Titik yang tidak memenuhi daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Jakarta -

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang terdiri atas dua variabel. Nah, bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel ini ditulis dengan lambang x dan y. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel.

Berikut ini adalah bentuk umum penulisan pertidaksamaan linear dua variabel:

ax + by ≤ c;ax + by ≥ c;ax + by < c;

ax + by > c;

Keterangan:
a, b, c adalah bilangan asli.

a dan b adalah koefisien.c adalah konstanta.

x dan y adalah variabel.

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Dalam e-Modul Matematika Program Linear Dua Variabel yang disusun oleh Yoga Noviyanto, S.Pd., himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah daerah yang dibatasi oleh garis pada sistem koordinat kartesius.

Daerah tersebut dinamakan Daerah Penyelesaian [DP] PtLDV dan dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

1. Metode Uji Titik

Untuk memahami metode ini, perhatikan contoh di bawah ini.

Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah ax + by ≤ c.
Langkah yang harus kamu lakukan:

a. Gambarlah grafik ax + by = c

b. Jika tanda ketidaksamaan berupa ≤ atau ≥, garis pembatas digambar penuh. Jika tanda ketidaksamaan berupa < atau >, garis pembatas digambar putus-putus

c. Uji titik. Ambil sembarang titik, misalkan [x1, y1] dengan [x2, y2] di luar garis ax + by = c,

d. Masukkan nilai titik [x1, y1] atau [x2, y2] tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by ≤ c

e. Ada dua kemungkinan, yaitu jika hasil ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai benar, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik [x1,y1] dengan batas garis ax + by = c. Namun, jika ketidaksamaan ax1 + by1 ≤ c bernilai salah, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik [x1, y1] dengan batas garis ax + by = c.

2. Memperhatikan Tanda Ketidaksamaan

Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dapat ditentukan di kanan atau di kiri garis pembatas dengan cara memperhatikan tanda ketidaksamaan. Berikut ini langkah-langkahnya.

a. Pastikan koefisien x dan pertidaksamaan linear dua variabel tersebut positif. Jika tidak positif, kalikan pertidaksamaan dengan -1. Ingat, jika pertidaksamaan dikali -1, tanda ketidaksamaan berubah.

b. Jika koefisien x dari PtLDV sudah positif. Perhatikan tanda ketidaksamaannya.

- Jika tanda ketidaksamaan

- Jika tanda ketidaksamaan ≤, daerah penyelesaian ada di kiri dan pada garis pembatas.

- Jika tanda ketidaksamaan >, daerah penyelesaian ada di kanan garis pembatas.

- Jika tanda ketidaksamaan ≥, daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis pembatas.

Contoh:

2x + 5y ≥ 7

Jawaban: Daerah penyelesaian ada di kanan dan pada garis 2x + 5y = 7.

-3x + 8y ≥ 15

Jawaban:

= -3x + 8y ≥ 15 dikali -1 agak koefisien x menjadi positif

= 3x - 8y ≤ -15

= Daerah penyelesaian di kiri dan pada garis -3x + 8y = 15

3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel atau SPtLDV adalah gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Langkah sederhana untuk menyelesaikan SPtLDV, yaitu

a. Cari titik x saat y = 0, begitu juga sebaliknyab. Gambarlah grafik sesuai dengan titik x dan y

c. Arsir daerah yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Contoh: 4x + 8y ≥ 16

Jawaban:

1. Mencari nilai x= Jika y = 0, maka menjadi 4x = 16= x = 16/4

= x = 4

2. Mencari nilai y= Jika x = 0, maka menjadi 8y = 16= y = 16/8

= y = 2

3. Gambarlah grafik dengan titik x = 4 dan y = 2 atau [4, 2].

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Untuk mengasah kemampuanmu dalam memahami pertidaksamaan linear dua variabel, coba kerjakan soal di bawah ini, yuk!

