Eksponen sering kita kenal dengan sebutan pangkat. Definisi eksponen adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan [berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan tesebut juga] Heheh aga rumit mengartikan definisinya dalam kata-kata. Bentuk an [baca: a pangkat n] disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan. a disebut dengan bilangan pokok [basis] dan n disebut eksponennya. Jika n adalah bilangan bulat positif maka definisi dari eksponen
an = a x a x a x ….. x a [a sejumlah n faktor]
contoh : 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
dalam eksponen, bilangan pangkat tidak selamanya selalu bernilai bulat positif tetapi dapat juga bernilai nol, negatif, dan pecahan.
Eksponen [pangkat] nol
Jika a ≠ 0 maka a0 = 1 contoh
20 =1
30 =1
1283840 =1
x0 =1
Contoh 4: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial
Selesaikan 2[32t – 5] – 4 = 11 dan dekatilah hasilnya sampai tiga angka di belakang koma.
Pembahasan
Sehingga selesaian dari persamaan yang diberikan adalah t = 5/2 + 1/2 log3 7,5 ≈ 3, 417.
Contoh 5: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial dengan Aljabar dan dengan Grafik
Selesaikan persamaan e3 – 2x = 4 dengan aljabar dan dengan grafik.
Pembahasan Karena basis dari bentuk eksponensial yang diberikan adalah e, kita gunakan logaritma natural untuk menyelesaikan persamaan ini.
Jadi, dengan menggunakan aljabar kita mendapatkan selesaian dari persamaan yang diberikan adalah x = ½[3 – ln 4] ≈ 0,807. Selanjutnya kita coba selesaikan ini dengan menggunakan grafik. Kita gambar persamaan y = e3 – 2x dan y = 4 pada bidang koordinat yang sama, seperti yang ditunjukkan Gambar 1.
Selesaian dari persamaan yang diberikan terjadi pada perpotongan kedua grafik di atas. Jika kita memperbesar grafik pada titik potong tersebut, kita mendapatkan x ≈ 0,81.
Ketika persamaan yang diberikan memuat dua atau lebih bentuk eksponensial, kita masih dapat menggunakan prosedur yang serupa dengan Contoh 2, 3, 4, dan 5. Akan tetapi, aljabar yang kita gunakan sedikit lebih rumit.
Contoh 6: Menyelesaikan Persamaan Eksponen Berjenis Kuadrat
Selesaikan e2x – 3ex + 2 = 0 dengan menggunakan aljabar dan grafik.
Pembahasan Pertama kita selesaikan persamaan ini dengan menggunakan aljabar.
Persamaan ex = 2 mengakibatkan x = ln 2 ≈ 0,693 dan persamaan ex = 1 menghasilkan x = 0. Jadi, selesaian dari persamaan yang diberikan adalah x = ln 2 ≈ 0,693 dan x = 0. Selanjutnya kita gambar grafik persamaan y = e2x – 3ex + 2 sebagai berikut.
Selesaian dari persamaan yang diberikan terjadi pada titik potong antara grafik di atas dengan sumbu-x, yaitu x = 0 dan x ≈ 0,693.
Contoh 7: Persamaan yang Melibatkan Fungsi Eksponensial
Selesaikan persamaan 3xex + x²ex = 0.
Pembahasan Pertama kita faktorkan bentuk yang berada pada ruas kiri.
Jadi, selesaian dari persamaan yang diberikan adalah x = 0 dan x = –3.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika dan tag Bunga majemuk, Eksponen, Eksponensial, Faktorisasi, Fungsi eksponensial, Fungsi logaritma, Hukum Beer-Lambert, Logaritma, Persamaan eksponen, Persamaan eksponensial, Persamaan kuadrat, Persamaan Logaritma, Soal cerita. Tandai permalink.
Dari semua kemungkinan basis a untuk logaritma, basis yang mudah digunakan dalam kalkulus adalah bilangan e.
