Tahukah kamu apa yang dimaksud dengan fungsi? Konsep fungsi merupakan salah satu konsep yang penting dalam matematika. Banyak permasalahan sehari-hari yang tanpa disadari menggunakan konsep ini. Misalnya, dalam suatu kegiatan donor darah, setiap orang yang akan jadi pendonor diminta untuk menyebutkan jenis golongan darahnya. Dari data diketahui Andi bergolongan darah A. Budi golongan darahnya B, Ahmad golongan darahnya A, Anton golongan darahnya O, Abdul golongan darahnya AB, dan Bagus golongan darahnya B. Jika suatu saat dibutuhkan pendonor golongan darah A, siapakah yang dapat jadi pendonor? Kasus tersebut merupakan contoh permasalahan yang menerapkan konsep fungsi. Jika kamu amati, setiap orang yang telah disebutkan mempunyai satu jenis golongan darah saja. Jadi, apa sebenarnya fungsi itu? Agar kamu lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah bab ini dengan sungguh-sungguh.
Dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah mendengar istilah relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi memiliki pengertian yang lebih khusus. Agar kamu lebih memahami pengertian relasi, pelajari uraian berikut.
Misalkan Eva, Roni, Tia, dan Dani diminta untuk menyebutkan warna kesukaannya masing-masing. Hasilnya adalah sebagai berikut:
• Eva menyukai warna merah • Roni menyukai warna hitam • Tia menyukai warna merah• Dani menyukai warna biru
Pada uraian tersebut, terdapat dua himpunan, yaitu himpunan anak dan himpunan warna. Misalkan A adalah himpunan anak sehingga A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dan B adalah himpunan warna sehingga B = {merah, hitam, biru}. Dengan demikian, relasi atau hubungan himpunan A dan himpunan B dapat digambarkan dengan diagram seperti tampak pada Gambar berikut:
Relasi himpunan A dan B pada Gambar 2.2 adalah "menyukai warna" Eva dipasangkan dengan merah, artinya Eva menyukai warna merah. Roni dipasangkan dengan hitam, artinya Roni menyukai warna hitam. Tia dipasangkan dengan merah, artinya Tia menyukai warna merah. Dani dipasangkan dengan biru, artinya Dani menyukai warna biru. Dari uraian tersebut, kamu akan menemukan pernyataan berikut.
Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
a. Diagram Panah
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah. Oleh karena itu, diagram tersebut dinamakan diagram panah.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh berikut!
Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Tentukan hobi masing-masing anak.
Contoh Soal : Diketahui himpunan-himpunan bilangan A = {3, 4, 5, 6, 7} dan B = {4, 5, 6}. Buatlah diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi: a. satu kurangnya dari, b. faktor dari.Jawab : a. 3 A dipasangkan dengan 4 B karena 4 = 3 + 1 4 A dipasangkan dengan 5 B karena 5 = 4 + 1 5 A dipasangkan dengan 6 B karena 6 = 5 + 1 Jadi, diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi "satu kurangnya dari" adalah sebagai berikut. |
b. Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi "menyukai warna" pada Gambar 2.2 dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hitam, biru}, sebagai berikut.
Pernyataan "Eva menyukai warna merah" ditulis [Eva, merah]. Pernyataan "Roni menyukai warna hitam" ditulis [Roni, hitam]. Pernyataan "Tia menyukai warna merah" ditulis [Tia, merah].Pernyataan "Dani menyukai warna biru" ditulis [Dani, biru].
Himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini ditulis: {[Eva, merah], [Roni, hitam], [Tia, merah], [Dani, biru]}.
Jadi, relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan [x, y] dengan x A dan y B.
