Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling.
Sehingga:
Jadi, besar sudut pusatnya yaitu .
Jika suatu sudut keliling dan sudut pusat lingkaran menghadap ke busur yang sama, maka besar sudut keliling adalah setengah dari sudut pusatnya.
Oleh karena itu, jika sudut pusat berukuran maka besar sudut kelilingnya adalah
Dengan demikian, besar sudut keliling tersebut adalah .
Sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran memiliki hubungan yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan. Hubungan tersebut terdapat pada sudut pusat dan keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama. Di mana, hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran dinyatakan dalam persamaan sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling. Dengan catatan kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama.
Jika sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran tidak menghadap busur yang sama maka hubungan tersebut tidak berlaku. Busur lingkaran adalah bagian lingkaran yang melengkung yang panjangnya merupakan bagian dari panjang keliling lingkaran.
Bagian mana yang disebut dengan sudut pusat lingkaran? Bagian mana yang disebut sudut keliling lingkaran? Apa hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran yang menghadap busur sama? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Sudut Pusat pada Suatu Lingkaran
Sudut pusat adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran. Misalkan lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.
Contoh lain, lingkaran dengan pusat O dan dua titik A dan B terletak pada busur lingkaran, maka sudut terkecil yang dibetuk dari ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD.
Gambar di bawah akan menunjukkan letak sudut pusat secara lebih jelas.
Baca Juga: Jumlah Sudut-Sudut pada Segitiga
Keterangan:
- ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
- ∠COD merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD
Sudut Keliling pada Suatu Lingkaran
Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada busur lingkaran. Sebagai contoh, terdapat tiga buah titik yaitu titik A, B, dan C yang terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik A dengan C dan B dengan C. Sehingga dibentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠BCA yang menghadap busur AB.
Contoh lain, titik X, Y, dan Z terletak pada busur lingkaran dengan pusat O. Dua tali busur dibentuk dengan menghubungkan titik X dengan Z dan Y dengan Z. Sehingga terbentuk sebuah sudut dari pertemuan dua tali busur tersebut yaitu ∠XZY yang menghadap busur XY.
Perhatikan gambar berikut untuk mengetahui letak sudut keliling dalam sebuah ligkaran.
Baca Juga: Garis Singgung Lingkaran bagian Dalam dan Luar
Keterangan:
- ∠BCA merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB
- ∠XZY merupakan sudut pusat yang menghadap busur XY
Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Persamaan yang menyatakan hubungan sudut pusat dan sudut keliling adalah besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling. Atau hubungan juga dapat dinnyatakan dalam persamaan sudut keliling sama dengan setengah sudut pusat. Sehingga, dengan mengetahui besar sudut pusat dari suatu lingkaran dapat diketahi besar setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat.
Sedangkan untuk setiap sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama pula.
Perhatikan penjelasan hubungan sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran seperti gambar di bawah.
Perhatikan bahwa pada keliling lingkaran tersebut terdapat dua sudut keliling dan satu sudut pusat. Ketiga sudut yang terbentuk pada lingkaran tersebut sama-sama menghadap busur yang sama. Sehingga, antara ketiga sudut tersebut dapat diperoleh hubungan yang dinyatakan seperti persamaan-persamaan di bawah.
- Hubungan besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama:
m∠AOB = 2× m∠APB = = 2× m∠AQB - Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama:m∠APB = 1/2× m∠AOB
m∠AQB = 1/2× m∠AOB
- Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama:
m∠APB = m∠AQB
Baca Juga: Lingkaran [Unsur-Unusr, Keliling, dan Luas]
Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling Lingkaran dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman basahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Perhatikan gambar berikut!
Jika besar ∠AOB adalah 40o maka besar ∠ACD adalah ….A. 70o B. 72o C. 80o
D. 83o
Pembahasan:
Garis DB merupakan garis lurus [Ingat!!! Besar sudut pada garis lurus adalah 180o], sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.
∠AOD + ∠AOB = 180o ∠ AOD + 40^{o} = 180o
Jadi, besar ∠AOD = 180o ‒ 40o = 140o
Selanjutnya, perhatikan bahwa ∠ACD dan ∠AOD berturut-turut merupakan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu AD, sehingga
∠ACD = 1/2 × ∠AOD
∠ACD = 1/2 × 140o = 70o
Jadi, besar ∠ACD adalah 70o.
