Persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3x+4y=16 pada titik (4 1) dan berjari jari 5 adalah

Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:

1. Menentukan pusat dan jari—jarinya
2. Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
   [x-a]2 + [y – b]2  = r2 atau x2 + y2 = r2

Persamaan Jarak pada Lingkaran

1. Jarak titik [x1 , y1] ke titik [x2 , y2]
   

1. Jarak titik [x1 , y1] ke garis Ax + By + C = 0
   

Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
   Terdapat titik [x1 , y1] pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:
   
   Persamaannya menjadi:

1. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
   1. Tentukan persamaan garis kutub [polar] dari titik A[x1, y1] terhadap lingkaran.
   2. Melalui titik potong antara garis kutub
   3. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub [polar] dan

1. Diketahui Gradien Apabila diketahui titik [] dengan gradien m pada lingkaran.

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:

1. Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
4. Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d 3, menyinggung garis 3x + 4y = 12. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka 3a + 4b =….

   PEMBAHASAN :
   

   a > 3, b > 3 Jarak P[a,b] ke garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 12 [r = 12]
   
   ⇒
   ⇒60 = |3a + 4b – 12| ⇒[3a + 4b – 12 + 60].[3a + 4b -12 – 60] = 0 ⇒[3a + 4b + 48].[3a + 4b – 72] = 0

   ⇒ 3a + 4b = 72

   Jawaban E

   Soal No.2 [SBMPTN 2018]

   Jika lingkaran x2 + y2 + Ax + Ay + A = 0, dengan A > 0, mempunyai jari-jari 1/2 a, maka nilai A adalah…

   PEMBAHASAN : Dari lingkaran

   x2 + y2 − ax − ay + a = 0

   Didapat:

   A = −a

   
   B = −a
   C = a

   Menentukan a dari rumus jari-jari lingkaran:
   

   
   
   
   
   
   
                  x 4
   a2 = 2a2 − 4a
   a2 − 4a = 0 a[a − 4] = 0 a = 0 atau a = 4

   Jawaban D

   Soal No.3 [SBMPTN 2018]

   Diketahui dua lingkaran x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik [1,-1]. Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah….

   1. [1+
      ,
      – 1]
   2. [1-
      ,
      – 1]
   3. [1+
      ,
      +1]
   4. [1-
      ,
      – 2]
   5. [1+
      ,
      + 2]

   PEMBAHASAN :
   

   Lingkaran I

   L1 ≡ x2 + y2 = 2

   
   Titik pusatnya P1 [0,0]
   dengan r1 =
   
   l1 ≡ x1.x + y1.y = 2 ⇒ 1.x + [-1].y = 2 ⇒ x – y = 2……….persamaan 1

   m1 = – [1/-1] = 1

   
   l2 : m1.m2 = -1
   1.m2 = -1
   m2 = -1
   l2 ≡ y = m2.x ± r
   
   ⇒ y = -1. x ± 2
   
   ⇒ y = -x ± 2
   
   ⇒ x + y = 2
   ……….. persamaan 2 atau

   x + y = – 2

   
   Menentukan titik potong l1 dan l2 x – y = 2

   x + y = 2

   dari kedua persamaan di peroleh

   x = 1 +

   
   y =
   – 1
   [1 +
   ,
   – 1]
   Jawaban A

   Soal No.4 [Matematika IPA SPMB 2005]

   Jika a < 0 dan lingkaran x2 + y2 – ax + 2ay + 1 = 0 mempunyai jari-jari 2, maka koordinat pusat lingkaran tersebut adalah …

   3. [1,-2]
   4. [-1,2]
   5. [-1,-2]

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : D

   Soal No.5 [UN 2002]

   Titik [a,b] adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = …

   PEMBAHASAN : Diketahui: A = -2, B = 4

   Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

   Diperoleh: a = -½A = -½ [-2] = 1 b = -½B = -½ [4] = -2 Sehingga, 2a + b = 2[1] + [-2] = 0

   Jawaban : A

   Soal No.6 [Matematika IPA SNMPTN 2012]

   Lingkaran [x + 6]2 + [y + 1]2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …

   1. [-6,4]
   2. [6,4]
   3. [-1,4]
   4. [1,4]
   5. [5,4]

   PEMBAHASAN : Diketahui: y = 4 Untuk mencari x:

   [x + 6]2 + [y + 1]2 = 25

   
   [x + 6]2 + [4 + 1]2 = 25
   [x +6]2 + 25 = 25
   [x + 6]2 = 0 x = -6 Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik [-6,4]

   Jawaban : A

   Soal No.7 [UN 1998]

   Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A[5,-1]. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan …

   PEMBAHASAN : Diketahui titik A[5,-1] melalui persamaan:

   x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0

   x = 5, y = -1

   52 + [-1]2 – 4[5] + 2[-1]  + C = 0

   25 + 1 – 20 – 2 + C = 0 C = – 4

   Maka persamaannya menjadi  x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

   A = 4, B = 2, C = – 4
   
   Jawaban : B

   Soal No.8 [Saintek SBMPTN 2013]

   Persamaan lingkaran dengan pusat [-1,1] dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …

   1. x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
   2. x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0
   3. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0
   4. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
   5. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0

   PEMBAHASAN :
   Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12 Jarak titik [-1, 1] ke garis 3x – 4y + 12 = 0:

   Maka persamaan lingkaran dengan pusat [a,b] → P [-1, 1] dan jari-jari 1 [d = r]:

   [x – a]2 + [y –b]2 = r2

   
   [x – [–1]]2 + [y – 1]2 = 12
   [x+1]2 + [y –1]2 = 1
   x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
   Jawaban : A

   Soal No.9 [Matematika IPA UM UGM 2010]

   Syarat agar garis ɑx + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat [-1,3] dan jari-jari 1 adalah a = …

   PEMBAHASAN : Diketahui: P [-1,3], r = 1, A = a, B = 1

   
   Jawaban : B

   Soal No.10 [UN 2013]

   Persamaan lingkaran yang berpusat di titik  [-1,3] dan berdiameter √40 adalah …

   1. x2 + y2 – 6x – 2y = 0
   2. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
   3. x2 + y2 – 2x – 2y = 0
   4. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
   5. x2 + y2 – 2x – 6y = 0

   PEMBAHASAN : Diketahui: a = -1, b = 3, d = √40 r = ½ d = ½ √40 Sehingga persamaan lingkarannya :

   [x – a]2 + [y – b]2 = r2

   
   [x – [-1]]2 + [y – 3]2 = [½ √40]2   
   x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10
   x2 + y2 + 2x – 6y = 0
   Jawaban : E

   Soal No.11 [Matematika IPA SPMB 2002]

   Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan …

   1. [x – 2]2 + [y + 3]2 = 25
   2. [x – 2]2 + [y + 3]2 = 16
   3. [x + 2]2 + [y – 3]2 = 25
   4. [x + 2]2 + [y – 3]2 = 16
   5. [x – 4]2 + [y + 6]2 = 25

   PEMBAHASAN :
   Dari persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6 Koordinat pusat lingkaran P[- ½A ,-½ B] → P[2,-3] r = jarak pusat lingkaran ke garis 3x – 4y + 7 = 0

   Maka persamaan lingkaran yang pusatnya di titik [2,-3] dengan r = 5 adalah

   [x – a]2 + [y – b]2 = r2

   
   [x – 2]2 + [y – [- 3]]2  = 52
   [x – 2]2 + [y + 3]2 = 25
   Jawaban : A

   Soal No.12 [EBTANAS 1993]

   Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung  sumbu x. nilai A yang memenuhi adalah …

   1. -8 dan 8
   2. -6 dan 6
   3. -5 dan 5
   4. -4 dan 4
   5. -2 dan 2

   PEMBAHASAN : Persamaan lingkarannya:

   x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0

   Dengan pusat P[- ½A ,-½ B] → P[½A, 5] Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5
   
   Jawaban : D

   Soal No.13 [Matematika IPA SPMB 2003]

   Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik  [2,3] menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = …

   PEMBAHASAN : Diketahui: P[2,3], x + y – 1 = 0

   x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0

   
   
   
   Jawaban : C

   Soal No.14 [UMPTN 2001]

   Persamaan lingkaran yang berpusat di [1,4] dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …

   1. x2 + y2 + 3x – 4y – 2 = 0
   2. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
   3. x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
   4. x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0
   5. x2 + y2 + 2x + 8y – 16 = 0

   PEMBAHASAN : Diketahui:

   Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik  [x1 , y1] [1,4] ke garis 3x – 4y – 2 = 0

   
   
   Sehingga persamaan lingkarannya:

   [x – 1]2 + [y – 4]2 = 32

   
   x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
   Jawaban : D

   Soal No.15 [Matematika IPA SNMPTN 2009]

   Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 4 kali luas daerah lingkaran kecil.