Contoh Soal : Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "dua kali dari", tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut. Jawab : 0 A dipasangkan dengan 0 B karena 0 = 0 × 2, ditulis [0, 0] 2 A dipasangkan dengan 1 B karena 2 = 1 × 2, ditulis [2, 1] 4 A dipasangkan dengan 2 B karena 4 = 2 × 2, ditulis [4, 2] 6 A dipasangkan dengan 3 B karena 6 = 3 × 2, ditulis [6, 3] Jadi, himpunan pasangan berurutan untuk relasi "dua kali dari" adalah {[0, 0], [2, 1], |
Contoh Soal : Jawab : Diketahui: A = {4, 5, 6, 7} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}Relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari".Jadi, diagramnya adalah sebagai berikut. |
Pada Gambar 2.4 , terdapat dua himpunan, yaitu himpunan P = {Nisa, Asep, Made, Cucu, Butet} dan himpunan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P dipasangkan dengan tepat satu golongan darah anggota Q. Bentuk relasi seperti ini disebut Fungsi atau Pemetaan. Uraian tersebut memperjelas definisi fungsi atau pemetaan, sebagai berikut.
Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap
anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.
Contoh Soal : Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi? Jawab :
|
Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar di samping. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain [daerah asal] dan himpunan B disebut kodomain [daerah kawan]. Dari gambar tersebut, kamu juga memperoleh:
- 2 B merupakan peta dari 1 A
- 3 B merupakan peta dari 2 A
- 4 B merupakan peta dari 3 A
Himpunan peta tersebut dinamakan range [daerah hasil]. Jadi, dari diagram panah pada Gambar 2.5 diperoleh:
- Domainnya [Df] adalah A = {1, 2, 3}.
- Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.
- Rangenya [Rf] adalah {2, 3, 4}.
Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Jawab : • Domainnya [Df] adalah P = {4, 6, 8, 10} • Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5} • Rangenya [Rf] adalah {2, 3, 4, 5} |
Contoh Soal : Gambarlah grafik fungsi f: x → 2x pada bidang Cartesius dengan domain dan kodomainnya himpunan bilangan riil. [2] Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut. [3] Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah itu dengan garis lurus sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar berikut. |
Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus
fungsi f adalah f [x] = ax + b.
Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menghitung nilai fungsi. Pelajarilah contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal : Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan: a. f [1], b. f [2], c. bayangan [–2] oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f [x] = 8, f. nilai a jika f [a] = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f [x] = 2x –2. a. f [1] = 2 [1] – 2 = 0 b. f [2] = 2 [2] – 2 = 2 c. Bayangan [–2] oleh f sama dengan f [–2]. Jadi, f [–2] = 2 [–2] – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f [–5] = 2 [–5] – 2 = –12 e. Nilai x untuk f [x] = 8 adalah 2x – 2 = 8 2x = 8 + 2 2x = 10 x = 5 f. Nilai a jika f [a] = 14 adalah 2a – 2 = 14 2a = 14 + 2 2a = 16 a = 8 Contoh Soal : Diketahui g: x → x2 + 2 dengan domain {x | – 4 < x ≤ 2, x bilangan bulat} dan kodomain bilangan bulat. a. Tuliskan rumus untuk fungsi g. b. Tuliskan domain g dengan mendaftar anggota-anggotanya. c. Tentukan daerah hasil g. d. Gambarlah grafik fungsi g jika domainnya { x | – 4 < x ≤ 1, x bilangan riil} dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil. Jawab : |
Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya jika nilai data diketahui. Bagaimanakah caranya? Untuk menjawabnya, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal : Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h[x] = a x + b, dengan a dan b bilangan bulat. Jika h [–2] = –4 dan h[1] = 5, tentukan: a. nilai a dan b, b. rumus fungsi tersebut. Jawab : h[x] = ax +b a. Oleh karena h[–2] = –4 maka h[–2] = a[–2] + b = –4 –2a + b = –4 …[1] h[1] = 5 maka h[1] = a [1] + b = 5 a + b = 5 b = 5 – a …[2] Substitusikan persamaan [2] ke persamaan [1], diperoleh: –2a + b = –4 –2a + [5 – a] = –4 –2a + 5 – a = –4 –3a + 5 = –4 –3a = –9 a = 3 Substitusikan nilai a = 3 ke persamaan [2], diperoleh b = 5 – a = 5 – 3 = 2 Jadi, nilai a sama dengan 3 dan nilai b sama dengan 2.b. Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h[x] = 3x + 2. |
Beri Penilaian