebelum melanjutkan ke pencarian perilaku suatu fungsi, perlu ditentukan luas metamorfosis dari besaran-besaran yang ditinjau. Mari kita asumsikan bahwa variabel mengacu pada himpunan bilangan real.
Petunjuk
1. Fungsi adalah variabel yang bergantung pada nilai argumennya. Argumen adalah variabel independen. Batas-batas perubahan dalam suatu argumen disebut domain nilai yang mungkin [ROV]. Perilaku fungsi dianggap dalam kerangka ODZ karena, dalam batas-batas ini, hubungan antara dua variabel tidak kacau, tetapi mematuhi aturan tertentu dan dapat ditulis sebagai ekspresi matematis.
2. Mari kita pertimbangkan konektivitas fungsional arbitrer F=?[x], di mana? adalah ekspresi matematika. Fungsi tersebut dapat memiliki titik potong dengan sumbu koordinat atau dengan fungsi lainnya.
3. Pada titik potong fungsi dengan sumbu x, fungsi menjadi nol: F[x]=0 Selesaikan persamaan ini. Anda akan mendapatkan koordinat titik potong fungsi yang diberikan dengan sumbu OX. Akan ada banyak titik seperti itu karena ada akar persamaan di bagian tertentu dari metamorfosis argumen.
4. Di titik perpotongan fungsi dengan sumbu y, nilai argumennya adalah nol. Akibatnya, masalahnya berubah menjadi menemukan nilai fungsi pada x=0. Akan ada banyak titik perpotongan fungsi dengan sumbu OY sebanyak nilai fungsi yang diberikan dengan argumen nol.
5. Untuk menemukan titik potong dari fungsi yang diberikan dengan fungsi lain, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan: F=?[x]W=?[x]. , titik persimpangan yang fungsi yang diberikan perlu dideteksi. Rupanya, di titik persimpangan, kedua fungsi mengambil nilai yang sama untuk nilai argumen yang sama. Akan ada banyak titik universal untuk 2 fungsi karena ada solusi untuk sistem persamaan di area perubahan argumen tertentu.
Video Terkait
Pada titik perpotongan, fungsi memiliki nilai yang sama untuk nilai argumen yang identik. Mencari titik potong fungsi berarti menentukan koordinat titik-titik yang bersifat universal untuk perpotongan fungsi.
Petunjuk
1. Secara umum, masalah menemukan titik potong fungsi dari satu argumen Y=F[x] dan Y?=F?[x] pada bidang XOY direduksi menjadi penyelesaian persamaan Y= Y?, dari fakta bahwa pada a titik universal fungsi memiliki nilai yang sama. Nilai x yang memenuhi persamaan F[x]=F?[x], [jika ada] adalah absis dari titik potong dari fungsi yang diberikan.
2. Jika fungsi diberikan oleh ekspresi matematika sederhana dan bergantung pada satu argumen x, maka masalah menemukan titik persimpangan dapat diselesaikan secara grafis. Plot grafik fungsi. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat [x=0, y=0]. Tetapkan beberapa nilai argumen lagi, temukan nilai fungsi yang sesuai, tambahkan poin yang diperoleh ke grafik. Semakin banyak titik yang akan digunakan untuk plot, semakin akurat grafiknya.
3. Jika grafik fungsi berpotongan, tentukan koordinat titik potong dari gambar. Untuk memeriksa, gantikan koordinat ini ke dalam rumus yang mendefinisikan fungsi. Jika ekspresi matematika berubah menjadi objektif, titik persimpangan ditemukan positif. Jika grafik fungsi tidak berpotongan, coba rescaling. Ambil langkah yang lebih besar di antara titik-titik konstruksi untuk menentukan di bagian mana dari bidang numerik garis-garis grafik bertemu. Setelah itu, pada bagian persimpangan yang teridentifikasi, buat grafik yang lebih detail dengan langkah halus untuk menentukan koordinat titik persimpangan secara akurat.
4. Jika perlu mencari titik potong fungsi bukan pada bidang, tetapi dalam ruang tiga dimensi, dimungkinkan untuk melihat fungsi 2 variabel: Z=F[x,y] dan Z?=F?[x , y]. Untuk menentukan koordinat titik potong fungsi, perlu diselesaikan sistem persamaan dengan dua x dan y yang tidak diketahui pada Z= Z?.
Video Terkait