1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel ini

5x + 6y > 30

Jawaban:

1. Mencari nilai x= Jika y = 0, 5x = 30= x = 30/5

= x = 6

2. Mencari nilai y= Jika x = 0, 6y = 30= y = 30/6

= y = 5

3. Gambarlah grafik dengan titik x = 6 dan y = 5 atau [6, 5]

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: Ist

2. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah -4x + 2y ≤ 8. Tentukan daerah penyelesaiannya.

Jawaban:1. Kalikan dengan -1, menjadi 4x + 2y ≥ 82. Mencari nilai x= Jika y = 0, 4x = 8= x = 8/4= x = 23. Mencari nilai y= Jika x = 0, 2y = 8= y = 8/2= y = 44. Gambarlah grafik dengan titik x = 2 dan y = 4 atau [2, 4]

5. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

3. Diketahui pertidaksamaan linear dua variabel adalah 8x + 4y ≥ 40. Tentukan daerah penyelesaiannya.

Jawaban:1. Mencari nilai x= Jika y = 0, 8x = 40= x = 40/8= x = 52. Mencari nilai y= Jika x = 0, 4y = 40= y = 40/4= y = 103. Gambarlah grafik dengan titik x = 5 dan y = 10 atau [5, 10]

4. Arsir daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan

4. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah ...

Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

[0,6] dan [7,0]

6x + 7y = 6.76x + 7y = 42

Lihat daerah yang diarsir berada di sebelah kiri garis 6x + 7y = 42, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 6x + 7y ≤ 42

Kemudian, [0,4] dan [9,0]4x + 9 y = 36

Daerah yang diarsir berada di sebelah kanan, berarti daerah yang diarsir pertidaksamaannya : 4x + 7y ≥ 36

3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Jadi sistem pertidaksamaannya 6x + 7y ≤ 42, 4x + 7y ≥ 36, x ≥ 0, y ≥ 0

5. Contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel berikutnya. Buatlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut x + y ≤ 6, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 0 Langkah pertama tentukan titikx + y ≤ 6x + y = 6

[0,6] dan [6,0]

2x + 3y ≤ 122x + 3 y = 12Nilai x : jika y = 0, maka menjadi 2x = 12, x = 6Nilai y : jika x = 0, maka menjadi 3y = 12, y = 4

[0,4] dan [6,0]

Daerah penyelesaian pertidaksamaan Foto: IST

Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"

[pal/pal]

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menyelesaikan masalah program linear yaitu materi Menentukan Daerah Penyelesaian [Arsiran] sistem Pertidaksamaan. Pada materi Menentukan Daerah Penyelesaian [Arsiran] sistem Pertidaksamaan ini kita akan bahas cara-cara menentukan daerah penyelesaiannya [arsiran] yang biasa disingkat DHP [Daerah Himpunan Penyelesaian] dengan cara uji sembarang titik.

         Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.

Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

       Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah $ >, 17 $

Perbedaan Persamaan [baik linear atau tidak] dengan Pertidaksamaan

       Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan yaitu :
Persamaan hasilnya berupa grafik [untuk persamaan linear berupa garis], sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.

Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian [DHP] untuk satu pertidaksamaan dengan metode uji sembarang titik

       Langkah-langkah Menentukan DHP nya : i]. Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya [berupa grafik] dengan mengubah tanda ketaksamaannya [$>, \geq, \leq, , \, < \, $ yaitu : *]. Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh [tanpa putus] garisnya. *]. Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya. Contoh soal Menentukan DHP nya : 2]. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a]. $ 2x - y \leq 6 $ b]. $ 5x + 3y > 15 $ c]. $ x \geq 3 $ d]. $ y < -1 $ Penyelesaian :

Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".

a]. $ 2x - y \leq 6 $ *]. Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong [tipot] sumbu-sumbunya : Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $. tipotnya adalah [3,0]. Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ , $ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $. tipotnya adalah [0,-6]. gambar grafiknya yaitu :

