13 Quantos números de cinco algarismos distin tos formamos com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 97

simples. A6, 3 = 6 ? 5 ? 4 = 120 ou A6, 3 = _ = ? ? ? ( ) 6! 6 3 ! 6 5 4 3! 3! = 120 Portanto, podemos formar 120 números. 5. Quantos números de cinco algarismos distin- tos podem ser formados, usando-se os alga- rismos 1, 3, 5, 7 e 8? Resolução Queremos formar números (agrupamentos) de cinco algarismos com os cinco algarismos dados (1, 3, 5, 7 e 8). Dessa maneira, qualquer um dos cinco algarismos dados pode ocupar a ordem das dezenas de milhar, restando, então, quatro algarismos para a unidade de milhar, três para a centena, dois para a dezena e, finalmente, um para a unidade. 5 algarismos A5, 5 = P5 P5 = 5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120 Portanto, podem ser formados 120 números. 6. Considere a palavra LIVRO. a) Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra? b) Quantos deles começam com L e terminam com O? c) Quantos contêm as letras RO juntas e nessa ordem? d) Quantos anagramas começam com I ou terminam com V? Resolução a) Queremos formar anagramas (agrupamen- tos) com um total de cinco letras distintas. Nesse caso, os agrupamentos diferem entre si pela ordem das letras. 5 letras — — — — — P5 = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120 Portanto, são formados 120 anagramas. b) Os anagramas que iniciam com a letra L e têm a letra O no final são do tipo: 3 letras L — — — O Fixadas essas duas letras, serão então: P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6 Portanto, são formados 6 anagramas. c) Se as letras RO ficarem juntas, nessa ordem, temos: 1 só letra 3 letras — —R O — — — As letras RO serão contadas como uma só letra e, com as três letras restantes, teremos um total de quatro letras para serem agru- padas 4 a 4. Assim, obtemos: P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24 Portanto, são formados 24 anagramas. d) Anagramas que começam com I: 4 letras I — — — — P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24 Anagramas que terminam com V: 4 letras — — — — V P4 = 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 24 Pelo princípio aditivo, temos, então, no má- ximo 48 possibilidades, pois: P4 + P4 = 24 + 24 = 48 95 D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 95D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 95 16/09/20 18:1216/09/20 18:12 G U I A P N L D Agora, precisamos analisar se existem re- petições nessas possibilidades calculadas. • Apresente dois casos para exemplificar que essas repetições existem. • Como são essas repetições? PENSE E RESPONDA Essas repetições são os anagramas que co- meçam com I e terminam com V: 3 letras I — — — V P3 = 3 ? 2 ? 1 = 6 Portanto, temos de excluir essa intersecção. Assim, temos: 48 _ 6 = 42 Portanto, são 42 anagramas com essa configuração. 7. Quantas comissões de três participantes podem ser formadas com cinco pessoas? Resolução Para classificar um agrupamento como arran- jo ou combinação, procedemos da seguinte maneira: 1o) Formamos o agrupamento sugerido pelo problema; 2o) Mudamos a ordem de seus elementos; 3o) Se com essa mudança de ordem obtivermos agrupamentos que são consi- derados iguais, esses agrupamentos serão combinações. As comissões devem ter três participantes, isto é, nem todos os participantes farão parte da comissão. Vamos chamar de A, B, C, D e E as cinco pes- soas que podem ser indicadas para a comis- são. Se tivermos, por exemplo, uma comissão formada por A, B, C, mesmo se invertermos a ordem para B, A, C ou C, B, A, continuaremos com a mesma comissão. Assim, devemos re- tirar as repetições, pois cada comissão gera 3! sequências de três participantes. O problema, portanto, é de combinação. Temos, pelo princípio multiplicativo: 5 4 3 3 2 1 5 2 10 ? ? ? ? = ? = . Resolvendo a questão com a fórmula da com- binação, temos: Cn, p = ! ,A p n p h C5, 3 = 3! 5, 3A C5, 3 = 60 6 = 10 ou Cn, p = ! ! ! n p n p_( ) h C5, 3 = 5! 3!2! = 10 Portanto, podemos formar 10 comissões. 8. Uma classe tem dez estudantes do sexo femi- nino e cinco estudantes do sexo masculino. Formam-se comissões de quatro estudantes do sexo feminino e dois estudantes do sexo masculino. Determine o número de comissões em que participa a estudante X e não partici- pa o estudante Y. Resolução A comissão deve ter seis pessoas. 4 estudantes do sexo feminino X 2 estudantes do sexo masculino • Como a estudante X faz parte da comissão, restam nove estudantes do sexo feminino, dentre as quais devemos escolher três, isto é, C9, 3. • Como o estudante Y não faz parte da co- missão, restam quatro estudantes do sexo masculino, dentre os quais devemos esco- lher dois, isto é, C4, 2. Então, pelo princípio fundamental da conta- gem, o número de comissões é dado por: C9, 3 ? C4, 2 = 9! 3!6! 4 ! 2! 2! ? ? h C9, 3 ? C4, 2 = 504 Portanto, serão 504 comissões. 96 D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 96D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 96 16/09/20 18:1216/09/20 18:12 G U I A P N L D 13. Quantos números de cinco algarismos distin- tos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 14. De quantas maneiras nove pessoas podem se sentar em três cadeiras? 15. Quantos números de três algarismos, sem repe- tição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4? 16. Sabendo que uma bandeira tem quatro faixas horizontais: a) quantas são as possibilidades de pintá-la com quatro cores distintas, escolhendo entre: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, roxo e marrom? b) quantas bandeiras podemos pintar se, além da condição do item a, a cor amarela estiver sempre presente? 17. Considerando todos os números de seis alga- rismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine quantos são: a) pares; b) ímpares. 18. Considere o conjunto A = {0, 1, 4, 5, 7, 8}. Utilizando os elementos desse conjunto, responda: a) Quantos números distintos podemos es- crever com cinco algarismos? b) Dentre os números do item a, quantos são ímpares? c) Quantos números de quatro algarismos distintos contêm os dígitos 1 e 5? 19. Com os algarismos 0, 1, 2, 4 e 5, sem os repetir, quantos números compreendidos entre 200 e 1 000 podemos formar? 20. Considere a palavra FELINO. a) Quantos são os anagramas dessa palavra? b) Quantos começam com a letra N? c) Quantos terminam por vogal? d) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas e nessa ordem? e) Quantos apresentam as letras E, L e I juntas e em qualquer ordem? > ATIVIDADES NÃO ESCREVA NO LIVRO 21. (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pes- soas buscam atendimento em cidades maio- res, onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras. Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 pas- sageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? a) 4.032. b) 36.288. c) 40.320. d) 362.880. e) 403.200. 22. (UFMG) Permutando-se os algarismos do número 123 456, formam-se números de seis algarismos. Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido colo- cados numa lista em ordem crescente, a) DETERMINE quantos números possui essa lista. b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo 2. 23. Quantos anagramas da palavra EDITORA: a) começam com A? b) começam com A e terminam com E? 24. Um estudante ganhou quatro livros diferentes de Matemática, três diferentes de Física e dois diferentes de Química. De quantos modos dis- tintos esses livros podem ser enfileirados em uma prateleira de uma estante, mantendo juntos os da mesma disciplina? 25. Quantos anagramas tem cada palavra a seguir? a) PATA b) PARALELOGRAMO c) GUANABARA 26. Determine a quantidade de números distintos obtidos da permutação dos algarismos dos números: a) 73 431 b) 343 434 97 D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 97D3-MAT-EM-3073-LA-V6-C03-078-105-LA-G21.indd 97 16/09/20 18:1216/09/20