Contoh 4.7Jika titik A[–3, –4] dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukanlah bayangantitik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[-3, -4] →Csumbu y A '[x ', y ']= xy '' =-01 10 --43 3 -4 Jadi, bayangan titik A adalah A'[3,–4] Contoh 4.8Jika garis 3x – 2y – 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukanbayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x,y] memenuhi persamaan 3x – 2y – 5 = 0 sehingga,A[x, y] →Csumbu y A '[x ', y ']= xy '' =-01 10 xy -x y x ' =-x ⇔ x =-x 'y'= y ⇔ y = y'Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,3[–x] – 2[y] –5 = 0 atau 3x + 2y + 5 = 0Latihan 4.4Garis 2x – y + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O[0,0] kemudian dilanjutkandengan pencerminan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garistersebut.142 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x, y] terletak pada garis tersebut, sehingga:A[x, y] →CO[0,0] A '[x ', y '] →Csumbu y A ''[x '', y '']Langkah 1 [Proses pencerminan terhadap titik O[0, 0]]= xy '' =...... ...... xy ... ... Langkah 2 [Proses pencerminan terhadap sumbu y]= xy '''' ..=.... ...... xy '' =...... ............ ... ... sehingga:x '' = ... dan y '' = ...Langkah 4 [Proses menentukan persamaan bayangan]Tentukan x dan y dalam bentuk x dan yx= … dan y= …Langkah 5 [Proses menentukan persamaan bayangan]Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan bayangan.2[ … ] – [ … ] + 5 = 04.2.4 Pencerminan Terhadap Garis y = xKita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = xdengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif,kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut! MATEMATIKA 143Gambar 4.8: Refleksi titik terhadap garis y = xCoba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap garis y = x padakoordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebutbeserta bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.5: Koordinat pencerminan titik terhadap garis y = x Titik Koordinat BayanganA[–1, –5] A'[–5, –1]B[... , ...] B'[... , ...]C[... , ...] C'[... , ...]D[... , ...] D'[... , ...]E[... , ...] E'[... , ...]Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A[x, y] dicerminkanterhadap garis y = x akan mempunyai koordinat bayangan A'[y, x], bukan?Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis y = x. Misalkan matrikstransformasinya adalah C = a b sehingga,A[x, y] Cy=x→ A '[ y, x] c d = xy =ac db xy ax + by cx + dy 144 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan kesamaan matriks,y = ax + by ⇔ a = 0 dan b = 1x = cx + dy ⇔ c = 1 dan d = 0Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah 0 1 1 0 Titik A[x, y] dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayanganA'[x', y'], ditulis dengan, A[x, y] Cy=x→ A '[x ', y '] x ' = 0 1 x y ' 1 0 y Dimana matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah 0 1 . 0 1 Contoh 4.9Jika titik A[–1, 2] dicerminkan terhadap garis y = x maka tentukanlah bayangantitik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[-1, 2] Cy=x→ A '[x ', y ']= xy '' =10 10 -21 2 -1 Jadi, bayangan titik A adalah A'[2, –1] Contoh 4.10Jika garis 4x – 3y + 1 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x maka tentukanbayangan garis tersebut! MATEMATIKA 145Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x, y] memenuhi persamaan 4x – 3y + 1 = 0 sehingga,A[x, y] Cy=x→ A '[x ', y ']= xy '' =10 10 xy y x x' = y ⇔ y = x'y' = x ⇔ x = y'Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,4[y] –3[x] + 1 = 0 atau –3[x] + 4y + 1 = 0 Latihan 4.5Titik A[–1, –3] dicerminkan terhadap titik O[0, 0] kemudian dilanjutkan denganpencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan pencerminanterhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.Alternatif Penyelesaian:A[-1, -3] →CO[0,0] A '[x ', y '] →Csumbu y A ''[x '', y ''] Cy=x→ A '''[x ''', y ''']Langkah 1 [Proses pencerminan terhadap titik O[0,0]]= xy '' =...... ...... --31 ... ... Langkah 2 [Proses pencerminan terhadap sumbu y]= xy '''' ..=.... ...... xy '' =...... ............ ... ... Langkah 3 [Proses pencerminan terhadap garis y = x]= xy '''''' ..=.... ...... xy '''' =...... ............ ... ... Jadi, bayangan titik A adalah A'''[…, …]146 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4.2.5 Pencerminan Terhadap Garis y = –xKita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = –xdengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif,kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut! Gambar 4.9: Pencerminan titik terhadap garis y = –x Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap garis y = –x padakoordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebutbeserta bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.6: Koordinat pencerminan titik terhadap garis y = –x Titik BayangannyaA[1, –4]B[... , ...] A'[4, –1]C[... , ...] B'[... , ...]D[... , ...] C'[... , ...]E[... , ...] D'[... , ...] E'[... , ...] Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A[x, y]dicerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayanganA'[–y, –x], bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garisy = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah C = a b sehingga, c d MATEMATIKA 147A[x, y] Cy=-x → A '[- y, -x]= --xy =ac db xy ... ... Dengan kesamaan matriks,–y = . . . ⇔ a = . . . dan b = . . .–x = . . . ⇔ c = . . . dan d = . . . ... ...Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah ... ... .Titik A[x, y] dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan bayanganA'[x', y'], ditulis dengan, A[x, y] Cy=-x → A '[x ', y '] x ' = 0 -1 x y ' -1 0 y Contoh 4.11Jika titik A[1, 2] dicerminkan terhadap garis y = –x maka tentukanlah bayangantitik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[1, 2] Cy=-x → A '[x ', y ']= xy '' =-01 -01 12 -2 -1 Jadi, bayangan titik A adalah A'[–2,–1] Contoh 4.12Jika garis 4x – 3y + 1 = 0 dicerminkan terhadap garis y = –x maka tentukanbayangan garis tersebut!148 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x,y] memenuhi persamaan 4x – 3y + 1 = 0 sehingga:A[x, y] Cy=-x → A '[x ', y ']= xy '' =-01 -01 xy -y - x x ' =- y ⇔ y =-x 'y ' =-x ⇔ x =- y 'Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,4[–y] – 3[–x] + 1 = 0 atau 3x – 4y + 1 = 0. Uji Kompetensi 4.11. Perhatikan gambar! Berdasarkan gambar, tentukan translasi T yang menggeser masing-masing objek tersebut! MATEMATIKA 1492. Tunjukkan dengan gambar pada bidang koordinat kartesius, pergeseran objek berikut oleh translasi T: a. Titik A[–3, –4] ditranslasi oleh T[5, 7] b. Ruas garis AB dengan A[–1, 1] dan B[2, –3] ditranslasi oleh T[–2, 4] c. Segitiga ABC dengan A[–3, –1], B[–1, 2], dan C[0, –4] ditranslasi oleh T[5, 5] d. Garis 2y – 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T[4, –1] e. Lingkaran dengan pusat di P[1, –1] dan radius 2 satuan ditranslasi oleh T[5, –5] 3. Tentukan koordinat hasil pergeseran titik oleh translasi T berikut: a. Titik A[–2, 5] oleh translasi T1[–1, –3] dilanjutkan dengan translasi T2[0, 5] b. Titik B[1, –3] oleh translasi T1[–2, –4] dilanjutkan dengan translasi T2[–2, –4] c. Titik C[–3, 2] oleh translasi T1[–1, 5] dilanjutkan dengan translasi T2[–1,4] d. Titik D[4, 5] oleh translasi T1[–1, –2] dilanjutkan dengan translasi T2[–1, –3] e. Titik D[1, 3] oleh translasi T1[1, 3] dilanjutkan dengan translasi T2[1, 3] 4. Tentukan koordinat titik asal oleh translasi T berikut. a. Titik A[x, y] ditranslasi oleh T[–1, –6] menjadi A'[7, –4] b. Titik B[x, y] ditranslasi oleh T[1, 5] menjadi B'[–10, –2] c. Titik C[x, y] ditranslasi oleh T[–4, 6] menjadi C'[10, –3] d. Titik D[x, y] ditranslasi oleh T[–5, –9] menjadi D'[5, 9] e. Titik E[x, y] ditranslasi oleh T[–1, –6] menjadi E'[1, 6] 5. Dengan menggunakan konsep, tentukan hasil pergeseran fungsi-fungsi berikut oleh translasi T. a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T[1, –1] b. Garis 2y – 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T[4, –1] c. Parabola y = x2 – 3x + 2 ditranslasi oleh T[2, 1] d. Parabola x = y2 – 2x – 2 ditranslasi oleh T[–2, 2] e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 ditranslasi oleh T[–3, –2]150 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6. Tunjukkan dengan gambar pencerminaan objek pada bidang koordinat kartesius berikut: a. Titik A[3, ‒4] dicerminkan terhadap titik O[0, 0] b. Titik B[‒1, ‒2] dicerminkan terhadap titik sumbu x c. Titik C[‒5, 2] dicerminkan terhadap titik sumbu y d. Titik D[1, ‒5] dicerminkan terhadap titik sumbu y = x e. Titik E[2, 4] dicerminkan terhadap titik sumbu y = ‒x f. Ruas garis AB dengan A[‒2, ‒1] dan B[2, 5] dicerminkan terhadap titik O[0, 0] g. Segitiga ABC dengan A[‒3, ‒1], B[‒1, 2] dan C[0, ‒4] dicerminkan terhadap sumbu x h. Garis 2y – 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y i. Parabola y = x2 + 6 dicerminkan terhadap garis y = x j. Garis y = 2x + 3 dicerminkan terhadap y = ‒x7. Dengan menggunakan konsep refleksi, tentukan hasil pencerminan fungsi- fungsi berikut! a. Garis y = 2 dicerminkan terhadap titik O[0, 0] b. Garis 2y – 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x. c. Parabola y = x2 – 3x + 2 dicerminkan terhadap sumbu y. d. Parabola x = y2 – 2y – 2 dicerminkan terhadap garis y = x. e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap garis y = ‒x.4.3 Menemukan Konsep Rotasi [Perputaran]Coba kamu amati lingkungan sekitarmu! Objek apa yang bergerak berputar?Banyak contoh objek yang bergerak berputar, seperti: jarum jam bergerakberputar menunjukkan angka, kincir angin, kipas angin, dan lain-lain. Padakesempatan ini, kita akan membahas gerak berputar [rotasi] suatu objekdengan sudut putaran dan pusat putaran pada bidang koordinat. PerhatikanGambar! MATEMATIKA 151Masalah 4.4 Coba kamu perhatikan gambar berikut! Gambar 4.10: Rotasi objek dengan pusat rotasi berbeda Berikan komentarmu tentang perputaran setiap objek tersebut! Pada gambar terdapat tiga objek [segitiga] yang diputar dengan sudut putaran tertentu. Hasil putaran akan bergantung pada pusat putaran dan besar sudut putaran, bukan. Gambar A adalah putaran objek dengan sudut putaran berada pada objek itu sendiri. Gambar B adalah putaran objek dengan pusat berada di ujung/pinggir objek itu sendiri dan Gambar C menunjukkan putaran objek dengan pusat putaran berada di luar objek itu. Namun, bentuk dan ukuran objek tidak berubah setelah mengalami rotasi.152 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan gambar berikut! Gambar 4.11: Rotasi objek pada pusat O[0,0]Dengan demikian, secara induktif diperoleh sifat rotasi sebagai berikut: Sifat 4.3 Bangun yang diputar [rotasi] tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Berikutnya, kita akan melakukan percobaan kembali untuk mendapatkankonsep rotasi. Perhatikan pergerakan titik pada gambar berikut: Gambar 4.12: Rotasi Titik dengan sudut β dan Pusat O[0,0] MATEMATIKA 153Kamu masih ingat konsep trigonometri, bukan? Pada segitiga OCA, koordinatobjek adalah A[r cos α, r sin α]. Diputar sebesar sudut β dan Pusat O[0, 0]sehingga posisi objek menjadi di koordinat A'[r cos[α + β], r sin[α + β]].Dengan demikian, kita akan mencoba mencari konsep rotasi.Misalkan matriks rotasi adalah a b sehingga:A[x, y] Rotasi→ A '[x ', y '] d c A[r cosa , r sina ] Rotasi→ A'[r cos[a + β ], r sin[a + β ]]= rrcsoins[[aa ++ ββ]] =ac db rr csoinsaa ar cosa + br sina cr cosa + dr sin a cosa cos β - sina sin β = a cosa + b sin a sin a cos β + cosa sin β c cosa + d sin a Ini berartia = cos β , b = - sin β=dan c s=in β , d cos βDengan demikian, matriks rotasi sebesar sudut β dan pusat rotasi O[0, 0] adalah cosa - sina . cosa sin a Bagaimana jika pusat rotasi di titik P[p, q]? Kamu boleh menggeser [translasi]terlebih dahulu pusat rotasi ke titik O[0, 0] kemudian terjadi proses