Sebuah kerucut diletakkan terbalik dan didalamnya terdapat sebuah bola

Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik diisi air. Jari-jari alas wadah 12 cm dan tinggi wadah 18 cm. Laju pertambahan tinggi air 27/100π cm / detik. Debit air yang diisikan ke wadah pada saat tinggi air 5 cm adalah...

A.  2 cm³/detik

B. 2,5 cm³/detik

C. 3 cm³/detik

D. 3,5 cm³/detik

E. 4 cm³/detik

Pembahasan :

Diketahui :

Jari - jari wadah = 12 cm

Tinggi wadah = 18 cm

Laju pertambahan tinggi air = 27/100π cm/detik

Ditanyakan : Debit air yang diisikan ke wadah pada saat tinggi air 5 cm adalah...?

Jawab :

* Kita ingat rumus debit , yaitu :

   Debit air = laju air yang diisikan ke wadah

                  = dV / dt

  Maka :

   Laju pertambahan tinggi air = 

 

Misalkan :

Jari-jari permukaan air =

Timggi air =

* Kita ilustrasikan soal kedalam gambar

* Karena segitiga BCD dan segitiga BFE sebangun, sehingga berlaku :

    

* Kita subsituskan nilai      ke rumus volume kerucut. Maka :

     

* Kita turunkan terhadap   

   , maka :

 

         

*Kita cari persamaan debit air, maka :

        

* Kita subsitusi

 cm, maka diperoleh :

Jadi, debit air pada saat tinggi air 5 cm adalah 3  cm³/detik. Jawabannya [ C ].

Itulah pembahasan contoh soal UN SMA tahun 2018 mengenai bangun ruang kerucut. Semoga bermanfaat dan mudah untuk dipahami. Tetap semangat dan jangan pernah berhenti bergerak. Jadilah seperti angin, tenang dan memberikan manfaat. Hatur nuhun dulurrr..

By Mas Fendy 09 Jul, 2012

Berikut ini saya berikan postingan soal SNMPTN 2011 tentang kerucut terbalik. Semoga postingan ini bisa bermanfaat untuk kita sekalian.  Soal ini juga pernah muncul di ujian nasional dan olimpiade matematika tingkat SMK. Soal ini juga membutuhkan keahlian tentang aturan turunan.

Bola dengan diameter $8$ cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah$\ldots$

Perhatikan gambar berikut :

Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah $AB$. Kita misalkan $AD=x$ sehingga $AB=t=x+4$. Misalkan juga $BC=r$. Sekarang kita cari panjang $AE$. $$\begin{eqnarray*}AE&=&\sqrt{AD^2-DE^2}\\AE&=&\sqrt{x^2-16}\end{eqnarray*}$$ Sekarang kita perhatikan bahwa $\bigtriangleup ADE$ sebangun dengan $\bigtriangleup ABC$. Sehingga kita mendapatkan hubungan $$\begin{eqnarray*}\frac{AE}{DE}&=&\frac{AB}{BC}\\\frac{\sqrt{x^2-16}}{4}&=&\frac{x+4}{BC}\\BC&=&\frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\\r&=&\frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\end{eqnarray*}$$ Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah $V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot t$. Sehingga kita dapatkan 
\begin{eqnarray*}V&=&\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2 \cdot t\\&=&\frac{1}{3}\cdot\pi\left[\frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\right]^2\cdot[x+4]\\&=&\frac{1}{3}\cdot\pi \left[\frac{[4x+16]^2[x+4]}{[x^2-16]}\right]\\&=&\frac{1}{3}\cdot \pi\left[\frac{4^2[x+4]^2[x+4]}{[x-4][x+4]}\right]\\V&=&\frac{16}{3}\pi\left[\frac{[x+4]^2}{[x-4]}\right]\end{eqnarray*}Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu: \begin{eqnarray*}V&=& \frac{16}{3}\pi \left[\frac{[x+4]^2}{[x-4]}\right]\\ V'&=& \frac{16}{3}\pi \left[\frac{2[x+4][x-4]-[x+4]^2}{[x-4]^2}\right]\\ &=&\frac{16}{3}\pi \left[\frac{2x^2-32-[x^2+8x+16]}{[x-4]^2}\right]\\ &=&\frac{16}{3}\pi \left[\frac{x^2-8x-48}{[x-4]^2}\right]\end{eqnarray*} Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah $V'=0$ sehingga $$\begin{eqnarray*}\dfrac{16}{3}\pi\left[\dfrac{x^2-8x-48}{[x-4]^2}\right]&=&0\\x^2-8x-48&=&0\\[x-12][x+4]&=&0\\x=12 \,\,\, \text{atau}\,\,\,x&=&-4\end{eqnarray*}$$

Untuk $x=-4 \Rightarrow AB=t=x+4 \Rightarrow AB=0$ [Tidak Mungkin tingginya $0$]. Untuk $x=12 \Rightarrow AB=t=12+4\Rightarrow AB=16$. atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah $t=16$ cm

 Selesai.....

Hmmm……. Sekarang saya akan membahasa soal SNMPTN bidang matematika IPA tahun 2011. Soalnya yah, cukup lumayan lah. Cuma ada satu soal yang menurut saya paling unik dan baru dapat soal model begini. hmmm….. langsung aja kita lihat soalnya.

Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah…..

a.  12

b.  

c. 16

d.

e.  18

Jawaban : [c]

Penyelesaian :

Perhatikan gambar berikut :

Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah . Kita misalkan sehingga . Misalkan juga . Sekarang kita cari panjang .

Sekarang kita perhatikan bahwa sebangun dengan . Sehingga kita mendapatkan hubungan

Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah . Sehingga kita dapatkan

Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu:

Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah sehingga

atau

Untuk [Tidak Mungkin tingginya ]

Untuk . atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah cm

Selengkapnya silahkan download di snmptn 2011 Matematika

Artikel Terkait