Jawaban: A
Contoh 2 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Pembahasan:
Perhatikan bahwa ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE merupakan tiga sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Sehingga ketiga sudut tersebut memiliki besar yang sama. Misalka besar ketiga sudut sama dengan x maka besar ketiga sudut tersebut dapat dihitung melalui perhitungan di bawah.
m∠ABE + m∠ACE + m∠ADE = 102o x + x + x = 102o3x = 102o
x = 102o : 3 = 34o
Gambar pada soal menunjukkan bahwa ∠AOE adalah sudut pusat yang menghadap busur sama dengan ∠ABE, ∠ACE, dan ∠ADE . Sehingga, besar ∠AOE sama dengan besar dari salah sudut tersebut.
m∠AOE = 2 × ∠ABE
m∠AOE = 2 × 34o = 68o
Jadi, besar ∠AOE adalah 68o
Jawaban: D
Contoh 3 – Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling 2
Perhatikan gambar lingkaran di bawah!
Jika besar ∠OBC adalah 65o maka besar ∠AOC adalah ….A. 50o B. 65oC. 70o
D. 130o
Pembahasan:
Panjang OB = OC = jari-jari lingkaran sehingga segitiga BOC adalah segitiga sama kaki. Besar sudut ∠OBC = ∠OCB = 65o.
Ingat!!! Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o, sehingga dapat diperoleh persamaan seperti di bawah.
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180o 65o + 65o + ∠BOC = 180o 130o + ∠BOC = 180o
∠BOC = 180o ‒ 130o = 50o
Perhatikan bahwa garis AC merupakan garis lurus sehingga jumlah ∠BOC dan ∠AOC sama dengan 180o.
∠BOC + ∠AOC = 180o50o + ∠AOC = 180o
∠AOC = 180o ‒ 50o = 130o
Trik!!! CARA CEPAT menentukan besar sudut pelurus sudut dengan diketahui besar nilai dusut keliling.
Jadi, Jika besar ∠OBC adalah 65o maka besar ∠AOC adalah 130o.
Jawaban: D
Sekian pembahasan mengenai sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran, serta hubungan antara sudut pusat dan keliling lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool[dot]net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Sudut pada Segi Empat Tali Busur
Video yang berhubungan
Sudut Pusat, Sudut Keliling Lingkaran dan Segi Empat Tali Busur di Jelaskan Secara Lengkap
SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
Sudut pusat adalah sudut yang dibatasi oleh dua jari-jari lingkaran dan titik sudutnya merupakan titik pusat lingkaran
Sudut keliling adalah sudut yang dibatasi oleh dua talibusur dan titik sudutnya terletak pada keliling tepi lingkaran.
Perhatikan gambar diatas, ∠AOC dinamakan dengan sudut pusat, dan ∠ABC dinamakan dengan sudut keliling.
HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING
Pada gambar berikut ini, ∠AOC adalah sudut pusat dan ∠ABC adalah sudut keliling dimana keduanya menghadap busur AC.
Ketika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling.
Sudut pusat = 2 × sudut keliling
Sudut keliling = ½ sudut pusat
BESAR SUDUT KELILING YANG MENGHADAP DIAMETER LINGKARAN
Perhatikan gambar berikut ini.
Sudut pusat = 2 × sudut keliling
∠AOB = 2 ×∠ACB
180° = 2 ×∠ACB
∠ACB = 1/2 × 180° = 90°
Maka dapat disimpulkan:
Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90° [sudut siku-siku]
SUDUT-SUDUT KELILING YANG MENGHADAP BUSUR YANG SAMA
Sudut keliling = ½ sudut pusat
Maka:
∠ACB = 1/2 × ∠AOB
∠ADB = 1/2 × ∠AOB
Sudut keliling = ½ sudut pusat
Maka:
∠ACB = 1/2 × ∠AOB
∠ADB = 1/2 × ∠AOB
∠AEB = 1/2 × ∠AOB
Jadi besar ∠ACB=∠ADB=∠AEB
Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar
SEGI EMPAT TALI BUSUR
Segi empat tali busur merupakan suatu segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada keliling tepi lingkaran.
Baca juga contoh soal dan pembahasan mengenai sudut pusat, sudut keliling, dan segi empat tali busur dalam Menghitung Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran
SIFAT-SIFAT SEGI EMPAT TALI BUSUR1] Jumlah dua sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180°
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°
AC × BD = [ AB × CD ] + [ AD × BC ]
3] Hasil kali bagian-bagian diagonalnya sama
Sifat-sifat diatas dapat memudahkan kita dalam menghitung nilai / besar segi empat tali busur. Selain sifat-sifat tersebut segi empat tali busur masih memiliki sifat-sifat lainnya, yaitu:a] Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku.