Home / Matematika SMA kelas 10
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan bentuk $ax + by \geq c$, $ax + by \leq c$, $ax + by > c$, dan $ax + by < c$. Pasangan x dan y atau titik [x, y] yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut disebut solusi atau penyelesaian. Himpunan titik [x, y] atau himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dapat digambarkan pada sistem koordinat Cartesius dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarkan persamaan garis dengan mengubah tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan. Kemudian cari titik potong sumbu x [y = 0] dan
titik potong sumbu y [x = 0], kemudian tarik garis melalui kedua titik tersebut.
2. Tetapkan satu titik sebagai acuan misalkan titik O[0, 0] dan lakukan uji titik O[0, 0]. Substitisikan titik O[0, 0] kedalam pertidaksamaan. Jika benar, maka arsiran harus kearah O[0, 0] karena O[0, 0] adalah salah satu penyelesaian. Jika salah, maka arah arsiran haruslah ke arah sebaliknya karena titik O[0, 0] bukan salah satu penyelesaian. Disamping uji titik, kita bisa menentukan daerah arsiran berdasarkan koefisien dari x atau koefisien dari y. Misalkan pertidaksamaannya adalah $ax + by > c$, maka persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan adalah $ax + by = c$.
$\bullet$ Jika a > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq\ atau\ >$, maka daerah arsirannya adalah sebelah kanan garis dan jika tanda pertidaksamaannya $\leq\ atau\ 0 dan tanda pertidaksamaannya $\geq\ atau\ >$, maka daerah arsirannya adalah sebelah atas garis, dan jika tanda pertidaksamaannya $\leq\ atau\ 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arsirannya adalah ke arah sebelah kiri garis.Cara 2.
b = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah sebelah bawah garis.Cara 3.
Dengan melakukan uji O[0, 0] $2.0 + 0 \leq 4$ $0 \leq 4$ → benar, sehingga arsirannya adalah ke arah O[0, 0], karena O[0, 0] adalah salah satu penyelesaiannya. Ketiga cara akan menghasilkan hasil yang sama. $\bullet$ $3x + 2y \leq 6$ → persamaan garisnya $3x + 2y = 6$ Titik potong sumbu x → y = 0, 3x + 2.0 = 6 3x = 6 x = 2 jadi titik potong sumbu x adalah [2, 0] Titik potong sumbu y → x = 0, 3.0 + 2y = 6 0 + 2y = 6 2y = 6 y = 3 jadi titik potong sumbu y adalah [0, 3]. Hubungkan titik [2, 0] dan [0, 3] untuk mendapatkan gambar persamaan garis $3x + 2y = 6$. Menentukan arah arsiran:Cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis.Cara 2.
b = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah bawah garis.Cara 3.
Dengan uji titik O[0, 0] $3.0 + 2.0 \leq 6$ $0 \leq 6$ → benar, sehingga arsirannya adalah ke arah O[0, 0]. Dengan ketiga cara, akan didapatkan hasil yang sama. $\bullet$ $x \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah kanan sumbu y. $\bullet$ $y \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah atas sumbu x.Contoh Soal 2. Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $3x + y \geq 6$; $x + 2y \leq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Pembahasan:
$\bullet$ $3x + y \geq 6$ → persamaan garisnya $3x + y = 6$. Titik potong dengan sumbu x dan y dapat ditentukan dengan cara seperti di atas. Titik potong sumbu x adalah [2, 0] Titik potong sumbu y adalah [0, 6] Hubungkan titik [2, 0] dan [0, 6] untuk mendapatkan gambar persamaan garis $3x + y \geq 6$. Menentukan arah arsiran:cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis.cara 2.
b = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah atas garis.cara 3.
Uji titik o[0, 0] $3x + y \geq 6$ $3.0 + 0 \geq 6$ $0 \geq 6$ → salah, arah arsiran bukanlah ke arah O[0, 0], karena titik O[0, 0] bukanlah salah satu penyelesaian. $\bullet$ $x + 2y \leq 8$ → persamaan garisnya $x + 2y = 8$ Titik potong sumbu x adalah [8, 0] Titik potong sumbu y adalah [0, 4] Hubungkan titik [8, 0] dan [0, 4] untuk mendapatkan gambar persamaan garis $x + 2y \leq 8$ Menentukan arah arsiran:cara 1.
a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.cara 2.
b = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah bawah garis.cara 3.