   Jika jari-jari lingkaran besar adalah

   , maka keliling lingkaran kecil adalah …

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : B

   Soal No.16 [UN 2006]

   Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah …

   1. x2 + y2 – x + y – 1 = 0
   2. x2 + y2 – x – y – 1 = 0
   3. x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0
   4. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0
   5. x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0

   PEMBAHASAN : Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:

   Diketahui: Pusat lingkaran berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P[a,a – 2] r = BC = AB
   
   a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4 4a = 4 a = 1 Sehingga dengan P[a,a – 2] → P[1,-1] dan r = 1 persamaan lingkarannya:

   [x – 1]2 + [y + 1]2 = 12

   
   x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
   Jawaban :E

   Soal No.17 [Matematika IPA SPMB 2002]

   Lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 8x – 22y – 7 = 0 …

   1. tidak berpotongan
   2. bersinggungan dalam
   3. bersinggungan luar
   4. berpotongan di dua titik
   5. mempunyai jari-jari sama

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : A

   Soal No.18 [UN 2007]

   Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik [7,-5] adalah …

   1. 4x – 3y = 43
   2. 4x + 3y = 23
   3. 3x – 4y = 41
   4. 10x + 3y = 55
   5. 4x – 5y = 53

   PEMBAHASAN : Diketahui:

   x1 = 7, y1 = -5

   A = 6,  B = 4 Persamaan untuk garis singgung:

   x2 + y2 + Ax + By + C = 0

   
   x1x + y1y + A/2[x + x1] + B/2 [y + y1] + C = 0 7x – 5y – 3 [x + 7] + 2[y – 5] – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y = 43

   Jawaban : A

   Soal No.19 [Matematika IPA SNMPTN 2012]

   Lingkaran [x – 3]2 + [y – 4]2 = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = …

   PEMBAHASAN : Diketahui:

   [x – 3]2 + [y – 4]2 = 25

   P[3,4] r = 5 Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0

   [x – 3]2 + [y – 4]2 = 25

   
   [x – 3]2 + [0 – 4]2 = 25
   [x – 3]2 = 9
   [x – 3]2 = [±3]2 x = 6 , x = 0
   
   Jawaban : A

   Soal No.20 [UN 2012]

   Lingkaran  L = [x + 1]2 + [y – 3]2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …

   1. x = 2 dan x = -4
   2. x = 2 dan x = -2
   3. x = -2 dan x = 4
   4. x = -1 dan x = -4
   5. x = 8 dan x = -10

   PEMBAHASAN :

   1. Diketahui garis y = 3
      [x + 1]2 + [y – 3]2 = 9
      [x + 1]2 + [3-3]2 = 9
      [x + 1]2 = 9 x + 1 = ± 3 x = 2 dan x = -4

      Sehingga titik potong yang diperoleh [2,3] dan [-4,3]

   2. Garis singgung lingkaran di titik [2,3] [x + 1][2 + 1] + [y – 3][3 – 3] = 9 3x + 3 = 9

      x = 2

   3. Garis singgung lingkaran di titik [-4,3] [x + 1][-4 + 1] + [y – 3][3 – 3] = 9 -3x – 3 = 9

      x = -4

   Jawaban : A

   Soal No.21 [Matematika IPA SPMB 2001]

   Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah …

   1. y = ½ x+1
   2. y = ½ x-1
   3. y = ½ x+2
   4. y = ½ x-2
   5. y = ½ x

   PEMBAHASAN : Persamaan lingkaran

   x2 + y2 + 4x + 3 = 0

   
   [x+2]2 + y2 = -3 + 4
   [x+2]2 + y2 = 1 Diketahui: P [-2,0], r = 1 Menentukan gradien: x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½ Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui [-2,0] adalah … y – 0 = ½ [x+2] y = ½ x+1

   Jawaban : A

   Soal No.22 [UN 2007]

   Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 adalah …

   1. y = 10x – 10 ± 2 √101
   2. y = 10x – 11 ± 2 √101
   3. y = -10x + 10 ± 2 √101
   4. y = -10x ± 2 √101
   5. y = 10x ± 2 √101

   PEMBAHASAN :
   Persamaan garis singgung x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 Diketahui: Pusat [a,b] → P[1,-1], m = 10

   
   Jawaban : B

   Soal No.23 [Matematika IPA SPMB 2004]

   Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu x adalah …

   1. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
   2. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a2 = 0
   3. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a4 = 0
   4. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a4 = 0
   5. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = 0

   PEMBAHASAN :
   Diketahui: y = x2 menyinggung sumbu x
   Kita asumsikan pusat lingkaran di x = a → y = a2, sedangkan lingkaran menyinggung sumbu x → r = y = a2
   [x – a] + [y – b]2 = r2
   [x – a]2 + [y – a2]2 = [a2]2
   x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = a4
   x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
   Jawaban : A

   Soal No.24 [UMPTN 2001]

   Persamaan garis singgung pada lingkaran  2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 adalah …

   1. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
   2. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
   3. 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
   4. 12x + 5y = – 20  atau 5x + 12y = 58
   5. 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58

   PEMBAHASAN : Diketahui  persamaan Lingkaran:

   2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P [1, 2], A = -2, B =4

   
   Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:
   1. 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0
   2. 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0

   Jawaban : A

   Soal No.25 [Matematika IPA SPMB 2005]

   Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4 dan melalui titik B[4,6]. Persamaan L dapat ditulis sebagai …

   1. [x – 4]2 + [y + 6]2 = 144
   2. [x – 3]2 + [y – 4]2 = 5
   3. x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
   4. x2 + y2 – 24x + 44 = 0
   5. x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0

   PEMBAHASAN :
   

   
   Berdasarkan ilustrasi gambar: [OP]2 = a2 + b2 Persamaan [1]

   [2 + b]2 = a2 + b2

   
   b2 + 4b + 4 = a2 + b2
   4b = a2 – 4

   Persamaan [2]
   [x – a]2 + [y – b]2 = b2 melalui titik [x,y] ® [4,6]
   [4 – a]2 + [6 – b]2 = b2
   [4 – a]2 + 36 – 12b = 0 Substitusikan persamaan [1] ke [2]

   [4 – a]2 + 36 – 3[4b] = 0

   
   a2 – 8a + 16 + 36 – 3[a2 – 4] = 0
   a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0
   2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0 [a – 4] [a + 8] = 0 a = 4 → a = -8 Untuk a = 4 → b = 3

   4b = a2 – 4

   
   4b = 42 – 4 4b = 12 b = 3 Sehingga persamaan Lingkarannya adalah: P[a,b] → [4,3], sedangkan r = b = 3

   [x – 4]2 + [y – 3]2 = 32

   
   x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
   Jawaban : C

   Soal No.26 [UN 2004]

   Persamaan garis singgung lingkaran [x – 4]2 + [y + 3]2 = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah …

   1. y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
   2. y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
   3. y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
   4. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
   5. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : D

   Soal No.27 [Matematika IPA UM UGM 2013]

   Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y = 2 di [3,2] dan menyinggung garis y = -x√3 + 2  adalah …

   1. [3,√3]
   2. [3,3√3]
   3. [3,2 +√3]
   4. [3,2 + 2√3]
   5. [3,2 + 3√3]

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : E

   Soal No.28 [UN 2000]

   Garis singgung lingkaran x2  +  y2 = 25 di titik [-3 ,4] menyinggung lingkaran dengan pusat  [10,5] dan jari-jari r. Nilai r = …

   PEMBAHASAN :
   Diketahui persamaan garis singgung  x2 + y2  = 25 di titik [-3 ,4]
   x1 x  +  y1 y = r2 -3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0 Jarak titik P[10, 5] ke garis -3x + 4y – 25 = 0

   x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4

   
   
   
   Jawaban : C

   Soal No.29 [Matematika IPA SPMB 2005]

   Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva dan melalui titik asal O[0,0]. Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a maka persamaan garis singgung lingkaran melalui O adalah …

   1. y = -x
   2. y = – x√a
   3. y = – ax
   4. y = -2x√2
   5. y = -2ax

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : B

   Soal No.30 [UN 2003]

   Salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120° terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik [7,6] dan [1,-2] adalah …

   1. y = -x√3  +  4√3 + 12
   2. y = -x√3 – 4√3 + 8
   3. y = -x√3 + 4√3 – 4
   4. y = -x√3 – 4√3 – 8
   5. y  = -x√3  + 4√3 + 22

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban : A

   Soal No.31 [SAINTEK SNMPTN 2014]

   Misalkan diberikan titik A[1,0] dan B[0,1]. Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan …

   1. [n – m][x2 + y2 – 1] = 2[nx – my]
   2. [n – m][x2 + y2 – 1] = 2[nx + my]
   3. [n + m][x2 + y2 – 1] = [nx – my]
   4. [n + m][x2 + y2 – 1] = [mx – ny]
   5. [n – m][x2 + y2 – 1] = 2[nx – my]

   PEMBAHASAN : Diketahui: A[1,0] dan B[0,1]

   
   [[x – 1]2 + y2][x2 + [y – 1]2 ] = m : n
   m[x2 + [y – 1]2] = n [[x – 1]2 + y2]
   m[x2 + y2–2y + 1] = n[x2 – 2x +1+ y2]
   mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2
   2[nx – my] = [n – m][x2 + y2 + 1]
   Jawaban : E

   Soal No.32 [EBTANAS 2001]

   Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik [0,0] pada lingkaran [x – 3]2 + [y – 4]2 = 5 adalah …

   1. x – y = 0
   2. 11x + y = 0
   3. 2x + 11y = 0
   4. 11x – y = 0
   5. 11x – 2y = 0

   PEMBAHASAN : Pada titik [0,0], persamaan garis polar:

   [x – a]2 + [y – b]2 = r2 → [x – a][x1 – a] + [y – b][y1 – b] = r2

   Untuk mencari y:

   [x – 3]2 + [y – 4]2 = 5

   [x – 3][0 – 3]+[y – 4][0 – 4] = 5 [x – 3][ – 3]+[y – 4][ – 4] = 5 – 3x +9 – 4y +16 = 5

   3x+ 4y –20 = 0

   
   Jawaban : E

   Soal No.33

   Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran di bawah ini!

   1. x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
   2. 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
   3. x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0

   PEMBAHASAN :

   1. x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0 Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh:A = – 3 , B = 6 , C = – 1Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:
      Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:

   2. 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
      Bagi persamaan dengan 2, diperoleh sebagai berikut:x2 + y2 – 3x + 14y – 5  = 0Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh: A = – 3 , B = 14 , C = – 5

   3. x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0 Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh: A = 4a , B = 4b , C = – 4ab Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:
      Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:

   Soal No.34

   Tentukan persamaan lingkaran dengan data sebagai berikut:

   1. Berpusat di [3,-5] dan melalui titik [-2,7]
   2. Berpusat di [8,4] dan menyinggung sumbu y
   3. Berpusat di [-2,-3] dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
   4. Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik [6,0]

   PEMBAHASAN :

   1. Jari-jari lingkaran = r = jarak dari titik [a,b] = [3,-5] ke titik [x,y] = [-2,7]
      
      
      
      Persamaan untuk lingkaran yang berpusat di [a,b] dan jari-jari di r, sebagai berikut:

      [x – a]2 + [y – b]2 = r2

      Berpusat di [3,-5] dan r = 13

      [x – 3]2 + [y – [-5]]2 = 132

      
      x2 – 6x + 9 + y2 + 10 y + 25 = 169
      x2 + y2 – 6x + 10y – 135 = 0
   2. Titik pusat di [8,4] dan menyinggung sumbu y Diketahui: Lingkaran menyinggung sumbu y sehingga jari jari = absis = r = 8 sebagai titik pusat lingkarannya.
      Maka persamaan lingkaran sebagai berikut:

      [x – a]2 + [y – b]2 = r2

      
      [x – 8]2 + [y – 4]2 = 82
      x2 – 16x + 64 + y2 – 8y + 16 = 64
      x2 + y2 – 16x – 8y + 16 = 0
   3. Berpusat di [-2,-3] dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
      
      Rumus jari-jari yang menyinggung garis sebagai berikut:
      Maka persamaan yang terbentuk adalah:

      [x – a]2 + [y – b]2 = r2

      
      [x – [-2]]2 + [y – [-3]]2 = 52
      [x + 2]2 + [y + 3]2 = 52
      x2 + 4x + y2 + 6y + 9 = 25
      x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0
   4. Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik [6,0]
      
      y = x – 5 , lingkaran menyinggung sumbu x di titik [6,0] x = 6 → y = 6 – 5 = 1 Maka pusat lingkarannya diperoleh [6,1], jari-jari = r = ordinat titik pusat = 1 Persamaan lingkarannya sebagai berikut:

      [x – a]2 + [y – b]2 = r2

      
      [x – 6]2 + [y – 1]2 = 12
      x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 = 1
      x2 + y2 – 12x – 2y + 36

   Soal No.35

   Diketahui lingkaran dengan titik pusat di [3,0] dan memiliki diameter 4

   , maka persamaan lingkarannya adalah …
   1. x2 + y2 – 8x – 8y + 3 = 0
   2. x2 + y2 – 8x – 8 = 0
   3. x2 + y2 – 8x + 8y – 10 = 0
   4. x2 + y2 + 6x – 9 = 0
   5. x2 + y2 + x + 8 = 0

   PEMBAHASAN : Diketahui: Titik pusat [3,0]

   Diameter = d = 4

   
   Jari-jari = r = 2

   Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut:
   [x – a]2 + [y – b]2 = r2
   [x – 4]2 + [y – 0]2 = [2

   ]2
   x2 – 8x + y2 = 8
   x2 + y2 – 8x – 8 = 0
   Jawaban B

   Soal No.36

   Persamaan lingkaran dengan pusat P [5,2] dan menyinggung garis 6x + 8y + 4 = 0 adalah …

   1. x2 + y2 + x – 4y + 8 = 0
   2. x2 + y2 – 12x + 7y + 4 = 0
   3. x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
   4. x2 + 3y2 + 9x + 4y + 10 = 0
   5. 2x2 + y2 – 10x – 4y – 4 = 0

   PEMBAHASAN : Menentukan jari-jari lingkaran: Titik pusat P [5,2] Persamaan garis: 6x + 8y + 4 = 0

   Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut: [a,b] → [5,2] r = 5

   [x – a]2 + [y – b]2 = r2

   
   [x – 5]2 + [y – 2]2 = 52
   x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25
   x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
   Jawaban C

   Soal No.37

   Persamaan lingkaran dengan pusat [-2,3] dan menyinggung garis 5x – 12y + 7 = 0 adalah …

   1. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
   2. x2 + y2 + 2x + 6y + 2 = 0
   3. x2 + y2 + 4x – y – 4 = 0
   4. x2 + y2 + 5x – 6y + 4 = 0
   5. x2 + y2 + 4x – 6y + 6 = 0

   PEMBAHASAN : Titik pusat [-2,3] Persamaan garis 5x – 12y + 7 = 0

   Persamaan lingkarannya sebagai berikut:
   [x – a]2 + [y – b]2 = r2 a = -2 , b = 3 , r = 3

   [x – [-2]]2 + [y – 3]2 = 32

   
   x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9
   x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
   Jawaban A

   Soal No.38

   Perhatikan gambar berikut!

   Lingkaran memotong sumbu x dititik P dan Q. jika O adalah titik pusat lingkaran, maka cos ∠POQ adalah …

   PEMBAHASAN :
   

   Diketahui: Titik pusat [6,8] r = 10 memotong sumbu x → y = 0

   [x – a]2 + [y – b]2 = r2

   
   [x – 6]2 + [y – 8]2 = 102
   [x – 6]2 + [0 – 8]2 = 102
   x2  – 12x + 36 + 64 = 100
   [x – 6]2 = 100 – 64
   [x – 6]2 = 36 x – 6 = ± 6

   x1 dan x2 = 12

   P [0,0] dan Q [15,0] → PQ = 12
   
   Jawaban B

   Soal No.39

   Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 20 yang melalui titik [2, -5] adalah …

   1. 3x + 2y = 20
   2. 2x + 5y = 10
   3. 5x – 2y = 20
   4. 2x – 5y = 20
   5. 3x + 2y = 10

   PEMBAHASAN :
   Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20
   Titik singgung: [2, -5] → [x1 , y1]

   Maka persamaan garis singgung lingkarannya sebagai berikut:
   x . x1 + y . y1 = 20 2x – 5y = 20

   Jawaban D

   Soal No.40

   Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik [5,3] adalah …

   1. 3x + 2y – 10 = 0
   2. 3x – 5y + 9 = 0
   3. 5x + 2y + 9 = 0
   4. x – 3y – 10 = 0
   5. 3x – 2y – 9 = 0

   PEMBAHASAN : Persamaan garis singgung lingkaran:

   x2 + y2 + Ax + By + C  = 0

   
   x.x1 + y.y1 + ½ A [x + x1 ] + ½ B [y + y1 ] + C = 0

   Maka persamaannya menjadi:
   x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik [5,3] → [x1 , y1 ]
   x.x1 + y.y1 + ½ A [x + x1 ] + ½ B [y + y1 ] + C = 0 5x + 3y + ½ . – 4[x + 5] + ½ . – 10[y + 3] + 16 = 0 5x + 3y – 2[x + 5] – 5[y + 3] + 16 = 0 5x + 3y – 2x – 10 – 5y – 15 + 16 = 0 3x – 2y – 9 = 0

