Misalkan peta titik A[x, y] oleh transformasi T adalah A'[x', y']. Matriks \[\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\] kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$
Matriks Refleksi [Pencerminan]
Misalkan peta titik A[x, y] oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'[x', y']. Perhatikan gambar berikut :
Contoh 1
Peta titik A[2, 3] oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ...
Jawab :
Contoh 2
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah [4, -2 ]. Koordinat titik P adalah ...Jawab :
\[\begin{bmatrix} {\color{white} -}4\\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & {\color{white} -}0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} {\color{white} -}4\\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}x\\ -y \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas kita peroleh 4 = x → x = 4 -2 = -y → y = 2 Jadi, koordinat titik P adalah [4, 2]Contoh 3
Bayangan garis 2x + y - 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah ...Jawab :
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x\\ -y \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' = -x → x = -x' y' = -y → y = -y' Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis 2x + y - 3 = 0 2[-x'] + [-y'] - 3 = 0 -2x' - y' - 3 = 0 2x' + y' + 3 = 0 Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0Matriks Rotasi [Perputaran]
Misalkan peta titik A[x, y] oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'[x', y']. Perhatikan gambar berikut
x = r cos α
y = r sin α Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh x' = r cos [α + θ ]
x' = r [cos α cos θ - sin α sin θ]
x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' = x cos θ - y sin θ y' = r sin [α + θ ]
y' = r [sin α cos θ + cos α sin θ]
y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' = y cos θ + x sin θ
y' = x sin θ + y cos θ Diperoleh x' = x cos θ - y sin θ y' = x sin θ + y cos θ Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta \\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$ Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta\\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}$$
Contoh 4
Titik A[-4, 3] dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90° Ingat :sin [-θ] = - sin θ
cos [-θ] = cos θ \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,[-90^{\circ}] & -sin\,[-90^{\circ}]\\ sin\,[-90^{\circ}] & cos\,[-90^{\circ}] \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4\\ 3 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4\\ 3 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}\] Jadi, peta titik A adalah A'[3, 4]
Contoh 5
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...Jawab :
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\ sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x\\ -y \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas diperoleh x' = -x → x = -x' y' = -y → y = -y' Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1 -y' = 2[-x'] + 1 -y' = -2x' + 1 y' = 2x' - 1 Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1 Misalkan peta titik A[x, y] oleh rotasi dengan pusat P[a, b] sejauh θ adalah A'[x', y']. Perhatikan gambar berikut :
x - a = r cos α
y - b = r sin α Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh x' - a = r cos [α + θ]
x' - a = r [cos α cos θ - sin α sin θ]
x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' - a = [x - a] cos θ - [y - b] sin θ y' - b = r sin [α + θ]
y' - b = r [sin α cos θ + cos α sin θ]
y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' - b = [y - b] cos θ + [x - a] sin θ
y' - b = [x - a] sin θ + [y - b] cos θ Diperoleh x' - a = [x - a] cos θ - [y - b] sin θ y' - b = [x - a] sin θ + [y - b] cos θ Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix} x'-\mathrm{a}\\ y'-b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta \\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-\mathrm{a}\\ y-b \end{bmatrix}$$
Contoh 6
Persamaan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P[2, -3] sejauh 270° adalah ...
Jawab :
\[\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\ sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-2\\ y+3 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-2\\ y+3 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y+3\\ -x+2 \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' - 2 = y + 3 → y = x' - 5 y' + 3 = -x + 2 → x = -y' - 1Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1
x' - 5 = [-y' - 1]2 + 2[-y' - 1] + 1
x' - 5 = [y']2 + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1
x' - 5 = [y']2
[y']2 = x' - 5
Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x - 5
Matriks Dilatasi [Perkalian]
Misalkan peta titik A[x, y] oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'[x', y']. Perhatikan gambar berikut :
Contoh 7
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ...
Jawab :
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x\\ 2y \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' = 2x → x = \[\frac{1}{2}\]x' y' = 2y → y = \[\frac{1}{2}\]y'Substitusi x dan y ke persamaan x2 + y2 = 5
[\[\frac{1}{2}\]x']2 + [\[\frac{1}{2}\]y']2 = 5
\[\frac{1}{4}\][x']2 + \[\frac{1}{4}\][y']2 = 5 [kali 4]
[x']2 + [y']2 = 20
Jadi, bayangannya adalah x2 + y2 = 20
Contoh 8
Peta titik R[1, 3] oleh dilatasi dengan pusat [-2, 4] dan faktor skala -2 adalah ...Jawab :
Titik R : [x, y] = [1, 3] Pusat dilatasi : [a, b] = [-2, 4] Faktor skala : k = -2 Peta titik R : [x', y'] = ? Persamaan matriksnya \[\begin{bmatrix} x'-\mathrm{a}\\ y'-b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-\mathrm{a}\\ y-b \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1+2\\ 3-4 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6\\ 2 \end{bmatrix}\] Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' + 2 = -6 → x' = -8 y' - 4 = 2 → y' = 6 Jadi, peta titik R adalah R'[-8, 6] Jika titik A[1, 0] dan B[0, 1] kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} 1} \end{bmatrix}$$ Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran. Perhatikan gambar berikut :
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'[-1, 0] dan B'[0, -1]. Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix} {\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'[1, 0] dan B'[0, -1]. $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}$$Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'[0, 1] dan B'[-1, 0]. $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{Red} 0} \end{bmatrix}$$ Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan
Misalkan \[\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\] adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T1 dan \[\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\ g & h\end{bmatrix}\] adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T2 . Jika A'[x', y'] adalah hasil pemetaan titik A[x, y] oleh transformasi T1 dan dilanjutkan transformasi T2 , ditulis T2 o T1 , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix}
x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1} \right ]}}=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.
Contoh 9
Diketahui T1 adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan T2 adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A[2, 5] oleh transformasi :
a. T2 o T1
b. T1 o T2
Jawab :
M1 = \[\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\] dan M2 = \[\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\]a. T2 o T1 [T1 dilanjutkan T2]
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}\]Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T2 o T1 adalah A'[5, 2].
b. T1 o T2 [T2 dilanjutkan T1]
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}0 & -1\\ -1 & {\color{white} -}0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5\\ -2 \end{bmatrix}\]Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T1 o T2 adalah A'[-5, -2].
Contoh 10
Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \[\begin{bmatrix} {\color{white} -}1\; & 0\;\\ -2\; & 1\; \end{bmatrix}\] dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah ...Jawab :
\[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{white} -}1 & 0\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}4 & 0\\ -8 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\] Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan x dan y. \[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}4 & 0\\ -8 & 4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}x'\\ \frac{1}{2}x'+\frac{1}{4}y' \end{bmatrix}\] dari persamaan matriks diatas kita peroleh x = \[\frac{1}{4}\]x' y = \[\frac{1}{2}\]x' + \[\frac{1}{4}\]y' Substitusi x dan y ke garis x + y = 1\[\frac{1}{4}\]x' + \[\frac{1}{2}\]x' + \[\frac{1}{4}\]y' = 1 [kali 4]
x' + 2x' + y' = 4 3x' + y' = 4 Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4