rotasikemudian ditranslasi kembali sejauh pusat rotasi sebelumnya. Titik A[x, y] diputar dengan pusat P[p, q] dan sudut α menghasilkan bayangan A'[x', y'], ditulis dengan, A[x, y] →R[P[ p,q],a ] A '[x ', y ']= xy '' cosa - sina x - p + p cosa y - q q sin a 154 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMatriks rotasi dengan sudut α [berlawanan arah jarum jam] adalah cosa - sina . cosa sin a Ingat, sudut a dihitung berlawanan arah jarum jam, sebaliknya adalah –α[searah jarum jam]. Contoh 4.13Jika titik A[–2, 3] dirotasi dengan pusat O[0, 0] dan sudut 900 berlawanan arahjarum jam maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[-2, 3] →R[O[0,0],90°] A '[x ', y '] x ' = cos 90° - sin 90° -2 y ' sin 90° cos 90° 3 = xy '' =10 -01 -32 -3 -2 Jadi, bayangan titik A adalah A'[–3,–2] Contoh 4.14Jika garis x –2y + 3 = 0 dirotasi dengan pusat P[1, –1] dan sudut 1800 searahjarum jam maka tentukanlah bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x, y] memenuhi persamaan x – 2y + 3 = 0 sehingga,A[x, y] →R[P[1,-1],-180°] A '[x ', y '] x' cos[-180°] - sin[-180°] x -1 + 1 ' cos[-180°] - [-1] -1 y sin[-180°] y = xy '' -1 0 x -1 + 1 -1 - [-1] -1 0 y = xy '' -x +1 + 1 -y -1 -1 MATEMATIKA 155 x ' = -x + 2 y ' -y - 2 x' = –x + 2 ⇔ x = 2 – x'y' = –y – 2 ⇔ y = –y' – 2Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,[2 – x] – 2[–y – 2] + 3 = 0 atau x – 2y – 9 = 0.4.4 Menemukan Konsep Dilatasi [Perkalian]Coba kamu berikan contoh perkalian [dilatasi] yang terjadi di lingkungansekitarmu? Sebagai contoh, balon yang ditiup akan mengembang, karet gelangdapat direnggang, dan lain-lain. Semua itu membicarakan perkalian ukuranobjek. Tetapi, pada kesempatan ini, kita akan membahas konsep perkalianobjek dengan pendekatan koordinat. Masalah 4.5 Coba amati gambar berikut. Berikan pendapatmu? Gambar 4.13: Dilatasi objek pada pusat O[0, 0]156 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJika diamati, kamu melihat ukuran objek akan semakin besar dengan 'perkalian skala 2. Kemudian, jarak OA2 adalah dua kali OA, jarak OB2adalah dua kali OB dan jarak OC2 adalah dua kali OC. Tetapi bangun setelahperkalian dengan faktor skala –1 mempunyai besar dan ukuran yang samatetapi mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga, jarak OA1 samadengan jarak OA, jarak OB1 adalah sama dengan jarak OB dan jarak OC1adalah sama dengan jarak OC. Hal ini berarti, untuk melakukan perkalian/dilatasi, dibutuhkan unsurfaktor perkalian dan pusat perkalian. Dengan mengamati perkalian objek, dapat diambil kesimpulan sebagaiberikut: Sifat 4.4 Bangun yang diperbesar atau diperkecil [dilatasi] dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. MATEMATIKA 157Berikutnya, amati dilatasi titik-titik pada gambar berikut. Gambar 4.14: Dilatasi titik dengan pusat P[a, b]Kamu amati titik pusat, objek, dan hasil dilatasi objek. Amati juga jarak objekke pusat dan jarak hasil dilatasi ke pusat pada bidang koordinat di atas.Coba kamu lengkapi tabel berikut dan tentukan pola atau konsep melaluilangkah-langkah berikut!Tabel 4.7: Dilatasi titik pada pusat P[a, b] dan skala kNo. Pusat Objek Hasil Pola1. P[0, 0] A[2, 2] A'[6, 6] 6 = 2 - 0 + 0 6 3 2 0 0 2. P[0, 0] B[–2, 2] B'[…,…] ...3. P[9, 0] C[…,…] C'[9, –4] ...4. P[–10, 1] D[–8, 2] D'[–2, 5] -2 = 4 -8 - -10 + -10 5 2 1 1 5. P[–8, –3] E[…,…] E'[…,…] ...158 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSecara indukif, diperoleh kesimpulan berikut: Titik A[x, y] didilatasi dengan pusat P[p, q] dan skala k menghasilkan bayangan A'[x', y'], ditulis dengan, A[x, y] →D[P[ p,q],k] A '[x ', y '] = xy '' k x - p + p y - q q Contoh 4.15Jika titik A[–2, 3] didilatasi dengan pusat O[0, 0] dan skala 3 maka tentukanlahbayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[–2, 3] →D[O[0,0],3] A'[x', y']= xy '' 3= -32 -6 9 Jadi, bayangan titik A adalah A'[–6, 9] Contoh 4.16Jika garis 2x – 4y + 3 = 0 didilatasi dengan pusat P[1, –1] dan skala –2 makatentukanlah bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x, y] memenuhi persamaan 2x – 4y + 3 = 0 sehingga,A[x, y] →D[P[1,-1],-2] A '[x ', y '] x ' =-2 y x -1 + 1 = --22xy + 3 y ' - [-1] -1 - 3 x' = –2x + 3 ⇔ x = 3- x' 2y' = –2y – 3 ⇔ y = -3 - y ' 2 MATEMATIKA 159Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,2[ 3 - x ' ] – 4[ -3 - y ' ] + 3 = 0 atau – x + 2y + 12 = 0 2 2 Uji Kompetensi 4.21. Tentukan koordinat titik-titik oleh rotasi R dengan sudut α dan pusat P serta arah rotasi sebagai berikut: No. Titik Sudut Arah Pusat a. A[2, 1] α = 900 Berlawanan arah jarum jam P[0, 0] b. B[–1, 3] α = 900 Searah jarum jam P[1, 1] c. C[–2, –1] α = 1800 Berlawanan arah jarum jam P[2, –1] d. D[3, –5] α = 2700 Berlawanan arah jarum jam P[–2, 3] e. E[2, 2] α = 450 Searah jarum jam P[–1, –2]2. Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi R dengan sudut α dan pusat P serta arah rotasi sebagai berikut: No. Fungsi Sudut Arah Pusat a. 2y – 3x + 6 = 0 α = 900 Searah jarum jam P[0, 0] b. 3y – 4x – 6 = 0 α = 900 Berlawanan arah jarum jam P[1, 1] c. y = x2 – 2x + 6 α = 1800 Berlawanan arah jarum jam P[2, –1] d. y = – 2x2 – x + 2 α = 2700 Berlawanan arah jarum jam P[–2, 3] e. x2 + y2 – 4 = 0 α = 450 Searah jarum jam P[–1, –2]160 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3. Tentukan koordinat titik-titik oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat P berikut:No. Titik Skala Pusata. A[2, 1] k=2 P[0, 0]b. B[–1, 3] k = –2 P[1, 1]c. C[–2, –1] k=3 P[2, –1]d. D[3, –5] k = –1 P[–2, 3]e. E[2, 2] k=2 P[–1, –2]4. Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat P berikut:No. Fungsi Skala Pusata. 2y – 3x + 6 = 0 k = 2 P[0, 0]b. 3y – 4x – 6 = 0 k = –2 P[1, 1]c. y = x2 – 2x + 6 k = 3 P[2, –1]d. y = – 2x2 – x + 2 k = –1 P[–2, 3]e. x2 + y2 – 4 = 0 k = 2 P[–1, –2]5. Titik A[2, 3] di rotasi sejauh 2700 pada pusat O[0, 0] kemudian dilanjutkan dengan dilatasi pada skala –2 dengan pusat dilatasi P[1, –1]. Sketsa transformasi tersebut dan tentukan koordinat akhir titik A. MATEMATIKA 1614.5 Komposisi Transformasi Selanjutnya, kita akan membahas komposisi transformasi. Ingat, transformasi merupakan fungsi sehingga konsep komposisi transformasi sama halnya dengan komposisi fungsi pada umumnya yang telah kamu pelajari sebelumnya di kelas X. Af Bg C a bc [g o f ] Gambar 4.15 Fungsi komposisi [g o f ] Berdasarkan gambar di atas, fungsi f memetakan anggota domain ke tepat satu anggota kodomain pertama [Himpunan B], kemudian fungsi g akan melanjutkan pemetaan ke anggota kodomain kedua [Himpunan C]. Sementara fungsi komposisi [g o f ] akan memetakan anggota domain [Himpunan A] secara langsung ke kodomain kedua [Himpunan C]. Sekarang, bagaimana jika fungsinya berupa transformasi geometri seperti translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi? Coba kamu pahami masalah berikut: Masalah 4.6 Misalkan sembarang titik A[x, y] ditranslasikan dengan T1[a1, b1] kemudian dilanjutkan dengan translasi T2[a2, b2]. Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!162 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Sesuai dengan konsep translasi, maka persoalan ini dapat diselesaikan secarabertahap.Namun, proses translasi bertahap ini dapat melahirkan konsepkomposisi translasi. Coba kamu amati!A[ x, y] →T1 a1 A '[ x ', y '] →T2a2 A "[ x ", y "] b1 b2 =xy "" a2 + x ' dimana =xy '' a1 + x b2 y ' b1 y x" = a2 + a1 + x y " b2 b1 y x" = M T2 + M T1 + x y " y = xy"" M T2 T1 + x dimana, M MT2 TT12 = T1 =ab22 ab22+ab11ab11 y Proses komposisi translasi tersebut dapat kamu lihat pada skema berikut: T2 a2 b2 A'[x', y'] A"[x", y"] T1 a1 [T2 o T1] b1 A[x, y] Skema 4.1 Komposisi Translasi MATEMATIKA 163Secara umum, matriks komposisi translasi dituliskan sebagai berikut: Jika translasi T1 adalah a c matriks dan matriks translasi T2 adalah b d maka matriks komposisi translasi T1 o T2 atau T2 o T1 dituliskan, a c M =T1 T2 MT1 + MT2 = + b d M =T2 T1 M T2 = c a + MT1 + d b Contoh 4.17Titik A[6, ‒8] ditranslasikan dengan T1[‒3, 2] kemudian dilanjutkan dengantranslasi T2[‒4, ‒1]. Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:A[6, −8] MT2oT1 → A'[x ', y ']= xy"" M T2 M T1 + x y x" = M T2 + MT1 + x' y " y ' x" = -4 + -3 + 6 y " -1 -8 2 x" = -1 y " -7 Posisi akhir titik A menjadi A′′[‒1, ‒7].164 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 4.7 Coba kamu amati cermin di tukang cukur [atau salon]. Di depan kita ada cermin dan di belakang kita juga terdapat cermin. Jadi, kamu memiliki bayangan di cermin di depanmu dan di belakangmu, bukan? Jika kamu amati lebih lanjut, bayanganmu di cermin depan akan mempunyai bayangan juga di cermin belakang dan sebaliknya. Hal ini menunjukkan terjadi pencerminan bertahap dengan dirimu sebagai objek. Nah, ini akan melahirkan konsep komposisi refleksi. Mari kita turunkan formulanya secara umum. Misalkan sembarang titik A[x, y] direfleksikan dengan C1 dilanjutkan a b dengan refleksi terhadap C2 dimana matriks refleksi C1 adalah dan e f c d matriks refleksi C2 adalah g h . Dapatkah kamu menemukan konsep komposisi refleksi?Alternatif Penyelesaian:Dengan melakukan pencerminan bertahap maka:A[x, y] C1→ A'[x ', y '] C2 → A"[x", y "] x' x' e f ' = M C2 ' dimana M C2 = y y g h x '' = M C1 x' dimana M C1 = a b y '' c y ' d x '' = M MC1 C2 x y '' y x '' = M C1oC2 x dimana M C1oC2 = a b e f y '' c y d g h MATEMATIKA 165Proses di atas dapat dilihat pada skema berikut: A'[x', y'] C2 A"[x", y"] C1 [C2 o C1] A[x, y] Skema 4.2: Komposisi RefleksiSecara umum, matriks komposisi refleksi dituliskan sebagai berikut: a b danJika mhf atrmikaskraefmleaktsriikCs 1koamdaploahsisi C1 o matriks refleksi C2 adalah c d C2 atau C2 o C1 dituliskan,e refleksi gM C=1 M C2 M=C1 M C2 a b e f c d g h M C=2 M C1 M=C2 M C1 e f a b g h c d Contoh 4.18Garis 2x – 8y – 3 = 0 dicerminkan dengan C1 o C2 di mana C1 adalah cerminterhadap sumbu x dan C2 adalah cermin terhadap garis y = –x. Tentukanpersamaan bayangan garis tersebut!166 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A[x, y] memenuhi persamaan garis sehingga berdasarkan konsepkomposisi refleksi yang telah ditemukan:A[x, y] C1 C2 → A '[x ', y '] x' = M C1 C2 x dimana M C12 MMCC22 adalah matriks pencerminan C1 o C2 ' y y x ' = M MC1 C2 x dimana M CC12 dan M CC22 adalah matriks pencerminan C1 dan C2 y ' y x ' = 1 0 -1 0 x y ' 0 -1 -1 0 y x ' = -1 0 x y ' 0 1 y x ' = -x y ' y Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' dan y = y' sehingga persamaanbayangan garis menjadi 2[–x] – 8[y] – 3 = 0 atau –2x – 8y – 3 = 0.Konsep komposisi translasi dan komposisi refleksi sama halnya dengankonsep komposisi rotasi dan komposisi dilatasi. Dengan menggunakan konsepkomposisi fungsi maka komposisi rotasi atau komposisi dilatasi merupakanproses bertahap fungsi rotasi atau fungsi dilatasi. Masalah 4.8 Misalkan titik A[x, y] diputar dengan pusat O[0, 0] dan sudut a1 dilanjutkan rotasi dengan pusat O[0, 0] dan sudut a2 menghasilkan bayangan A′′[x′′, y′′]. Dapatkah kamu bangun formula komposisi rotasi? MATEMATIKA 167Alternatif Penyelesaian:Masalah ini adalah komposisi rotasi dengan pusat yang sama, yaitu di O[0, 0].