   Jawaban E

   Soal No.41

   Persamaan salah satu garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang melalui titik P[0,8] adalah …

   1. 14 x – 2y = 16
   2.  x + 2y = 16
   3. x – 2y = 12
   4. 4 x +
      y = 14
   5. – 24 x – 2y = 10

   PEMBAHASAN :
   Persamaan: x2 + y2 = 16 Titik yang dilalui: P[0,8]

   x.x1 + y.y1 = 16

   
   0.x1 + 8.y1 = 16
   y1 = 2

   Menentukan x1 dengan persamaan x1 2 + y1 2 = 16
   Substitusikan y1 = 2
   x1 2 + y1 2 = 16
   x1 2 + 2 = 16
   x1 2  = 14
   x1 =

   Maka persamaan garis singgung lingkaran, sebagai berikut:
   ±

   x + 2y = 16
   Jawaban B

   Soal No.42

   Lingkaran [x + 2]2 + [y – 3]2 = 61 menyinggung garis x = 3 di titik …

   1. [2,-3]
   2. [3,1]
   3. [-5,2]
   4. [3,9]
   5. [4,1]

   PEMBAHASAN :
   [x + 2]2 + [y – 3]2 = 61 → x = 3 Maka:

   [3 + 2]2 + [y – 3]2 = 61

   
   25 + [y – 3]2 = 61
   [y – 3]2 = 36 y – 3 = 6 y = 9 Maka titik singgungnya adalah [3,9]

   Jawaban D

   Soal No.43

   Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 tegak lurus dengan garis y + 2x – 3 = 0 adalah …

   PEMBAHASAN :
   x2 + y2 = 36 → r =

   = 6 y + 2x – 3 = 0 y = -2x + 3

   m1 = – 2

   
   m1 x m2 = -1
   -2 x m2 = -1
   m2 = ½
   
   
   Jawaban B

   Soal No.44

   Persamaan garis singgung kurva  yang sejajar dengan garis lurus 2x – y + 5 = 0 adalah …

   1. y = x ± 3
   2. y = 2x ± 2
   3. y = -2x ± 3
   4. y = 2x ± 3
   5. y = 2x ± 2

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban D

   Soal No.45

   Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0 yang tegak lurus garis y = 5 – 3x adalah …

   1. y – 3x = ± 3
      – 1
   2. 3y + x  = ± 2
      – 100
   3. 3y – x = ± 3
      – 11
   4. 2y – 3x = ± 3
   5. y – 5x  = ± 3
      – 15

   PEMBAHASAN :
   x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0

   Menentukan titik pusat dan jari-jari, sebagai berikut:
   

   Titik pusat = [2, -3]
   
   Jari-jari = r = 3

   Menentukan gradien garis y = 5 – 3x
   Berlaku untuk persamaan garis yang tegak lurus m1 x m2 = – 1
   y = 5 – 3x → m1 = – 3
   m1 x m2 = – 1
   -3 x m2 = -1
   m2 = 1/3

   Maka persamaan garis singgungnya, sebagai berikut: Titik pusat [2,-3] → [a,b] , r = 3 , m = 1/3

   
   3y + 9 = x –  2 ± 3
   
   3y – x  = ± 3
   – 11
   Jawaban C

   Soal No.46

   Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat yang berada pada kurva y = – x dan melalui titik asal O [0,0]. Sedangkan absis titik pusat lingkaran tersebut adalah p, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah …

   1. y = 2x
   2. y = x
   3. y = – 3x
   4. y = ½ x
   5. y = -x

   PEMBAHASAN :
   Titik pusat pada kurva y = – x , maka:

   • Absis titik pusat x = p
   • Ordinat titik pusat y = – x → y = – p

   Titik pusat [p, – p] → [x,y] Titik yang dilalui [0,0] → [a,b]

   Menentukan gradien garis, sebagai berikut:
   

   Gradien pada garis lurus dengan koordinat titik pusat [p,-p]
   
   m1 . m2 = – 1
   -1 . m2 = – 1
   m2 = 1

   Maka persamaan garis singgungnya yaitu: y = mx y = x

   Jawaban B

   Soal No.47

   Perhatikan gambar berikut ini!