Uji titik O[0, 0] $x + 2y \leq 8$ $0 + 2.0 \leq 8$ $0 \leq 8$ → benar, arah arsiran adalah ke arah O[0, 0], karena O[0, 0] adalah salah satu penyelesaian. $\bullet$ $x \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah kanan sumbu y. $\bullet$ $y \geq 0$ → daerah arsirannya adalah sebelah atas sumbu x.Contoh Soal 3. Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $x + y \leq 5$; $2x + 3y \geq 6$, $x - 3y \leq 0$, dan $3x \geq y$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Pembahasan:
$\bullet$ $x + y < 5$ → persamaan garisnya $x + y = 5$. Titik potong sumbu x adalah [5, 0]. Titik potong sumbu y adalah [0, 5]. a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $≤$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis. $\bullet$ $2x + 3y \geq 6$ → persamaan garisnya $2x + 3y = 6$. Titik potong sumbu x adalah [3, 0]. Titik potong sumbu y adalah [0, 2]. a = 2 > 0 dan tanda pertidaksamaan adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah arah ke kanan garis. $\bullet$ $x - 3y \leq 0$ → persamaan garisnya $x - 3y = 0$. Garis melalui titik O[0, 0], jika y = 1 maka x = 3. Dengan demikian garis melalui titik [0, 0] dan [3, 1]. menentukan arah arsiran:cara 1.
$a = 1 > 0$ dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis.cara 2.
$b = -3 < 0$ dan tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$, maka arah arsiran adalah arah ke atas garis.cara 3.
Uji titik [1, 0] karena tidak mungkin uji [0, 0]. $x - 3y \leq 0$ $1 - 3.0 \leq 0$ $1 \leq 0$ → salah, arah arsiran bukan ke arah [1, 0], karena titik [1, 0] bukan salah satu penyelesaian. $\bullet$ $3x \geq y$ $3x - y \geq 0$ → persamaan garisnya $3x - y = 0$ Garis melalui titik O[0, 0], jika x = 1 maka y = 3. Dengan demikian garis melalui titik [0, 0] dan [1, 3]. Menentukan arah arsiran:cara 1.
a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah kanan garis.cara 2.
b = -1 < 0 dan tanda pertidaksamaannya adalah $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah bawah garis.cara 3.
Uji titik [1, 0] karena tidak mungkin uji [0, 0]. $3x - y \geq 0$ $3.1 - 0 \geq 0$ $3 \geq 0$ → benar, arah arsiran adalah ke arah [1, 0], karena [1, 0] adalah salah satu penyelesaian.Contoh Soal 4. Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $[x + y][x - y] \leq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Pembahasan:
$[x + y][x - y] \leq 0$ [negatif] artinya: A. $[x + y] \leq 0\ [negatif]\ dan\ [x - y] \geq 0\ [positif]$ atau B. $[x + y] \geq 0\ [positif]\ dan \ [x - y] \leq 0\ [negatif]$Ingat !!!
$-\ \times\ +\ =\ -$ $+\ \times\ -\ =\ -$ Kita selesaikan satu per satu A. $[x + y] \leq 0\ dan\ [x - y] \geq 0$ 1. $x + y \leq 0$ → persamaan garisnya $x + y = 0$ Garis melalui titik O[0, 0] dan jika x = 1 maka y = -1. Dengan demikian garis melalui titik [0, 0] dan [1, -1]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis. 2. $x - y \geq 0$ → persamaan garisnya $x - y = 0$ Garis melalui O[0, 0] dan jika x = 1 maka y = 1. Dengan demikian garis melalui titik O[0, 0] dan [1, 1]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis. Himpunan penyelesaian adalah $1 ∩ 2$ B. $[x + y] \geq 0\ dan \ [x - y] \leq 0$ 1. $x + y \geq 0$ → persamaan garisnya $x + y = 0$ Garis melalui titik O[0, 0] dan jika x = 1 maka y = -1. Dengan demikian garis melalui titik [0, 0] dan [1, -1]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kanan garis. 2. $x - y \leq 0$ → persamaan garisnya $x - y = 0$ Garis melalui O[0, 0] dan jika x = 1 maka y = 1. Dengan demikian garis melalui titik O[0, 0] dan [1, 1]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsirannya adalah ke arah kiri garis. Himpunan penyelesaian dari B adalah $1 ∩ 2$ Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian A dan himpunan penyelesaian B.Contoh Soal 5. Tentukanlah Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $[x - 3y + 6][3x + y-12] \geq 0$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$. Gambarkan pada sistem koordinat Cartesius.
