Tentukan nilai maksimum fungsi z 5x 2y dari model matematika 3x 2y 36.000 x + 2y 20.000, x 0 y 0

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

E. Nilai Optimum dari Sistem Pertidaksamaan Linier

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat: ¾ menentukan titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linier, dan ¾ menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif.

Nilai Optimum Fungsi Sasaran dari Daerah Sistem Pertidaksamaan Linier

Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam bentuk model matematika [persamaan atau pertidaksamaan] yang merupakan penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti.

Pada pembahasan dalam buku ini hanya menyajikan model matematika sederhana yang hanya melibatkan dua variabel dan penentuan nilai optimum dengan menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkah yang ditempuh untuk mendapatkan nilai optimum adalah sebagai berikut.

a. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika [dalam bentuk sistem pertidaksamaan].

b. Tentukan Himpunan Penyelesaian [ daerah feasible ].

c. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah feasible tersebut

d. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah feasible.

e. Dari hasil pada langkah d, nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.

Contoh 14

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari Z = 5x + 3y , dengan syarat: x + 2y ≤ 8; x + y ≤ 6; x ≥ 0;y ≥ 0

Jawab: Dengan cara seperti contoh sebelumnya, sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai

Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi himpunan penyelesaian seperti tampak pada gambar 4-13 yang merupakan daerah

tanpa arsiran. Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan

berupa segi empat dengan titik pojok O, A, B dan C. Titik B dapat dicari dengan cara eliminasi/ substitusi antara garis x + 2y = 8 dan x + y = 6, yaitu

x + 2y = 8

y = 2 x+ 2= 6

x = 4, sehingga titik B[4, 2]

Gambar 4- 13 Daerah HP dari x + 2y ≤ 8;

x + y ≤ 6; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Kemudian diuji titik-titik pojoknya yang ditunjukkan pada tabel berikut

Jadi, nilai maksimum adalah 30, terjadi untuk x = 6 dan y = 0. Sedangkan nilai minimum sama dengan 0 untuk x = 0 dan y = 0.

Contoh 15

Tentukan nilai maksimum dan minimum Z = 2x + 3y dari daerah feasible yang ditunjukkan pada gambar 4-14

Jawab: Dengan menggunakan uji titik pojok nilai maksimum dan minimum dicari seperti ditunjukkan pada tabel di bawah ini

Titik x

2x + 3y

Gambar 4- 14 Daerah feasible sistem pertidaksamaan

[5, 0] 5 0 10 Dari tabel terlihat bahwa nilai [7, 3]

7 3 23 maksimum adalah 23 terjadi pada titik [3, 5]

3 5 21 [7, 3] dan nilai minimum 4 terjadi pada [0, 3]

0 3 9 titik [2, 0].

Contoh 16

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg, sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.440 kg. Apabila harga tiket untuk kelas utama dan ekonomi masing-masing

BAB I V Program Linier

adalah Rp1.000.000,00 dan Rp500.000,00 per orang, tentukan banyaknya penumpang setiap kelas agar hasil penjualan tiket maksimum.

Jawab: Model matematika disusun dengan memisalkan banyaknya penumpang kelas utama = x orang banyaknya penumpang kelas ekonomi = y orang

Penumpang Bagasi Harga tiket x 60 kg 1.000.000,00 y 20 kg 500.000,00

Maksimumkan Z = 1.000.000x + 500.000y

Syarat daya tampung : x + y ≤ 48 Syarat kapasitas bagasi: 60x + 20y ≤ 1440

≥ 0;y ≥ x 0

Gambar 4- 15 Daerah HP dari x + y ≤ 48;

2x + y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Dari model matematika di dapat daerah feasible OABC dengan titik B dicari seperti berikut

60x + 20y = 1440 x 1 60x + 20y = 1440

x + y = 48 x 20 20 x + 20 y = 960

40x = 480 x = 12

12 + y = 48

y = 36 koordinat titik B[12, 36]

Uji titik-titik pojok, yaitu titik-titik O, A, B, dan C. Titik

1.000.000x + 500.000y

Nilai maksimum Z adalah Rp30.000.000,00 dipenuhi oleh x = 12 dan y = 36, atau dengan kata lain penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpang kelas utama sebanyak 12 orang dan kelas ekonomi 36 orang.

Contoh 17

Kebutuhan gizi minimum tiap pasien suatu rumah sakit per harinya adalah 150 unit kalori dan 130 unit protein. Apabila dalam tiap kilogram daging mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap ikan basah mengandung 300 unit kalori dan 400 protein dengan harga masing-masing kilogramnya adalah Rp40.000,00 dan Rp20.000,00. Tentukan biaya minimum untuk kebutuhan 100 pasien tiap harinya pada rumah sakit tersebut.

Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

Jawab: Model matematika disusun dengan memisalkan Banyaknya daging sapi perharinya

= x kg

Banyaknya ikan basah perharinya

= y kg

Banyaknya Kalori

Protein

Harga

x 500/ kg 200/ kg 40.000 y 300/ kg 400/ kg 20.000

150/ orang 130/ orang

Meminimumkan biaya, Z = 40.000x + 20.000y Syarat kalori 100 orang, 500x + 300y ≥ 15.000 ⇒ 5x + 3y ≥ 150 Syarat protein 10 orang, 200x + 400y ≥ 13.000 ⇒ 2x + 4y ≥ 130

≥ 0; y ≥ x 0

Dari model matematika didapat daerah feasible ABC [daerah tak terarsir] pada gambar 4-16 dengan titik B dicari seperti berikut

5x + 3y = 150 x 2 10x + 6y = 300

2 x + 4 y = 130 x 5 10 x + 20 y = 650

- 14y = − 350 y = 25

2x + 4[25] = 130

x = 15 koordinat titik B[15, 25]

Uji titik-titik pojok, yaitu titik-titik A, B dan C. Titik

30.000x + 20.000y

Gambar 4- 16

Jadi, biaya minimum tiap hari untuk 100 pasien Daerah HP dari 5x + 3y ≤ 150;

adalah Rp950.000,00 yaitu untuk 15 kg daging dan 25 kg ikan perharinya.

x + 2y ≤ 65 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Contoh 18

Suatu perusahaan mengeluarkan sejenis barang yang diperoduksi dalam tiga ukuran, yaitu ukuran besar, ukuran sedang dan ukuran kecil. Ketiga ukuran itu dihasilkan dengan menggunakan mesin I dan mesin I I . Mesin I setiap hari menghasilkan 1 ton ukuran besar, 3 ton ukuran sedang dan 5 ton ukuran kecil. Mesin I I setiap hari menghasilkan masing-masing ukuran sebanyak 2 ton. Perusahaan itu bermaksud memperoduksi paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang dan 200 ton ukuran kecil. Bila biaya operasi mesin I adalah Rp500.000,00 tiap hari dan mesin I I adalah Rp400.000,00 tiap hari. Dalam berapa hari masing-masing mesin bekerja untuk pengeluaran biaya sekecil-kecilnya dan berapa biaya tersebut.

Jawab: Model matematika disusun dengan memisalkan: Jumlah hari kerja mesin I adalah x Jumlah hari kerja mesin I I adalah y

BAB I V Program Linier

Dengan menggunakan tabel diperoleh sebagai berikut

Persediaan Ukuran besar

Mesin I [x]

Mesin I I [y]

80 ton Ukuran sedang

1 ton

2 ton

160 ton Ukuran kecil

Fungsi objektifnya Z = 500.000x + 400.000y Syarat ukuran besar x + 2y > 80 Syarat ukuran sedang 3x + 2y > 160 Syarat ukuran kecil 5x + 2y > 200

Dengan cara seperti contoh sebelumnya, sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai himpunan penyelesaian seperti tampak pada gambar 4-17 yang merupakan daerah tanpa arsiran

Titik A ditentukan dengan cara eliminasi atau substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan 5x + 2y = 200 diperoleh x = 20 dan y = 50. Titik B ditentukan dengan cara eliminasi atau substitusi persamaan garis 3x + 2y = 160 dan x + 2y = 80 diperoleh x = 40 dan y = 20 Dari daerah penyelesaian di samping, maka dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian tersebut tidak memiliki nilai maksimum.

Gambar 4- 17 Daerah HP dari x + 2y ≥ 80;

≥ 160; 5x + 2y > 200; 3x + 2y

≥ 0;y ≥ 0 x

Uji titik pojok, yaitu koordinat [0, 100], A[20, 50], B[40, 20], dan [80, 0], yaitu: Titik

xy

500.000x + 400.000y

Jadi, untuk biaya minimum, mesin [0, 100] 0 100

I bekerja 40 hari dan mesin I I A[20, 50]

20 hari dengan biaya minimum B[40, 20]

sebesar Rp28.000.000,00 [80, 0]

27 Desember 2021 04:30

Pertanyaan

Mau dijawab kurang dari 3 menit? Coba roboguru plus!

Mahasiswa/Alumni Universitas Jambi

29 Desember 2021 02:30

Tentukan turunan pertama dari f [x] = 2x³-3x² + 6x-2=​

Segitiga BCD siku-siku di B, mempunyai panjang BC = 24 cm dan BD = 8 cm. Panjang CD adalah​

. Sudut A dan sudut B saling berpenyiku. Jika besar sudut A adalah 32,5 derajad, maka besar sudut B = .... derajad.​

harga satu lusin pensil 24 ribu maka berapakah harga 15 Pensil tolong jawab ya.makasih​

SPLDV Himpunan penyelasaian dari system persamaan x + 2y = -25 dan x – 2y = 7 adalah

tolongggg dibantu kakk​

Kuis Mudah. Akar-akar persamaan kuadrat adalah 5c dan 6d. Jika persamaan kuadratnya x²-11x+30, tentukan c dan d. [c dan d sama] A. 0 B. 1 C. 2 D. 3E. … 4 ​

Luas alas sebuah limas adalah 100 cm2. Sedangkan volum limas tersebut adalah 500 cm3. Maka tinggi limas tersebut adalahA. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm … plis kaka' yng bisa jawab y​

Berikut ini yang bukan merupakan unsur-unsur limas adalah ….*a. Diagonal bidang b. Diagonal ruang c. Bidang diagonald. Tinggi limas ​

Diketahui dua buah lingkaran saling bersinggungan diluar dengan jari-jari 12 cm dan 3cm panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah a. 11cm b. 1 … 2cm c. 13cm d. 14​