   Berdasarkan gambar di atas CD adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan B. Maka panjang garis singgung CD adalah …

   PEMBAHASAN :
   

   Panjang OD = Panjang AB = 10 m Pada ΔOCD siku-siku di C, maka:
   
   Jawaban A

   Soal No.48

   Terdapat dua buah lingkaran dengan A pusat lingkaran yang berjari-jari 3 cm, B pusat lingkaran yang berjari-jari 6 cm, dan AB = 15 cm. Jika DE adalah garis singgung persekutuan yang memotong AB serta D dan E  adalah titik-titik singgungnya. Maka Panjang DE = …

   PEMBAHASAN :
   

   
   
   
   Jawaban C

   Soal No.49

   Perhatikan gambar berikut ini!

   Pada gambar terdapat dua setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan. Lingkaran-lingkaran tersebut terdapat di dalam  sebuah persegi panjang. Maka panjang jari-jarinya adalah …

   PEMBAHASAN :
   

   
   Jawaban A

   Soal No.50

   Tentukan nilai A agar lingkaran x2 + y2 – Ax – 12y + 6 = 0 dan garis y = 0.

   1. Bersinggungan
   2. Berpotongan di dua titik

   PEMBAHASAN :
   x2 + y2 + Ax + By + C = 0
   x2 + y2 – 8x – By + 6 = 0 y = 0

   x2 + 02 – Ax – 12.0 + 6 = 0

   
   x2 – Ax + 6 = 0
   1. Bersinggungan D = 0

      D = b2 – 4ac

      
      x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6

      [-A]2 – 4. 1 . 6 = 0

      
      A2 – 24 = 0
      A2 = 24
      A = ± 2
      
      Nilai A yang memenuhi 2
      atau – 2
   2. Berpotongan di dua titik D > 0

      D = b2 – 4ac

      
      x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6

      [-A]2 – 4. 1 . 6 > 0

      
      A2 – 24 > 0
      A2 > 24
      A > ± 2
      
      

   Soal No.51

   Tentukan batasan a agar garis y = ax + 4 dan lingkaran x2 + y2 = 2

   1. Bersinggungan
   2. Berpotongan
   3. Tidak berpotongan

   PEMBAHASAN : Persamaan 1: y = ax + 4

   Persamaan 2: x2 + y2 = 2

   Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut:

   x2 + [ax + 4]2 = 2

   
   x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2
   [1 + a2]x2 + 8ax + 14 = 0
   1. Bersinggungan
      [1 + a2]x2 + 8ax + 14 = 0
      a = 1 + a2 b = 8a c = 14 D = 0

      D = b2 – 4ac

      
      [8a]2 – 4. [1 + a2] .[14] = 0
      64a2 – 56 –  56a2 = 0
      8a2 – 56 = 0
      8a2 = 56
      a2 = 7
      Maka nilai a yang memenuhi: a = –
      atau a =
   2. Berpotongan D ≥ 0

      D = b2 – 4ac

      
      [8a]2 – 4. [1 + a2] .[14] ≥ 0
      64a2 – 56 –  56a2 ≥ 0
      8a2 – 56 ≥ 0
      8a2 ≥ 56
      a2 ≥ 7
      a ≥ ±
      
      
      
      Maka nilai a yang memenuhi: a ≤ –
      atau a ≥ 
   3. Tidak berpotongan D < 0

      D = b2 – 4ac

      
      [8a]2 – 4. [1 + a2] .[14] < 0
      64a2 – 56 –  56a2 < 0
      8a2 – 56 < 0
      8a2 < 56
      a2 < 7
      a < ±
      
      
      
      Maka nilai yang memenuhi: –
      < a <

   Soal No.52

   Tentukan hubungan kedua lingkaran di bawah ini:

   1. L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0
   2. L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0
   3. L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
   4. L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0

   PEMBAHASAN :

   1. L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0
      L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0 Titik pusat lingkaran:
      Jari jari lingkaran:
      Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
      Maka hubungan kedua lingkaran tersebut adalah:
      
      L1 dan L2 saling lepas
      
   2. L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0
      L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0 Titik pusat lingkaran:
      Jari jari lingkaran:
      Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
      
      Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
      
   3. L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0
      L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0 Titik pusat lingkaran:
      Jari jari lingkaran:
      Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
      
      Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
      
   4. L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0
      L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0 Titik pusat lingkaran:
      Jari jari lingkaran:
      Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:
      
      Maka hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2  bersinggungan di luar
      

   Video yang berhubungan