*]. Pilih satu titik uji, biasanya titik [0,0] karena paling mudah dihitung. Kita substitusikan titik [0,0] ke pertidaksamaan : $ \begin{align} [x,y] = [0,0] \rightarrow 2x - y & \leq 6 \\ 2.0 - 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{[benar]} \end{align} $ Karena titik uji [0,0] memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik [0,0] yaitu daerah sebelah kiri [atau atas]. *]. Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.

b]. $ 5x + 3y > 15 $ *]. Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan menentukan titik potong [tipot] sumbu-sumbunya : Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ , $ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $. tipotnya adalah [3,0]. Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ , $ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $. tipotnya adalah [0,5]. gambar grafiknya yaitu :

*]. Pilih satu titik uji yaitu titik [0,0]. Kita substitusikan titik [0,0] ke pertidaksamaan : $ \begin{align} [x,y] = [0,0] \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{[salah]} \end{align} $ Karena titik uji [0,0] tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik [0,0] yaitu daerah sebelah kanan [atau atas]. *]. Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.

c]. $ x \geq 3 $ *]. Grafik dari $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti gambar berikut ini.

*]. Karena yang diminta lebih besar dari 3 [$x \geq 3 $], maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di sebelah kanan garis.

d]. $ y < -1 $ *]. Grafik dari $ y = -1 \, $ adalah mendatar seperti gambar berikut ini.

*]. Karena yang diminta lebih kecil dari -1 [$y < -1 $], maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di bawah garis.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian [DHP] sistem Pertidaksamaan

       Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian [DHP] yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada. Langkah-langkah menentukan DHP nya : 1]. Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya. 2]. Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu : i]. DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.

ii]. DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.

Contoh soal Menentukan DHP sistem pertidaksamaan : 3]. Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini: $ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$. Penyelesaian : *]. Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan : Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :

*]. Mengambil sembarang titik uji, misalnya [0, 0], untuk disubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya. $ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{[benar]} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x - y & \leq 3 \\ 0 - 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{[benar]} \end{align} $ *]. DHP masing-masing :

*]. Daerah yang terkena arsiran paling banyak ditunjukkan gambar berikut ini :

*]. Bisa juga dengan mengarsir daerah yang salah, sehingga DHP nya adalah daerah yang bersih seperti gambar berikut ini :

Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika diketahui DHP nya

       Pada bagian terakhir dari artikel ini kita membahas kebalikannya yaitu diketahui Daerah Himpunan Penyelesaiannya dan kita diminta untuk menentukan sistem pertidaksamaannya. Langkah-langkahnya : i]. Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.

ii]. Menentukan tanda ketaksamaannya [$>, \, \leq , \, \geq , \, < $] sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.

Contoh soal : 4]. Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!

Penyelesaian :

Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".

*]. Menentukan persamaan masing-masing garis :

Garis I : Kali silang, $ 2x + [-4]y = 2 . [-4] \rightarrow 2x - 4y = - 8 \rightarrow x - 2y = - 4 $. Garis II : Kali silang, $ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $. Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $. Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $. *]. Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing : Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling mudah adalah titik [0,0]. Sebenarnya bisa kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya. Garis I : $ x - 2y = - 4 $ $ \begin{align} x - 2y & = - 4 \\ 0 - 2.0 \, & \text{[tandanya]} \, - 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $. Artinya 0 lebih besar dari -4, sehingga tanda ketaksamaannya $ > $. Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ x - 2y \geq - 4 $. Garis II : $ 4x + 5y = 20 $ $ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{[tandanya]} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $. Artinya 0 lebih kecil dari 20, sehingga tanda ketaksamaannya $ < $. Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ 4x + 5y \leq 20 $. Garis III : $ x = 0 \, $ Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ x \geq 0$. Garis IV : $ y = 0 $ Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ y \geq 0 $ Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut yaitu :

$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .