BAB II
PEMBAHASAN
A. Transformasi Geometri Rotasi
Rotasi [putaran] yang ditentukan oleh sebuah titik P dengan besar dan arah putaran tertentu adalah suatu pemetaan yang mengawankan sebarang titik R dengan R΄ yang diperoleh dengan memutar ruas PR menjadi PR΄ dengan besar dan arah yang ditentukan tadi, dan PR΄= PR.
Peristiwa memindahkan suatu objek [gambar] melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu dan sudut putar yag tertentu dengan arah searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar tersebut berubah disebut ROTASI
Misalkan:
Titik P,Q, dan R masing-masing di pindahkan mengikuti garis lengkung pada bayangan P’,Q’,dan R’ dalam arah yang sama, dengan besar sudut rotasi 90º pada suatu titik tertentu M yang menyebabkan kedudukan segitiga berubah. Sudut PMP’= sudut QMQ’= sudut RMR’=90º, dan ukuran-ukura sisi serta sudut segitiganya tetap.
B. Macam-macam Rotasi
1. Rotasi dengan pusat [0,0]
Berapakah X’ dan Y’?
X’ = r cos [ α + β ]
= cos [ α + β ]
= cos α cos β – sin α sin β
Y’ = r sin [α + β ]
= sin [α + β ]
= sin α cos β + cos α sin β
= cos α sin β + sin α cos β
sehingga dapat di RUMUSkan
X = cos β -sin β cos α
Y’ sin β cos β sin α
Keterangan : 1. jika searah jarum jam sudut putarnya negatif [-]
2. jika berlawanan jarum jam sudut putarnya positif [+]
contoh soal :
1. Tentukan bayangan titik A [3,2] yang diputar dengan pusat O sejauh 45 º searah jarum jam !
2. Diketahui titik B [5,-4] diputar sebesar 270 º berlawanan arah dengan jarum jam, dengan pusat O. Tentukan bayangannya !
3. Diketahui parabola Y = X² + 1 diputar dengan pusat O searah jarum jam sebesar 90 º. Tentukan bayangannya !
Jawab :
X = Cos -45 - Sin - 45 3
Y Sin - 45 Cos - 45 2
= 3
2
= +
+
=
Sehingga bayangan titik A adalah [ , ]
Jawab no. 2 :
X = Cos 270 Sin 270 5
Y Sin 270 Cos 270
= 0 1 5
0
=
Sehingga bayangannya adalah [ ]
Jawaban no.3 :
X = Cos x
Y y
= 0 1 x
0 y
X = y
Y' x
y = X'
x =
Diketahui : + 1
+ 1
Jadi bayangannya adalah .
2. Rotasi dengan Pusat [ a,b ]
Berapakah besar X’ dan Y’ ?
JELAS : X’ = a + cos [α + β]
X’ – a = cos [α + β]
X’ – a = cos α cos β – sin α sin β
Y’ = b + sin [α + β]
Y’ – b = sin [α + β]
Y’ – b = sin α cos β + cos α sin β
X’ – a = cos β -sin β cos α
Y’ – a = sin β cos β sin α
Sehingga RUMUS-nya :
X’ – a = cos β -sin β x – a
Y’ – b sin β cos β y – b
Contoh soal :
- Diketahui titik P [ 5,6 ] diputar dengan pusat [ 1,-2] sebesar 90 º searah jarum jam. Tentukan bayangannya !
- Diketahui lingkaran = 4 diputar dengan pusat [ 3,2] sebesar 180 º, berlawanan arah dengan jarum jam. Tentukan bayangannya !
Jawaban no.a :
0 1
0
0 1 4
0 8
= 8
Sehingga bayanganya adalah [ 9,
Jawaban no.b :
=
=
0 1
=
Bila diketahui : + = 4
² +
Atau
C. Komposisi Rotasi
Komposisi dua rotasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan rotasi dengan pusat sama sebesar penjumlahan kedua sudut rotasinya.
a. Komposisi dua rotasi berurutan dengan pusat titik O [0,0]
Bayangan titik A [x,y] oleh rotasi [O , dilanjutkan dengan rotasi [O, adalah A [x'',y''] dengan rumus:
x'' = x
y'' y
b. Komposisi dua rotasi berurutan dengan pusat titik P[a,b]
Bayangan titik A[x,y] oleh rotasi [P, dilanjutkan dengan rotasi [P, adalah A [x'',y''] dengan rumus :
x'' = x a
y'' y b
contoh soal :
a. Diketahui R1 adalah rotasi dengan pusat [0,0] sebesar 30 ; R2 rotasi dengan pusat [0,0] 90 , dan R3 rotasi dengan pusat [0,0] sebesar 150 . Tentukan bayangan titik C[6, ] oleh R3 O R1.
b. Tentukan bayangan garis oleh refleksi terhadap garis dilanjutkan dengan rotasi dengan pusat P[2,1] sebesar 270 .
Jawaban:
a. R1 dan R3 merupakan rotasi dengan pusat sama yaitu O[0,0].
R3 O R1 = R[O, 150
Bayangan titik C[6, oleh R3 O R1
x' = x = 6 =
y 0 y 4
Jadi bayangannya adalah C'= [ ]
b. Misalkan Titik [x,y] terletak pada garis .
[x,y] Mx=3 [x',y'] R[P,270 ] [x'',y'']
Bayangan [x,y] oleh refleksi terhadap garis x=3 :
x' = =
y'
bayangan oleh rotasi [ P[2,1],270 ]]
x'' = x' P + Xp
y'' y' P YP
x'' = 0 1 x' + 2
y'' 0 y' 1
x'' = y' = =
y'' 3
Dari persanmaan matriks diperoleh :
. . . [1]
. . . [2]
Substansi [1] dan [2] ke diperoleh :
Jadi, bayanganya
Referensi
Astuti A.Y dan Miyanto.2011.Pr Matematika Program Ilmu Pengetahuan Alam. Klaten: Intan Pariwara.