Pembahasan:
$[x - 3y + 6][3x + y - 12] \geq 0$ [positif] artinya: A. $x - 3y + 6 \geq 0\ [+]\ dan\ 3x + y - 12 \geq 0\ [+]$ atau B. $x - 3y + 6 \leq 0\ [-]\ dan\ 3x + y-12 \leq 0\ [-]$Ingat!!!
$+\ \times\ +\ =\ +$ $-\ \times\ -\ =\ -$ Kita selesaikan satu per satu A. $x - 3y + 6 \geq 0\ dan\ 3x + y - 12 \geq 0$ 1. $x - 3y + 6 \geq 0$ → persamaan garisnya $x - 3y + 6 = 0$ Titik potong sumbu x = [-6, 0]. Titik potong sumbu y = [0, 2]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arah kanan garis. 2. $3x + y - 12 \geq 0$ → persamaan garis $3x + y - 12 = 0$ Titik potong sumbu x = [4, 0]. Titik potong sumbu y = [0, 12] Menentukan arah arsiran: a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\geq$, maka arah arsiran adalah ke arak kanan garis. Himpunan penyelesaian dari A adalah $1 ∩ 2$. B. $x - 3y + 6 \leq 0\ dan\ 3x + y-12 \leq 0$ 1. $x - 3y + 6 \leq 0$ → persamaan garis $x - 3y + 6 = 0$ Titik potong sumbu x = [-6, 0]. Titik potong sumbu y = [0, 2]. Menentukan arah arsiran: a = 1 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arah kiri garis. 2. $3x + y - 12 \leq 0$ → persamaan garis $3x + y - 12 = 0$ Titik potong sumbu x = [4, 0]. Titik potong sumbu y = [0, 12] Menentukan arah arsiran: a = 3 > 0 dan tanda pertidaksamaan $\leq$, maka arah arsiran adalah ke arak kiri garis. Himpunan penyelesaian dari B adalah $1 ∩ 2$ Himpunan penyelesaian adalah himpunan penyelesaian A gabung himpunan penyelesaian B iris $x \geq 0$ iris $y \geq 0$Contoh Soal 6. Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.
cara 1.
a = 3 > 0 dan arsiran di sebelah kiri garis, maka tanda pertidaksamaan adalah $\leq$.cara 2.
b = 5 > 0 dan arsiran di bawah garis, maka tanda pertidaksamaan adalah $\leq$.cara 3.
Uji titik O[0, 0] $3.0 + 5.0 \leq 15$ Berarti pertidaksamaannya adalah $3x + 5y \leq 15$ 4. Garis melalui titik [0, 8] dan [4, 0]. Persamaan garisnya adalah $8x + 4y = 32$, disederhanakan menjadi $2x + y = 8$ → [semua dibagi 4]. Menentukan tanda pertidaksamaan:cara 1.
a = 2 > 0 dan arsiran di sebelah kiri garis, maka tanda pertidaksamaannya adalah $\leq$. Silahkan adik-adik coba cara 2 dan 3. Berarti pertidaksamaannya adalah $2x + y \leq 8$. Dengan demikian sistem pertidaksamaannya adalah: $3x + 5y \leq 15$, $2x + y \leq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$.Contoh Soal 7.
Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.Pembahasan: Perhatikan bahwa ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir. 1. Garis yang tegak lurus sumbu $x$ dan melelui titik $[a, 0]$ persamaan garisnya adalah $x = a$. Dengan demikian, garis yang tegak lurus sumbu x dan melalui titik $[1, 0]$ persamaannya adalah $x = 1$. Karena arsiran berada di sebalah kanan garis, maka pertidaksamaannya adalah $x \geq 1$. 2. Persamaan garis yang tegak lurus sumbu x dan melalui titik [5, 0] adalah $x = 5$. Karena arsiran berada di sebelah kiri garis, maka pertidaksamaannya adalah $x \leq 5$. 3. Persamaan garis yang tegak lurus sumbu y dan melalui titik [0, b] adalah $y = b$. Dengan demikian persamaan garis yang tegak lurus sumbu y dan melalui titik [0, 1] adalah $y = 1$. Karena arsiran berada di atas garis, maka pertidaksamaannya adalah $y \geq 1$. 4. Persamaan garis yang melalui titik [0, 6] dan [8, 0] adalah $6x + 8y = 48$, disederhanakan menjadi $3x + 4y = 24$. Cara menentukan pertidaksamaan:
cara 1.
a = 3 > 0 dan arsiran berada di sebelah kiri garis, maka bentuk pertidaksamaannya adalah $\leq$. Berarti pertidaksamaannya adalah $3x + 4y \leq 24$. Silahkan adik-adik coba sendiri cara 2 dan 3. Dengan demikian sistem petidaksamaannya adalah: $x \geq 1$, $x \leq 5$, $3x + 4y \leq 24$, dan $y \geq 1$.Contoh soal 8.
Tentukanlah sistem pertidaksamaan yang sesuai untuk daerah yang diarsir pada gambar di bawah.Pembahasan: Perhatikan bahwa ada 2 daerah arsiran, yaitu arsiran bawah dan arsiran atas. $\bullet$ Arsiran bawah dibatasi oleh 3 garis, yaitu sumbu x atau garis y = 0, garis yang melalui titik [2, 0] dan [0, 6], dan garis yang melalui titik [6, 0] dan [0, 3]. $\bullet$ Arsiran atas dibatasi oleh 3 garis, yaitu sumbu y atau garis x = 0, garis yang melalui titik [2, 0] dan [0, 6], dan garis yang melalui titik [6, 0] dan [0, 3].
Arsiran bawah:
1. Karena arsiran di atas garis $y = 0$, maka pertidaksamaannya adalah $y \geq 0$. 2. Persamaan garis yang melalui titik $[2, 0]\ dan\ [0, 6]$ adalah $6x + 2y = 12$ disederhanakan menjadi $3x + y = 6$. a = 3 > 0 dan yang diarsir adalah sebelah kanan garis, maka pertidaksamaannya adalah $3x + y \geq 6$ atau $3x + y - 6 \geq 0$. 3. Persamaan garis yang melalui titik $[6, 0]\ dan\ [0, 3]$ adalah $3x + 6y = 18$ disederhanakan menjadi $x + 2y = 6$. a = 1 > 0 dan yang diarsir adalah sebelah kiri garis, maka pertidaksamaannya adalah $x + 2y \leq 6$ atau $x + 2y - 6 \leq 0$. Karena $3x + y - 6 \geq 0$ [positif] dan $x + 2y - 6 \leq 0$ [negatif], maka: $[3x + y - 6][x + 2y - 6] \leq 0$ [negatif].Arsiran Atas:
1. Karena arsiran disebelah kanan garis $x = 0$, maka pertidaksamaannya adalah adalah $x \geq 0$. 2. Karena arsiran berada di sebelah kiri garis $3x + y = 6$, maka pertidaksamaannya adalah $3x + y \leq 6$ atau $3x + y - 6 \leq 0$. 3. Karena arsiran berada di sebelah kanan garis $x + 2y = 6$, maka pertidaksamaannya adalah $x + 2y \geq 6$ atau $x + 2y - 6 \geq 0$. Karena $3x + y - 6 \leq 0$ [negatif] dan $x + 2y - 6 \geq 0$ [positif], maka: $[3x + y - 6][x + 2y - 6] \leq 0$ [negatif]. Dengan demikian sistem pertidaksamaannya adalah: $[3x + y - 6][x + 2y - 6] \leq 0$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$.Ingat-ingat!!!!
$[+]\ \times\ [-]\ =\ [-]$ $\leq atau $ → artinya adalah positif. Demikianlah cara untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian [DHP] sistem pertidaksamaan linear dua variabel, semoga bermanfaat.SHARE THIS POST
www.maretong.com