Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.
Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?
Por tentativa podemos descobrir que:
5 x 5 x 5 = 125, ou seja,
Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.
Símbolo da Radiciação
Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo,
n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.
Exemplos de radiciação:
[Lê-se raiz quadrada de 400]
[Lê-se raiz cúbica de 27]
[Lê-se raiz quinta de 32]
Propriedades da Radiciação
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.
1ª propriedade:
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.
Exemplo:
2ª propriedade:
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Exemplos:
3ª propriedade:
Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.
Exemplos:
4ª propriedade:
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada.
Exemplo:
Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: .
Exemplo:
5ª propriedade:
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices.
Exemplo:
Radiciação e Potenciação
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.
Observe:
Note que se o radicando [x] é um número real e o índice [n] da raiz é um número natural, o resultado [a] é a raiz enésima de x se an = x.
Exemplos:
, pois sabemos que 92 = 81
, pois sabemos que 104 = 10 000
, pois sabemos que [–2]3 = –8
Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação.
Simplificação de Radicais
Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.
Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
- Fatorar o número em fatores primos.
- Escrever o número na forma de potência.
- Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência [propriedade da radiciação].
Exemplo:Calcule
1º passo: transformar o número 243 em fatores primos
2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz
3º passo: simplificar o radical
Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.
, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.
Assim, .
Veja também: Simplificação de radicais
Racionalização de Denominadores
A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.
1º caso – raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante .
2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente [3] foi obtido pela subtração do índice [5] do radical pelo expoente [2] do radicando.
3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador
Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois .
Operações com Radicais
Soma e Subtração
Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.
1º caso – Radicais semelhantes
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.
Veja como fazer:
Exemplos:
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação
Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.
Exemplo I:
Portanto, .
Exemplo II:
Portanto, .
3º caso – Radicais não são semelhantes
Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.
Exemplos:
[valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais]
Multiplicação e Divisão
1º caso – Radicais com mesmo índice
Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.
Exemplos:
2º caso – Radicais com índices diferentes
Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.
Exemplo I:
Portanto, .
Exemplo II:
Portanto, .
Saiba também sobre
- Raiz Quadrada
- Expressões Numéricas
- Exercícios de Potenciação
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
Calcule os radicais a seguir.
a]
b]
c]
d]
Resposta correta: a] 4; b] -3; c] 0 e d] 8.
a]
b]
c] a raiz do número zero é o próprio zero.
d]
Questão 2
Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação.
a]
b]
c]
d]
Resposta correta: a] 6; b] 4; c] 3/4 e d] 5√5.
a] Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades
Portanto,
b] Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade
Portanto,
c] Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade
Portanto,
d] Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade
Portanto,
Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais
Questão 3
[Enem/2010] Embora o Índice de Massa Corporal [IMC] seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal [RIP], de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 [adaptado].
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a
a] 0,4 cm/kg1/3
b] 2,5 cm/kg1/3
c] 8 cm/kg1/3
d] 20 cm/kg1/3
e] 40 cm/kg1/3
Resposta correta: e] 40 cm/kg1/3.
1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC.
2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.
3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal [RIP].
Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3.
[Enem/2013 - Adaptado] Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa [ou volume] do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 [adaptado].
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
a]
b]
c]
d]
e]
Resposta correta: d] .
A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma:
, sendo k a constante de proporcionalidade.
A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Através da propriedade reescrevemos a área S.
, conforme a alternativa d.