= xy '' R=1 xy cos a1 - sin a1 x sin a1 cos a1 y = xy"" R=2 xy '' cos a2 - sin a2 x ' sin a2 cos a2 y ' dengan mensubstitusi x' diperoleh, y ' = xy"" R=2 R1 xy cos a2 - sin a2 cos a1 - sin a1 x sin a2 cos a2 sin a1 cos a1 y [ R2 R1 ] x = cos[a2 + a1] - sin[a2 + a1] x y sin[a2 + a1] cos[a2 + a1] y Perhatikan skema komposisi rotasi berikut! A'[x', y'] R2[O, b] A"[x", y"] R1[O, a] [R2[O, b] o R1[O, a]] A[x, y] Skema 4.3 Komposisi rotasi168 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan demikian, diperoleh formula untuk komposisi rotasi pada pusat putarO[0,0] sebagai berikut: Jika R1[O,a1] dan R2[O,a2 ] adalah rotasi sebesar α1 pada sudut O[0, 0] dan rotasi sebesar α2 pada sudut O[0, 0] dengan maka matriks komposisi rotasi ditulis, [ ]MM[ RR[[O0, a1] R[[O0,,a2] = cos[a2 + a1] - sin[a2 + a1] sin[a2 + a1] cos[a2 + a1] Contoh 4.19Perhatikan contoh-contoh berikut!Titik A[a, b] dirotasi dengan R1 R2 dimana R1 adalah rotasi dengan sudut180° berlawanan arah jarum jam pada pusat O[0, 0] dan R2 adalah rotasidengan sudut 90° berlawanan arah jarum jam pada pusat P[b, 2a]. Tentukanposisi akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:Dengan konsep fungsi komposisi maka:A[a, b] R1 R2 → A '[x ', y '] x' M R1 M=R2 ba dimana M R2 =csoins 9900°° -csoisn9900°° 0 -1 ' y 1 0 x ' 0 -1 a - 0 0 ' M R1 + y 1 0 b - 0 0 x' M R1 0 =-01 ba dimana M R1 =csoins118800°° -csoisn118800°° -1 0 ' -1 y 1 0= xy '' 0 -1 0 -1 a - b + b 2a 1 0 1 0 b 2a MATEMATIKA 169= xy '' 0 -1 -2b + b -a 2a 1 0 x ' = 3ba + b y ' 32a - 2b Jadi, posisi akhir titik A tersebut adalah A′[3b,3a]. Contoh 4.20Garis 2x – y – 3 = 0 dirotasi dengan R1 o R1 dimana R1 adalah rotasi dengansudut 90° berlawanan arah jarum jam pada pusat P[1, 2]. Tentukan persamaanposisi akhir garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik memenuhi garis tersebut sehingga:A[x, y] R1 R1→ A '[x ', y '] x' M R1=R1 xy dimana M R1 =csoins9900°° -csoisn9900°° 0 -1 ' y 1 0 x' M 0 -1 x -1 + 1 1 y -2 2 y ' R1 0 x ' = M R1 -y +3 y ' x +1 x' 0 -1 - y + 3 -1 + 1 2 y ' 1 0 x +1-2 x ' = - x + 2 y ' - y + 4 Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' + 2 dan y = –y' + 4 sehinggapersamaan garis menjadi 2[–x + 2] – [–y + 4] – 3 = 0 atau –2x + y – 3 = 0.170 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 4.9Misalkan titik A[x, y] didilatasi dengan pusat O[0, 0] dan faktor skala k1dilanjutkan dilatasi dengan pusat O[0, 0] dan faktor skala k2 diperolehkoordinat hasil dilatasi A′′[x′′, y′′]. Dengan cara yang sama pada konsepkomposisi pada transformasi sebelumnya, temukan konsep komposisidilatasi pada pusat yang sama yaitu di O[0, 0]!Alternatif Penyelesaian:= xy '' D=1 xy k1 x y = xy"" D=2 xy '' k2 x ' y ' dengan mensubstitu=si xy '' D=1 xy k1 x diperoleh, y = xy"" D=2 D1 xy k2 k1 x y [D2 D1 ] x = k2k1 x y y Perhatikan skema! D2[0, k2 ] D1[0, k1] A'[x', y'] A"[x", y"] D2[0, k2 ] D1[0, k1] D2[0, k2 ] D1[0, k1] A[x, y] Skema 4.4 Komposisi dilatasi MATEMATIKA 171Dengan demikian, formula untuk komposisi dilatasi pada pusat O[0, 0] adalah: y=] dirotasibxye""rturuDt=-2turDu1tolexyh D1[ kd1 anxy Jika titik A[x, O k2 O ,k2 ] maka, D2[ ,k1 ] [ D2 D1 ] x = k2 k1 x y y Contoh 4.21Titik A[3, 5] didilatasi dengan D1 o D2 dimana D1 adalah dilatasi dengan faktorskala 3 pada pusat O[0, 0] dan D2 adalah dilatasi dengan faktor skala 2 pada pusatP[2, 1].Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep komposisi dilatasi, maka:A[3, 5] D1 D2 → A '[x ', y '] x ' = M 3 y 5 ' D1 D2 = xy '' MMDD11 2 3 - 0 + 0 5 0 0 x ' = 3 6 - 2 + 2 y ' 10 1 1 x ' = 12 + 2 = 14 y ' 1 28 27 Jadi, koordinat akhir titik A tersebut adalah A′[14, 28] Contoh 4.22Jika Dk adalah dilatasi ke-k dengan faktor skala k pada pusat O[0, 0] maka k +1tentukan dilatasi titik A[‒11, 55] oleh D1 o D2 o D3 o . . . o D10.172 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep komposisi dilatasi pada pusat yang sama maka: x ' = M x y y ' D1D2 D3 ...D10 x ' = M MD1 M ...M -11 y ' D2 D3 D10 55 x ' = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...⋅ 10 -11 y ' + + + 10 + 1 1 2 1 3 1 1 55 x ' = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅... ⋅ 10 -11 y ' 2 3 4 11 55 x ' = 1 -11 y ' 11 55 x ' = -1 y ' 5 Jadi, posisi akhir titik A tersebut setelah dilatasi adalah A′[‒1, 5]. Uji Kompetensi 4.31. Dengan konsep komposisi transformasi, tentukan koordinat titik A setelah ditranslasi berikut: a. Titik A[1, ‒2] ditranslasikan dengan T1[‒1, 12] kemudian dilanjutkan dengan translasi T2[‒2, ‒10]. b. Titik B[1, 4] ditranslasikan dengan T1[‒3, 2] kemudian dilanjutkan dengan translasi T2[4, 3], dilanjutkan lagi dengan translasi T3[‒2, ‒3]. c. Titik C[1, 5] ditranslasikan dengan T2 o T1 dimana T1[3, 4] dan T2[4, ‒9]. MATEMATIKA 173d. Titik D[‒10, 25] ditranslasikan dengan T1 o T2 dimana T1[‒2, ‒4] dan T2[1, ‒5]. e. Titik E[‒1, 8] ditranslasikan dengan T2 o T1 o T2 dimana T1[2, ‒1] dan T2[‒1, ‒2]. 2. Dengan konsep komposisi transformasi, tentukan persamaan suatu objek setelah ditranslasi berikut: a. Garis 2x – 3y – 4 = 0 ditranslasikan dengan T1[1, 2] kemudian dilanjutkan dengan translasi T2[2, ‒1]. b. Garis –3x – 5y + 15 = 0 ditranslasikan dengan T1[3, 4] kemudian dilanjutkan dengan translasi T2[4, 5], dilanjutkan lagi dengan translasi T3[‒5,‒6]. c. Garis –x + 3y – 5 = 0 ditranslasikan dengan T1 o T2 dimana T1[‒3, 2] dan T2[‒2, 3]. d. Parabola y – 2x2 + 3x – 4 = 0 ditranslasikan dengan T2 o T1 dimana T1[‒2, ‒2] dan T2[1, ‒1]. e. Parabola 2y = 2x2 – 4x – 1 ditranslasikan dengan T1 o T1 o T2 dimana T1[2, ‒1] dan T2[‒1, ‒2]. 3. Jika C1 adalah pencerminan terhadap titik O[0, 0], C2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, C3 adalah pencerminan terhadap sumbu y, C4 adalah pencerminan terhadap garis y = x, dan C5 adalah pencerminan terhadap garis y = ‒x maka tentukan koordinat bayangan titik oleh komposisi pencerminan berikut: a. Titik A[2, 2] dicerminkan dengan C2 o C1 b. Titik B[12, ‒2] dicerminkan dengan C1 o C2 c. Titik C[‒4, 6] dicerminkan dengan C3 o C4 d. Titik D[‒5, 9] dicerminkan dengan C5 o C2 o C3 e. Titik E[‒1, ‒3] dicerminkan dengan C4 o C1 o C5174 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4. Jika C1 adalah pencerminan terhadap titik O[0, 0], C2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, C3 adalah pencerminan terhadap sumbu y, C4 adalah pencerminan terhadap garis y = x, dan C5 adalah pencerminan terhadap garis y = ‒x maka tentukan koordinat bayangan objek oleh komposisi pencerminan berikut: a. Garis 2x + 4y – 7 = 0 dicerminkan dengan C1 o C2 b. Garis –x + 3y + 5 = 0 dicerminkan dengan C3 o C5 c. Garis –3x + 2y + 6 = 0 dicerminkan dengan C5 o C5 o C4 d. Parabola y = –x2 + 3x – 2 dicerminkan dengan C1 o C4 e. Parabola –y + 2x2 – 5x + 6 = 0 dicerminkan dengan C2 o C3 o C45. Jika R1 adalah rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O[0, 0], R2 adalah rotasi sejauh 270° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O[0, 0], R3 adalah rotasi sejauh 180° searah jarum jam dengan pusat P[1, ‒1], dan R4 adalah rotasi sejauh 90° searah jarum jam dengan pusat P[1, ‒1] maka tentukan posisi objek oleh komposisi rotasi berikut: a. Titik A[2, ‒2] dirotasi dengan R1 o R2 b. Titik B[‒8, 2] dirotasi dengan R2 o R1 c. Titik C[8, ‒6] dirotasi dengan R3 o R4 d. Garis –x + 9y – 3 = 0 dirotasi dengan R2 o R1 e. Parabola 2y = 2x2 – 3x + 4 dirotasi dengan R4 o R36. Temukan formula komposisi rotasi R1 o R2 terhadap titik A[x, y] dimana adalah rotasi dengan sudut θ1 dan pusat rotasi P1[a, b] dan R2 adalah rotasi dengan sudut θ2 dan pusat dilatasi P2[c, d].7. Jika Rk adalah rotasi ke-k sejauh 90° searah jarum jam dengan masing- masing pada pusat O[0, 0]maka tentukan rotasi titik A[‒2, ‒4] oleh R1 o R2 o R3 o . . . o R10 . MATEMATIKA 1758. Jika D1 adalah dilatasi dengan faktor skala 2 pada pusat O[0, 0], D2 adalah dilatasi dengan faktor skala 3 pada pusat O[0, 0], D3 adalah dilatasi dengan faktor skala ‒2 pada pusat P[‒1, ‒1], dan D4 adalah dilatasi dengan faktor skala 4 pada pusat P[‒1, ‒1] maka tentukan posisi objek oleh komposisi dilatasi berikut: a. Titik A[12, ‒4] didilatasi dengan D1 o D2 b. Titik B[‒3, 4] didilatasi dengan D3 o D4 c. Titik C[‒1, 2] didilatasi dengan D1 o D4 d. Garis 3x + 2y – 1 = 0 didilatasi dengan D2 o D1 e. Parabola 3y = 2x2 – 1 didilatasi dengan D4 o D3 9. Temukan formula komposisi dilatasi D1 o D2 terhadap titik A[x, y] dimana D1 adalah dilatasi dengan faktor skala k1 dan pusat dilatasi P1[a, b] dan D2 adalah dilatasi dengan faktor skala k2 dan pusat dilatasi P2[c, d]. 10. Jika Dk adalah dilatasi ke-k dengan faktor skala h pada pusat P[1, ‒1] maka tentukan dilatasi titik A[‒2, ‒4] oleh D1 o D2 o D2 o. . . o D10.176 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKD. PenutupSetelah kita membahas materi transformasi, kita membuat kesimpulan sebagaihasil pengamatan pada berbagai konsep dan aturan transformasi sebagaiberikut:1. Transformasi yang dikaji terdiri dari translasi [pergeseran], refleksi [pencerminan], rotasi [perputaran] dan dilatasi [perkalian] serta komposisinya.2. M atriks transformasi yang diperoleh adalah:No. Transformasi Matriks Transformasi a 1. Translasi T[a, b] b 2. Refleksi Titik O[0, 0] -1 0 3. Refleksi Sumbu x -14. Refleksi Sumbu y 05. Refleksi Garis y = x6. Refleksi Garis y = –x 1 0 7. Rotasi sebesar sudut α -18. Dilatasi [k,P[a,b]] 0 -1 0 0 1 0 1 1 0 0 -1 -1 0 cosa - sina sin a cosa = xy '' k x - a + a y - b b MATEMATIKA 1779 MT : Matriks Translasi M =T2 T1 MT2 + MT110 MT : Matriks Transformasi M = M MT2 T1 T2 T13. Transformasi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: Translasi Bangun yang digeser [translasi] tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Refleksi Bangun yang dicerminkan [refleksi] dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin [cermin datar] adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. Rotasi Bangun yang diputar [rotasi] tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Dilatasi Bangun yang diperbesar atau diperkecil [dilatasi] dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika – 1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSelanjutnya, kita akan membahas tentang materi barisan dan deret.Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, danoperasi hitung bilangan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan fungsidari barisan tersebut. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat bergunauntuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturanmatematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahanmasalah kehidupan. MATEMATIKA 179BAB5Barisan A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarKompetensi Dasar Pengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran barisan, siswa Melalui pembelajaran materi barisan , siswamampu: memperoleh pengalaman belajar:3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan 1. Menemukan konsep dan pola barisan jumlah pada barisan Aritmetika dan melalui pemecahan masalah autentik. Geometri. 2. Berkolaborasi memecahkan masalah aktual4.6 Menggunakan pola barisan Aritmetika dengan pola interaksi sosial kultur. dan Geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual 3. Berpikir tingkat tinggi [berpikir kritis, kreatif] [termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga dalam menyelidiki dan mengaplikasikan majemuk, dan anuitas] konsep dan pola barisan dalam memecahkan masalah autentik. • Pola BilanganIstilah Penting • Beda • Rasio • Aritmetika • Geometri180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB. Diagram Alir Fungsi Materi PrasyaratMasalah BarisanAutentik Bilangan SyaratSuku awal U Barisan Barisan Suku awal Rasio n Aritmetika Geometri U s nSuku ke-n u s Rasio r u r Suku ke-n Deret Deret Aritmetika Geometri Jumlah n suku Jumlah n suku pertama pertama MATEMATIKA 181C. Materi Pembelajaran 5.1 Menemukan Pola Barisan Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secaraarif dan kreatif melalui pros- es matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan, berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melaluipemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Perhatikan ilustrasi berikut. Data uang saku seorang anak sekolah setiap hari adalah Rp10.000,00 dan untuk menumbuhkan niat menabung orang tuanyamenambahkan sebesar Rp1.000,00 tiap harinya. Jika uang saku tersebut disusun dengan bilangan-bilangan maka kita akan memperoleh susunan bilangan seperti berikut. 