Logaritma Natural
Logaritma dengan basis e disebut sebagai logaritma natural dan dinotasikan dengan ln:
Fungsi logaritma natural y = ln x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial natural y = ex. Kedua grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 9.
Jika kita substitusi a = e dan menuliskan “ln” untuk “loge” dalam sifat-sifat logaritma yang kita bahas sebelumnya, kita mendapatkan sifat-sifat logaritma natural sebagai berikut.
Sifat-Sifat Logaritma Natural
- ln 1 = 0 karena e0 = 1.
- ln e = 1 karena e1 = e.
- ln ex = x karena ex = ex.
- eln x = x karena ln x merupakan pangkat dari e untuk menjadi x.
- Jika ln x = ln y, maka x = y.
Kalkulator dan komputer dilengkapi dengan perintah yang dapat digunakan untuk menentukan nilai logaritma natural secara langsung.
Contoh 10: Menentukan Nilai Fungsi Logaritma Natural
Gunakan sifat-sifat logaritma natural atau kalkulator untuk menentukan nilai fungsi f[x] = ln x pada masing-masing nilai x berikut ini.
Pembahasan
- Dengan menggunakan sifat yang ketiga, kita mendapatkan ln e8 = 8.
- Pertama, kita ubah nila x = 1/e² menjadi nilai yang setara yaitu x = e–2, sehingga kita mendapatkan ln [1/e²] = ln e–2 = –2.
- Dengan menggunakan kalkulator kita bisa menghitung ln 5 ≈ 1,609.
Contoh 11: Menentukan Domain Fungsi-Fungsi Logaritma
Tentukan domain masing-masing fungsi berikut.
- f[x] = ln[x – 3]
- g[x] = ln[3 – x]
- h[x] = ln[4 – x²]
Pembahasan
- Karena ln[x – 3] terdefinisi hanya ketika x – 3 > 0, maka domain f adalah [3, ∞]. Gambar 10[a] menunjukkan grafik f.
- Karena ln[3 – x] terdefinisi hanya ketika 3 – x > 0, maka domain g adalah [–∞, 3]. Gambar 10[b] menunjukkan grafik g.
- Karena ln[4 – x²] terdefinisi hanya ketika 4 – x² > 0. Sehingga x² < 4. Atau dengan kata lain |x| < 2. Oleh karena itu kita mendapatkan domain dari h adalah [–2, 2]. Grafik fungsi h ditunjukkan oleh Gambar 10[c].
Contoh 12: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Gambarlah grafik fungsi y = x ln[4 – x²], dan gunakan grafik tersebut untuk menemukan asimtot serta maksimum dan minimum lokal.
Pembahasan Seperti yang telah dibahas pada Contoh 11, domain fungsi ini adalah selang [–2, 2], sehingga kita gunakan domain ini untuk menggambar grafik fungsi y = x ln[4 – x²]. Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 11, dan dari gambar ini kita dapat melihat bahwa garis x = –2 dan x = 2 merupakan asimtot vertikal grafik fungsi tersebut.
Fungsi tersebut memiliki titik maksimum lokal yang terletak di sebelah kanan x = 1 dan titik minimum lokal yang terletak di sebelah kiri x = –1. Dengan melakukan pengamatan yang lebih teliti pada grafik di atas, kita menemukan bahwa nilai maksimum lokalnya sekitar 1,13 dan terjadi pada x ≈ 1.15. Dengan cara yang sama [karena fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil], kita dapat menemukan bahwa nilai minimum lokalnya adalah –1,13 dan terjadi ketika x ≈ –1,15.
Pos ini dipublikasikan di Aljabar, Kelas X, Materi SMA, Topik Matematika dan tag Fungsi eksponen, Fungsi invers, Fungsi logaritma, Grafik, Logaritma, Logaritma natural, Logaritma umum, Soal cerita. Tandai permalink.