10.000, 11.000, 12.000, 13.000, ... +1000 +1000 +1000 Perhatikan bilangan tersebut mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 1.000. Bilangan-bilangan yang disusun berurut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan. Konsep tentang fungsi akan kita gunakan dalam penerapan menemukan pola dari barisan, karena barisan merupakan suatu fungsi dengan domain bilangan bulat positif dan range bilangan real. Materi tentang fungsi sudah dipelajari di Bab 3 kelas 10. Pada bab tersebut dituliskan definisi fungsi yaitu Misalkan A dan B himpunan, Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Jika kita perhatikan sebuah barisan maka suku ke-n dengan n merupakan bilangan bulat positif disebut sebagai domain akan berpasangan terhadap rumus suku ke-n dari barisan itu dan disebut range, yang merupakan bilangan real.182 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMisalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutansuku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U[1] atau U1, bilangan kedua di-tulis U[2] atau U2, dan seterusnya. Maka kita dapat membuat aturan pengaitanseperti berikut ini.11.000 12.000 13.000 14.000 ... n U1 U2 U3 U4 ... Un Dari pasangan di atas diperoleh bentuk umum barisan bilangan adalah U1,U2, U3, ..., Un, ... Dengan Un = f[n] yang disebut dengan rumus umum sukuke-n dari barisan bilangan. Untuk memahami barisan dan pola barisan mariperhatikan masalah-masalah berikut ini. Masalah 5.1 Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut. Gambar 5.1: Susunan KelerengKelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan : 1, 4, 9,16, 25.K1 K2 K3 K4 K514 9 16 25Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok MATEMATIKA 183Permasalahan: Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut?Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng padakelompok ke-15?Alternatif Penyelesaian:1. Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu. Alternatif penyelesaian ini tidak efisien karena harus menyusun kembali banyak kelereng untuk kelompok berikutnya. K6 36 Gambar 5.2: Jumlah Kelereng pada Kelompok ke-62. Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut. Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah! Tabel 5.1: Pola Banyak Kelereng Pada Setiap KelompokKelompok Banyak Kelereng PolaK1 1 1=1×1K2 4 4=2×2K3 … … = …K4 … … = …K5 … … = ….........Kn … … = … Dengan pola barisan pada tabel yang kamu lengkapi di atas, dapatkahkamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompokke-15?184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKApakah mungkin ada pola lain untuk menyelesaikan masalah di atas?Coba kamu lengkapi tabel berikut. Tabel 5.2: Pola Banyak Kelereng pada Setiap KelompokKelompok Banyak Kelereng PolaK1 1 …=…K2 4 …=…K3 9 …=…K4 … … = …K5 … … = ….........Kn ? …=… Bagaimana pola barisan dari tabel yang kamu lengkapi di atas? Dapatkahkamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompokke-15? Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya padasebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajaripola barisan pada beberapa contoh berikut. Contoh 5.1Perhatikan barisan huruf berikut:ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD...Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan25 × 33!Alternatif Penyelesaian:Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut. A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... MATEMATIKA 185Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiapkelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf padaurutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya. Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebutmengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutanke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C, bukan? Perhatikan tabel dibawah ini! Tabel 5.3: Urutan Barisan HurufUrutan Huruf Urutan Huruf ... Urutan Huruf Urutan Huruf ke- ke- ke- ke-1 A 11 A ... 851 A 861 A2 B 12 B ... 852 B 862 B3 B 13 B ... 853 B 863 B4 C 14 C ... 854 C 864 C5 C 15 C ... 855 C6 C 16 C ... 856 C7 D 17 D ... 857 D8 D 18 D ... 858 D9 D 19 D ... 859 D 10 D 20 D ... 860 D Contoh 5.2Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 1234567891011121314151617181920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11= 0, suku ke-12 = 1, dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yangmenempati suku ke-2004?186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 ... ? ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓ u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 ... u2004un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ... Kita akan mencari angka yang menempati suku ke-2004 dengan menghitungbanyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut.Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan [1 sampai 9]: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku.Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan [10 sampai 99] 10, 11, 12, 13, ..., 19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku 20, 21, 22, 23, ..., 29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku ... 90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku. Jadi,banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku.Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan [100 sampai 999] Jika ratusan [1 sampai 6] 100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku ... 690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 sukuBanyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah6 × 10 × 30 = 1800 suku. MATEMATIKA 187Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya [sukuke-1990] adalah barisan bilangan dengan ratusan 7 sebagai berikut. 9700701702703704 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ u u u u u u u u u u u u u u u u1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004Angka pada suku ke-2004 adalah 4. Contoh 5.3Tentukan pola barisan pada 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 . Tentukanlah banyak 2 6 12 20 30 42 9900suku pada barisan tersebut.Alternatif Penyelesaian: = 1, 2, 3,... maka barisan diJika un adalah suku ke-n sebuah barisan denganatas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 5.4: Pola BarisanSuku ke Nilai Pola Berdasarkan pola barisanu1 1 1 = 12 1 un = 1 n yang telah diperolehu2 2 2 +1 n2 + 1 6 pada tabel di samping maka 1= 1 un = 1 atau 6 22 + 2 9900u3 1 1 = 1 1 =1 12 12 32 + 3 n2 + n 9900u4 1 1 = 1 n2 + n = 9900 20 20 42 + 4 n2 + n − 9900 = 0 [n − 99][n +100] = 0u5 1 1 = 1 n = 99 30 30 52 + 5188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSuku ke Nilai Polau6 1 1= 1 42 +42 62 6... ... ...un ? ? = n 2 1 n +Barisan 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 terdiri atas 99 suku. 2 6 12 20 30 42 9900Diskusikan dengan temanmu mengapa yang digunakan n = 99?Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ...maka dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.Tabel 5.5: PolaSuku Jumlah suku-suku Nilais1 u1 1 2s2 u1 + u2 2 3s3 u1 + u2 + u3 3 4s4 u1 + u2 + u3 + u4 4 5s5 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 5 6s6 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 6... ... 7 ... MATEMATIKA 189Suku Jumlah suku-suku Nilaisn u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un sn = n n +1Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, .=..,nsn+n,1 ... yaitu 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,..., 99 ,...adalah sebuah barisan dengan pola sn . 2 3 4 5 6 100Karena n = 99 maka s99 =1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 =99 20 30 42 9900 100 2 6 12Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ...atau sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 makasn = sn–1 + un atau un = sn – sn–1. Contoh 5.4Suatu barisan dengan pola sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudiantentukanlah suku ke-10.Alternatif Penyelesaian:Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 atausm = 2m3 – 3m2. Misalkan m = n – 1 makasn-1 = 2[n -1]3 - 3[n -1]2[ ] [ ]sn-1= 2n3 - 6n2 + 6n - 2 - 3n2 - 6n + 3sn-1 = 2n3 - 9n2 +12n - 5Jadi,[ ] [ ]un =sn - sn-1 =2n3 - 3n2 - 2n3 - 9n2 +12n - 5un = 6n2 -12n + 5Pola barisan tersebut adalah un = 6n2 -12n + 5 sehingga:u10 = 6[10]2 −12[10] + 5 = 600 −120 + 5 = 485Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK5.2 Menemukan Konsep Barisan Aritmetika Pada subbab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisanbilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsepbarisan aritmetika. Masalah 5.2 Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan? Gambar 5.3: Tumpukan Buah JerukAlternatif Penyelesaian: Jika diperhatikan gambar di atas, maka diperoleh susunan dari beberapajeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida. Gambar 5.4: Susunan piramida jeruk Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkanpada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakanmenjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini. Gambar 5.5: Susunan bulatan bentuk segitiga
MATEMATIKA 191
Page 2
Catatan: 1. Satuan jam-orang [man-hour] adalah banyak orang kali banyak jam bekerja. Kita anggap [asumsi] bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama. 2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah. 3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas. Alternatif Penyelesaian: Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak [kuintal] padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber [luas tanah, tenaga dan pupuk]. Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani y : banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani. Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasan- keterbatasan berikut: a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan untuk y kuintal jagung tidak boleh melebihi 10 hektar. b. Untuk ketersediaan waktu [jam-orang] tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1.550 jam-orang. c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram. d. Dengan semua keterbatasan [kendala] [a], [b], dan [c], kelompok tani ingin mengharapkan pendapatan Rp40.000,00 dan Rp30.000,00 untuk setiap kuintal padi dan jagung. • Dari uraian keterbatasan atau kendala pada bagian [a], [b], dan [c] dan tujuan pada bagian [d], bersama temanmu, coba rumuskan model matematika yang mendeskripsikan kondisi yang dihadapi kelompok tani tersebut. 42 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMelihat uraian di atas, masalah kelompok tani transmigran dapat diubahbentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pemecahansistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode grafik [dibahas pada subbabberikutnya]. Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linearsatu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. Adapun model matematika untuk masalah ini, adalah suatu sistempertidaks amaan linear dua variabel sebagai berikut: 0,02x + 0,05y ≤ 10 2x + 5y ≤ 1000 → kendala lahan [1] 10x + 8y ≤ 1550 atau 10x + 8y ≤ 1550 → kendala tenaga 5x + 3y ≤ 460 5x + 3y ≤ 460 → kendala pupuk Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkinnegatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu:x ≥ 00 kendala nonnegatif [2]y ≥Secara geometris, kendala [1] dan [2] dapat digambarkan sebagai berikut. y 500 400 300 200 2x + 5y ≤ 1.000 100 DP x –100 100 200 300 400 500 10x + 8y ≤ 1.550 –100 5x + 3y ≤ 460 Gambar 2.7: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan [1] dan [2]. MATEMATIKA 43Adapun langkah-langkah untuk menggambarkan grafik di atas adalahsebagai berikut:1. Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan garis lurus. Namun, jika tanda pertidaksamaan menggunakan tanda “”, maka garisnya putus-putus.2. Setiap garis akan membagi dua bidang kartesius, untuk menentukan daerah penyelesaian, ambil sembarang titik di salah satu bagian bidang tadi, misalnya titik A. Kemudian ujian kebenaran pertidaksamaan dengan menggunakan titik A. Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka bidang asal titik A merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka bidang yang bukan asal titik A merupakan daerah penyelesaian.3. Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua pertidaksamaan yang telah dirumuskan. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan.4. Perhatikan syarat non – negatif untuk setiap variabel. Nilai variabel tidak selalu positif. Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biayatentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok tani tentu hendakmemaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi danjagung yang dijual berturut-turut Rp40.000,00 dan Rp30.000,00. Rumusan inidisebut sebagai fungi tujuan; sebut Z[x, y]. Secara matematik dituliskan:Maksimumkan: Z[x, y] = 40x + 30y [dalam satuan ribuan rupiah] [3] Dengan daerah penyelesaian yang disajikan pada Gambar 2.7, kita harusdapat menentukan nilai maksimum fungsi Z[x, y]. Untuk menyelesaikan ini,kita akan bahas pada subbab berikutnya.Selain masalah transmigrasi, berikut ini kita kaji bagaimana model matematikamasalah produksi suatu perusahaan.44 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 2.5 Perusahaan “Galang Jaya” memproduksi alat-alat barang elektronik, yaitu transistor, kapasitor, dan resistor. Perusahaan harus mempunyai persediaan paling sedikit 200 resistor, 120 transistor, dan 150 kapasitor, yang diproduksi melalui 2 mesin, yaitu: mesin A, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 20 resistor, 10 transistor, dan 10 kapasitor; mesin B, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 10 resistor, 20 transistor, dan 30 kapasitor. Jika keuntungan untuk setiap unit yang diproduksi mesin A dan mesin B berturut-turut adalah Rp50.000,00 dan Rp120.000,00. Bentuklah model matematika masalah perusahaan Galang Jaya.Alternatif Penyelesaian: Semua data yang diketahui pada masalah ini, kita sajikan pada tabel berikut.Tabel 2.5: Alokasi setiap sumber yang tersedia Sumber Resistor Transistor Kapasitor Keuntungan Mesin A …. …. …. …. …. Mesin B …. …. …. Persediaan 200 120 150Dengan memisalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin A y: banyak unit barang yang diproduksi mesin B.Dengan demikian kita dapat menuliskan model matematika yang menggambarkan kondisi pada Tabel 2.5, yaitu:Kendala Persedian [1*] . . . . . . . . . . . . 2x + y ≥ 20 . . . . . . . . . . . . ↔ .. .. . . ≥ 12 . . . . . . . . . . . . .. .. . . ≥ 15 MATEMATIKA 45Karena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kitadapat menuliskan:Kendala nonnegatif [2*] x ≥ 0 y ≥ 0 Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin saja mesin A tidakberproduksi atau mesin B yang tidak berproduksi. Secara geometri, kondisi kendala persedian dan kendala non–negatif,disajikan pada gambar berikut. y 20 DP 10 10 20 x Gambar 2.8: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan [1*] dan [2*]. Untuk menggambarkan sistem pertidaksamaan [1*] dan [2*], ikutilangkah-langkah yang diberikan di atas. Berbeda dengan Masalah 2.4, sistempertidaksamaan [1*] dan [2*], mempunyai daerah penyelesaian berupa suatudaerah yang tidak terbatas [unbounded area]. Selanjutnya, kita dapat menuliskan fungsi tujuan atau fungsi sasaranmasalah ini, yaitu pemilik perusahaan tentunya ingin memaksimalkankeuntungan. Dengan demikian, dapat kita tuliskan:46 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKFungsi TujuanMaksimumkan: f[x, y] = 50.000x + 120.000y atau f[x, y] = 5x + 12y [dalam puluh ribu rupiah] Jadi, untuk daerah penyelesaian yang diilustrasikan pada Gambar 2.8 diatas, kita akan menentukan nilai maksimum fungsi f[x, y]. Hal ini akan kitakaji pada subbab berikutnya. Dari tiga ciri di atas, dapat kita simpulkan masalah program linear duavariabel dirumuskan sebagai berikut: Definisi 2.2 Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai x1, x2 yang memaksimumkan [atau meminimumkan] fungsi tujuan, Z[x1, x2] = C1x1 + C2x2 dengan kendala: a11x1 + a12 x2 [≤, =, ≥] b1 a21x1 + a22 x2 [≤, =, ≥] b2 am1x1 + am2 x2 [≤, =, ≥] bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Namun, dalam kajian program linear tidak hanya untuk dua variabel saja,tetapi ada juga kajian program linear tiga variabel bahkan untuk n variabel.Untuk tiga variabel atau lebih dibutuhkan pengetahuan lanjutan tentang teknikmenyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear. Selain bentuk umum program linear dua variabel di atas, kita jugamenyimpulk an konsep tentang daerah penyelesaian, sebagai berikut. MATEMATIKA 47Definisi 2.3 [Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum] Daerah penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua titik [x, y] yang memenuhi kendala suatu masalah program linear. Untuk memantapkan pengetahuan dan keterampilan kamu dalammenggambarkan sistem pertidaksamaan yang memenuhi suatu masalahprogram linear, mari kita cermati pembahasan soal berikut ini. Contoh 2.2Gambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini. 522xx≤x+-≥yyy0≤≤≥456 b] -33xx≤++xy2≤≤y 2 ≥ 6 a] 4 Alternatif Penyelesaian: Untuk menggambarkan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan padasistem di atas, dapat dimulai dengan menggambar satu per satu pertidaksamaanyang diketahui. Tentu, semua daerah penyelesaian tersebut nanti harusdisajikan dalam satu bidang koordinat kartesius.48 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKa. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan [a] di atas, adalah sebagai berikut. y5x + y ≥ 5 2x - y ≤ 6 105 y≤4 y≥2 DP–5 5 10 x–5Gambar 2.9: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan [a].b. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan [b] di atas, adalahsebagai berikut: yx+y≤2 5 x≤4–10 5 5 x x≥3 –5 –3x + 2y ≥ 6 –10 Gambar 2.10: Tidak ada daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan b] Jadi, tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem pertidaksamaan b]. Halini, perlu dicatat, bahwa tidak semua masalah memiliki penyelesaian. MATEMATIKA 49Uji Kompetensi 2.11. Tanpa menggambarkan grafik, tentukan himpunan penyelesaian [jika ada]setiap pertidaksamaan di bawah ini.a. 2x - 9 y ≥ 1 d. x +33y ≥ 4x + 2y 2 2b. x - 6 y ≥ 0 e. 5x - 4 y ≥ 2x - 8y 5 52c. 2x ≥ 5 f. ax + by ≥ c, a, b, c, bilangan positif y42. Untuk soal No.1, gambarkan setiap pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian [jika ada].3. Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukan pertidaksamaan yang tepatmemenuhi daerah penyelesaian. y y 10 10 DP 5 [15, 0] [7, 0] x – 20 –10 10 15 x–10 –5 5 10 [0, –2] 0, -7 –10 2 –5 DP –20 [a] [b]4. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000,00 dan Rp1.500.000,00.50 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKModelkan permasalahan di atas! Kemudian gambarkan daerahpenyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya.5. Gambarkan daerah penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan di bawahini.a] 2x + y ≥ 24 b] 2y ≤ 5 – 6x x ≥ 5 1 ≤ y ≤ 66. Perhatikan grafik-grafik di bawah ini. Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah yang memenuhi. yy 5 x 5 x – 10 –10 –5 5 –5 5 –5 –5 –10 –10 [i] [ii]7. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Modelkan masalah di atas. Kemudian gambarkan grafik model matematika nya untuk menemukan daerah penyelesaian. MATEMATIKA 518. Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian yang diberikan. [i] [ii] 9. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp 200.000,00 dan Rangkaian II dijual seharga Rp100.000,00 per rangkaian. Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika. Kemudian gambarkan grafik model matematikanya. 10. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini. Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000,00 tiap kilogram dan pisang Rp8.000,00 tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,00 sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang. Tentukan tiga titik yang terdapat pada grafik daerah penyelesaian masalah ini.52 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2.3 Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik [Nilai Maksimum atau Nilai Minimum] Untuk menyelesaikan masalah program linear dua variabel, denganmetode grafik akan dapat ditentukan himpunan penyelesaian sistempertidaksamaannya. Setelah kita sudah memahami menggambarkan daerahpenyelesaian suatu sistem pertidaksamaan, kita tinggal memahami bagaimanacara menentukan nilai fungsi tujuan di daerah penyelesaian. Nilai suatu fungsi sasaran ada dua kemungkinan, yaitu bernilai maksimumatau minimum. Istilah nilai minimum atau nilai maksimum, disebut juga nilaioptimum atau nilai ekstrim. Jadi, pembahasan kita selanjutnya bagaimanakonsep menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dari suatu masalahprogram linear. Mari kita cermati kajian berikut ini. Masalah 2.6 Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yangdiberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur[ingredient] utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 2.6.Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari[secara rata-rata] minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonatdan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp500,00 dan Fluon Rp600,00per kapsul, bagaimana rencana [program] pembelian seorang pasien flu[artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli] supayacukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembeliantotal?Table 2.6: Kandungan Unsur [dalam grain]Unsur Banyak grain perkapsul Fluin FluonAspirin 21Bikorbonat 58Kodein 16 MATEMATIKA 53Alternatif Penyelesaian:Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini.Tabel 2.7: Tabel persiapan Unsur Fluin Fluon Batas Minimum Aspirin 21 12 Bikarbonat 5 8 74 Kodein 16 24 Harga 500 600Dengan tabel tersebut, dapat kita misalkan:x : banyak kapsul Fluin yang dibeliy : banyak kapsul Fluon yang dibeli.Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linearmasalah di atas.Mencari x, y yang memenuhi: 52xx++8yy ≥ 12 ≥ 74 x + 6y ≥ 24 x ≥ 0 [a] y ≥ 0 [b]dan meminimumkan Z[x, y] = 5x + 6y [dalam ratusan rupiah]. Sebelum kita menentukan nilai minimum fungsi Z[x, y], terlebih dahulukita gambarkan grafik sistem pertidaksamaan [a], untuk menemukan daerahpenyelesaian.InformasiSoftware Autograph merupakan salah satu software yang digunakan untukmenggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.Autograph juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai grafikfungsi, misalnya fungsi kuadrat dan fungsi logaritma.54 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKy 20 A[0, 20] Daerah Penyelesaian B[0, 12] 10 C[2, 8] D 126 , 23 x + 6y ≥ 24 11 11 E[24, 0] 2x + y ≥ 12 x 10 20 5x + 8y ≥ 74 Gambar 2.11: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan [a] Daerah penyelesaian sistem [a] berupa suatu area tak terbatas [unboundedarea]. Untuk menentukan nilai minimum fungsi Z[x, y] = 5x + 6y [dalamratusan rupiah], artinya kita harus menemukan satu titik [dari tak hinggabanyak titik yang terdapat pada daerah penyelesaian] sedemikian sehinggamenjadikan nilai fungsi menjadi yang terkecil di antara yang lain. Untuk menemukan koordinat titik A hingga E, kamu sudah mempelajaripada saat SMP dan SMA kelas X. Tentunya, jika kita memeriksa nilai fungsiZ[x, y] = 5x + 6y pada kelima titik itu, bukanlah sesuatu hal yang salah, bukan?Hasilnya disajikan pada tabel berikut. MATEMATIKA 55Tabel 2.8: Nilai fungsi Z[x, y] = 5x + 6y [dalam ratus rupiah] pada lima titiksudut daerah penyelesaian A[0, 20] B[0, 12] C[2, 8] D 126 , 23 E[24, 0] 11 11 Z[x, y] = 5x + 6y 12.000 7.200 5.800 6.981,8 12.000 Menurut Tabel 2.8, nilai minimum fungsi adalah Z[x, y] = 5x + 6y adalah5.800, dan titik yang membuat fungsi tujuan bernilai minimum adalah titik C[2, 8].Pertanyaannya, apakah ini nilai minimum fungsi di daerah penyelesaian?Untuk memastikannya, kita selidiki nilai fungsi Z[x, y] = 5x + 6y pada daerahpenyelesaian, dengan cara menggeser [ke kiri atau ke kanan; ke atas atau kebawah]. Kita namakan garis k = 5x + 6y sebagai garis selidik, untuk k bilanganreal. Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. y20 A[0, 20] 5x + 6y = 120 5x + 6y = 100 B[0, 12] 5x + 6y = 90 C[2, 8]5x + 8y ≥ 7140x + 6y ≥ 24 D 126 , 23 11 11 E[24, 0] x 10 20 2x + y ≥ 12Gambar 2.12: Nilai garis selidik Z[x, y] = 5x + 6y pada daerah penyelesaian56 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMisalnya, kita pilih 3 titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, yaitutitik P[6, 10], Q[8, 10], dan R[12, 10], sedemikian sehingga terbentuk garis5x + 6y = 90, 5x + 6y = 100, dan 5x + 6y = 120, seperti yang disajikan padaGambar 2.12. Karena kita ingin menentukan nilai minimum fungsi, maka garis = 5x + 6y= 90 digeser ke bawah hingga ditemukan nilai minimum fungsi, yaitu 5.800,pada titik [2, 8]. Jadi, agar seorang pasien flu sembuh, harus mengkomsumsi 2 kapsul fluindan 8 kapsul fluon dengan biaya Rp5.800,00. Untuk membantu kamu semakin memahami penentuan nilai optimumsuatu fungsi tujuan dengan garis selidik, mari kita selesaikan masalahkelompok tani transmigran [Masalah 2.4] Contoh 2.3Telah dibentuk model matematika masalah tersebut, yaitu 0,02x + 0,05y ≤ 10 2x + 5y ≤ 1.000 → kendala lahan [3*] 10x + 8y ≤ 1.550 atau 10x + 8y ≤ 1.550 → kendala waktu 5x + 3y ≤ 460 5x + 3y ≤ 460 → kendala pupuk x≥0 y ≥ 0Fungi Tujuan [4*]Maksimumkan: Z[x, y] = 4x + 3y [dalam puluh ribu rupiah]. Kita akan menentukan banyak hektar tanah yang seharusnya ditanami padidan jagung agar pendapatan kelompok tani tersebut maksimum.Alternatif Penyelesaian: Pada pembahasan Masalah 2.4, kita sudah menggambarkan daerahpenyelesaian sistem [3*]. Mari kita cermati lagi gambar tersebut.Kita sudah menempatkan garis selidik 4x + 3y = k pada daerah penyelesaiannya. MATEMATIKA 57y 500 400 4x + 3y = 350 300 4x + 3y = 250 4x + 3y = 180 200 1 5x + 3y ≤ 460 3 2x + 5y ≤ 1.000 A 0,153 100 10x + 8y ≤ 1.550 B[92, 0] x–100 100 200 300 400 500 –100Gambar 2.13: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan [3*]. Misalnya kita pilih 3 titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, misalnyaA[30, 20], B[80, 10], dan C[40, 30], sedemikian sehingga terbentuk garis4x + 3y = 180, 4x + 3y = 250, dan 4x + 3y = 350, seperti yang disajikan padaGambar 2.13. Karena kita ingin menentukan nilai maksimum fungsi tujuan,maka garis 4x + 3y = 350 digeser ke atas hingga ditemukan nilai maksimumfungsi, yaitu 460 di titik 0,153 1 . 3 Jadi, untuk memaksimumkan pendapatan, petani harus memproduksi 153 1 3kuintal jagung tidak perlu memproduksi padi. Dengan demikian petanimemperoleh pendapatan maksimalnya sebesar Rp460.000,00.Bandingkan masalah berikut ini dengan Masalah 2.658 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 2.7 Apakah kamu pernah melihat tanaman hias seperti di bawah ini? Tahukah kamu berapa harga satu tanaman hias tersebut? Gambar 2.14: Tanaman Hias Aglaonema dan Sansevieria Sumber: www.aksesdunia.com Setiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan tanaman hias dari agen besar; Aglaonema [A] dan Sansevieria [S] yang berturut-turut memberi laba sebesar Rp5.000.000,00 dan Rp3.500.000,00 per unit yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super. Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian, berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan [per semester] jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total?Alternatif Penyelesaian:Untuk memudahkan kita dalam membahas masalah ini,misalkan x : banyak tanaman hias A yang dipesan y : banyak tanaman hias S yang dipesan.Pernyataan ”Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiappemesanan tanaman hias A paling sedikit 20% dari seluruh pesanan tanamanhias lain”, dapat dituliskan sebagai berikut. x ≥ 1 [ x + y] atau 4x − y ≥ 0 . 5 MATEMATIKA 59Untuk memperoleh laba, pemilik harus mempertimbangan keterbatasan lahansebagai daya tampung untuk tiap-tiap tanaman hias.Misal, L : luas kebun tanaman hias, Lx : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A, Ly : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S. Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapatmenampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman hias S. Pernyataan ini,dimodelkan sebagai berikut: Lx =1L dan Ly =1L 10 15 Tentu luas kebun yang diperlukan untuk x banyak tananam hias A dan ybanyak tanaman hias S tidak melebihi luas kebun yang ada. Oleh karena itu,dapat dituliskan;x. 1 L + y. 1 L ≤ L atau 3x + 2y ≤ 30. 10 15 Selanjutnya, pemilik kebun mengharapkan laba sebesar Rp5.000.000,00dari 1 tanaman hias A yang terjual dan Rp3.500.000,00 dari 1 tanaman hias Syang terjual. Oleh karena itu, untuk sebanyak x tanaman hias A yang terjualdan sebanyak y tanaman hias S yang terjual, maka dapat dituliskan sebagailaba total pemilik kebun, yaitu: Z = 5x + 3,5y [dalam juta rupiah].Jadi secara lengkap, model matematika masalah program linear pemilik kebuntanaman hias dinyatakan sebagai berikut.Menentukan x dan y yang memenuhi kendala: 4x - y ≥ 03x +2y ≤ 30 [1.1] x≥0 y ≥ 0Dengan fungsi tujuan:Maksimumkan: Z = 5x + 3,5y [dalam juta rupiah].60 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSelanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanlinear [1.1]. Tentunya, diharapkan keterampilan kamu dalam menggambarkandaerah penyelesaian sistem tersebut sudah makin meningkat. Sekaligus juga,kamu harus makin terampil dalam memilih titik dalam daerah penyelesaianuntuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan.Adapun grafik daerah penyelesaian sistem [1.1] disajikan pada gambar berikutini. y 15 4x – y ≥ 0 B 2 8 ,10 10 11 11 10 3x + 2y ≤ 30 5x + 3,5y = 29 5x + 3,5y = 22 5 5x + 3,5y = 17 A[10, 0] x –5 5 10 –5 Gambar 2.15: Grafik daerah penyelesaian sistem [1.1] Dengan mengambil tiga titik yang terdapat pada daerah penyelesaian,misalnya titik [2, 2], [3, 2], dan [3, 4], sehingga menghasilkan garis 5x +3,5y = 17, 5x + 3,5y = 22, dan 5x + 3,5y = 29, seperti yang disajikan padaGambar 2.15. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi Z = 5x + 3,5y,berarti kita menggeser garis 5x + 3,5y = 29 ke atas, hingga ditemukan nilaimaksimum, yaitu Z = 51.818.181,8181 atau sekitar Rp51.818.200,00 padatitik B 2 8 ,10 10 . 11 11 MATEMATIKA 61Namun, pada kenyataannya, ditemukannya titik B 2 8 ,10 10 sebagai titik 11 11 optimum masalah di atas mengakibatkan hal yang tidak mungkin terjadi untukmenemukan 2 8 tanaman hias A dan 1010 tanaman hias S. Artinya, kita harus 11 11menemukan nilai x dan y [x, y bilangan bulat positif].• Dalam kertas berpetak, di dalam daerah penyelesaian cermati titik-titikyang dekat dengan titik B 2 8 ,10 10 . Tetapi titik yang kita inginkan, 11 11 yaitu [x, y] harus untuk x dan y merupakan bilangan bulat positif.• Bandingkan hasil yang kamu peroleh jika menggunakan konseppembulatan bilangan untuk menentukan pembulatan titik B 2 8 ,10 10 11 11 Sebagai petunjuk buat kamu, nilai optimum fungsi sasaran adalahRp50.000.000,00 dengan banyak tanaman hias A dan S, masing-masing 3 unitdan 10 unit. Dari pembahasan Masalah 2.7 ini, ternyata metode garis selidik tidakakurat menemukan nilai optimum fungsi tujuan. Namun, pada umumnya,metode garis selidik dapat menemukan nilai maksimum atau nilai minimumsuatu fungsi tujuan. Tetapi, kamu harus lebih kritis lagi dalam memecahkanmasalah-masalah program linear yang mengharuskan penyelesaian berupabilangan bulat positif.Dari pembahasan Masalah 2.6, Masalah 2.7, dan Contoh 2.3, kita dapatmendefinisikan garis selidik, yaitu: Definisi 2.4 Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/tujuan yangdigunakan untuk menentukan solusi optimum [maksimum atau minimum]suatu masalah program linear.62 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUntuk menentukan persamaan garis selidik k = C1x1 + C2x2 dengan kbilangan real, kita memilih minimal dua titik [x1, y1] dan [x2, y2] yang terdapatdi daerah penyelesaian. Dengan dua titik tersebut, nilai optimum fungsisasaran dapat ditemukan melalui pergeseran [ke atas atau ke bawah; ke kananatau ke kiri] garis selidik di daerah penyelesaian. Masalah 2.7 mengingatkan kita bahwa tidak selamanya penentuan nilaioptimum dengan menggunakan garis selidik. Terdapat beberapa kasus yangmemerlukan ketelitian yang tinggi dalam menyelesaikan masalah programlinear.2.4 Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian Dari beberapa masalah yang telah dibahas di atas, masalah program linearmemiliki nilai optimum [maksimum atau minimum] terkait dengan eksistensidaerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang akan kitaselidiki, yaitu:1] tidak memiliki daerah penyelesaian2] memiliki daerah penyelesaian [fungsi tujuan hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum]3] memiliki daerah penyelesaian [fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum].1] Tidak memiliki daerah penyelesaian Mari kita cermati, Gambar 2.16 Diberikan sistem: ax + by ≤ c; a ≠ 0, b ≠ 0 px + qy ≥ t; p ≠ 0, q ≠ 0Untuk setiap a, b, c, p, q, dan t ∈ R• Selidiki hubungan antar koefisien variabel x dan y serta konstanta c dan t pada sistem tersebut, hingga kamu menemukan syarat bahwa suatu sistem pertidaksamaan linear tidak memiliki daerah penyelesaian. MATEMATIKA 63yI1 : ax + by ≤ c 5 I2 : px + qy ≥ t x–10 –5 5 –5 –10 Gambar 2.16: Sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian.2] Memiliki daerah penyelesaian [fungsi sasaran hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum] Grafik berikut ini, mendeskripsikan bahwa walaupun kendala suatu program linear memiliki daerah penyelesaian, ternyata belum tentu memiliki nilai fungsi sasaran. Mari kita cermati. • Dari Gambar 2.17, tentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuaian dengan grafik daerah penyelesaian seperti pada gambar. Selanjutnya, dengan sistem pertidaksamaan yang telah kamu temukan, misalnya diketahui fungsi tujuan; a. Maksimumkan: Z[x, y] = mx + ny; m, n ∈ R+ b. Minimumkan: Z[x, y] = mx + ny; m, n ∈ R+ • Dengan demikian, tentu kamu dapat menemukan kondisi suatu program linear yang memiliki daerah penyelesaian tetapi fungsi tujuannya hanya memiliki nilai minimum dan tidak memiliki nilai maksimum [kenapa?].64 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK• Rancang suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, yang memiliki daerah penyelesaian tetapi fungsi tujuannya hanya memiliki nilai maksimum. Berikan penjelasan, kenapa fungsi tujuannya tidak memiliki nilai minimum. y 5 –10 –5 5 x –5 Gambar 2.17: Grafik daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan.3] Memiliki daerah penyelesaian [fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum] Pertidaksamaan 2x – 3y + 12 ≥ 0 3x + 2y – 12 ≤ 0 x≥0 0≤y≤4merupakan kendala yang bersesuaian dengan grafik daerah penyelesaianpada Gambar 2.18 berikut.• Misalnya, diberikan fungsi sasaran berikut ini: a] Maksimumkan: Z = 3x + 2y b] Minimumkan: Z = 3x + 2y MATEMATIKA 65Dengan teliti, coba kamu tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi sasaran tersebut. Bandingkan hasil yang kamu temukan dengan temanmu. y 5 –10 –5 5 x –5 –10 Gambar 2.18: Grafik daerah penyelesaian yang terbatas.Pertanyaan Kritis!!!Diketahui sistem pertidaksamaan linear suatu masalah program linear.ax + by [≥, ≤] c; a ≠ 0,b ≠ 0 [1] px + qy [≥, ≤]t; p ≠ 0, q ≠ 0 [2] x≥0 y ≥ 0a, b, c, p, q, dan t merupakan bilangan real, dan c < t.Selidiki syarat agar sistem pertidaksamaan linear tersebut:i. tidak memiliki daerah penyelesaian;ii. memiliki daerah penyelesaian;iii. memiliki daerah penyelesaian berupa suatu garis atau segmen garis;iv. memiliki daerah penyelesaian hanya satu titik.66 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 2.21. Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus, Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam. Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5 jam. Setiap hari, Ratu hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp80.000,00 untuk setiap blus dan Rp60.000,00 untuk setiap rok [Anggap semua blus dan rok habis terjual]. a. Rancang model matematikanya. b. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?2. Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan 1200 paket [yang besarnya sama] melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat 200 paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing- masing Rp400.000,00 dan Rp200.000,00. Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut 1200 paket hanya Rp3.000.000,00. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut.3. Perusahaan “SABAR JAYA”, suatu perusahaan jasa, memiliki 2 tipe karyawan. Karyawan tipe A digaji sebesar Rp135.000,00 per minggu dan karyawan tipe B digaji sebesar Rp270.000,00 per minggu. Pada suatu proyek memerlukan 110 karyawan, tetapi paling sedikit sebanyak 40 karyawan tipe B yang bekerja. Selain itu, untuk setiap proyek, aturan perusahaan mengharuskan banyak karyawan tipe B paling sedikit 0,5 dari banyak karyawan tipe A. Hitunglah banyak karyawan tipe A dan karyawan tipe B pada perusahaan tersebut.4. Selesaikan Masalah 2.5. MATEMATIKA 675. Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program linear berikut ini. a] x – 4y ≤ 0; x – y ≤ 2; –2x + 3y ≤ 6; x ≤ 10 b] x + 4y ≤ 30; –5x + y ≤ 5; 6x – y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x – 5y ≤ 0 c] x + 4y ≤ 30; –5x + y ≤ 5; 6x – y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x + 5y ≤ 06. Jika diberikan fungsi, hitung nilai maksimum dan nilai minimum fungsi [jika ada] untuk setiap sistem pertidaksamaan pada Soal No.5.7. Perhatikan gambar di bawah ini. Ky J9 7C 5-9 -7 -5 -3 3 G F x B 35 79 1A -1-1 1 D E -3 -5 I H -7 -9 Tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi jika setiap label daerah merupakan daerah penyelesaian.8. Rancang suatu sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian-penyelesaian berikut ini. a] berbentuk segitiga sama sisi di kuadran pertama b] berbentuk trapesium di kuadran kedua c] berbentuk jajargenjang di kuadran keempat68 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK9. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp 150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama.10. Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c. Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koefisien x dan y terhadap daerah penyelesaian [bersih] pertidaksamaan.11. Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f [x, y] = 2x - y - 4 bernilai optimum [maksimum atau minimum] jika daerah asal dibatasi sebagai berikut -1 ≤ x ≤ 1; -1 ≤ y ≤ 1. [Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal]. Soal Proyek Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat. Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melakukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua. Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu istirahat yang kamu peroleh setiap hari [minggu]. Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu. Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu, dan gurumu dapat memahami dengan jelas. MATEMATIKA 69D. Penutup Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep program linear. 1. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear. 2. Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika. 3. Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala. 4. Fungsi tujuan/sasaran [fungsi objektif] merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear. 5. Nilai-nilai variabel [x, y] disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai [x, y] memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear. 6. Suatu fungsi objektif terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan. 7. Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai.70 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK8. Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi sasaran, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi sasaran masalah program linear. Penguasaan kamu tentang program linear akan memfasilitasi kamu untukmampu menyelesaikan masalah-masalah dalam dunia ekonomi, kesehatan,dan bidang lainnya. Untuk masalah-masalah dalam kehidupan sehari-hariyang berbentuk nonlinear akan dikaji pada aplikasi turunan. MATEMATIKA 71BAB3Matriks A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarKompetensi Dasar Pengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran matriks, Melalui pembelajaran materi matriks, siswasiswa mampu: memp eroleh pengalaman belajar:3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan 1. Melatih berpikir kritis dan kreatif. 2. Berkolaborasi, bekerja sama matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi menyelesaikan masalah. pada matriks yang meliputi penjumlahan, 3. Berpikir independen mengajukan ide pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose. secara bebas dan terbuka.3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan 4. Mengamati aturan susunan objek. invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3.4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3. • Entry matriksIstilah Penting • Ordo matriks • Operasi matriks • Determinan matriks • Invers matriks • Identitas • Transpose72 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKB. Diagram AlirMateri Prasyarat Sistem Persamaan LinearMasalah Matriks Unsur-UnsurAutentik Matriks Jenis Relasi Operasi Matriks Entry EntryMatriks Kofaktor Baris Kolom Kesamaan Matriks Determinan Adjoint• Kolom • Penjumlahan Invers• Baris • Pengurangan Matriks• Persegi • Perkalian • Transpose Panjang• Persegi• Segitiga• Diagonal MATEMATIKA 73C. Materi Pembelajaran 3.1 Membangun Konsep Matriks Coba kamu perhatikan susunan benda-benda di sekitar kamu! Sebagai contoh, susunan buku di meja, susunan buku di lemari, posisi siswa berbaris di lapangan, susunan keramik lantai, dan lain-lain. Gambar 3.1. Susunan keramik/ubin di lantai Tentu kamu dapat melihat susunan tersebut dapat berupa pola baris atau kolom, bukan? Bentuk susunan berupa baris dan kolom akan melahirkan konsep matriks yang akan kita pelajari. Sebagai contoh lainnya adalah susunan angka dalam bentuk tabel. Pada tabel terdapat baris atau kolom, banyak baris atau kolom bergantung pada ukuran tabel tersebut. Ini sudah merupakan gambaran dari sebuah matriks. Agar kamu dapat segera menemukan konsepnya, mari perhatikan beberapa gambaran dan permasalahan berikut ini! Sebagai gambaran awal mengenai matriks, mari cermati uraian berikut. Diketahui harga tiket masuk suatu museum berikut ini.74 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 3.1: Harga Karcis Hari Minggu/Libur [Rp] Hari Biasa [Rp]Anak-anak 5.000 3.000Dewasa 15.000 10.000 Data tersebut, dapat disajikan kembali tanpa harus di dalam tabel sepertiberikut: atauBentuk penulisan tersebut, menunjukkan terdapat 2 baris dan dua kolom.Masalah 3.1 Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisatayang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, diamencatat jarak antara kota-kota tersebut sebagai berikut.Bandung – Semarang 367 kmSemarang – Yogyakarta 115 kmBandung – Yogyakarta 428 kmDapatkah kamu membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebutjika wisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudianberikan makna setiap angka dalam susunan tersebut.Alternatif Penyelesaian: Wisatawan akan memulai perjalanannya dari Bandung ke kota-kota wisatadi Pulau Jawa. Jarak antarkota tujuan wisata dituliskan sebagai berikut.Tabel 3.2: Jarak Antarkota Bandung Semarang YogyakartaBandung 0 367 428Semarang 367 0 115Yogyakarta 428 115 0 MATEMATIKA 75Berdasarkan tampilan di atas, dapat dilihat jarak antarkota tujuan wisatadengan membaca data dari baris ke kolom. Susunan tersebut dapat jugadituliskan sebagai berikut. 0 367 428 367 0 115 428 115 0 Susunan jarak antarkota di Pulau Jawa ini terdiri dari 3 baris dan 3 kolom.Kegiatan 3.1Agar lebih memahami matriks mari lakukan kegiatan berikut ini.1. Bentuklah kelompok yang masing-masing beranggotakan 3-4 orang.2. Wawancaralah setiap anggota kelompok untuk mendapatkan informasi nilai siswa terhadap tiga mata pelajaran yang diminatinya.3. Sajikan data yang diperoleh dalam bentuk tabel seperti di bawah ini.4. Sajikan pula data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan. Nilai siswaNama Siswa Pelajaran X Pelajaran Y Pelajaran ZSiswa A ….. ….. …..Siswa B ….. ….. …..Siswa C ….. ….. ….. Definisi 3.1 Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dankolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunanbilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “[ ]” atau kurung siku “[ ]”.76 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMatriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C,dan lain-lain. Selain memiliki baris dan kolom, matriks juga memiliki entryyaitu setiap anggota dalam matriks tersebut. Entry suatu matriks dinotasikandengan huruf kecil seperti a, b, c, ... dan biasanya disesuaikan dengan namamatriksnya.Masalah 3.2 Manager supermarket ingin menata koleksi barang yang tersedia.Ubahlah bentuk susunan barang di supermarket di bawah ini menjadimatriks dan tentukan entry-entrynya.KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI Susu Roti dan Permen dan Biskuit10 [Item] 20 [Item] Cokelat 14 [Item]KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI Sabun Sampo dan Detergen Pasta Gigi18 [Item] 12 [Item] 8 [Item]KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI Minyak Beras dan Bumbu Goreng Tepung22 [Item] 6 [Item] 17 [Item]Gambar 3.2: Susunan barang pada rak supermarket MATEMATIKA 77Alternatif Penyelesaian: Gambar di atas mendeskripsikan susunan barang-barang pada raksupermarket yang terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Bentuk matriks darisusunan barang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. 10 20 14 Baris 1 A = 18 12 Baris 2 8 Baris 3 22 6 17 Kolom 1 Kolom 3 Kolom 2 Misalkan pada matriks A di atas, entry-entrynya dinyatakan dengan a,dan umumnya entry-entry dari suatu matriks diberi tanda indeks, misalnya aijyang artinya entry dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. Makakoleksi susu yang terdapat pada baris ke-1, kolom ke-1 dapat dinyatakan a11 =10. Koleksi barang yang terdapat pada baris ke-2, kolom ke-3 adalah koleksidetergen yang dinyatakan pula dengan a23 = 8 dan untuk selanjutnya entrymatriks A dapat dinyatakan dengan:• a11 = 10 • a21 = 18 • a31 = 22• a12 = 20 • a22 = 12 • a32 = 6• a13 = 14 • a23 = 8 • a33 = 17Maka entry matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut. a11 a12 a13 A3×3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 78 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSecara induktif, entry matriks di atas dapat dibentuk menjadi: a11 a12 a13 ... a1n baris ke-1 baris ke-2 a21 a22 a23 ... a2 n baris ke-3 Am×n = a31 a32 a33 ... a3n baris ke-m am1 am2 am3 ... amn kolom ke-n kolom ke-3 kolom ke-2 kolom ke-1aij : entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m; dan j = 1, 2, 3, …, n.m × n : menyatakan ordo matriks A dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom matriks A.Contoh 3.1 Teguh, siswa kelas IX SMA Panca Budi, akan menyusun anggotakeluarganya berdasarkan umur dalam bentuk matriks. Dia memiliki Ayah, danIbu, berturut-turut berumur 46 tahun dan 43 tahun. Selain itu dia juga memilikikakak dan adik, secara berurut, Ningrum [22 tahun], Sekar [19 tahun], danWahyu [12 tahun]. Dia sendiri berumur 14 tahun. Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhandia dalam berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks yangmerepresentasikan umur anggota keluarga Teguh sebagai berikut [berdasarkanurutan umur dalam keluarga Teguh].i. Alternatif susunan I46 43 22T2×3 = 19 14 12 Matriks T2 × 3 adalah matriks persegi panjang dengan berordo 2 × 3. MATEMATIKA 79ii. Alternatif susunan II 46 43T3×2 = 22 19 14 12 Matriks T3×2 adalah matriks persegi panjang berordo 3 × 2.Dapatkah kamu menciptakan susunan matriks, minimal dua cara dengan carayang berbeda? Kamu perlu memikirkan cara lain yang lebih kreatif!3.2 Jenis-Jenis Matriks Contoh 3.1 di atas menyajikan beberapa variasi ordo matriks yang merepresentasik an umur anggota keluarga Teguh. Secara detail, berikut ini akandisajikan jenis-jenis matriks.a. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya,ordo matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matrikstersebut.T1 × 2 = [46 43] , matriks baris berordo 1 × 2 yang me representasikan umur orang tua Teguh.T1 × 4 = [22 19 14 12] , matriks baris berordo 1 × 4 yang me representasikan umur Teguh dan saudara nya.b. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada matriks tersebut. Perhatikan matriks kolom berikut ini! 43 22T3×1 = 19 , matriks kolom berordo 3 × 1 yang merepresentasikan umur semua wanita pada keluarga Teguh.80 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK46 43 22T5×1 = 19 , matriks kolom berordo 5 × 1 yang merepresentasikan umur kedua orang tua Teguh dan ketiga saudaranya. 12 c. Matriks Persegi Panjang Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidaksama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n. 46 43 22T2×3 = 19 , matriks persegi panjang berordo 2 × 3 yang 14 12 merepresentasikan umur anggota keluarga Teguh. 46 43 19 , T3×2 = 22 matriks persegi panjang berordo 3 × 2 yang merepresentasikan umur semua anggota keluarga 14 12 Teguh.d. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dankolom sama. Matriks ini memiliki ordo n × n.T2×2 = 46 43 , matriks persegi berordo 2 × 2 yang merepresentasikan 22 19 umur orang tua Teguh dan kedua kakaknya.Tinjaulah matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini. a11 a12 a13 a14 Diagonal Samping matriks H a21 Diagonal Utama matriks H a22 a23 a24 H4×4 = aa3411 a32 a33 a34 a42 a43 a44 Diagonal utama suatu matrik adalah semua entry matriks yang terletakpada garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonalsamping matriks adalah semua entry matriks yang terletak pada garisdiagonal dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas. MATEMATIKA 81e. Matriks Segitiga Mari kita perhatikan matriks F berordo 4 × 4. Terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya: -2 3 7 12 F= 0 5 -8 4 0 0 2 6 13 0 0 0atau jika polanya seperti berikut ini. 13 0 0 0 1 0 0G= 5 8 10 0 3 5 2 -4 2Matriks persegi yang berpola seperti matriks F atau G disebut matrikssegitiga.Jadi, matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × ndengan entry-entry matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanyabernilai nol.f. Matriks Diagonal Dengan memperhatikan konsep pada matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks pesegi, seperti matriks berikut ini:• A= 1 0 0 5 2 0 0• B = 0 0 0 0 0 382 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK12 0 0 0 0 6 0 0 0 0• C = 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 maka matriks persegi dengan pola “semua entrynya bernilai nol, kecuali entry diagonal utama tidak semua nol” disebut matriks diagonal.g. Matriks Identitas Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini. 1 0 • I2×2 = 0 1 1 0 0 • I3×3 = 0 1 0 0 0 1 Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika pola tersebut terdapat suatu matriks persegi, yaitu semua entry diagonal utama semua bernilai positif 1, disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I berordo n × n.h. Matriks Nol Jika entry suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut: 0 0 • O2×2 = 0 0 , atau 0 0 • O3×2 = 0 0 , atau 0 0 • O1×3 = [0 0 0], maka disebut matriks nol. MATEMATIKA 833.3 Kesamaan Dua MatriksPerhatikan untuk matriks berikut ini.a. 3 5 = 3 5 7 9 7 9b. 3 4 +1 = 9 5 7 7 9 32 Kedua matriks pada contoh a dan b adalah sama. Entry masing-masingmatriks juga sama, bukan? Bagaimana dengan ordo kedua matriks? Darikedua contoh di atas tampak bahwa entry-entry seletak dari kedua matriksyang berordo sama mempunyai nilai yang sama.Nah bagaimana untuk matriks berikut ini?4 9 4 55 8 dan 9 8serta4 0 0 0 0 60 5 0 dan 0 5 00 0 6 4 0 0 Menurut kamu apakah matriks-matrik di atas sama? Apakah kedua matriksmemiliki ordo yang sama? Apakah entry-entry seletak dari kedua matriksmempunyai nilai yang sama? Jika kalian telah memahami kasus di atas makakita dapat menyatakan kesamaan matriks jika memenuhi sifat berikut ini. Definisi 3.2 Matriks A dan matriks B dikatakan sama [A = B] jika dan hanya jika:i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.ii. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij [untuk semua nilai i dan j].84 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUntuk lebih mendalami kesamaan matrik mari perhatikan contoh berikut. Contoh 3.2Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks Pt = Q, dengan 2a - 4 3b dan Q = b - 5 3a - c 4P = d + 2a 2c 3 6 7 . 7 4Alternatif Penyelesaian: Karena P merupakan matriks berordo 2 × 3, maka Pt merupakan matriksberordo 2 × 3. Matriks Q merupakan matriks berordo 2 × 3. Oleh karena ituberlaku kesamaan matriks Pt = Q.Dengan Pt = 2a - 4 d5 + 2a 4 . Akibatnya, kesamaan Pt = Q dapat dituliskan: 2c 7 3b2a - 4 d5 + 2a 4 b - 5 3a - c 4 3b 2c 7 = 3 6 7Dari kesamaan di atas, kita temukan nilai a, b, c, dan d sebagai berikut.• 3b = 3 maka b = 1, dan 2c = 6 maka c = 3.• 2a – 4 = –4 maka a = 0.• Karena a = 0 maka d = –3.Jadi, a = 0, b = 1, c = 3, dan d = –3. MATEMATIKA 853.4 Operasi pada Matriks3.4.1 Operasi Penjumlahan Matriks Masalah 3.3 Toko kue berkonsep waralaba ingin mengembangkan usaha di dua kota yang berbeda. Manajer produksi ingin mendapatkan data biaya yang akan diperlukan. Biaya untuk masing-masing kue seperti pada tabel berikut. Tabel Biaya Toko di Kota A [dalam Rupiah] Brownies Bika Ambon Bahan kue 1.000.000 1.200.000 3.000.000 Juru masak/Chef 2.000.000 Tabel Biaya Toko di Kota B [dalam Rp] Brownies Bika Ambon Bahan kue 1.500.000 1.700.000 3.500.000 Juru masak/Chef 3.000.000 Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?Alternatif Penyelesaian: Jika kita misalkan matriks biaya di Kota A, sebagai matriks A dan matriksbiaya di Kota B sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikansebagai berikut.A = 1.000.000 1.200.000 dan B = 1.500.000 13..750000..000000. 3.000.000 2.000.000 3.000.000 Total biaya yang dikeluarkan oleh untuk kedua toko kue tersebut dapatdiperoleh sebagai berikut.♦ Total biaya bahan untuk brownies = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000♦ Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.00086 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK♦ Total biaya chef untuk brownies = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000♦ Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000 Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks adalah sebagaiberikut.Total Biaya Untuk Kedua Toko [dalam Rupiah] Brownies Bika Ambon Bahan 2.500.000 2.900.000 Chef 5.000.000 6.500.000 Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkanmatriks A dan B. 1.500.000 13..750000..000000. 1.000.000 1.200.000 3.000.000A + B = 3.000.000 + 2.000.000 = 2.500.000 2.900.000 5.000.000 6.500.000 Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkankedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordokedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan operasipenjumlahan terhadap kedua matriks.Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahandua matriks dalam konteks matematis. Definisi 3.3 Misalkan A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C = A + B, apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry ditentukan oleh: cij = aij + bij [untuk semua i dan j]. MATEMATIKA 87Catatan: Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yangsama dan ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks adalah sama denganordo matriks yang dijumlahkan. Perhatikan contoh-contoh berikut untuk lebih memahami penjumlahanmatriks. Contoh 3.3a] Jika P = 10 2 4 , Q = 2 2 8 3 5 1 0 1 , maka 1 10 + 2 2 + 2 4 + 8 12 4 12 P+Q= 5 +1 = 1+1 3+0 2 3 6 x 2 4 2 2 8b] Jika diketahui matriks P = 1 5 , Q = 1 1 , dan P + Q 12 4 12 x-7 y = 2 3 6 . Tentukan nilai x dan y! Jika dimisalkan R = P + Q, maka hasil jumlah matriks P dan Q adalah R 12 4 12 P+Q= x + 2 2 + 2 4 + 8 = , sementara 5 +1 . 2 3 6 1+ 1 x-7+ y Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperoleh: x + 2 2 + 2 4 + 8 12 4 12 5 +1 = 1+ 1 x-7+ y 2 3 6 x + 2 = 12 ⇒ x = 10 x – 7 + y = 3 ⇒ 10 – 7 + y = 3 atau y = 0 Maka diperoleh nilai x = 10 dan y = 0.88 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6 3 1c] Diketahui matriks T = 5 5 0 . Mari kita tunjukkan bahwa 1 3 7 T + O = T dan O + T = T! Matriks O dalam hal ini adalah matriks nol berordo 3 × 3, karena matriks tersebut akan dijumlahkan dengan matriks T berordo 3 × 3 juga. 6 3 1 0 0 0 • T + O = 5 5 0 + 0 0 0 1 3 7 0 0 0 6 + 0 3+ 0 1+ 0 = 5 + 0 5 + 0 0 + 0 1+ 0 3 + 0 7 + 0 6 3 1 = 5 5 0 = T 1 3 7 0 0 0 6 3 1• O + T = 0 0 0 + 5 5 0 0 0 0 1 3 7 0 + 6 0 + 3 0 +1 = 0 + 5 0 + 5 0 + 0 0 +1 0 + 3 0 + 7 6 3 1 = 5 5 0 = T 1 3 73.4.2 Operasi Pengurangan Matriks Sebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, marikita cermati contoh masalah berikut ini. MATEMATIKA 89Masalah 3.4 Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin danpenyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dariharga perolehan sebagai berikut:Jenis Aktiva Harga Perolehan Penyusutan Harga Baku [Rp] Tahun I [Rp] [Rp]Mesin A 25.000.000 2.500.000 Mesin B 65.000.000 6.500.000 Mesin C 48.000.000 4.800.000 Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!Alternatif Penyelesaian:Misalkan: 25.000.000Harga perolehan merupakan matriks A = 65.000.000 48.000.000 2.500.000Penyusutan tahun pertama merupakan matriks B = 6.500.000 4.800.000Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah 25.000.000 2.500.000 22.500.000A – B = 65.000.000 - 6.500.000 = 58.500.000 48.000.000 4.800.000 43.500.000 Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untukmemahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B.90 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMisalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Penguranganmatriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks Adengan matriks –B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis: A – B = A + [–B]. Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanandengan setiap entry yang bersesuaian matriks B.Contoh 3.4Mari kita cermati contoh berikut ini. -2 9 7a]. Jika K = 3 dan L = , maka 5 5 -2 -9 -11 -7 K – L = K + [–L] = 3 + = -4 . 5 -5 0 b]. Diketahui matriks-matriks X, Y dan Z sebagai berikut. 1 3 2 4 2 3 5 11 13X = 5 7 , Y = 6 8 , dan Z = 7 9 11 10 12 17 19 23Jika ada, tentukan pengurangan-pengurangan matriks berikut ini.i] Y – X ii] Y – Z iii] X – ZAlternatif Penyelesaian: Matriks X dan Y memiliki ordo yang sama, yaitu berordo 3 × 2, sedangkanmatriks Z berordo 3 × 3. Oleh karena itu, menurut aturan pengurangan duamatriks, hanya bagian i] saja yang dapat ditentukan, ii] dan iii] tidak dapatdioperasikan, [kenapa]? 2 4 -1 -3 1 1 -5 =1 1 .Jadi, Y – X = 6 8 + -7 10 12 -9 -11 1 1
MATEMATIKA 91